Tổng hợp đề thi của đội tuyển HSG toán nam định

Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2009 − 2010 Mơn: Tốn − Ngày thứ Thời gian làm bài: 180 phút ðỀ CHÍNH THỨC Bài (4 ñiểm): Cho a, b, c số nguyên dương ñôi phân biệt, thỏa mãn ñiều kiện: ab + bc + ca ≥ 3k − Chứng minh rằng: (k ∈ ℝ) a + b3 + c − abc ≥ 3k Bài (4 ñiểm): Giả sử ( an )n≥1 dãy tăng số nguyên dương thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện: i) a2 n = an + n ∀n ≥ ii) an số nguyên tố n số nguyên tố Chứng minh an = n ∀n ≥ Bài (4 ñiểm): Cho số nguyên k ña thức p ( x) = x 2010 + x 2009 + x + 12kx − 12k + a) Chứng minh p ( x ) khơng có nghiệm nguyên b) Tìm ước số chung lớn p (n) p (n) + với n số nguyên dương cho trước Bài (4 ñiểm): Trên cạnh BC tam giác ABC lấy ñiểm P Qua P kẻ ñường thẳng song song với cạnh AC, AB cắt AB, AC tương ứng R, Q Chứng minh ñiểm P thay ñổi cạnh BC đường trịn ngoại tiếp tam giác ARQ ln ñi qua ñiểm cố ñịnh khác A Bài (4 ñiểm): Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz, ñiểm M(x;y;z) ñược gọi ñiểm nguyên x;y;z ñều số ngun Giả sử khơng gian cho 37 điểm ngun khơng có điểm thẳng hàng Tồn hay khơng tam giác (có ba đỉnh số điểm cho) có trọng tâm điểm ngun? Giải thích HẾT Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2009 − 2010 Mơn: Tốn − Ngày thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút Bài (4 điểm) Tìm tất số nguyên dương x;y;z thỏa mãn: 2010 2010 2010 + + số nguyên dương x+ y y+z z+x Bài (4 ñiểm) Cho số thực a,b,c thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện: i) a≤b≤c ii) a + b + c = iii) ab + bc + ca = Chứng minh rằng: ≤ a ≤ ≤ b ≤1≤ c ≤ 3 Bài (4 ñiểm): Cho Ω = {1; 2;3; ; 2009} tập 2009 số nguyên dương ñầu tiên Có ánh xạ f : Ω → Ω thỏa mãn ñiều kiện: f ( f (k ) ) = ( f (k ) ) − f (k ) + với k ∈ Ω Bài (5 ñiểm) Giả sử M trọng tâm tam giác ABC thỏa mãn ∠AMB = 2∠ACB Chứng minh rằng: a) AB = AC + BC − AC ⋅ BC b) ∠ACB ≥ 600 Bài (3 điểm) Cho phương trình: x + ( x + 1) = y (x;y ẩn số) (*) Chứng minh phương trình (*) có vơ hạn nghiệm ngun dương HẾT ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 1) Thời gian: 120 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu Tìm tất cặp số khơng âm (a, b) cho 3a + 7b số phương Câu Cho dãy số ( xn ) n≥1 ñược xác ñịnh bởi: x1 = 2008 , xn +1 = 2009 xn + 2009 ∀n ∈ ℕ* 2010 xn Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Tìm lim xn n →∞ Câu Cho tam giác ABC; ñường phân giác AA1 ( A1 ∈ BC ) Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng AA1 Lấy ñiểm P ∈ BM Q ∈ CM cho ∠APC = ∠AQB = 900 Chứng minh ñiểm A1 , P, M , Q nằm đường trịn Câu Cho P ( x ) đa thức bậc chẵn có hệ số nguyên, hệ số hạng tử cao Giả sử tồn vô số số nguyên dương k cho P(k ) số phương Chứng minh tồn ña thức Q ( x ) với hệ số nguyên thỏa mãn P( x) = ( Q( x) ) với x ∈ ℝ Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + ab + b 2 + b + bc + c 2 + c + ca + a 2 ≥ 4+ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 2) Thời gian: 180 phút Câu Giải phương trình: x + x − + − x − x − x + 19 = Câu Cho đường trịn (O1; r) tiếp xúc với đường trịn (O2) S Một dây cung AB (O2) tiếp xúc với (O1) C Gọi M điểm cung AB khơng chứa S; N trung ñiểm ñoạn AB Chứng minh AC ⋅ BC = 2r ⋅ MN Câu Tìm tất hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn ñiều kiện:  x2 + y2  f ( xy ) = f   + ( x − y ) với x, y ∈ ℝ   Câu Giả sử a1 , a2 , , a100 số thực thỏa mãn: i) a1 ≥ a2 ≥ ⋯ ≥ a100 ≥ ; ii) a12 + a2 ≥ 100 ; iii) a32 + a4 + ⋯ + a100 ≥ 100 Tìm GTNN tổng S = a1 + a2 + ⋯ + a100 Câu Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho ( n − n + 1) chia hết cho mn − Câu Với số nguyên dương n ≥ , kí hiệu f (n) số hoán vị (a1 , a2 ,… , an ) tập hợp {1; 2;… n} thỏa mãn ñiều kiện a1 = , − +1 ≤ với i ∈ {1; 2;… ; n − 1} Chứng minh f (2006) chia hết cho ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 3) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu Giải hệ phương trình:  x ( x + 1) = 2( y − x) +   y ( y + 1) = 2( z − y ) +  z ( z + 1) = 2( x3 − z ) +  Câu Tìm tất hàm f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn ñiều kiện: xf ( xf ( y ) ) = f ( f ( y ) ) với x, y ∈ ℝ + Câu Cho dãy số ( xn ) với < x0 < x1 thỏa mãn: ( ) ( + xn + xn −1 xn +1 = + xn −1 + xn xn +1 ) Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Tìm lim xn n →+∞ Câu Cho tam giác ABC M trung ñiểm BC N chân ñường phân giác góc BAC ðường thẳng vng góc với NA N cắt AB, AM P, Q tương ứng Gọi I giao điểm AN đường thẳng vng góc với AB P Chứng minh IQ vng góc với BC Câu Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) cho x + y chia hết cho xy − Câu Chia hình trịn tâm O thành n hình quạt khơng n bán kính Hỏi có cách tơ quạt cho quạt tơ màu xanh, đỏ, tím, vàng khơng có quạt kề tơ màu ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 5) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu Giải hệ phương trình:  12 − x = + y   − y − y = − x n Câu Xét phương trình ∑k k =1 1 = x −1 (1) a) Chứng minh với số ngun dương n, phương trình có nghiệm lớn 1, kí hiệu nghiệm xn b) Tìm lim xn n →+∞ Câu Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với số thực dương a, b, c : a 2b + b c + c a a + b + c + ≥ ( a + b3 + c3 ) ab + bc + ca Câu Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC AD khơng song song với BC Các ñiểm E, F chuyển ñộng ñoạn BC, AD tương ứng cho BE = DF ðặt P = AC ∩ BD; Q = EF ∩ BD; R = EF ∩ AC Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR di chuyển đường cố định Câu Tìm tất cặp số nguyên dương (m, n) cho 3m + 3n + ñều chia hết cho mn Câu Giả sử (a1 , a2 ,… , a2010 ) hoán vị {1, 2,… , 2010} thỏa mãn a1 = 2009 ∑ a −a i =1 i i +1 = 2019045 Tìm tất giá trị có a2010 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 6) Thời gian: 180 phút Câu Cho hai dãy số ( xn ) , ( yn ) ñược xác ñịnh bởi: x1 = y1 = , xn+1 = xn + + xn2 , yn+1 = yn 1+ 1+ y n với n ∈ ℕ* a) Tìm lim yn n →+∞ b) Chứng minh < xn yn < với n ∈ ℕ, n ≥ Câu Giả sử a1 , a2 ,… , a1999 số thực không âm thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện: i a1 + a2 + … + a1999 = ; ii a1a2 + a2 a3 + … a1998 a1999 + a1999 a1 = Tìm GTLN GTNN biểu thức S = a12 + a22 +… a1999 Câu Tìm tất hàm f : ℝ → ℝ thỏa mãn: f ( f ( x) − y ) = f ( x) + f ( f ( y ) − f (− x) ) + x với x, y ∈ ℝ Câu Cho tam giác ABC có AB < AC ðiểm M tia BA cho BM = AC ðiểm N tia CA cho CN = AB Gọi P giao ñiểm MN với ñường trung trực BC Chứng minh ∠ BPC + ∠ BAC = 180o Câu Tìm tất cặp số nguyên tố p cho p −1 − số phương p Câu Tìm tất số nguyên dương n cho n ! + chia hết cho 2n + ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 7) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ 1 1 1 a+ + b+ + c+ + b c a Câu Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + = y3 Câu Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn x1 > , xn +1 = xn + với n ∈ ℕ* n +1 Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Câu Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác ABC ðường thẳng AH cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC K khác A Các ñường thẳng OK BC cắt P ðiểm Q ñối xứng với P qua trung ñiểm OH Các ñường thẳng AQ BC cắt R Chứng minh rằng: BP = CR Câu Cho số nguyên a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: