Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong vật lý thống kê

- Đưa ra được các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tưởng,đưa ra được các hàm phân bố từ đó tính được năng lượng và một số đại lượng nhiệt động của khí lý tưởng.- Đưa ra được các phân b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su' PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hưóng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô

PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm

của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè nhũng người đã luôn giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp

Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên được làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trinh thực hiện khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xỉn chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phưong

LỜI CAM ĐOAN

Đây là công trình khoa học của riêng em dưới sự hướng dẫn của cô PGS.TS

Lưu Thị Kim Thanh Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong yật lý thống kê khí lý tưởng” được hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt

động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn

Hà Nội, tháng 5 nẵm 2015

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Bích Phưong

MỤC LỤC

A PHÀN MỞ Đ À U 1

1 Lí do chọn đề t à i 1

2 Mục đích, nhiệm vụ của đề tài 1

3 Đối tượng nghiên c ứ u 2

4 Phạm vi nghiên c ú n 2

5 Phương pháp nghiên c ú n 2

B.NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIÊN 3

1.1 Mô hình về khí lý tư ở n g 3

1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng 3

1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng 4

1.1.3 Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực 7

1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển 8

1.3 Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cổ điển 17

1.3.1 Năng lượng tự d o 22

1.3.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng 22

1.3.3 Biểu thức entropi của khí lý tưởng 23

1.3.4 Biểu thức nội năng và nhiệt dung Cy của khí lý tưởng đơn nguyên tử 23

Kết luận chương 1 24

CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG T Ử 25

2.1 Khí Boltzmann 25

2.1.1 Phân boBoltzmann 25

2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử 25

2.2 Khí lý tưởng Fermi và Bose 33

2.2.1 Khí lý tưởng Fermi 33

2.2.2 Khí lý tưởng B ose 33

2.2.3 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và B o se 34

2.3 Khí electron tự do trong kimloại 37

2.4 Photon: Những bức xạ cân bằng 42

Kết luận chương 2 44

CHƯƠNG 3: MỘT SÓ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG 45

3.1 Bài tập về khí lý tưởng cổ điển 45

3.2 Bài tập về khí lý tưởng lượng tử 48

Ket luận chương 3 54

c KẾT LUẬN 55

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

A PHẦN MỞ ĐÀU

1.Lí do chọn đề tài

Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật

lý Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật

lý Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định Dựa trên một mô hình vật lý tưởng tượng , các nhà vật lý lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học

đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm

cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn Đe biết được cấu tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích được nhung tính chất vĩ

mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cún các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất Muốn nghiên cún được chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cún các trạng thái có tính chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn Các trạng thái rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn giản hơn cả, nhưng để đơn giản hơn người ta đã đưa ra mô hình khí lý tưởng Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí thực, chất lỏng, chất rắn

Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác Như vậy việc tìm hiểu về khí lý tưởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết Vì vậy em

chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong yật lý thống kê ”.

2 Mục đích, nhiệm yụ của đề tài

- Nắm được các khái niệm về khí lý tưởng

- Đưa ra được các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tưởng,đưa ra được các hàm phân bố từ đó tính được năng lượng và một số đại lượng nhiệt động của khí lý tưởng.

- Đưa ra được các phân bố thống kê về khí lý tưởng: Khí Fermi, khí Bose,

từ đó được năng lượng và nhiệt dung của các khối khí đó

- Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tưởng

3 Đối tượng nghiên cứu

Các hàm phân bố thống kê

4 Phạm vi nghiên cứu

Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tưởng

5 Phưong pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cún vật lí lý thuyết.Đọc và tra cún tài liệu

- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và phương pháp toán trong vật lý

B.NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIẺM CỎ ĐIỂN

1.1 Mô hình về khí lý tưỏng

1.1.1 Khái niệm kh í lý tưởng

Đe vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của chất khí Trước hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những yếu tố thứ yếu không ảnh hưởng rõ rệt đến tính chất của chất khí Xuất phát từ quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm nhũng đặc điểm cơ bản của chất khí gọi là mẫu khí lý tưởng [5]

- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn phân tử,

có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân

tử chuyển động hỗn loạn không ngừng

- Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai

va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyến động tự do nghĩa là chuyển động thắng đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi

Ớ đây chúng ta chỉ xét khí lý tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lun hoặc chênh lệch do

áp suất

Nhờ mẫu khí lý tưởng này bằng việc đon giản hóa sự chuyển động của các phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lượng giữa các đại lượng đặc trưng cho tính chất của chất khí như: Áp suất, nhiệt độ, phương trình trạng thái, các hiện tượng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma sát, nhưng nhờ những kết quả thu được dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần đúng và chỉ phản ánh được những nét cơ bản nhất của chất khí Khi ở nhiệt độ

thấp và áp suất cao mẫu khí lý tưởng không dùng được cho việc tính toán trên vì lúc này phải xét đến lực tương tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay nguyên tử ) có ảnh hưởng đáng kể trong các tính chất của khí.

1.1.2 Phương trình trạng thái của kh í lý tưởng

Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích được gọi là các thông số trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau Theo tiên đề 3 của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ) Phương trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích của một khối khí xác định gọi là phương trình trạng thái có dạng tổng quát sau:

Với M là khối lượng của chất khí

là khối lượng của 1 mol khối khí

N ữ là số Avogradro N 0 = 6,02.1026 kmol’ 1

=> Phương trình trạng thái của khí lý tưởng

p V = — N 0k T = — R T (1.1)

Đây là phương trình Clapâyrôn - Menđelêep

Trong đó R = N0k = 6,02.1 o26.1,38.10"23 = 8,31.1 o3 J/ kmol.độ là hằng số

khí

* Đối với lkmol khí thì phương trình trạng thái có dạng

pVo = RT

Trong đó Vo là thể tích của 1 kmol khí

Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta có thể dễ dàng suy ra các định luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tưởng Sau khi

so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu được do thực nghiệm ta thấy hai kết quả này trùng nhau

- Định luật Bôilơ - Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý tưởng ) nêu lên mối tương quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí xác định Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const được gọi là phương trình đẳng nhiệt

+ Định luật Bôilơ - Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với

đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thường trong phòng và chịu áp suất không khác xa với áp suất khí quyến lắm Ớ áp suất cao của chất khí ít chịu nén hơn so với định luật Bôilơ - Mariốt Khi áp suất tăng các kết quả thu được từ thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ - Mariốt được thành lập trên cơ sở tính toán định lượng theo thuyết động học phân tử của khí lý tưởng, nghĩa là không xét đến sự tương tác giữa các phân tử , nhưng ở áp suất cao thì không thể không chú ý đến ảnh hưởng của sự tương tác này

Gọi P0 là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0°C ( T=273°K ) Khi biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T

Tl _/l p = P o „ = Po T _ p „ ơ + 2 7 3 )

Ta có 7— = => J = -

= > p = p 0 ( \ + ccp t ) Trong đó a p = — gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí

- Định luật Gay - Luytxac xét trường họp áp suất của một khối lượng khí cho trước được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa thể tích và nhiệt độ

Định luật Sác lơ và định luật Gay - Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng như định luật Bôi lơ - Mariốt

- Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn họp khí

Giả sử trong một bình thế tích V có chứa một hỗn hợp gồm N1, N2, N3 là

số phân tử của các khí thành phần tương ứng của hỗn họp

Phương trình trạng thái : pV = ( Ni+N2+N3+ )kT

Trong đó N1+N2+N3+ = N là tổng số phân tử khí trong bình

Với pi , p2, p3 , là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của hỗn họp

Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các

áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn họp

Vì định luật này được thiết lập dựa vào phương trình trạng thái của khí lý tưởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn họp khí thực Trong khí lý tưởng giữa các phân tử không còn tương tác, các phân từ “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác

Như vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tưởng để thành lập các định luật quy định tính chất của k h í Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tưởng là chất khí tuân theo chính xác các định luật Bôilơ - Mariốt

