Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối chuyên năm học 2003 2004 (vòng 2) tỉnh quảng bình

kú thi chän häc sinh giái tØnh M«n : TO¸N - líp 11 chuyªn (vßng 2) N¨m häc : 2003 - 2004 së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 (2,0 ®iÓm): T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè thùc (x; y) tho¶ m·n hÖ thøc : cos 4 x + sin 4 x + 1 1 siny + = 8 + 4 4 2 cos x sin x Bµi 2 (2,5 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x 3 − x 2 + 3 2x 3 − 3x + 1 = 3x + 1 + 3 x 2 + 2 Bµi 3 (2,5 ®iÓm): Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh nh sau : u 1 = 2  u n = 2 + u n − 1 ; n = 2, 3,  un ? T×m nlim →∞ Bµi 4 (3,0 ®iÓm): Cho ba tia Ox, Oy, Oz vu«ng gãc víi nhau tõng ®«i mét. M lµ mét ®iÓm cè ®Þnh ë trong miÒn kh«ng gian giíi h¹n bëi gãc tam diÖn Oxyz. Mét mÆt ph¼ng (P) chuyÓn ®éng lu«n lu«n ®i qua M vµ c¾t Ox, Oy, Oz lÇn lît t¹i A, B, C. X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm A, B, C sao cho tæng c¸c ®é dµi OA + OB + OC cã gi¸ trÞ nhá nhÊt? Hä vµ tªn : ................................................................................ Sè BD : ......................................................................................... kú thi chän häc sinh giái tØnh së gd-®t qu¶ng b×nh M«n : to¸n - líp 11 chuyªn (vßng 2) N¨m häc : 2003 - 2004 §Ò chÝnh thøc ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm yªu cÇu chung * §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. ThÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc. * NÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi. * §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm, nh÷ng ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tuú tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm. * NÕu thÝ sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng h×nh vÏ cña bµi 4 th× cho ®iÓm 0 ®èi víi bµi 4. * §iÓm tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi lµ kÕt qu¶ cña thÝ sinh. néi dung lêi gi¶i ®iÓm cosx ≠ 0 kπ ⇔ x≠ , k∈Z Bµi 1 ( 2,0 ®iÓm) : §iÒu kiÖn :  sinx ≠ 0 2  1 1 siny + = 8+ ⇔ Ta cã : cos 4 x + sin 4 x + 4 4 2 cos x sin x ⇔ ( cos x + sin x ) 2 2 2 ( ) ( 2 − 2sin 2 xcos 2 x + 1 + tg 2 x + 1 + cotg 2 x ) sin 2 2x siny ⇔ ( tg x + cotg x ) + 2(tg x + cotg x) = 7 + + 2 2 2 2 NhËn xÐt : tg x + cotg x ≥ 2tgxcotgx = 2 2 2 2 2 sin2x ≤ 1 , 2 siny ≤ 1 Do ®ã : VT (1) ≥ 8 cßn VP (1) ≤ 8 VËy, hÖ thøc ®· cho tho¶ m·n khi vµ khi: 2 0,25 = 8+ (1) siny 2 ⇔ 0,25 0,25 0,25 0,25 tg 2 x + cotg 2 x = 2 ( tgx − cotgx ) 2 = 0  2  ⇔ sin2x = ±1 ⇔ sin 2x = 1 siny = 1 siny = 1   π π  x = + k  π π 4 2   x = + k  π π  4 2 ; k, m ∈ Z ⇔ x = + l ; k, l, m ∈ Z ⇔ 4 2   y = π + 2mπ  π  2 y = + 2mπ  2  Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm) : Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : 2x 3 − 3x + 3 2x 3 − 3x + 1 = XÐt hµm sè : f(t) = t + 3 t + 1 ( x2 +1+ 3 x2 + 2 (1) trªn R. Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: ) ( ) ` f 2x 3 − 3x = f x 2 + 1 Ta chøng minh hµm sè f(t) ®ång biÕn trªn R. ThËt vËy : Víi t1, t2 ∈ R sao cho t1 < t2 , th× : f(t 1 ) − f(t 2 ) = (t 1 − t 2 ) + 3 t 1 + 1 − 3 t 2 + 1 < 0 ⇒ f(t 1 ) < f(t 2 ) Theo tÝnh chÊt cña hµm sè ®ång biÕn, ta cã : 2x3 - 3x = x2 + 1 ⇔ 2x3 - x2 -3x - 1 = 0 ⇔ 1  x = − 1  1 2  ⇔  x +  2x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔  2 1± 5   x =  2,3 2 KÕt luËn : Ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm : 1 x1 = − 2 ( ) ( ) x 2,3 Bµi 3 ( 2,5 ®iÓm) : Ta chøng minh: + Víi n = 1 : u 2 = 1± 5 = 2 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 un+1 > un , ∀n ∈ N * (*) b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p. 2 + u1 = 2+ 2 > 2 = u1 ⇒ (*) ®óng ! + Gi¶ sö mÖnh ®Ò (*) ®óng víi n = k > 1. Tøc lµ : uk+1 > uk , ∀k ≥ 1, k ∈ N 0,25 0,25 Khi ®ã : u k + 2 = 2 + u k +1 ⇒ u k +2 > 2 + u k = u k +1 (do uk+1 > uk ) Hay : uk+2 > uk+1 VËy, un+1 > un , ∀n ∈ N * B©y giê ta chøng minh : un < 2 , ∀n ∈ N * còng b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p. Râ rµng : u 1 = 21 < 2 ®óng ! 0,25 0,25 Gi¶ sö: u k < 2 ; ∀k ≥ 1, k ∈ N . Ta cã : u k +! = 2 + u k < 2 + 2 = 2 0,25 KÕt luËn : un < 2 , ∀n ∈ N * . Chøng tá d·y (un) ®¬n ®iÖu t¨ng vµ bÞ chÆn trªn bëi 2 , nªn tån t¹i giíi h¹n lim u n = a > 2 . n →∞ Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y ®· cho, ta cã : lim u n +1 = lim u n ⇔ a = 2 + a ⇔ n →∞ n →∞ a2 − a − 2 = 0 ⇔ ⇔ a = 2 hoÆc a = - 1 . Lo¹i nghiÖm a = - 1. L = lim u n = 2 KÕt luËn : n →∞ Bµi 4 ( 3,0 ®iÓm) : 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 H×nh vÏ : 0,25 O H A C z a M I x B y Gäi a, b, c lÇn lît lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn c¸c mÆt ph¼ng (Oyz), (Ozx), (Oxy) Ta cã : a, b, c lµ c¸c ®é dµi kh«ng ®æi. 0,25 Tríc hÕt, ta chøng minh : a b c + + =1 OA OB OC Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn mÆt ph¼ng (Oyz), I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BC. Ta cã : H ∈ mp(OIA) vµ AO // MH Do ®ã, H lµ ®iÓm chung cña c¸c mÆt ph¼ng (Oyz) vµ (OIA) nªn H n»m trªn giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ®ã,. VËy, O, H, I th¼ng hµng. 0,25 a MI SΔMBC = = Ta cã : . T¬ng tù : 0,25 OA AI SΔABC S S b c = ΔMCA = ΔMAB ; 0,25 OB SΔABC OC SΔABC Do ®ã : S + SΔMCA + SΔMAB a b c + + = ΔMBC OA OB OC SΔABC = 1 0,25 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki : 2  b c  a b c   a  + + + OB. + OC .  (OA + OB + OC) ≥  OA .  OA OB OC OA OB OC     ⇔ OA + OB + OC ≥ ( a+ b+ c ) VËy, OA + OB + OC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 ( a+ b+ c a b c = = OA OB OC a b c a b = = ⇒ OA = ; OB = §Æt : t = OA OB OC t t ( Thay vµo biÓu thøc OA + OB + OC = a + b + c 1 = a+ b+ c t OA = a a + b + c  Do ®ã : OB = b a + b + c  OC = c a + b + c ( ( ( KÕt luËn : min(OA + OB + OC) = cña A, B, C tho¶ m·n : ( ) ) ) ) 2 ) 2 ) 0,25 2 khi vµ khi : 0,25 ; OC = c t 0,25 ta ®îc : a + b + c , ®¹t ®îc khi c¸c vÞ trÝ 0,25 0,25 ( ( ( OA = a a + b + c  OB = b a + b + c  OC = c a + b + c ) ) ) 0,25  ...kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh sở gd-đt quảng bình Môn : toán - lớp 11 chuyên (vòng 2) Năm học : 2003 - 2004 Đề thức đáp án, hớng dẫn chấm yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Thí sinh. .. cho Thí sinh giải cách khác đáp án nhng cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm Trong làm thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc * Nếu thí sinh giải sai bớc trớc cho điểm... thống để chiết thành 0,25 điểm * Nếu thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai nghiêm trọng hình vẽ cho điểm * Điểm tổng (không làm tròn số) điểm tất kết thí sinh nội dung lời giải điểm cosx k x ,