Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong vật lý thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su' PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ BÍCH PHƯƠNG NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH KHÍ LÝ TƯỞNG TRONG VẬT LÝ THỐNG KÊ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hưóng dẫn khoa học PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Đồng thời em xin cảm ơn sự giúp đỡ quan tâm của thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết và các thầy cô trong khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận của mình.Cuối cùng em xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè nhũng người đã luôn giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp. Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên và là lần đầu tiên được làm quen với nghiên cứu khoa học, nên trong quá trinh thực hiện khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xỉn chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Bích Phưong LỜI CAM ĐOAN Đây là công trình khoa học của riêng em dưới sự hướng dẫn của cô PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Đề tài “ Nghiên cứu mô hìnhtrong yật lý thống kê khí lý tưởng” được hoàn thành trên cơ sở nghiên cứu các giáo trình tài liệu về nhiệt động lực học, vật lý thống kê, vật lý chất rắn. Hà Nội, tháng 5 nẵm 2015 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Bích Phưong MỤC LỤC A. PHÀN MỞ ĐÀ U .....................................................................................................1 1 .Lí do chọn đề tà i.......................................................................................... 1 2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài..................................................................... 1 3. Đối tượng nghiên cứ u..................................................................................2 4. Phạm vi nghiên c ú n ..................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên c ú n .............................................................................2 B.NỘI DUNG.............................................................................................................. 3 CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIÊN......................... 3 1.1 Mô hình về khí lý tưởng............................................................................3 1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng...................................................................... 3 1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng..........................................4 1.1.3. Mối liên hệ giữa khí lý tưởng với khí thực...................................... 7 1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cổ điển.................................... 8 1.3. Khảo sát hệ khí lý tưởng bằng phân bố Gibbs cổ điển......................... 17 1.3.1. Năng lượng tự d o .............................................................................22 1.3.2. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng....................................... 22 1.3.3. Biểu thức entropi của khí lý tưởng................................................. 23 1.3.4. Biểu thức nội năng và nhiệt dung Cy của khí lý tưởng đơn nguyên tử.....................................................................................................23 Kết luận chương 1 .....................................................................................................24 CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỬ ........................................................25 2.1. Khí Boltzmann........................................................................................ 25 2.1.1. Phân boBoltzmann........................................................................... 25 2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử.....................................................................................................25 2.2 Khí lý tưởng Fermi và Bose.................................................................... 33 2.2.1 .Khí lý tưởng Fermi.......................................................................... 