1.1.3 Mối liên hệ giữa kh ỉ lý tưởng với k h í thực.

Phương trình trạng thái khí lý tưởng có dạng:

p v 2 2 —

p - £— = - e,

Trong đó €đ là mật độ động năng trung bình

Việc so sánh phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đưa vào đối với khí lý tưởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối

là thước đo động năng trung bình của h ạ t)

Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tưởng khi chúng càng loãng Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem như khí lý tưởng Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân tử

Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tưởng, các phân tử thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tương tác với nhau không chỉ là do va chạm trục tiếp , thế tương tác của chúng có dạng rất phức tạp

Ở trường hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của khí lý tưởng không phải là căn bản.Ví dụ như: ở nhiệt độ không quá ca ova chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tương tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể Trong trường họp đó khí thực có tính chất như khí lý tưởng

Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tưởng mà ta khảo sát Các khí thực

sẽ không còn tuân theo phương trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo các phương trình trạng thái khác

1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cồ điển.

Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thường được giới hạn xét các hệ hạt

có số hạt rất lớn và bỏ qua tương tác giữa các hạt với nhau, xem chúng như các hạt tự do Như vậy chúng ta có thế coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các

“khí lý tưởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê Đe tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ Cơ sở của phương pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương ứng với các hệ

đã cho

Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại được các phương trình trạng thái và các đại lượng nhiệt động học như: Entropy, nhiệt dung đẳng tích , của khí lý tưởng.

Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta) Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhưng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều [3]

Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là Cl và hệ điều nhiệt là с 2 có các số hạt tương ứng là X] và x 2, đồng thời N ] » N2

Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với

hệ chung đó ta có phân bố chính tắc

a* X l, X 2) = - ± - S { E - H ( X l, X 2)} (1.2)

ÍÌ(E)

Trong đó H(XbX2) = H(X,) + H(X2) + Ư12(X, x 2) (1.3)Ui2(Xi x 2) là năng lượng tương tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể

Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khỏa sát bằng tổng các năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng

h ì ( x ì ) = h ; ( x ; ) + h ì\ x ì' ) + u ì2

Neu các hệ con C] và Cl là đủ lớn thì ta có thể coi năng lượng tương tác

Ư12 giữa hai hệ con là 1'ất nhỏ so với năng lượng toàn phần của các hệ con Hị

Ịin/(//1'+ / / 1")Ị(dff,l +<ffiíl" )= [in /(//1')ỊíW1'+ [in /(//1')Ịdff1'

Coi rang dH] , dHi có thể tiến đến 0 một cách độc lập

Ta tìm được [ln / ( « ; + fí, ")] = [ln / ( « , ') ] + [ln/ ( # , ) ] = - ß (1.5)Trong đó ß là một hằng số nào đó vì các đạo hàm của một hàm số với các đối số khác nhau chỉ có thế bằng nhau khi chúng là hằng số

Ta đặt dấu “ - ” trước ß để cho thuận tiện khi xét điều kiện chuẩn hóa củahàm phân bố

Lấy tích phân đắng thức (1.5) ta có

f { H ) = D e x p { - ß H }

Từ điều kiện vật lý khi chuẩn hóa, ß là số dương

Ta có / ( t f ) = exp j ^ p - j

Với 0, ụr là hằng số

Bởi vì sau này ta không cần xét sự điều nhiệt c2 và ta chỉ cần nghiên cún hệ

Cl mà ta phải khảo sát nên ta không cần viết chỉ số 1

Khi đó (1.7) có dạng

/ v , _ \ у / { в , а ) - Н { Х , а ) \

(1.8) được gọi là phân bố chính tắc Gipxơ

Thông số ự được gọi là môđun của phân bố chính tắc

Ц/ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố

Ụ/(X) = -Ữ\n Z(ỡ,a)

(1.10)

(1.1 0) được gọi là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê)

Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của một hệ, vì phép tích phân được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ Nói cách khác, z là hàm trạng thái và phụ thuộc vào a và 0

