Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối chuyên năm học 2005 2006 tỉnh quảng bình

së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc kú thi chän häc sinh giái líp 11 N¨m häc : 2005 - 2006 M«n : To¸n chuyªn Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) : Cho biÕt ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x0 . b c  Chøng minh r»ng: x0 < 1 + max  ,  a a C©u 2 ( 2,5 ®iÓm ) : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x2 + a2 = y2 + b2 = (x - b)2 + (y - a)2 C©u 3 ( 2,5 ®iÓm ) : T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f : Q → Q tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn:  f (1) = 2   f ( xy ) = f ( x) f ( y ) − f ( x + y ) + 1 ; x, y ∈ Q C©u 4 ( 2,5 ®iÓm ) : Trong kh«ng gian cho ®êng th¼ng d vµ ®o¹n th¼ng AB kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng nµo. T×m c¸c ®iÓm M, N trªn d sao cho MA + MB cã gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ NA − NB cã gi¸ trÞ lín nhÊt. së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) : ®¸p ¸n m«n to¸n chuyªn kú thi chän häc sinh giái líp 11 N¨m häc : 2005 - 2006 i) NÕu b = c = 0 th× x0 = 0. Ta cã ngay ®pcm b c  b c  ii) NÕu b2 + c2 > 0 th× max  ,  > 0. §Æt M = max  ,  > 0 a a a a 0,5 0,25 0,25 Ta ph¶i chøng minh: x0 < 1 + M 0,25 (*) • NÕu x0 ≤ 1: (*) ®îc chøng minh • NÕu x0 > 0 : Do x0 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh nªn :- x02 = ⇒ − x 02 = b c x0 + a a b c b c x0 + ≤ . x0 + ≤ M x 0 + M ≤ M ( x 0 + 1) = a a a a x 02 − 1 x02 M ... A' B khác phía (d) Từ toán quen thuộc suy M giao điểm (d) đờng thẳng A'B Tơng tự N d NA = NA" NA NB lớn khi NA" NB lớn A", B (d) thuộc mặt phẳng A" B phía (d) Từ toán quen thuộc suy N giao... thẳng 0,25 0,25 0,25 - 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A"B (d) Hình vẽ: B M O A' B' A" A N ***Chú ý: Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối đa ... điểm): Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với (d) Gọi giao điểm ( d) (P) O Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA) Gọi B' hình chiếu vuông góc B (P) Đờng thẳng qua O B' cắt (O, OA) A'