33 2.2.2. Khí lý tưởng Bose............................................................................33 2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và B ose.............34 2.3 Khí electron tự do trong kimloại.............................................................37 2.4. Photon: Những bức xạ cân bằng............................................................ 42 Kết luận chương 2 .....................................................................................................44 CHƯƠNG 3: MỘT SÓ BÀI TẬP VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG......................................45 3.1 Bài tập về khí lý tưởng cổ điển...............................................................45 3.2 Bài tập về khí lý tưởng lượng tử .............................................................48 Ket luận chương 3 .....................................................................................................54 c. KẾT LUẬN.......................................................................................................55 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................56 A. PHẦN MỞ ĐÀU 1.Lí do chọn đề tài Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý. Dựa trên nền tảng mô hình vật lý các nhà khoa học xây dựng các thuyết vật lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tưởng tượng , các nhà vật lý lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra các khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Đe biết được cấu tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích được nhung tính chất vĩ mô của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cún các trạng thái khác nhau ( khí, rắn, lỏng ) của vật chất. Muốn nghiên cún được chúng thì ta phải xuất phát từ việc nghiên cún các trạng thái có tính chất đơn giản nhất sau đó mới đi đến các trạng thái phức tạp hơn. Các trạng thái rắn, lỏng, khí có tính chất khác nhau. Trong đó trạng thái khí của vật chất là đơn giản hơn cả, nhưng để đơn giản hơn người ta đã đưa ra mô hình khí lý tưởng. Dựa vào nghiên cứu mô hình này có thể mở rộng thêm cho các khí loãng, khí thực, chất lỏng, chất rắn. Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát và sâu sắc hơn các vấn đề từ vi mô đến vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê ta có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách chính xác. Như vậy việc tìm hiểu về khí lý tưởng trong vật lý thống kê là rất cần thiết. Vì vậy em chọn đề tài “ Nghiên cứu mô hình khí lý tưởng trong yật lý thống kê ”. 2. Mục đích, nhiệm yụ của đề tài - Nắm được các khái niệm về khí lý tưởng. 1 - Đưa ra được các phân bố thống kê cổ điển về khí lý tưởng,đưa ra được các hàm phân bố từ đó tính được năng lượng và một số đại lượng nhiệt động của khí lý tưởng. - Đưa ra được các phân bố thống kê về khí lý tưởng: Khí Fermi, khí Bose, từ đó được năng lượng và nhiệt dung của các khối khí đó. - Vận dụng giải một số bài tập về khí lý tưởng. 3. Đối tượng nghiên cứu Các hàm phân bố thống kê. 4. Phạm vi nghiên cứu Các hàm phân bố thống kê cho khí lý tưởng. 5. Phưong pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cún vật lí lý thuyết.Đọc và tra cún tài liệu. - Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và phương pháp toán trong vật lý. 2 B.NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KHÍ LÝ TƯỞNG THEO QUAN ĐIẺM CỎ ĐIỂN 1.1 Mô hình về khí lý tưỏng 1.1.1 Khái niệm khí lý tưởng Đe vận dụng thuyết động học phân tử vào việc nghiên cứu các tính chất của chất khí. Trước hết cần phải hiểu rõ cấu tạo phân tử của chất khí, bỏ qua những yếu tố thứ yếu không ảnh hưởng rõ rệt đến tính chất của chất khí. Xuất phát từ quan niệm này đã xây dựng một mẫu khí bao gồm nhũng đặc điểm cơ bản của chất khí gọi là mẫu khí lý tưởng. [5] - Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn phân tử, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử, các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng . - Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm vì vậy giữa hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyến động tự do nghĩa là chuyển động thắng đều.Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi. Ớ đây chúng ta chỉ xét khí lý tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi, do đó tron g chất khí không xuất hiện những dòng khí gây đối lun hoặc chênh lệch do áp suất. Nhờ mẫu khí lý tưởng này bằng việc đon giản hóa sự chuyển động của các phân tử trong chất khí rất thuận tiện trong việc tính toán định lượng giữa các đại lượng đặc trưng cho tính chất của chất khí như: Áp suất, nhiệt độ, phương trình trạng thái, các hiện tượng truyền, hệ số khuếch tán, hệ số dẫn nhiệt, độ ma sát,...nhưng nhờ những kết quả thu được dựa trên sự đơn giản hóa này chỉ gần đúng và chỉ phản ánh được những nét cơ bản nhất của chất khí. Khi ở nhiệt độ 3 thấp và áp suất cao mẫu khí lý tưởng không dùng được cho việc tính toán trên vì lúc này phải xét đến lực tương tác giữa các hạt trong khí ( các phân tử hay nguyên tử ) có ảnh hưởng đáng kể trong các tính chất của khí. 1.1.2 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Thông số trạng thái: Áp suất, nhiệt độ, thể tích được gọi là các thông số trạng thái của chất khí, chúng không hoàn toàn độc lập với nhau. Theo tiên đề 3 của nhiệt động lực học ( thông số nội là hàm của các thông số ngoại và nhiệt độ) . Phương trình nêu lên mối liên hệ giữa 3 thông số: áp suất, nhiệt độ và thể tích của một khối khí xác định gọi là phương trình trạng thái có dạng tổng quát sau: p = f(V ,T ) [5] Đối với khí lý tưởng phương trình trạng thái của một khối khí chứa N phân tử trong thể tích V sẽ là p = nkT Với n = — => PV = NkT (*) Với k là hằng số Boltzman M Sô phân tử khí N của khôi khí được xác định N = — N 0 ự Với M là khối lượng của chất khí là khối lượng của 1 mol khối khí N ữ là số Avogradro N 0= 6,02.1026 kmol’1 => Phương trình trạng thái của khí lý tưởng p V = — N 0k T = — R T (1.1) Đây là phương trình Clapâyrôn - Menđelêep Trong đó R = N0k = 6,02.1 o26.1,38.10"23 = 8,31.1 o 3 J/ kmol.độ là hằng số khí * Đối với lkmol khí thì phương trình trạng thái có dạng pVo = RT 4 Trong đó Vo là thể tích của 1 kmol khí Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta có thể dễ dàng suy ra các định luật quy định tính chất của các khí gọi là các định luật của khí lý tưởng. Sau khi so sánh các kết quả lý thuyết với các kết quả thu được do thực nghiệm ta thấy hai kết quả này trùng nhau - Định luật Bôilơ - Mariốt ( định luật về tính chất đẳng nhiệt của khí lý tưởng ) nêu lên mối tương quan giữa áp suất p và thể tích V của một khối khí xác định. Khi nhiệt độ T không đổi ta có pV = const được gọi là phương trình đẳng nhiệt + Định luật Bôilơ - Mariốt có tính chất gần đúng nó chỉ khá chính xác với đa số chất khí ở nhiệt độ gần với nhiệt độ thường trong phòng và chịu áp suất không khác xa với áp suất khí quyến lắm. Ớ áp suất cao của chất khí ít chịu nén hơn so với định luật Bôilơ - Mariốt. Khi áp suất tăng các kết quả thu được từ thực nghiệm của tích pV không còn là hằng số nữa mà có những sai lệch. Nguyên nhân của những sai lệch là vì định luật Bôilơ - Mariốt được thành lập trên cơ sở tính toán định lượng theo thuyết động học phân tử của khí lý tưởng, nghĩa là không xét đến sự tương tác giữa các phân tử , nhưng ở áp suất cao thì không thể không chú ý đến ảnh hưởng của sự tương tác này. - Định luật Sáclơ Định luật xét đến trường hợp của thể tích của một khối lượng khí xác định được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa áp suất và nhiệt độ. Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng P V = M -R T Khi v = const =>-¥- = = c o n s t đươc goi là phương trình đẳng T JLl V' tích và biểu thị định luật Sác lơ 5 Gọi P 0 là áp suất của 1 khối khí xác định ở nhiệt độ to=0°C ( T=273°K ). Khi biến đổi đẳng tích tới áp suất p và nhiệt độ T Tl _/l Ta có p = Po . => T T 7— = „ = Po T _ p „ ơ + 2 7 3 ) J = -------- ——----T 273 = > p = p 0 ( \ + ccp t ) Trong đó a p = — gọi là hệ số nhiệt biến đổi áp suất đẳng tích của khí - Định luật Gay - Luytxac xét trường họp áp suất của một khối lượng khí cho trước được giữ không đổi và nêu lên mối tương quan giữa thể tích và nhiệt độ. Từ phương trình trạng thái Khi p = const p V = ---- R T ụ V M R => — = — — = const T JLl p =>V=Voạ + a vt) Trong đó av = ——gọi là hệ số giãn đẳng áp của khí Định luật Sác lơ và định luật Gay - Luytxac cũng chỉ mang tính gần đúng như định luật Bôi lơ - Mariốt - Định luật Đantôn : Xét áp suất của một hỗn họp khí Giả sử trong một bình thế tích V có chứa một hỗn hợp gồm N 1, N 2, N 3 ...là số phân tử của các khí thành phần tương ứng của hỗn họp Phương trình trạng thái : pV = ( Ni+N 2+N3+....)kT Trong đó N 1+N 2+N 3+ ... .= N là tổng số phân tử khí trong bình => Áp suất của hỗn họp khí là N N N P = ^ k T + ^ k T + ^ k T + .... V V V p = p, + P2 + P 3 +... 