Neu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng sẽ được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của một không gian pha Vì vậy đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta cần phải loại trù’ tất cả các điểm của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt.Bởi vì, với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị, cho nên không gian pha của một hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm đi N! lần Khi đó phân

bố chính tắc được viết dưới dạng

Thiết lập phương trình cơ bản của hệ nhiệt động lực học dựa vào phân bố chính tắc

Từ điều kiện chuẩn hóa

Lấy vi phân hai vế theo ak

= > J ổ ^ exp( X ) u u k

Ta nhận thấy rằng vế phải của hai phương trình hoàn toàn tương tự với nhau,

vì trong vế phải của hai phương trình đều có độ biến thiên năng lượng của hệ và tổng các công nguyên tố đã được thực hiện Tuy nhiên trong vật lý thống kê khái niệm năng lượng được hiểu chính xác hơn, bởi vì thay thế cho hàm năng lượng

E ta dùng trị trung bình H của năng lượng của hệ, mặc dù đối với hệ vĩ mô hai

giá trị trên thực tế là trùng nhau Hon nữa các lực suy rộng Ak trong nhiệt động lực học cũng được thay thế bằng trị trung bình Ak của các lực Sự giống nhau của vế phải của hai phương trình cho phép ta xét sự tương tự của vế trái của chúng Thay cho nhiệt độ tuyệt đối T trong phương trình thống kê (1.15) ta có nhiệt độ thống kê 0 Ta sẽ có sự hoàn toàn tương tự nhau của hai phương trình

đó nếu như ta công nhận rằng vi phân d là đại lượng tương tự của vi

phân dS của entropi nhiệt động lực học

Ta thấy rằng thông số ụ/cỏ ý nghĩa của năng lượng tự do F và phương trình

(1.13) phương trình Gipxơ - Hemhônxơ Từ đây ta suy ra hệ thức giữa entropi nhiệt động lực học s Với 0 = kT

Những kết quả trên đây là hết sức quan trọng.Thực vậy, dựa vào quan niệm cấu trúc hạt của hệ vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê, ta đã suy ra được phương trình cơ bản của nhiệt động lực học Không những như vậy mà còn tìm

ra được đại lượng tương tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội năng và năng lượng tự do của hệ

Ta đã nghiên cún phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thế trao đổi năng lượng với điều nhiệt.Nhưng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ trong đó không những năng lượng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ có thể thay đồi, đó là hệ có số hạt thay đối Đối với hệ có số hạt thay đối, trong nhiệt

động lực học người ta đưa vào thế hóa học |i biểu thị qua năng lượng tự do ụ/

k

Trong đó Q là thế nhiệt động mới

Ở một thời điểm nào đó, hệ có số hạt thay đổi chứa nột số hạt nhất định Nhưng tại thời điểm này tiếp sau số hạt này trong hệ sẽ thay đổi

Ta biết rằng một hệ có số hạt nhất định N các hạt đồng nhất như nhau sẽ nghiệm đúng phân bố chính tắc, cụ thế là sự phân bố của hệ có dạng

Xác định phân bố ta phải tìm đối với hệ có số hạt thay đổi Phân bố đó được gọi là phân bố chính tắc Gipxơ, n ( |U,V,T) là thế nhiệt động lớn

Điều kiện chuẩn hóa ta lấy tích phân trên theo các biến số vi mô X (còn gọi

là biến số pha) của tập họp chính tắc và lấy tổng theo toàn bộ các tập chính tắc tạo thành tập họp chính tắc lớn hơn nghĩa là

( 1.20)

Đối với hệ có số hạt thay đổi

(1.21)

(1.22)

* Đối với hệ có số hạt thay đổi trị trung bình của một đại lượng bất kỳ F(N,X) được xác định theo công thức

^ = ẳ ~ í F (N ’x ) exp | ° + / jN ~ H ]dX n

Bởi vì thế nhiệt động lớn Q không phụ thuộc vào các biến số pha X và số hạt

N, cho nên đẳng thức (1.21) có thể viết dưới dạng

Lấy đạo hàm riêng của thế nhiệt động Q có

sẽ đóng vai trò tích phân trạng thái

1.3 Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cỗ điển.

