ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN
Bi 1 (2,0im) 1) Tỡm giỏ tr ca x cỏc biu thc cú ngha: ; 2) Rỳt gn biu thc: Bi 2 (2,0 im) Cho phng trỡnh: mx 2 (4m -2)x + 3m 2 = 0 (1) ( m l tham s). 1) Gii phng trỡnh (1) khi m = 2. 2) Chng minh rng phng trỡnh (1) luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m. 3) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú cỏc nghim l nghim nguyờn. Bi 3 (2,0 im) Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh: Mt mnh vn hỡnh ch nht cú chu vi 34m. Nu tng thờm chiu di 3m v chiu rng 2m thỡ din tớch tng thờm 45m 2 . Hóy tớnh chiu di, chiu rng ca mnh vn. Bi 4 (3,0 im) Cho ng trũn O. T A l mt im nm ngoi (O) k cỏc tip tuyn AM v AN vi (O) ( M; N l cỏc tip im ). 1) Chng minh rng t giỏc AMON ni tip ng trũn ng kớnh AO. 2) ng thng qua A ct ng trũn (O) ti B v C (B nm gia A v C ). Gi I l trung im ca BC. Chng minh I cng thuc ng trũn ng kớnh AO. 3) Gi K l giao im ca MN v BC . Chng minh rng AK.AI = AB.AC. Bi 5 (1,0 im) Cho cỏc s x,y tha món x 0; y 0 v x + y = 1. Tỡm gi tr ln nht v nh nht ca A = x 2 + y 2 . --------------------- Ht -------------------- UBND tỉnh bắc ninh Sở giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2012 3 2x 4 2 1x (2 3) 2 3 2 3 A + = + Đề chính thức Câu 1: a) có nghĩa 3x – 2 có nghĩa b) Câu 2: 1.Thay m = 2 vào pt ta có: Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm: 2. * Nếu m = 0 thì . Suy ra: Pt luôn có nghiệm với m=0 *Nếu m 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Ta có: Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt luôn có nghiệm với mọi m (đpcm) 3. * Nếu m = 0 thì nguyên Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên * Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm: Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm phải nguyên hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2} Kết luận: Với m = {} thì pt có nghiệm nguyên Câu 3: Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17) Theo bài ra ta có hpt : (thỏa mãn đk) Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m Câu 4 : 1. Theo tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm ta có : vuông tại M A, M , O thuộc đường tròn đường kính AO ( Vì AO là cạnh huyền) vuông tại N A, N, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy: A, M, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO 2. Vì I là trung điểm của BC (theo gt) (tc) vuông tại I A, I, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy I cũng thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm) 3. Nối M với B, C. Xét có chung sđ (g.g) (1) Xét có chung 3 2x − ⇔ 2 0 3 2 3 x x≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 4 2 1x − 1 2 1 0 2 1 2 x x x⇔ − > ⇔ > ⇔ > 2 2 2 2 2 (2 3) (2 3) (2 3) 2 3 (2 3)(2 3) 2 3 1 1 2 3 (2 3)(2 3) 2 3 A + − + − + − − = = = = = + − + − 2 (4 2) 3 2 0 (1)mx m x m− − + − = 2 2 (1) 2 6 4 0 3 2 0x x x x⇔ − + = ⇔ − + = 1 2 0; 2x x= = (1) 2 2 0 1x x⇔ − = ⇔ = ≠ 2 2 2 2 ' (2 1) (3 2) 4 4 1 3 2 ( 1) 0 0m m m m m m m m m∆ = − − − = − + − + = − ≥ ∀ ≠ (1) 2 2 0 1x x⇔ − = ⇔ = 1 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 m m x m m m m x m m − − + = = − + − − = = 2 x 3 2 2 3 ( 0) 2 m Z Z m m m m − ⇔ ∈ ⇔ − ∈ ≠ ⇒ M ⇒ 1; 2;0± ± 34 : 2 17 12 ( 3)( 2) 45 5 x y x x y xy y + = = = ⇔ + + = + = · · 90 O AMO ANO= = AMO ⇒ V ⇒ ANOV ⇒ OI BC ⇒ ⊥ AIOV ⇒ &AMB AMCV V · MAC · · 1 2 MCB AMB= = » MB ~AMB ACM ⇒ V V 2 . AB AM AB AC AM AM AC ⇒ = ⇒ = &AKM AIMV V · MAK (Vì: cùng chắn và ) (g.g) (2) Từ (1) và (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm) Câu 5: * Tìm Min A Cách 1: Ta có: Cộng vế với vế ta có: Vậy Min A = . Dấu “=” xảy ra khi x = y = Cách 2 Từ Thay vào A ta có : Dấu « = » xảy ra khi : x = y = Vậy Min A = Dấu “=” xảy ra khi x = y = * Tìm Max A Từ giả thiết suy ra Vậy : Max A = 1 khi x = 0, y GIẢI CÂU 05 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN BẮC NINH 2012-2013 ===================================== CÂU 05 : Cho các số x ; y thoả mãn x và x+ y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 I- TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÁCH 01 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x 2 + y 2 ta có : x 2 + ( -x + 1) 2 - A = 0 hay 2x 2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*) do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm hay .