6 Với pi , p2 , p 3 ,...là những áp suất riêng phần của các khí thành phần của hỗn họp Nội dung của định luật Đantôn là áp suất của một hỗn hợp khí bằng tổng các áp suất riêng phần của các khí thành phần tạo nên hỗn họp. Vì định luật này được thiết lập dựa vào phương trình trạng thái của khí lý tưởng nên cũng có tính chất gần đúng đối với các hỗn họp khí thực. Trong khí lý tưởng giữa các phân tử không còn tương tác, các phân từ “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác. Như vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tưởng để thành lập các định luật quy định tính chất của k h í. Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tưởng là chất khí tuân theo chính xác các định luật Bôilơ - Mariốt 1.1.3. Mối liên hệ giữa khỉ lý tưởng với k h í thực. Phương trình trạng thái khí lý tưởng có dạng: 2— pv2 p - £— = - e, 3 3 Trong đó €đ là mật độ động năng trung bình Việc so sánh phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đưa vào đối với khí lý tưởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối là thước đo động năng trung bình của h ạ t) mv 2 — 2 3o = —k T 2 Sau khi đưa vào khí lý tưởng khái niệm nhiệt độ ta tìm được phương trình trạng thái cho khí lý tưởng dưới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3] pV = kTN đối với N hạt trong thế tích V Vậy khí thực nào tuân theo phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép có thể coi như là khí lý tưởng 7 Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tưởng khi chúng càng loãng. Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem như khí lý tưởng. Muốn vậy khí thực cần phải loãng đến mức xác suất va chạm đồng thời của ba phân tử phải nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất va chạm của hai phân tử Các phân tử khí thực khác về căn bản các hạt của khí lý tưởng, các phân tử thực không phải luôn luôn là tuyệt đối đàn hồi chúng tương tác với nhau không chỉ là do va chạm trục tiếp , thế tương tác của chúng có dạng rất phức tạp Ở trường hợp riêng biệt, sự khác nhau giữa các phân tử thực với các hạt của khí lý tưởng không phải là căn bản.Ví dụ như: ở nhiệt độ không quá ca ova chạm giữa các phân tử với thành bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tương tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể. Trong trường họp đó khí thực có tính chất như khí lý tưởng Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tưởng mà ta khảo sát. Các khí thực sẽ không còn tuân theo phương trình Clapâyrôn - Menđêlêép nữa mà tuân theo các phương trình trạng thái khác. 1.2 Các hàm phân bố Gipxo theo quan điểm cồ điển. Các hàm phân bố trong vật lý thống kê thường được giới hạn xét các hệ hạt có số hạt rất lớn và bỏ qua tương tác giữa các hạt với nhau, xem chúng như các hạt tự do. Như vậy chúng ta có thế coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các “khí lý tưởng” và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê. Đe tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ. Cơ sở của phương pháp này là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương ứng với các hệ đã cho. 8 Dựa vào phân bố Gipxơ chúng ta sẽ tìm lại được các phương trình trạng thái và các đại lượng nhiệt động học như: Entropy, nhiệt dung đẳng tích ,... của khí lý tưởng. Xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmoxta). Theo quan điểm vi mô hệ điều nhiệt này là một hệ cơ học nhưng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. [3] Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát là Cl và hệ điều nhiệt là с 2 có các số hạt tương ứng là X] và x 2, đồng thời N ] » N 2 Ta có thể coi hệ bao gồm 2 hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt vì vậy đối với hệ chung đó ta có phân bố chính tắc a* X l, X 2) = - ± - S { E - H ( X l, X 2)} ÍÌ(E) Trong đó H(XbX2) = H(X,) + H(X2) + Ư 12(X, x 2) (1.2) (1.3) Ui2(Xi x 2) là năng lượng tương tác giữa các hạt của hai hệ mà ta có thể bỏ qua Hàm phân bố của hệ mà ta xét с ị được tính theo công thức й*х,)=( л2) cữ(Xn X 2) dX2 ( 1 .4 ) Đe tìm (ớ{Xx)trong trường hợp tổng quát ta dựa vào giả thiết sau: Ta coi rằng Hị(Xi) « E Tức là ta chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ là rất nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt Để tìm ứ>(X,)ta tiến hành như sau. Ta chia hệ mà ta muốn khảo sát Cl ra làm hai phần С 1 và С 1. Các hàm phân bố (ư{Xx') và co(Xì")đối với hai hệ con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con ln /Ị#, + # , j = ln/ ( # , ) + ln /(Я,") - Lấy vi phân 2 vế ta có ỂHn / Ị t t , + Я , " Ị = J l n / ( # , ) + đ l n / ( t f "i) Ịin/(//1'+ //1")Ị(dff,l +X dpk dpk dpk dxkdykdz.k e 2m =/ — 1 ì N\ (1.32) Với z k là tích phân trạng thái đối với một hạt.Xét biểu thức z k -oo ^ p,2 — +u k 2m X dpk dpkydpkt dxkdykdzk (1 3 3 ) Do tính độc lập của các hàm chiếu px, py, pz chúng ta có thể viết lại (1.33) dưới dạng: (1.34) Sử dụng tích phân Poátxông có: ị ì _____ 1 expị - —— \dp = ^ 2 7ữn6 L 1 2m o ị1 và (1.35) J exp ị - U(x , y , z ^ \dxdydz, = J \dxdydz = V —00 l 6 Thay (1.35) và (1.36) vào (1.34) ta được 21 J V (1.36) z t = y/ ( 2 7 u n ỡ )3V (1.37) Vậy tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là: z 0 = ^ { 2 m i ữ f NV N — N\ (1.38) 1.3.1. Năng lượng tự do Dựa vào biểu thức 'P = -kTlnZ để tìm năng lượng tự do Ta tính ZQ: ln z„ = ln (, >, 3iV = — (ln 1k + ln m) 2 v {■ỊĩmĩẽỴ V'N— ’ ; m+ ln 9)+ N ln V - ln N ! ' (1.39) Nhân đẳng thức này với (-0) và áp dụng công thức Stiếclinh đối với N lớn ln(W!) w AHnTV 1-1-11 V Thay vào ln z ln Z = 2 (\n27ĩ + \n m + \n ỡ + N ìnV - N ln N ) = N —\n(27ĩmỡ) + ln V —ln N Áp dụng biểu thức ¥ = -kTlnZ 0 Ta tìm được biểu thức của năng lượng tự do của khí lý tưởng y/ = - 6 N -\n(2Tĩmỡ) + \n V - \ n N (1.40) 1.3.2. Phương trình trạng thái của khỉ lý tưởng. p =- r ôụ/^ \dv JT =>P = - — ị-ỠN ÕV V \n(2mnỡ) + \n V -ln N V Đối với lmol khí lý tưởng phương trình đó cần phải trùng với phương trình 22 Clapâyrôn - Menđêlêép: p = .Từ đó ta suy ra rằng môđun 0 của phân bố chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: 0=kT Trong đó k = — = 1.37.1CT23 J/độ là hằng số Bônzơman K 1.3.3. Biêu thửc entropi cửa khí lý tưởng. s =- r ôìf/\ ÔT Thay biểu thức (1.40) vào õ -6 N ÕT ÔT —k T N d , _ _ ÕT{ = > s = kN s ta được — \n(27Tmỡ) + ln V —ln N 3 \n(27ĩm kT) + ln V —ln N ^ _\ '"ln 27ĩmkT 2 J 3 kN 2 ln V + — õ õ l n 7 " H- (1.41) s„ (1.42) Ở đây hằng số tùy ý S0 có chứa các số hạng So = - k N ln(2 nmk) + - k N - k N \ n N 1.3.4. Biếu thức nội năng và nhiệt dung Cy của khí lý tưởng đơn nguyên tử u = ự + TS í = - k t ị N \ n V + - N ạ n T + \n 2 7 ữ n k ) - N \ n N + (1.43) + T k N ln V + - k N ln T + - k N ln iTữnk + - k TN 2 2 2 Cy = r õU_A = —kN = —R \d T ; v 2 2 23 Kết luận chương 1 Trong chương này em đã trình bày về mô hình khí lý tưởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tưởng cổ điển và từ đó rút ra được các đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ KLT như Entropi, áp suất, năng lượng tự do,...M ô hình khí lý tưởng cổ điển tuy không có thực nhưng từ việc nghiên cún mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều. 24 CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỦ 2.1. Khí Boltzmann 2.1.1. Phân boBoltzmann về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tương tác giữa các phân tử khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc lập ). 1 n= Ta có: Xét trường họp € - JU» kT ta có E-Ị.I E-Ị.I , kT Zji Ị ^ e kT _ g-// => n = e kT (2.1): biểu thức này gọi là phân bố Boltzmann Ta biết rằng số hạt trung bình có năng lượng s bằng tổng số hạt nhân N nhân với xác suất của mức năng lượng e (điều nay xuất phát từ phân bố Gibbs) Xác suất tìm hạt khí ở mức năng lượng £, theo phân bố Gibbs bằng E — 6 ^ n = N cớ{£) = N ------ (2.2) Đối chiếu (2.1) và (2.2) ta được z =e N Từ đó ta tính được ụ = k T ln — (2.3) Ẩ-i Đây là hệ thức cho ta mối liên hệ giữa thế hóa và tổng thống kê z trong trường họp cổ điển [ 1 ] 2.1.2 Năng lượng và nhiệt dung của khỉ lý tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử Phân tử khí lưỡng nguyên tử A - B nằm trên trục AB có 6 bậc tự do: ba bậc tự do của chuyến động tịnh tiến của khối tâm o , hai bậc tự do của chuyến động quay(quay xung quanh trục Ox và Oy) và một bậc tự do của chuyển động ( dao động dọc theo trục AB). 