Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối không chuyên năm học 2003 2004 (vòng 2) tỉnh quảng bình (2)

së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o tØnh 2) M«n : TO¸N - líp 11 thpt (vßng qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc ®Ò) kú thi chän häc sinh giái N¨m häc : 2003 - 2004 Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao Bµi 1 (2,5 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh : sin2x + 2 − sin 2 2x = 2 Bµi 2 (2,5 ®iÓm): TÝnh giíi h¹n : π  cos cosx  2  L = lim x→ 0 sin(tgx) Bµi 3 (2,0 ®iÓm): Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [0; 1] tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) . 1   Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = f  x +  lu«n lu«n cã nghiÖm trªn 2004   ®o¹n [0; 1] . Bµi 4 (3,0 ®iÓm): Cho tø diÖn ABCD cã AB vu«ng gãc víi AC vµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) lµ trùc t©m cña tam gi¸c BCD. Chøng minh r»ng : (BC + CD + DB)2 ≤ 6(AB2 + AD2 + AC2) Hä vµ tªn : ................................................................................ Sè BD : ......................................................................................... së gd-®t qu¶ng b×nh tØnh (vßng 2) §Ò chÝnh thøc kú thi chän häc sinh giái M«n : to¸n - líp 11 THPT N¨m häc : 2003 - 2004 ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. ThÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc. * NÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi. * §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm, nh÷ng ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tuú tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng h×nh vÏ cña bµi 4 th× cho ®iÓm 0 ®èi víi bµi 4. * §iÓm tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi lµ kÕt qu¶ cña thÝ sinh. néi dung lêi gi¶i ®iÓm Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm) : Ta cã : 0,25 0,25 , ∀x ∈ R ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki : 2 − sin 2 2x 0,5 0,25 , ∀x ∈ R ⇒ sin 2 x + 2 − sin 2 2x ≥ 0 (sin 2x + 0,25 2 − sin 2 2x ≥ 1 ) 2 ≤ (12 + 12 ) sin 2 2x +  ⇒ sin 2 x + 2 − sin 2 2x ≤ 2 ( ) 2 2 − sin 2 2x  , ∀x ∈ R  , ∀x ∈ R DÊu ®¼ng thøc x·y ra khi vµ khi : sin 2 x = 2 − sin 2 2x VËy, ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi vµ khi: sin 2x = 2 − sin 2 2x = 1 ⇔ 0,5 ⇔ sin2x = 1 ⇔ x = sin2x = 1 ⇔  2 sin 2x = 1  π + kπ , k ∈ Z 4 0,5 Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm) : NhËn xÐt: khi x → 0 th× : sinx → 0 ; cosx → 1, tgx → 0 ¸p dông c«ng thøc : 0,25 sinf(x) =1 f(x)→0 f(x) lim Ta cã : π  cos cosx  2  L = lim x →0 sin(tgx) 0,5 π  cos cosx  2  = lim x →0 sin(tgx) × tgx tgx = π  cos cosx . cos x 2  = lim x →0 sinx 0,5 π  cos cosx  2  = lim x →0 sin x = π   2 (1 − cosx )  π sin × (1 − cosx ) π  π 2 sin  (1 − cosx )  ( 1 − cosx ) 2  = lim 2 = lim  = x →0 x →0 x x sinx 2sin cos 2 2 π π x (1 − cosx ) × 2sin 2 2 = = lim 2 = lim 2 x →0 x →0 x x x x 2sin cos 2sin cos 2 2 2 2 0,5 = 0,25 π  x × lim tg  = 2 x →0  2  π ×0 = 0 2 1   XÐt hµm sè : g(x) = f  x +  − f(x) . 