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi phương trình (*) có nghiệm kép hay x = mà x + y = 1 thì y = . Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 02 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay 1= (x + y) 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 03 : · · AIM AMK= · · AIM ANM= ¼ AM · · AMK ANM= ~AMK AIM ⇒ V V 2 . AK AM AK AI AM AM AI ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 x y x xy y x y x xy y + = + + = − = − + ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 x y x y A+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ 1 2 1 2 1 1x y x y+ = ⇒ = − ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2( ) 2 2 2 A y y y y y y= − + = − + = − + ≥ ∀ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 x x x x y x y y y y ≤ ≤ ≤ ⇔ ⇔ + ≤ + = ≤ ≤ ≤ 0;0 ≥≥ y ( ) 2 1 01201210' ≥⇔≥−⇔≥−−⇔≥∆ AAA 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2222 ≥+⇔+≤ yxyx a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Không mất tính tổng quát ta đặt với Mà A= x 2 + y 2 . Do đó A = ( 1- m) 2 + m 2 hay A= 2m 2 - 2m +1 hay 2A = (4m 2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1) 2 + 1 hay . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. CÁCH 04 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có A = x 2 + y 2 = ( x+ y) 2 - 2xy = 1 -2xy ( vì x + y =1 ) mà xy . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. CÁCH 05 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Xét bài toán phụ sau : Với a , b bất kì và c ; d > 0 ta luôn có : (*) , dấu “=” xảy ra khi Thật vậy : có (ĐPCM) .ÁP DỤNG Cho a = x và b = y ,từ (*) có : A= x 2 + y 2 = mà x+ y =1 Nên A .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 06 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có A = x 2 + y 2 hay xy = (*) mà x + y =1 (**) Vậy từ (*) ;(**) có hệ phương trình ,hệ này có nghiệm . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x+ y =1 và x 2 + y 2 = hay x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 07 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có A = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 1 - 1 mà x + y =1 nên A = x 2 + y 2 - x - y -1 Hay A = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 08 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có A= x 2 + y 2 = = −= my mx 1 10 ≤≤ m ( ) 2 1 2 1 2 12 2 ≥+ − = m A ( ) 2 1 2 1 21 2 1 2 4 1 4 2 ≥⇒≥−⇔ − ≥−⇒≤⇔ + ≤ Axyxyxy yx ( ) dc ba d b c a + + ≥+ 2 22 d b c a = ( ) ( ) ⇔+≥ + + 2 2 2 22 ba y b x a yx ( ) yx ba y b x a + + ≥+ 2 22 ( ) 211 2 22 yxyx + ≥+ 2 1 ≥ 2 1 A − − = =+ 2 1 1 A xy yx ( ) 2 1 01210;0 ≥⇔≥−−⇔≥≥ AAyx 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 22 ≥+ +−+ +− yyxx ( ) ( ) 221 2 222222 yx yx yx yx y yx x yx yxyx + = + + ≥ + + + = + + = + Mà x + y =1 nên A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. khi x = y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 09 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có x + y = 1 là một đường thẳng , còn x 2 + y 2 = A là một đường tròn có tâm là gốc toạ độ O bán kín mà x thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn trên . Do đó để tồn tại cực trị thì khoảng cách từ O đến đường thẳng x + y =1 phải nhỏ hơn hay bằng bán kín đường tròn hay A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 10 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có x + y =1 . Vậy để chứng minh A với A = x 2 + y 2 thì ta chỉ cần chứng minh . Thật vậy : Ta có 0 Hay ( luôn đúng ) Vậy A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 11 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Không mất tính tổng quát ta đặt .Do đó A = x 2 + y 2 hay (2-m) 2 + (m-1) 2 - A =0 hay 2m 2 - 6m +5 = A Hay . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 12 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Không mất tính tổng quát ta đặt .Do đó A = x 2 + y 2 hay (3-m) 2 + (m-2) 2 - A =0 hay 2m 2 - 10m +13 = A Hay . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 13 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x 2 + y 2 hay A = (x 2 + 2x + 1) + ( y 2 + 2y +1) - 4 hay A = (x+1) 2 + ( y+1) 2 - 4 ,do đó ta đặt . Khi ta có bài toán mới sau : Cho hai số a , b thoả mãn và a + b =3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 - 4 Thật vậy : Ta có A = a 2 + b 2 - 4 = (a+b) 2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vì a+b=3) Mặt khác theo côsi có : do đó A . Vậy giá trị 2 1 ≥ A ⇒≥≥ 0;0 y 2 1 ≥ 2 1 2 1 =−+⇔ yx 2 1 ≥ 2 1 22 −+≥+ yxyx 2 1 22 −+≥+ yxyx 0 2 1 2 1 22 ≥ −+ − yx 2 1 ≥ 21 1 2 ≤≤⇒ −= −= m my mx ( ) 2 1 2 1 2 32 2 ≥+ − = m A 32 2 3 ≤≤⇒ −= −= m my mx ( ) 2 1 2 1 2 52 2 ≥+ − = m A ≥ ≥ ⇒ += += 1 1 1 1 b a yb xa 1;1 ≥≥ ba ( ) 4 9 4 2 = + ≤ ba ab 2 1 ≥ nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 14 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Không mất tính tổng quát ta đặt ( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b ) .Do đó A = x 2 + y 2 hay (a-m) 2 + (m-b) 2 - A =0 hay 2m 2 - 2m (a+b) +(a 2 + b 2 ) = A hay Hay (Vì a - b= 1) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . CÁCH 15 : a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y Do đó x 2 + y 2 - A = 0 hay 2 x 2 - 2x +( 1 - A ) = 0 . Khi đó ta có bài toán mới sau : Tìm A để phương trình 2 x 2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm Với x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình (*) Thật vậy để phương trình (*) có nghiệm Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2. b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 . II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CÁCH 01 : Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 CÁCH 02 : Ta có A = x 2 + y 2 hay xy = (*) vì x + y =1 mà x Do đó theo (*) có A . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 CÁCH 03 : Không mất tính tổng quát ta đặt Do đó A = . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 amb bmy max ≤≤⇒ −= −= ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 2 1 2 2 222 2 2 22 2 ≥+ +− =⇔+−+++−= bam AbababamA 100 ≤≤⇔≥ x 10 21 ≤≤≤ xx 1 2 1 1 2 0' 0 0 0' 1 2 0 0 1 1 0 0 1 0 10 2 1 2 1 21 12 21 ≤≤⇔ ≤ ≤ ≥∆ ≥ ≥ ≥∆ ⇔ ≤ ≤ ≥ ≥ ⇔ ≤ ≤ ≥ ≥ ⇔ ≤≤ ≥≥ ⇔≤≤≤ A P S P S P S P S x x x x xx xx xx 2 1 A − 00;0 ≥↔≥≥ xyy 1 ≤ ≥= ≥= 0cos 0sin 2 2 α α y x ( ) 1cos.sin21cossin 2 44 ≤−=+ αααα khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 “Bề dày thời gian tồn tại – Chất lượng giáo viên, lòng nhiệt tình - Số lượng lớn học sinh theo học và đạt thành tích cao- Số lượng tài liệu khổng lồ được học sinh, giáo viên, phụ huynh sử dụng CHÍNH LÀ NIỀM TỰ HÀO, SỰ KHẲNG ĐỊNH CỦA TT GIA SƯ – TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI” - Các em học sinh trên địa bàn Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận (Cam Lộ, Triệu Phong, Gio Linh,…) hoàn toàn có thể đăng kí và học tại nhà, để được hướng dẫn cụ thể các em hãy gọi theo số máy trung tâm. Ngoài ra các em có thể học tại trung tâm hoặc học tại nhà các giáo viên của trung tâm. - Các em có thế đăng kí học các môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Văn (các khối 9-12, Luyện thi đại học cấp tốc, luyện thi vào lớp 10 cấp tốc, luyện thi tốt nghiệp 12 cấp tốc). Riêng các lớp học từ khối 8 trở xuống, phụ huynh hay học sinh nào yêu cầu trung tâm sẽ cho giáo viên phù hợp về dạy kèm các em - Đối với giáo viên muôn tham gia trung tâm hãy điện thoại để biết thêm chi tiết cụ thể MỌI CHI TIẾT XIN LIÊN HỆ 01662 843 844 – 0533 564384 – 0536 513844 – 0944323844 . ⇒ OI BC ⇒ ⊥ AIOV ⇒ &AMB AMCV V · MAC · · 1 2 MCB AMB= = » MB ~AMB ACM ⇒ V V 2 . AB AM AB AC AM AM AC ⇒ = ⇒ = &AKM AIMV V · MAK (Vì: cùng chắn và. 4 4 1 3 2 ( 1) 0 0m m m m m m m m m = − − − = − + − + = − ≥ ∀ ≠ (1) 2 2 0 1x x⇔ − = ⇔ = 1 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 m m x m m m m x m m − − + = = − +