a.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động

Biểu thức liên hệ giữa năng lượng tự do của hệ với tích phân trạng thái Z:

lự = —k T \ n z (1.26)

Từ đó chúng ta có thể biểu diễn các thông số nhiệt động và hàm nhiệt động bất kỳ của hệ theo tích phân trạng thái z, điều đó cho phép ta xác định nhiều tính chất của hệ nhiệt động Việc tìm lại các hệ thức nhiệt động và tính các hàm nhiệt động lực học thống kê

Đầu tiên ta hãy tìm áp suất p được xác định qua năng lượng tự do ¥ theo công thức:

Đó là phương trình trạng thái của hệ.Vì vế phải của (1.28) phụ thuộc vào V

và T.Ta có thể viết lại phương trình trạng thái của (1.28) dưới dạng sau

Nhân 2 vế của đẳng thức với V ta được:

Với z là tích phân trạng thái ^ í exp|

* Biểu thức của Entropi theo tích phân trạng thái Theo phân bố chính tắc thì tích phân trạng thái có dạng:

=>H = k - h T - — õ ì n Z õ \ n Z ^

d \n V ổln t )

Như vậy tất cả các hàm nhiệt động có thể biểu thị theo tích phân trạng thái

z Nhưng thực tế dù có biết được hàm phân bố trong không gian pha thì việc tính tích phân trạng thái cũng tương đối khó vì z được xác định bằng một biểu thức phức tạp [3]

Vì vậy trong trường họp tổng quát việc tính tích phân trạng thái là rất phứctạp

b.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khỉ lý tưởng

Áp dụng hàm phân bố chính tắc

Chúng ta hãy đi tính một số hàm nhiệt động của khí lý tưởng

Để tính tích phân trạng thái z ta cần biết hàm Hamintơn H.Đối với khí lý tưởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lượng của các hạt riêng lẻ nghĩa

Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đưa vào xuất phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tưởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý bên trong bình có thê tích V nhung chúng không thê ra khỏi giới hạn của bình Điều đó tương đương với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt có thế năng vô cùng lớn

Như vậy chúng ta có thể đưa thông số ngoại V vào hàm Hamintơn H(X,a) thông qua thế năng U(x,y,z) mà ta có thể biểu thị dưới dạng

0 đối với X ở bên trong V

— <

Ư(x,y,z) =

Bởi vì các hạt là độc lập, chúng ta có thể viết tích phân trạng thái dưới dạng

z t = y / ( 2 7 u n ỡ )3V

Vậy tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là:

z 0 = ^ { 2 m i ữ f NV N —

N \ 1.3.1 Năng lượng tự do

Dựa vào biểu thức 'P = -kTlnZ để tìm năng lượng tự do

Clapâyrôn - Menđêlêép: p = Từ đó ta suy ra rằng môđun 0 của phân bố

chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: 0=kT

Trong đó k = — = 1.37.1CT23 J/độ là hằng số Bônzơman

K 1.3.3 Biêu thửc entropi cửa kh í lý tưởng.

Kết luận chương 1

Trong chương này em đã trình bày về mô hình khí lý tưởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tưởng cổ điển và từ đó rút ra được các đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ KLT như Entropi, áp suất, năng lượng tự do, M ô hình khí lý tưởng cổ điển tuy không có thực nhưng từ việc nghiên cún mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều

CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỦ 2.1 Khí Boltzmann

=> n = e kT (2.1): biểu thức này gọi là phân bố Boltzmann

Ta biết rằng số hạt trung bình có năng lượng s bằng tổng số hạt nhân N nhân với xác suất của mức năng lượng e(điều nay xuất phát từ phân bố Gibbs)

Xác suất tìm hạt khí ở mức năng lượng £, theo phân bố Gibbs bằng

2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của k h ỉ lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử

Phân tử khí lưỡng nguyên tử A - B nằm trên trục AB có 6 bậc tự do: ba bậc

tự do của chuyến động tịnh tiến của khối tâm o , hai bậc tự do của chuyến động quay(quay xung quanh trục Ox và Oy) và một bậc tự do của chuyển động ( dao động dọc theo trục AB)