Chương II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓAI.
Trang 1Chương II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
I. Dấu hiệu nhận biết để vận dụng phương pháp lượng giác hóa
Để lượng giác hóa các hàm đại số, ta ghi nhớ các dấu hiệu sau:
1 Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt:
sin
cos
x
y
α α
=
=
2 Nếu trong bài toán có biểu thức:
2
a −
thi có thể đặt:
sin
x= a α
hoặc
cos
x= a α
3 Nếu trong bài toán có biểu thức:
2
a +
hoặc
2
a + thì đặt: x a= tanα
hoặc x a= cotα
Trong một số bài toán thì các dấu hiệu này không xuất hiện ngay từ đầu, người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất hiện các dấu hiệu đó
Các biểu thức thường được lượng giác hóa
Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức
a −x
sin
với
,
2 2
π π
α ∈ −
hoặc cos
với
0, 2
π
α ∈
x −a
sin
a x
α
=
với
{ }
, \ 0
2 2
π π
α ∈ −
hoặc cos
a x
α
=
với
[ ]0, \
2
π
Trang 22 2
với
,
2 2
π π
α ∈ − ÷
hoặc cot
với
(0, )
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
− + x a= cos 2α
(x a b x− ) ( − ) x a= + −(b a)sin 2 α
1
a b
ab
+
−
tan tan
a b
α β
=
=
, với
2 2
π π
α β ∈ − ÷
B Một số bài tập ví dụ
Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy 2 y
2
1
) x xy
6
(
2
2
+ +
+
=
với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức
1 y
x2 + 2 =
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Nhận xét và lời giải:
Hệ thức
1 y
x2 + 2 =
giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
sin α +cos α =1
Vì vậy, ta đặt:
sin ; cos
x= α y= α Dưới hình thức lượng giác, ta có:
2 2
2(6sin cos sin )
1 2cos 2sin cos
+
=
6sin 2 cos2 1
sin 2 cos 2 2
=
(*) Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:
Trang 3(P−6 sin 2) α +( P+1 cos2) α = −1 2P
(**) Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:
( ) (2 ) (2 )2
2
P
⇔ − ≤ ≤
Vậy, MinP= −6;MaxP=3
Bài toán 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
5 x
2
y
P= − +
với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:
9 y 16 x
36 2 + 2 =
Nhận xét và lời giải:
Biến đổi
9 y 16 x
36 2 + 2 =
về dạng:
1 3
y 4 3
x
6 2 2 =
+
Ta nghĩ đến việt đặt:
x
x y
y
Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P =
3 sin cos 5
4 α − α +
Sử dụng bất đẳng thức:
Ta suy ra: maxP = 4
25 1 16
9
5+ + =
55 1 16
9
5− + =
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Trang 42 2
2
y x
xy 4 y 3
P
+
−
=
Nhận xét và lời giải:
Biến đổi hàm P về dạng:
+
+
−
+
2
2
y
y x
x 4
y x
y 3
P
và chú ý rằng:
1 y
x
x y
x
2 2
2
2
+
+
+
nên ta đặt:
Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là:
3sin 4sin cos 2sin 2 cos2
Áp dụng bất đẳng thức:
Ta được: maxP = 4
minP = -1
Bài 4:
Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y 1
y x
1
x P
−
+
−
=
Nhận xét và lời giải:
Với x, y > 0 và x + y = 1 nên ta đặt:
2 2
sin
cos
x
y
α α
=
=
< < π
2 u 0
Trang 5Lúc đó, P =
sin cos sin cos cos sin sin cos
+
Đặt
4
t= α α = u+π ≤ ≤t
thì 1
t
t 3 t ) t (
f
3
−
−
−
=
=
3 t )
t
(
'
2
4
<
−
+
−
=
Nên f(t) nghịch biến trên [1; 2] Vậy:
2 ) 2 ( f P
Bài 5:
Tìm a và b sao cho hàm số:
1 x
b ax
+
+
=
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1
Nhận xét và lời giải:
Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có thể lượng giác hóa bằng cách đặt: x = tanα
Khi đó, hàm số y trở thành:
α +
α α
= α +
+ α
2 asin cos bcos tan
1
b tan a
y
2
b 2 cos 2
b 2 sin 2
a
Áp dụng công thức:
Ta được:
2 2
2
1 2 b
Trang 62 2
2
1
2
b
Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:
=
−
∨
=
=
⇔
−
= +
−
= + +
3 b
4 a 3
b
4
a
1 b
a
2
1
2
b
4 b a
2
1
2
b
2 2
2 2
Bài 6:
Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz và x, y, z 3
3
≠
Tính : P =
2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
z 3 1
z z 3 y 3 1
y y 3 x 3 1
x x 3 z 3 1
z z 3 y 3 1
y y 3 x 3 1
x x
3
−
−
−
−
−
−
−
−
− +
−
− +
−
−
Nhận xét và lời giải:
Cấu tạo của các đại lượng, các thành phần tham gia trong biểu thức cần tính giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
3 2
tan3
1 3tan
α
−
(1)
Vì thế ta đặt:
tan ; tan ; tan
x= α y = β z= λ
Khi đó: P trở thành:
tan 3 tan 3 tan 3 tan 3 tan 3 tan3
Mặt khác, ta có:
tan tan tan tan tan tan
1 tan tan tan tan tan tan
α β λ
(2) Theo công thức lượng giác ta có
tan tan tanα β λ =tanα +tanβ +tanλ
Trang 7Từ (2), ta suy ra:
tan(α β λ+ + ) 0=
Từ (1), ta suy ra: tan 3( α +3β +3λ) =0
và từ (2), ta suy ra: P=tan 3α +tan 3β +tan 3λ−tan 3 tan 3 tan3α β λ=0
Bài 7:
Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
(1 x2)(1 y2)
xy 1
y
x
P
+ +
− +
=
Nhận xét và lời giải:
Từ điều kiện x, y ∈R
và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 , ta đặt:
tan tan
x
y
α β
=
=
Lúc đó, P trở thành:
tan tan 1 tan tan
1 tan 1 tan
=
sin( ) sin sin
cos cos cos cos
sin cos
1
sin 2 2
2
+
Suy ra: maxP = 2
1 và minP = -2
1
Bài 8:
Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện:
Trang 8abc + a + c = b
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
3 b
1
2 a
1
2
P
+
+ +
−
+
=
Nhận xét và lời giải:
Chúng ta lại gặp các biểu thức dạng: 1 + x2, qua đó ta nghĩ đến việc viết lại giả thiết thành:
ac
1
c
a
b
−
+
=
(giống hình thức của công thức: 1 tanx.tany
y tan x tan )
y x tan(
−
+
= +
)
Cho nên ta đặt: a = tanx, c = tany
< < π
2 y , x 0
thi b = tan(x + y) và ta
3 )
y x ( tan 1
2 x
tan 1
2
+
+ + +
− +
=
y cos 3 ) y x ( cos 2 x
cos
=
= cos2x – cos(2x + 2y) + 3cos2y
= 2sin(2x + y).siny + 3 – 3sin2y
=
) y x 2 ( sin 3
1 3 ) y x 2 ( sin 3
1 y sin ) y x 2 sin(
2 y
sin
−
=
) y x 2 ( sin 3
1 3 ) y x 2 sin(
3
1 y
sin
2
+ +
+
−
3
10 3
1
3+ =
≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
=
=
+
⇔
= +
= +
−
3
1 y sin
1 ) y x 2 sin(
1 )
y
x
2
sin(
0 ) y x 2 sin(
3
1 y
sin
3
Trang 9(k Z)
3
1 arcsin
y
k 3
1 arcsin 2
1 4
x
∈
=
π +
−
π
=
Vậy giá trị lớn nhất của P là: 3
10
C bài tập bổ sung
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xy 2 x 2 1
) y xy ( 2
2
+ +
+
= với diều kiện
1 y
x2 + 2 =
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 2(x3 + y3) – 3xy với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện
1 y
x2 + 2 =
(Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008)
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
x 1 y y 1
với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện
1 y
x2 + 2 =
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
2
y
9
Bài 5 Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) (2 )2
y 1 x
1
xy 1
y
x
P
+ +
−
−
=
(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)
Trang 10Bài 6 Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số:
2 2 2
2
y 1 x 1
y x 1 y x P
+ +
−
−
=
Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4
x 1
x 1 y
+
+
=
Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + u, biết rằng x, y, u, v
thỏa mãn điều kiện:
≥
+
=
+
=
+
3 5
yu
xv
25
v
u
3
y
x
2
2
2
2
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987)