kú thi chän häc sinh giái së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o tØnh M«n : TO¸N - líp 11 thpt (vßng qu¶ng b×nh 1) N¨m häc : 2003 - 2004 ®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 (2,0 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc ®Òu nhän. Chøng minh r»ng : tg2A + tg2B + tg2C ≥ 9 Bµi 2 (2,0 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f(x) = 4x − x 2 + x − m lu«n lu«n nhá h¬n 5 ? Bµi 3 (2,0 ®iÓm): T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng (x; y) cña ph¬ng tr×nh : 2(x + y) + xy = x2 + y2 Bµi 4 (2,0 ®iÓm): Cho d·y sè (un) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn : 0 < u n < 1 1 u (1 − u ) > n + 1 n 4 ; n = 1, 2 , un ? T×m nlim →∞ Bµi 5 (2,0 ®iÓm): Kh«ng sö dông b¶ng sè vµ m¸y tÝnh, chøng minh r»ng : 15 − cos89 0 4sin 63 + < 8 4sin 2 630 2 0 Hä vµ tªn : ................................................................................ Sè BD : ......................................................................................... së gd-®t qu¶ng b×nh kú thi chän häc sinh giái tØnh M«n : to¸n - líp 11 THPT N¨m häc : 2003 - 2004 (vßng 1) §Ò chÝnh thøc ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. ThÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc. * NÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi. * §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm, nh÷ng ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tuú tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * §iÓm tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi lµ kÕt qu¶ cña thÝ sinh. néi dung lêi gi¶i ®iÓm Bµi 1 ( 2,0 ®iÓm) : Tríc hÕt ta chøng minh : tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC ≥ 3 3 ThËt vËy, do A + B + C = π nªn : tg(A + B) = - tgC ⇔ 0,25 tgAtgB ⇔ = − tgC ⇔ 1 − tgAtgB ⇔ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC (1) 0,25 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d¬ng tgA, tgB, tgC : tgA + tgB + tgC ≥ 33 tgAtgBtgC (2) 0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra : tgAtgBtgC ≥ 3 3 tgAtgBtgC ⇔ 0,25 0,25 ( tgAtgBtgC) 2 ≥ 27 ⇔ ⇔ tgAtgBtgC ≥ 3 3 DÊu ®¼ng thøc x·y ra khi vµ khi : tgA = tgB = tgC ⇔ A = B = C TiÕp tôc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d¬ng tg 2 A, tg 2 B, tg 2 C : tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C ≥ 33 tg 2 Atg 2 Btg 2 C ( ) ≥ 33 3 3 0,5 2 = 9 DÊu ®¼ng thøc x·y ra khi vµ khi : A = B = C , tøc lµ khi tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. 0,25 Bµi 2 ( 2,0 ®iÓm) : Ta cã : maxf(x) < 5 ⇔ f(x) < 5 , ∀x 0,25 Tøc lµ : 4x - x2 + x − m < 5 , ∀x ⇔ x − m < x2 - 4x + 5 , ∀x (1) 0,25 NhËn xÐt : x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 +1 > 0 , ∀x . Do ®ã : (1) ⇔ 0,5 x 2 − 5x + 5 + m > 0 , ∀x 2 x − 3x + 5 - m > 0 , ∀x ⇔ Δ1 = 25 − 4(5 + m) < 0 Δ 2 = 9 − 4(5 − m) < 0 ⇔ 5 m > 4 m < 11 4 0,5 0,5 ⇔ = Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : 0,25 ⇔ 5 11 < m < 4 4 Bµi 3 ( 2,0 ®iÓm) : Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : (x - y)2 - 2(x + y) + xy = 0 0,25 u+v x = x + y = u 2 ⇒ (2) §Æt : u − v x − y = v y = 2 0,25 §ång thêi : xy ⇔ (1) u 2 − v2 4 v 2 u 2 − v2 − 2u + = 0 ⇔ 4 ⇔ 3v 2 − 8u + u 2 = 0 ⇔ u = 4 16 − 3v 2 (3) 0,25 §iÒu kiÖn : 16 - 3v 2 ≥ 0 ⇔ v≤ 4 3 3 ( 4) 0,25 MÆt kh¸c, ta cÇn gi¸ trÞ cña u = x + y nguyªn nªn 16 - 3v2 ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. Tõ ®iÒu kiÖn (4), suy ra : Sè 16 - 3v2 lµ sè chÝnh ph¬ng khi : v = - 2 hoÆc v = 0 hoÆc v = 2 . (5) 0,25 LÇn lît thay c¸c gi¸ trÞ cña v tõ (5) vµo (3) , ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (u; v) lµ : (0; 0) , (8; 0) , (6; 2) , (2; 2) , (6; - 2) vµ (2; - 2) (6) 0,25 Thay c¸c cÆp gi¸ trÞ (u; v) vµo (2), ta cã tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ : (0; 0) , (4; 4) , (4; 2) , (2; 0) , (2; 4) vµ (0; 2). Do ®ã : TÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ : (4; 4) , (4; 2) vµ (2; 4) 0,25 Bµi 4 ( 2,0 ®iÓm) : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè d¬ng (1 - un) vµ un+1 , ta cã : 1 − u n + u n +1 ≥ 2 (1 − u n )u n +1 > 2 × 1 =1 2 0,5 Do ®ã : un+1 > un , ∀n ∈ N ∗ . 0,25 Suy ra d·y sè (un) ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 1. V× vËy, tån t¹i giíi h¹n lim u n = a , víi 0 < a < 1 . n →∞ 0,25 a(1 − a) ≥ Tõ gi¶ thiÕt, qua giíi h¹n ta cã : 0,25 2 0,25 1 ⇔ a − ≤ 0 2 2 0,25 1 1 ⇔ a − = 0 ⇔ a = 2 2 Do ®ã : limu n = n →∞ 0,25 1 2 1 4 ⇔ Bµi 5 ( 2,0 ®iÓm) : NhËn xÐt : cos890 > 0 nªn : 15 − cos89 0 15 2 0 2 0 4sin 63 + < 4sin 63 + 4sin 2 630 4sin 2 63 0 0,25 Ta sÏ chøng minh : 15 4sin 2 630 + < 8 (1) 4sin 2 630 0,25 §Æt : 4sin 2 630 = t > 0 . Khi ®ã (1) trë thµnh : t2 - 8t + 15 < 0 ⇔ 3 < t < 5 . Hay : 3 < 4sin 2 630 < 5 ( 2) 0,25 3 NhËn thÊy : sin630 > sin600 > 0 . Do ®ã : sin 2 630 > sin 2 60 0 = 4 2 0 ⇒ 4sin 63 > 3 (3) 0,5 MÆt kh¸c : sin630 < sin900 . Do ®ã : 4sin 2 630 < 4sin 2 90 0 = 4 ( 4) 0,5 Tõ (3) vµ (4) chøng tá bÊt ®¼ng thøc (2) ®óng ! Suy ra bÊt ®¼ng thøc (1) còng ®óng ⇒ (®. p. c. m). 0,25 ... gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Môn : toán - lớp 11 THPT Năm học : 2003 - 2004 (vòng 1) Đề thức đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Thí sinh giải... cho Thí sinh giải cách khác đáp án nhng cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm Trong làm thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc * Nếu thí sinh giải sai bớc trớc cho điểm... tgAtgB tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC (1) 0,25 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng tgA, tgB, tgC : tgA + tgB + tgC 33 tgAtgBtgC (2) 0,25 Từ (1) (2) suy : tgAtgBtgC 3 tgAtgBtgC 0,25 0,25