an +1 + bn +1 + cn +1 chia hết cho a + b + c với số nguyên dương n Câu Tìm tất đa thức f ( x) với hệ số thực cho: f ( x) f (2 x − 1) = f ( x ) f (2 x − 1) với x ∈ ℝ ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 8) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu Giải hệ phương trình:  x − y2 = z −1    y − z = x −1   z − x = y − Câu Cho số thực a, b, c ∈ [1; 2] Chứng minh rằng: b c  1 1  a (a + b + c)  + +  ≥  + +  a b c b+c c+a a+b  Câu Cho hàm số f ( x) = x − 2010 x − Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình ( ) f f (… ( f ( x) )…) = ( n lần f ) có nghiệm thực Câu Cho hình thang ABCD (AB || CD) Gọi O giao ñiểm AC BD Gọi M, N giao ñiểm đường trịn đường kính AD, BC Chứng minh O nằm đường thẳng MN Câu Tìm số nguyên a ≥ nhỏ cho tồn số nguyên b ≥ số nguyên tố p thỏa mãn ap − a = b2 p Câu Cho số nguyên dương n cho p = 4n + số nguyên tố Chứng minh rằng: p2 −1   kp = ∑   12 k =1 n [x] số ngun lớn không vượt x ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 9) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu (3 ñiểm) Giải hệ phương trình:  x3 + xy = 49  2  x + xy + y = y + 17 x Câu (2 ñiểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = yz −3 Chứng minh x ≤ ( y + z) 3x Câu (4 ñiểm) Giả sử a số thực Xét dãy ( xn ) ñược xác ñịnh bởi: x1 = a , xn+1 = xn3 − xn2 + xn với n ∈ ℕ* Tìm a để dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Câu (5 điểm) Cho đường trịn (O) dây cung AB khơng phải đường kính đường trịn ðiểm C thay đổi cung AB lớn (O) Lấy ñiểm E ñối xứng với A qua BC, ñiểm F ñối xứng với B qua AC Gọi M, N theo thứ tự trung ñiểm ñoạn thẳng EF, AB Chứng minh ñộ dài ñoạn thẳng MN số không ñổi C thay ñổi cung AB lớn (O) Câu (3 ñiểm) Cho số nguyên a, b, c khác có tổng 1) Chứng minh (ab)5 + (bc)5 + (ca )5 chia hết cho (ab) + (bc) + (ca ) 2) Chứng minh a n + b n + c n chia hết cho a + b + c với số nguyên dương n chia cho dư 3) Chứng minh (ab) n + (bc) n + (ca ) n chia hết cho (ab) + (bc) + (ca ) với số nguyên dương n chia cho dư Câu (3 ñiểm) Cho số nguyên dương k , n thỏa mãn n ≥ k > n ! Chứng minh tồn số nguyên tố p1 , p2 ,… , pn khác đơi một, ước số số k + 1, k + 2,… , k + n ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 10) Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x3 + x − 18 = y + y  3 2 y + y − 18 = z + z 2 z + z − 18 = x3 + x  Câu (2 điểm) Cho số thực khơng âm a, b có tích khơng nhỏ Chứng minh rằng: 1+ a2 + 1 + b2 ≥ + ab Câu (4 ñiểm) Cho dãy số ( xn ) ñược xác ñịnh bởi: x1 = , xn+1 = xn n với n ∈ ℕ* + n xn  x  a Tìm lim  n  n →+∞  n b Tính [x2010 ] Câu (5 điểm) Cho đường trịn (O;R) đường thẳng d khơng có ñiểm chung với (O) Gọi E hình chiếu O d ðiểm M thay ñổi d (M khác E) Các tiếp tuyến kẻ từ M ñến (O) tiếp xúc với (O) A, B Gọi C, D hình chiếu E MA, MB Chứng minh đường thẳng CD ln qua điểm cố định Câu (3 điểm) Tìm tất bốn số nguyên dương (a, b, c, d ) thỏa mãn 2a = 3b5c + d Câu (3 ñiểm) Trong ñại hội tốn học có 2001 người, người số họ bắt tay với 1600 người khác Tìm giá trị lớn n cho tồn n người mà n người bắt tay  ...Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2009 − 2010 Mơn: Tốn − Ngày thứ hai Thời... (x;y ẩn số) (*) Chứng minh phương trình (*) có vơ hạn nghiệm ngun dương HẾT ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 1) Thời gian: 120 phút TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ***... b + bc + c 2 + c + ca + a 2 ≥ 4+ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG *** ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010 (ðỀ SỐ 2) Thời gian: 180 phút Câu Giải phương trình: x + x − + − x −