Së gd- ®t qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc Sè BD .................. ®Ò) kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 10 thpt n¨m häc 2002 - 2003 M«n : to¸n Thêi gian : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao Ngµy thi : 28/3/2003 C©u 1 (1,5 ®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 13 − x + 3 22 + x = 5 C©u 2 (2,0 ®iÓm) : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau : x 2 − 8x + 7 P= ; x∈R. x2 +1 C©u 3 (1,5 ®iÓm) : Gäi A lµ tæng cña 2003 sè thùc d¬ng vµ B lµ tæng cña 2003 sè nghÞch ®¶o cña chóng . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tÝch AB ? C©u 4 (2,0 ®iÓm) : Cho c¸c sè thùc d¬ng a1 , a2 , ... , an (n ∈ N, n ≥ 2). §Æt : n S = ∑ak k =1 n Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : ∑ k =1 ak n ≥ S − ak n −1 C©u 5 (3,0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O vµ mét ®iÓm M tuú ý trªn (O). Chøng minh r»ng, tæng MA 2 + MB2 + MC2 lµ mét ®¹i lîng kh«ng ®æi (kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M) . Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc : 2002 - 2003 M«n : to¸n 10 THPT ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy kh¸ v¾n t¾t mét lêi gi¶i cho mçi c©u . Trong bµi lµm cña häc sinh yªu cÇu ph¶i lËp luËn l« gic chÆt chÎ, ®Çy ®ñ, chi tiÕt vµ râ rµng. * Trong mçi c©u, nÕu häc sinh gi¶i sai ë bíc gi¶i tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi nh÷ng bíc gi¶i sau cã liªn quan. * §iÓm thµnh phÇn cña mçi c©u nãi chung chØ ph©n chia ®Õn 0,5 ®iÓm. Tæ Gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * Häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng ®èi víi c©u 5 th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c©u 5. * Häc sinh cã lêi gi¶i kh¸c ®¸p ¸n (nÕu ®óng) vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo møc ®iÓm cña tõng c©u. * §iÓm cña toµn bµi lµ tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c c©u . Néi dung ®iÓm 3 C©u1(1,5 ®iÓm) : §Æt: u = 13 − x ; v = 3 22 + x 0,25 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: u+v=5 3 u = 13 − x v3 = 22 − x u+v=5 ⇔ 2 ( u + v ) − 3uv = 7 0,25 u + v = 5 ⇔ uv = 6 0,5 Do ®ã u,v lµ c¸c nghÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 - 5X +6 = 0 ⇒ u = 2 hoÆc u = 3 ⇒ x =5 hoÆc x = - 14 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho 0,5 C©u 2 (2,0 ®iÓm) : Hµm sè ®· cho x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x. (BiÓu thøc P ®óng lµ biÓu thøc cña 1 hµm sè). Ta xÐt mét gi¸ trÞ cña P0 nµo ®ã trong miÒn gi¸ trÞ cña P. Khi ®ã, lu«n lu«n tån t¹i mét gi¸ trÞ cña x sao cho: ( 0,25 ) x 2 − 8x + 7 ⇔ P0 x 2 + 1 = x 2 − 8x + 7 P0 = 2 x +1 ⇔ ( P0 − 1) x 2 + 8x + ( P0 − 7 ) = 0 (*) 0,25 a) NÕu P0 = 1 ⇒ x = 3 4 0,25 b) P0 ≠ 1 : Tam thøc bËc hai (*) buéc ph¶i cã nghiÖm x. Tøc lµ: Δ , = −P02 + 8P0 + 9 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ P0 ≤ 9 0,25 - Khi P0 = −1 ⇒ x = 2 - Khi P0 = 9 ⇒ x = − 0,25 KÕt luËn: 1 2 min P = -1 ®¹t ®îc khi x = 2 max P = 9 ®¹t ®îc khi x = − 1 2 0,25 C©u 3 (1,5 ®iÓm) : Gäi 2003 sè thùc d¬ng lµ : x1,x2...x2003. Ta cã: AB = x . 1 + x . 1 + ... + x . 1 + x 1 + x 2 1 2 2003 x1 x2 x 2003 x 2 x 1 x x x x + 1 + 3 + ... + 2002 + 2003 (1) x 3 x1 x 2003 x 2003 NhËn xÐt: Tæng (1) gåm 2003 céng víi 20032 - 2003 sè h¹ng ®îc chia thµnh 0,5 xi x j 2003 2 − 2003 cÆp. Mçi cÆp : x + x ≥ 2 (B§T C«-si), Víi: ∀i ≤ j ; i = 1,2003. 2 j i 0,5 Do ®ã: AB ≥ 2003 + 20032 − 2003 .2 ⇔ AB ≥ 20032 2 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi : x1 = x2 = ...= x2003 KÕt luËn: min AB = 20032 ®¹t ®îc khi x1= x2 = ... =x2003 0,5 C©u 4 (2,0 ®iÓm) : §Æt : bi = S - ai (i = 1,..., n) n Khi ®ã: ai + bi = S vµ ∑ b = ( n − 1).S i i =1 0,5 n n n ai ai S 1 = ∑ + 1 − n = ∑ − n = S ∑ − n Ta cã: ∑ i =1 S − a i i =1 b i i =1 b i i =1 b i n 0,5 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc C«-si, ta cã: n 1 S. ∑ . − n ≥ i =1 b i = n 2 .S −n ≥ −n b1 + .... + b n b1 ....b n nS n n 2S n2 n −n = −n = ( n − 1)S n −1 n −1 0,5 (®.p.c.m) 0,5 C©u 5 (3,0 ®iÓm) : §Æt: MA = r1 ; MB = r2 ; MC = r3 Trªn AM lÊy D sao cho MD = r2. Tøc lµ ΔBDM ®Òu, c¹nh r2. NhËn thÊy: s® Bˆ1 + s® Bˆ2 = 600 ; s® Bˆ3 + s® Bˆ2 = 600 ⇒ Bˆ1 = Bˆ3 0,5 Ngoµi ra : AB = BC ; BD =BM . Suy ra : ∆ABD = ∆CBM . ⇒ AD = MC = r3 0,5 §ång thêi: MA = r3 + r2 = r1. 0,25 ¸p dông ®Þnh lý hµm sè cosin trong tam gi¸c BCM, ta cã : ∧ BC2 = BM2+ MC2 - 2BM.MC.cos BMC 0,25 §Æt: a = AB = BC = AC (kh«ng ®æi) ∧ Râ rµng : BMC = 1200. Do ®ã: a 2 = r22 + r32 + r1.r2 . 0,5 Tõ ®ã: r22 + r32 + r1.r2 = MA 2 + MB2 + MC 2 = ( r1 + r2 ) 2 + r22 + r32 = = 2( r22 + r32 + r2 .r3 ) = 2a 2 0,5 KÕt luËn : MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 = const (a lµ ®é dµi c¹nh ΔABC ) 0,25 ...Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học : 2002 - 2003 Môn : toán 10 THPT đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án trình bày vắn tắt lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải... Trong câu, học sinh giải sai bớc giải trớc cho điểm bớc giải sau có liên quan * Điểm thành phần câu nói chung phân chia đến 0,5 điểm Tổ Giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh không... thành 0,25 điểm * Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai nghiêm trọng câu cho điểm câu * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm câu * Điểm toàn tổng (không làm tròn