2004   Do hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n [ 0 ; 1] nªn hµm sè g(x) Bµi 3 ( 2,0 ®iÓm) :  2003  x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n 0 ; . Ta cã :  2004   0,5  1  g(0) = f   − f(0) 2004    1   2   1  g  = f  − f   2004   2004   2004   2   3   2  g  = f  − f   2004   2004   2004  ........................................................ 0,5  2003   2003  g  = f(1 ) − f    2004   2004  Céng vÕ theo vÕ cña 2004 ®¼ng thøc trªn, ta cã : 0,5 0,25 0,25  1   2   2003  g(0) + g  + g  +  + g   2004   2004   2004  = f(1) − f(0) = 0 Suy ra : Tån t¹i i, j víi i , j ∈ { 0 ; 1 ; 2 ;  ; 2003} sao cho :  i   j  g  ≤ 0 vµ g  ≥ 0  2004   2004   i   j  + NÕu : g  = 0 hoÆc g  = 0  2004   2004  0,25  i   j  + NÕu : g  < 0 vµ g  > 0  2004   2004  ⇒ (®. p. c. m) j   i Khi ®ã, do g(x) lµ hµm liªn tôc nªn tån t¹i x 0 ∈  ;  hoÆc  2004 2004  i   j x0 ∈ ;  sao cho g(x0) = 0 ⇒ ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã nghiÖm  2004 2004  trªn ®o¹n [ 0 ; 1] ⇒ (®. p. c. m) 0,25 Bµi 4 ( 3,0 ®iÓm) : 0,25 H×nh vÏ : C H A D B KÎ AH ⊥ mp(BCD) . Theo gi¶ thiÕt, H lµ trùc t©m cña tam gi¸c BCD. Suy ra : BH ⊥ CD . Mµ : AH ⊥ mp(BCD) ⇒ AH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ mp(ABH) ⇒ CD ⊥ AB 0,5 MÆt kh¸c : AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ mp(ACD) ⇒ AB ⊥ AD 0,25 T¬ng tù, ta còng cã : AC ⊥ AD Nh vËy, tø diÖn ABCD cã tam diÖn ®Ønh A lµ tam diÖn vu«ng ¸p dông ®Þnh lý Pi-ta-go : BC2 = AB2 + AC2 0,25 0,25 CD2 = AD2 + AC2 DB2 = AB2 + AD2 Do ®ã : BC2 + CD2 + DB2 = 2(AB2 + AC2 + AD2) (1) MÆt kh¸c, bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi : + CD2 + DB2 + 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC ≤ 6(AB2 + AC2 + AD2) Tõ (1), suy ra bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi : 2 BC + CD2 + DB2 + 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC ≤ 3(BC2 + CD2 + DB2) 0,5 (2) ⇔ 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC ≤ 2(BC2 + CD2 + DB2) 0,25 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si : 2BC.CD ≤ BC2 + CD2 2CD.DB ≤ CD2 + DB2 2DB.BC ≤ DB2 + BC2 Céng vÕ theo vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn, suy ra (2) ®óng! ⇒ (®. p. c. m) 0,5 DÊu ®¼ng thøc x·y ra khi vµ khi : BC = CD = DB , tøc lµ khi tø diÖnABCD lµ h×nh chãp tam gi¸c ®Ønh A cã c¸c gãc ë ®Ønh vu«ng vµ ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu. 0,25 BC2  ... DB2) 0,5 (2) 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC 2(BC2 + CD2 + DB2) 0,25 áp dụng bất đẳng thức Cô-si : 2BC.CD BC2 + CD2 2CD.DB CD2 + DB2 2DB.BC DB2 + BC2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, suy (2). .. khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Nếu học sinh không vẽ hình vẽ hình sai nghiêm trọng hình vẽ cho điểm * Điểm tổng (không làm tròn số) điểm tất kết thí sinh nội dung lời giải điểm Bài ( 2,5 điểm)... : BC2 + CD2 + DB2 = 2(AB2 + AC2 + AD2) (1) Mặt khác, bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với : + CD2 + DB2 + 2BC.CD + 2CD.DB + 2DB.BC 6(AB2 + AC2 + AD2) Từ (1), suy bất đẳng thức cần chứng