25 Năng lượng chuyển động của phân tử gồm 3 phần: Năng lượng chuyển động tịnh tiến £' , năng lượng chuyển động quay e và năng lượng của chuyển động dao động £d. Gọi Ta có: 8 là năng lượng của phân tử khí. € = €t +£iỊ+£íl (2.4) Năng lượng trung bình của hệ N phân tử khí lý tưởng bằng (2.5) E = Ns = N(st +sq+sd) Đe tính Gt ,G q , s d ta dùng định lý nhân xác suất: W( e ) = w ,w qw d = z Trong đó (2.6) wt, Wq, wdlà xác suất phân tử khí có năng lượng tịnh tiến s, , có năng lượng chuyển động quay £ và có năng lượng của chuyển động dao động sd. Biểu thức các xác suất wt, Wq, wdcó dạng: w„1 = — z ; ■z . .L= y ẽ 9 (2.7) ÍỂ. e Với z = ztzqzd Đăt ß = 1 ta. có 0 €, — s, y ] £ie 0 d 26 ớ £tt (2.14) Tính z q trong trường hợp tổng quát rất khó nên ta chỉ khỏa sát z trường hợp h2 _ h2 h2 giới hạn sau: 0 = k T ; ^ J = kTcj và khi 9 = kT = - ^ = kTq =>Tq = -^Với Tq là nhiệt độ đặc trung cho phân tử có 2 nguyên tử trong chuyển động quay. Khi T » T q thì hàm dưới dấu tổng z q thay đổi rất ít khi 1thay đổi 1 đơn vị Vì vậy ta có thể thay tổng tích phân trong biểu thức z q oc 2 h2 , = J (21 + i)e 2IkT dl 0 Đặt = 1(1+1) =>dx = (21+1) X f,-w % .. 2 /0 'r _yj_. = J(« mT dx = ^ - ị e 0 'l 0 210 dy = =ỵị- (2.15) 'l Năng lượng trung bình của chuyển động quay ^ = - Ặ ( l" Z ,) = ớ2 ^ ( ln Z ,) = ớ (2.16) Kết quả này trùng với kết quả trong thống kê cổ điển. Năng lượng tương ứng với hai bậc tự do của chuyến động quay ỡ = kT Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng khi T » T q bằng 29 E„ = Ns„ = NkT c. (2 .17) = Nk l dT )v Khi T=Tq thì những số hạng với giá trị của 1 bé đóng vai trò chủ yếu trong tổng của z q(các số hạng 1 có giá trị rất bé có thể bỏ qua).Khi đó ta có h2 z v w 1 + 3e 10 (2.18) Năng lượng và nhiệt dung của khí lý tưởng khi T = Tq ( ÕEA 0 thì Cq->0 Bây giờ ta tính z d và £d . Dao động của hai nguyên tử của phân tử có thể khảo sát như dao động của một chất điểm có khối lượng thu gọn ịi. Năng lượng dao động điều hòa theo cơ học lượng tử bằng Sj = hú) n +jV ,n =0,1,2,3.. (2.19) (2 .20) h(0 30 heo Ta được: z d - e~w hw \-e ~ Năng lượng ứng với một bậc tự do của chuyển động dao động là: ổ /. „ \ hũ) hú) s, = — +nha = e 2— (ìr\Z,) = — + h(0 2 00 2 .T_l n= (2.21) htư e 0 —1 Đặt hco = kTd. Đối với phân tử H 2 có Td = 6100°K và đối với 0 2 có Trf=2240°K Khi T » T d ta có T = kT,E, =Ns~,=NkT cd= 01ỵ ÕT (2 .22 ) = Nk Ket quả này trùng với lí thuyết cổ điển Khi T = Td ta có lưo — hù) , £.d = 2 + hcơe h(0 E. = Ne,' = { ÕE_^ cđ= \dT J V + NhcoekT = Nk Khi T - > 0 thì (2.23) íhcoY e kT KkT ) cd- > 0 Năng lượng và nhiệt dung của chuyển động dao động trong trường hợp tổng quát có dạng 31 — Nheo Nhũ) —+ h(ú Ed = N s d = ew - ì cd= V ÔT ) v = Nk\ hú) ^ kT hat , kT f hm V / Năng lượng trung bình và nhiệt dung đẳng tích của khí lý tưởng lưỡng nguyên tử có dạng: E = Et +Eq +Ed Cv = ct +cq+cd Ta biết 5 = -| — ,E = F + ST ÕT Jv E =F -T 'S F 'j = _T2ÍÔF ÕT V ÔT E{ T) =>F = - r j dT Biết được E là hàm của T ta tìm được F và s Năng lượng tự do của hệ cũng được tính từ tổng thống kê z F = - einz £(l)+£(2)+...+£(A0 _E„ 6= Trong đó z = n í;ị\)í;(20..u £(\) í;{20..j;(N) Vì các hạt là giống nhau nhưng phân biệt được nên biểu thức của z có dạng: z = Năng lượng tự do của khí Boltzmann được tính theo công thức F = - 6 \ n z = -yvỡịln Zf + ln zq + ln z.ằ } Áp suất của khí lý tưởng : p= rõF_' ổ(lnzt ) _ Nỡ = NỠ ÕV V Jn )t 32 Phương trình này không phụ thuộc vào zq và zd nên pV = N0 = NkT là phương trình trạng thái của khí lý tưởng nói chung. 2.2 Khí lý tưỏng Fermi và Bose 2.2.1.Khỉ lý tưởng Fermi. - Khí lý tưởng Fermi mang đầy đủ các đặc điếm của khí lý tưởng - Là một hệ đồng nhất của các hạt Fermi có spin bán nguyên - Trạng thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng - Là khí lý tưởng nhưng ở nhiệt độ thấp thì khí Fermi khác hẳn khí Bose.Các hạt có spin bán nguyên tuân theo cái này gọi là nguyên lí loại trù’ pauli nguyên lí đó khẳng định hai hạt Fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử vào cùng một thời điểm Ví dụ như khí điện tử tự do trong kim loại có nhiệt độ T =0 (K) các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 tới Fermi dẫn đến năng lượng của cả hệ khác Hay ở kim loại các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng. Do đó tập hợp các electron tự do này được coi như một chất khí Các ion dương ở nút mạng được sắp sếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi dần, song các electron tự do này vẫn di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể, nếu bỏ qua tương tác tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lí tưởng Fermi 2.2.2. Khí lý tưởng Bose - Khí lý tưởng Bose mang đầy đủ các đặc điểm của khí lý tưởng - Là một hệ đồng nhất các hạt Bozon có spin nguyên - Trạng thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng 33 - Khối khí Bose gồm vô số các phân tử khí, các phân tử này có kích thước rất nhỏ so vói khoảng cách giữa chúng. Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn không ngừng và chỉ tương tác với nhau khi va chạm và sự va chạm này hoàn toàn đàn hồi. Sự va chạm của phân tử khí lên thành bình gây lên áp suất, do đó áp suất chất khí bằng áp suất va chạm các phân tử với thành bình. - Các định luật với khí lý tưởng Bose chỉ đúng trong điều kiện nhiệt độ và áp suất thường, đối với chất khí có áp suất cao thì không hoàn toàn đúng. - Khí Bose tuân theo các định luật thực nghiệm của lý tưởng, vì các phân tử khí có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng nênchúng có thể coi nhũng chất điểm, khi đó thể tích bình chứa chính là thể tích chuyểnđộng của các phân tử. 2,2.3, Phương trình trạng thái của khí lý tưởng Fermi và Bose Số hạt trung bình có năng lượng s bằng: n =^ 1 ---- (2.24) e 0 ±1 Ở đây £ là năng lượng của hạt, ụ là thế hóa học Dấu “+” ứng với thống kê Fermi - Dirac [ 1] “ - ”ứng với thống kê Bose - Einstein Xét một hệ lí tưởng gồm N hạt cơ bản Fermion hay Bozon. Năng lượng của hạt chỉ là năng lượng của chuyển động tịnh tiến 2m (2-25) 2m Trong đó m là khối lượng của hạt và P là xung lượng của hạt Số hạt có xung lượng và tọa độ nằm trong thể tích không gian pha dpx dpy dpz d v bằng dN: dN = ng dpdp dp h- 34 Trong đó g là bội suy biến của năng lượng s(p) Tích phân theo thể tích V và chuyển từ dp xd p yd pz —>47ự?2dp ,ta nhận dược biểu thức số hạt cơ bản trong thể tích V có xung lượng nằm giữa p và p + dp bằng 1 4áVpĩ dp s -----s — 7 1 ------- = ndG(p) _ dNp = e 6 p2 Vì £ = 2 ±1 , nên sô hạt ở trong thê tích V có năng lượng từ £ đên £ +d£ băng dNỄ ấN m e 6 4eẽs^h3 ±1 Số hạt toàn phần của khí lý tưởng N = \d N . = A’*'SỶ l* ) - 'I ỉ d e s Đặt -í = — ta được: 6 ỀL = ^ Ị Ấ V /zJ {m e Ý Á ] J Ĩ Ẻ L ' ' i x-20 e ỡ ±\ Công thức này xác định thế hóa học ỊJ phụ thuộc vào nhiệt độ 0 và mật độ hat — V Năng lượng của khí lý tưởng: í- c 7 47ĩVg-j2 E = \s d N c = Thế nhiệt động ^ có dạng: 35 x^dx •* “ 0/ * ± 1 (2.26) Qk = -ớ ln ịl + e 9 I Đối với khf Fermi - Dirac Q ^=ớln|l-ể 6 I Đối với khí Bose - Einstein Chuyển từ tổng theo năng lượng đến tích phân theo năng lượng ta có: Q Ả= ra 0 j l n | l ± £ 0 ịúfG(ố') QẢ= m ^ a ậ Ể L 0 ị ^ J \ ± e ^ \ d s Dấu” +” ứng với khí Fermi “ ứng với khí Bose Thực hiện phép tích phân đoạn ta được: ^ 2 4 tw 4 Ĩ V K ”r é & d e L1 = — ------- ----- m /z ------ ----3 h3 i ^ °e 0 +1 Hay fl = 2 4 Tug'll Y,r?/-Tĩ x ^ d x f3 Vm/2ỡ/2\ — - f — = - p V 3 h, 7. X— 0 e 6 ±\ —7 (2.27) So sánh biểu thức của n và E thấy rằng: Q = - - E hay pV = \ e 3 J 3 2 Phương trình pV = —E là phương trình trạng thái của KLT hạt cơ bản Những kết quả ở trên đối với hạt chuyển động với vận tốc bé sovới vận tốc của ánh sáng trong chân không c. 36 2.3 Khí electron tự do trong kỉmloạỉ Mỗi mức năng lượng £ của electron có Electron là hạt Fermion có spin s = bội suy biến g = 2 s + 1 = 2 .Đó là trạng thái lượng tử có hình chiếu spin ngược chiều với electron. So electron trung bình trong một trạng thái lượng tử theo thống kê Fermi - Dirac có dạng: n (*)=/(*) Ở đây 6 = k T và ụ. là thế hóa học. Thế hóa học ụ. phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi T -» 0 thì ỊẤ-> ịấq - SF. Mức năng lượng 8p = ỊẤ0 gọi là mức Fermion. [ 1] Ta hãy tính thế hóa học fi, năng lượng E và nhiệt dung đẳng tích Cv của khí lý tưởng electron trong kim loại. Số hạt electron toàn phần N năng lượng E của khí electron được tính theo công thức: (2.28) (2.29) u £ ° +1 Công thức (2.28) cho ta xác định được ỊẦ là hàm của nhiệt độ T và nồng độ electron n = —. Biết được ỊẤ là hàm của T ta thay ụ. vào (2.29) ta xác định E là hàm của nhiệt độ.Đặta = 37 ■A. T = 7V oo r = cc I ° e ° 3 oo +1 sr2 d£T = «v J K —/J e Đe tính ịi và E ta cần tính phân Ip có dạng sau: " 'F { e ) d e If=[ 0 ^ e 0 +1 3A Trong áóF (s) = s l’ P = - ’P = - . ' 2, 2 Đưa vào biến số mới z = ịi- £ e ta có: £ = ju + 6z, d s = 6dz ị ^ ez +\ e z +1 ị ez +\ Trong tích phân đầu thay biến số z bằng -z, ta được: é>~z+l [...]