Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối không chuyên năm học 2005 2006 tỉnh quảng bình

kú thi chän häc sinh giái líp 11 së gd-®t qu¶ng b×nh N¨m häc : 2005 - 2006 M«n : To¸n (kh«ng chuyªn) ®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2006 x − 2004 + 2006 2005 − x = 1 πx + x 4 ( x ≥ 0) 2 n πx tg +1 4 xtg 2 n C©u 2 ( 2,5 ®iÓm ) : T×m nlim → +∞ C©u 3 ( 2,5 ®iÓm ) : Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh nh sau: u1 = 0 ; u 2 = 1 ; u3 = 3  u n = 7u n−1 − 11u n −2 + 5u n−3 ; T×m sè h¹ng tæng qu¸t un ? n∈ N , n ≥ 4 C©u 4 ( 2,5 ®iÓm ) : Trong kh«ng gian cho ®êng th¼ng d vµ ®o¹n th¼ng AB kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng nµo. T×m ®iÓm M trªn d sao cho MA + MB cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. së gd-®t qu¶ng b×nh ®¸p ¸n m«n to¸n (kh«ng chuyªn) kú thi chän häc sinh giái líp 11 N¨m häc : 2005 - 2006 ®Ò chÝnh thøc C©u 1(2,5 ®iÓm): §Æt: u = 2006 x − 2004 ≥ 0 , v = 2006 2005 − x ≥ 0. Ta cã: u + v = 1  2006 + v 2006 = 1 u 2005 2005 Suy ra: u(1- u ) + v(1 - v ) = 0 (1) Do u ≥ 0, v ≥ 0 vµ u + v = 1 nªn: 0 ≤ u, v ≤ 1 Suy ra: 0 ≤ u2005, v2005 ≤ 1. u (1 − u 2005 ) = 0 ⇔ (1)  v (1 − v 2005 ) = 0 u = 0 ∨ u = 1 ⇔ v = 0 ∨ v = 1 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (2) u = 0 ∧ v = 1 Do u + v = 1 nªn (2) ⇔  u = 1 ∧ v = 0 ⇔ x = 2004 ∨ x = 2005. 0,25 0,25 0,25 ------------ C©u 2(2,5 ®iÓm): πx + x 4 ( x ≥ 0) 2 n πx tg +1 4 xtg 2 n §Æt f(x) = lim n→ +∞ πx πx π πx π ⇔ ⇔ − + kπ < ∈ < + kπ 4 4 4 i) 0 tg 4 < 1 - 1 < tg 4 < 1 ,k Z ⇔ - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k ∈ Z. Nhng x ≥ 0 nªn: - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k ∈ N* πx Khi ®ã: lim tg 2 n = 0. Suy ra : f(x) = x 4  x = 1 + 4k , k ∈ Z πx πx πx ii) tg 2 = 1 ⇔ tg = 1 ∨ tg =-1 ⇔  4 4 4  x = −1 + 4l , l ∈ Z * Nhng x ≥ 0 nªn : x = -1 + 4l, l ∈ N hoÆc x = 1 + 4k, k ∈ N* 1 Khi ®ã hiÓn nhiªn f(x) = ( x + x ) 2 πx πx πx ⇔ iii) tg2 4 > 1 tg 4 < - 1 hoÆc tg 4 > 1 ≤ 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 πx π  π − + k π < < − + kπ , k ∈ Z .  2 4 4 ⇔  π + lπ < πx < π + lπ , l ∈ Z  4 4 2  − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ Z ⇔ 1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ Z x 1  1 − + k < < − + k, k ∈ Z.  2 4 4 ⇔  1 + l < x < 1 + l, l ∈ Z  4 4 2 0,25  − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ N * ⇔ ≥ Nhng x 0 nªn  1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ N πx Khi ®ã: lim tg 2 n = + ∞ nªn: f(x) = x 4 0,25 0,25 ------------ C©u 3(2,5 ®iÓm): Ta cã : un - un - 1 = 6(un - 1 - un - 2 ) - 5(un - 2 - un - 3 ) , n ≥ 4 . §Æt xn = un - un - 1 , n ≥ 2. Suy ra: xn = 6xn - 1 - 5xn - 2 , n ≥ 3 ⇔ xn - xn - 1 = 5(xn - 1 - xn - 2) = = 52(xn - 2 - xn - 3) = 53(xn - 3 - xn - 4) =...= 5n - 3(x3 - x 2) = = 5n - 3[(u3 - u 2) - (u2 - u 1)] =5n - 3 ⇒ x3 - x2 = 1 x4 - x 3 = 5 x 5 - x 4 = 52 .................. x n - x n - 1 = 5n - 3 ⇒ xn - x2 = 1 + 5 + 52 +....+ 5n - 3 = 5 n−2 − 1 ,n ≥ 3 4 0,25 0,5 0,5 0,5 x2 = 1 ⇒ xn = 1 + 5 n−2 − 1 5 n−2 3 = + 4 4 4 0,25 Suy ra: u2 - u1 = x2 = 1 5 3 + 4 4 2 3 5 u4 - u3 = x4 = + 4 4 u3 - u2 = x3 = ................................ un - un - 1 = xn = 5 n−2 3 + 4 4 1 3 ( 5 + 52 + ...+ 5n - 2) + (n - 2) = 4 4 n−2 n−2 3 1 5(5 − 1) 1 5(5 − 1) 3n − 2 = . + 1 + (n - 2) = . + ( n ≥ 4) 4 4 4 4 4 4 Do ®ã: un = 1 + C©u 4(2,5 ®iÓm): Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d). Gäi giao ®iÓm cña ( d) vµ (P) lµ O. XÐt ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, ký hiÖu (O, OA). Gäi B' lµ h×nh 0,25 0,25 chiÕu vu«ng gãc cña B trªn (P). §êng th¼ng qua O vµ B' c¾t (O, OA) t¹i A' vµ A" sao cho A" vµ B' cïng phÝa ®èi víi O. Khi ®ã M ∈ d th× MA = MA' = MA". MA + MB bÐ nhÊt khi chØ khi MA' + MB bÐ nhÊt (1) A', B vµ (d) cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. A' vµ B kh¸c phÝa ®èi víi (d). Tõ mét bµi to¸n quen thuéc suy ra M lµ giao ®iÓm cña (d) vµ ®êng th¼ng A'B 0,5 0,5 0,5 0,5 • H×nh vÏ 0,5 (d) B • •O M A' A'' B' A ***Chó ý: Häc sinh cã thÓ gi¶i theo c¸c c¸ch kh¸c, nÕu ®óng cho ®iÓm tèi ®a.  ...sở gd-đt quảng bình đáp án môn toán (không chuyên) kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Năm học : 2005 - 2006 đề thức Câu 1(2,5 điểm): Đặt: u = 2006 x 2004... thuộc mặt phẳng A' B khác phía (d) Từ toán quen thuộc suy M giao điểm (d) đờng thẳng A'B 0,5 0,5 0,5 0,5 Hình vẽ 0,5 (d) B O M A' A'' B' A ***Chú ý: Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối... điểm): Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với (d) Gọi giao điểm ( d) (P) O Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA) Gọi B' hình 0,25 0,25 chiếu vuông góc B (P) Đờng thẳng qua O B' cắt