kú thi chän häc sinh giái líp 11 së gd-®t qu¶ng b×nh N¨m häc : 2005 - 2006 M«n : To¸n (kh«ng chuyªn) ®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2006 x − 2004 + 2006 2005 − x = 1 πx + x 4 ( x ≥ 0) 2 n πx tg +1 4 xtg 2 n C©u 2 ( 2,5 ®iÓm ) : T×m nlim → +∞ C©u 3 ( 2,5 ®iÓm ) : Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh nh sau: u1 = 0 ; u 2 = 1 ; u3 = 3 u n = 7u n−1 − 11u n −2 + 5u n−3 ; T×m sè h¹ng tæng qu¸t un ? n∈ N , n ≥ 4 C©u 4 ( 2,5 ®iÓm ) : Trong kh«ng gian cho ®êng th¼ng d vµ ®o¹n th¼ng AB kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng nµo. T×m ®iÓm M trªn d sao cho MA + MB cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. së gd-®t qu¶ng b×nh ®¸p ¸n m«n to¸n (kh«ng chuyªn) kú thi chän häc sinh giái líp 11 N¨m häc : 2005 - 2006 ®Ò chÝnh thøc C©u 1(2,5 ®iÓm): §Æt: u = 2006 x − 2004 ≥ 0 , v = 2006 2005 − x ≥ 0. Ta cã: u + v = 1 2006 + v 2006 = 1 u 2005 2005 Suy ra: u(1- u ) + v(1 - v ) = 0 (1) Do u ≥ 0, v ≥ 0 vµ u + v = 1 nªn: 0 ≤ u, v ≤ 1 Suy ra: 0 ≤ u2005, v2005 ≤ 1. u (1 − u 2005 ) = 0 ⇔ (1) v (1 − v 2005 ) = 0 u = 0 ∨ u = 1 ⇔ v = 0 ∨ v = 1 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (2) u = 0 ∧ v = 1 Do u + v = 1 nªn (2) ⇔ u = 1 ∧ v = 0 ⇔ x = 2004 ∨ x = 2005. 0,25 0,25 0,25 ------------ C©u 2(2,5 ®iÓm): πx + x 4 ( x ≥ 0) 2 n πx tg +1 4 xtg 2 n §Æt f(x) = lim n→ +∞ πx πx π πx π ⇔ ⇔ − + kπ < ∈ < + kπ 4 4 4 i) 0 tg 4 < 1 - 1 < tg 4 < 1 ,k Z ⇔ - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k ∈ Z. Nhng x ≥ 0 nªn: - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k ∈ N* πx Khi ®ã: lim tg 2 n = 0. Suy ra : f(x) = x 4 x = 1 + 4k , k ∈ Z πx πx πx ii) tg 2 = 1 ⇔ tg = 1 ∨ tg =-1 ⇔ 4 4 4 x = −1 + 4l , l ∈ Z * Nhng x ≥ 0 nªn : x = -1 + 4l, l ∈ N hoÆc x = 1 + 4k, k ∈ N* 1 Khi ®ã hiÓn nhiªn f(x) = ( x + x ) 2 πx πx πx ⇔ iii) tg2 4 > 1 tg 4 < - 1 hoÆc tg 4 > 1 ≤ 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 πx π π − + k π < < − + kπ , k ∈ Z . 2 4 4 ⇔ π + lπ < πx < π + lπ , l ∈ Z 4 4 2 − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ Z ⇔ 1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ Z x 1 1 − + k < < − + k, k ∈ Z. 2 4 4 ⇔ 1 + l < x < 1 + l, l ∈ Z 4 4 2 0,25 − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ N * ⇔ ≥ Nhng x 0 nªn 1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ N πx Khi ®ã: lim tg 2 n = + ∞ nªn: f(x) = x 4 0,25 0,25 ------------ C©u 3(2,5 ®iÓm): Ta cã : un - un - 1 = 6(un - 1 - un - 2 ) - 5(un - 2 - un - 3 ) , n ≥ 4 . §Æt xn = un - un - 1 , n ≥ 2. Suy ra: xn = 6xn - 1 - 5xn - 2 , n ≥ 3 ⇔ xn - xn - 1 = 5(xn - 1 - xn - 2) = = 52(xn - 2 - xn - 3) = 53(xn - 3 - xn - 4) =...= 5n - 3(x3 - x 2) = = 5n - 3[(u3 - u 2) - (u2 - u 1)] =5n - 3 ⇒ x3 - x2 = 1 x4 - x 3 = 5 x 5 - x 4 = 52 .................. x n - x n - 1 = 5n - 3 ⇒ xn - x2 = 1 + 5 + 52 +....+ 5n - 3 = 5 n−2 − 1 ,n ≥ 3 4 0,25 0,5 0,5 0,5 x2 = 1 ⇒ xn = 1 + 5 n−2 − 1 5 n−2 3 = + 4 4 4 0,25 Suy ra: u2 - u1 = x2 = 1 5 3 + 4 4 2 3 5 u4 - u3 = x4 = + 4 4 u3 - u2 = x3 = ................................ un - un - 1 = xn = 5 n−2 3 + 4 4 1 3 ( 5 + 52 + ...+ 5n - 2) + (n - 2) = 4 4 n−2 n−2 3 1 5(5 − 1) 1 5(5 − 1) 3n − 2 = . + 1 + (n - 2) = . + ( n ≥ 4) 4 4 4 4 4 4 Do ®ã: un = 1 + C©u 4(2,5 ®iÓm): Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d). Gäi giao ®iÓm cña ( d) vµ (P) lµ O. XÐt ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, ký hiÖu (O, OA). Gäi B' lµ h×nh 0,25 0,25 chiÕu vu«ng gãc cña B trªn (P). §êng th¼ng qua O vµ B' c¾t (O, OA) t¹i A' vµ A" sao cho A" vµ B' cïng phÝa ®èi víi O. Khi ®ã M ∈ d th× MA = MA' = MA". MA + MB bÐ nhÊt khi chØ khi MA' + MB bÐ nhÊt (1) A', B vµ (d) cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. A' vµ B kh¸c phÝa ®èi víi (d). Tõ mét bµi to¸n quen thuéc suy ra M lµ giao ®iÓm cña (d) vµ ®êng th¼ng A'B 0,5 0,5 0,5 0,5 • H×nh vÏ 0,5 (d) B • •O M A' A'' B' A ***Chó ý: Häc sinh cã thÓ gi¶i theo c¸c c¸ch kh¸c, nÕu ®óng cho ®iÓm tèi ®a. ...sở gd-đt quảng bình đáp án môn toán (không chuyên) kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11 Năm học : 2005 - 2006 đề thức Câu 1(2,5 điểm): Đặt: u = 2006 x 2004... thuộc mặt phẳng A' B khác phía (d) Từ toán quen thuộc suy M giao điểm (d) đờng thẳng A'B 0,5 0,5 0,5 0,5 Hình vẽ 0,5 (d) B O M A' A'' B' A ***Chú ý: Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối... điểm): Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với (d) Gọi giao điểm ( d) (P) O Xét đờng tròn tâm O bán kính OA, ký hiệu (O, OA) Gọi B' hình 0,25 0,25 chiếu vuông góc B (P) Đờng thẳng qua O B' cắt