... hàm phân bố trong vật lý thống kê thường được giới hạn xét các hệ hạt có số hạt rất lớn và bỏ qua tương tác giữa các hạt với nhau, xem chúng như các hạt tự do Như vậy chúng ta có thế coi hệ các hạt trong vật lý thống kê là các khí lý tưởng và trong hệ nhiều hạt có thể biểu hiện quy luật tính thống kê Đe tìm trị trung bình của một thông số vĩ mô bất kỳ của hệ hạt đó ( là hàm của thông số vĩ mô ) Gibbs... T ; v 2 2 23 Kết luận chương 1 Trong chương này em đã trình bày về mô hình khí lý tưởng theo thuyết động học chất khí, xây dựng hàm phân bố Gibbs là hàm phân bố đặc biệt đúng cho khí lý tưởng cổ điển và từ đó rút ra được các đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ KLT như Entropi, áp suất, năng lượng tự do, M ô hình khí lý tưởng cổ điển tuy không có thực nhưng từ việc nghiên cún mô hình này giúp cho... trình trạng thái cho khí lý tưởng dưới dạng Clapâyrôn - Menđêlêép [3] pV = kTN đối với N hạt trong thế tích V Vậy khí thực nào tuân theo phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép có thể coi như là khí lý tưởng 7 Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lý tưởng khi chúng càng loãng Ở những nhiệt độ và áp suất nhất định tất cả các khí thực có thể xem như khí lý tưởng Muốn vậy khí thực cần phải... chất gần đúng đối với các hỗn họp khí thực Trong khí lý tưởng giữa các phân tử không còn tương tác, các phân từ “không biết” đến sự tồn tại của các phân tử khác Như vậy dựa vào thuyết động học phân tử của khí lý tưởng để thành lập các định luật quy định tính chất của k h í Từ việc so sánh giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm dẫn ta đến định nghĩa khí lý tưởng là chất khí tuân theo chính xác các định... hệ giữa khỉ lý tưởng với k h í thực Phương trình trạng thái khí lý tưởng có dạng: 2— pv2 p - £— = - e, 3 3 Trong đó €đ là mật độ động năng trung bình Việc so sánh phương trình trạng thái Clapâyrôn - Menđêlêép đã cho phép đưa vào đối với khí lý tưởng khái niệm về nhiệt độ tuyệt đối( nhiệt độ tuyệt đối là thước đo động năng trung bình của h ạ t) mv 2 — 2 3o = —k T 2 Sau khi đưa vào khí lý tưởng khái niệm... bình sẽ đàn hồi, trong các chất khí quá đặc khoảng cách giữa các phân tử lớn hơn bán kính tác dụng của lực phân tử gấp nhiều lần, vì vậy tương tác giữa các phân tử là nhỏ không đáng kể Trong trường họp đó khí thực có tính chất như khí lý tưởng Khi mật độ và áp suất tăng lên và khi nhiệt độ giảm đi các tính chat scuar khí thực sẽ khác với các tính chất của khí lý tưởng mà ta khảo sát Các khí thực sẽ không... cổ điển tuy không có thực nhưng từ việc nghiên cún mô hình này giúp cho việc khảo sát các hệ vật lý thuận tiện rất nhiều 24 CHƯƠNG 2: KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỦ 2.1 Khí Boltzmann 2.1.1 Phân boBoltzmann về mặt vật lý khí Boltzmann là khí loãng sao cho tương tác giữa các phân tử khí có thể bỏ qua và coi mỗi phân tử khí là một hệ con gần kín( gần độc lập ) 1 n= Ta có: Xét trường họp € - JU» kT ta có E-Ị.I E-Ị.I... lượng tự do của khí lý tưởng y/ = - 6 N -\n(2Tĩmỡ) + \n V - \ n N (1.40) 1.3.2 Phương trình trạng thái của khỉ lý tưởng p =- r ôụ/^ \dv JT =>P = - — ị-ỠN ÕV V \n(2mnỡ) + \n V -ln N V Đối với lmol khí lý tưởng phương trình đó cần phải trùng với phương trình 22 Clapâyrôn - Menđêlêép: p = Từ đó ta suy ra rằng mô un 0 của phân bố chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: 0=kT Trong đó k = —... của hệ vĩ mô và áp dụng phương pháp thống kê, ta đã suy ra được phương trình cơ bản của nhiệt động lực học Không những như vậy mà còn tìm ra được đại lượng tương tự thống kê của hàm nhiệt quan trọng là entropi, nội năng và năng lượng tự do của hệ Ta đã nghiên cún phân bố chính tắc đối với hệ nằm tiếp xúc và có thế trao đổi năng lượng với điều nhiệt.Nhưng ta đã biết trong vật lý còn có những hệ trong đó... Hamintơn H.Đối với khí lý tưởng hàm Hamintơn bằng tổng của các năng lượng của các hạt riêng lẻ nghĩa (1.31) y Trong đó Uk(X) biểu thị thế năng của hạt thứ k mà chúng ta đưa vào xuất phát từ lập luận sau đây: Các hạt của khí lý tưởng có thể chuyển động hoàn toàn tùy ý bên trong bình có thê tích V nhung chúng không thê ra khỏi giới hạn của bình Điều đó tương đương với giả thuyết là ở bên trong bình các hạt ... cỏc thuyt vt lý Da trờn nn tng mụ hỡnh vt lý cỏc nh khoa hc xõy dng cỏc thuyt vt lý Thuyt vt lý l s hiu bit tng quỏt nht ca ngi mt lnh vc, mt phm vi vt lý nht nh Da trờn mt mụ hỡnh vt lý tng tng... khớ lý tng Boltzmann lng nguyờn t 25 2.2 Khớ lý tng Fermi v Bose 33 2.2.1 Khớ lý tng Fermi 33 2.2.2 Khớ lý tng Bose 33 2.2.3 Phng trỡnh trng thỏi ca khớ lý. .. Lu Th Kim Thanh ti Nghiờn cu mụ hỡnhtrong yt lý thng kờ khớ lý tng c hon thnh trờn c s nghiờn cu cỏc giỏo trỡnh ti liu v nhit ng lc hc, vt lý thng kờ, vt lý cht rn H Ni, thỏng nm 2015 Sinh viờn