Thủy lực môi trường

Nhưng thường trong thủy lực không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái chuyển động của mỗi hạt chất lỏng mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng nào đó ở trong một t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG

BÀI GIẢNG

Biên soạn: Th.S Nguyễn Đình Long

Nha Trang 2014

Chương 1

MỞ ĐẦU

1.1- NỘI DUNG MÔN HỌC

Thủy lực môi trường chính là thủy lực áp dụng trong ngành môi trường - là một môn học khoa học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của của chất lỏng, đặc biệt là nước và những phương pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn

Đây là môn khoa học ứng dụng

Nội dung môn học có hai phần chính: thủy tĩnh và thủy động

Phần thủy tĩnh nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái tĩnh (trạng thái cân bằng) như áp suất và áp lực của chất lỏng tác dụng vào mặt tiếp xúc, sự ổn định của vật rắn trong chất lỏng

Phần thủy động nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái chuyển động và vận dụng các quy luật đó để nghiên cứu về dòng chất lỏng chảy trong ống, kênh, dòng chảy qua các công trình

Trong nghiên cứu thủy lực người ta kết hợp chặt chẽ lý thuyết và thực nghiệm + Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán thủy lực

- Bảo toàn khối lượng (bảo toàn liên tục)

- Bảo toàn động lượng và mômen động lượng (nguyên lý cơ bản cơ học)

- Bảo toàn năng lượng (nguyên lý cơ bản vật lý)

+ Phương pháp tiến hành như sau:

- Tách riêng bằng tưởng tượng thể tích chứa chất lỏng đang xét Gọi là thể tích kiểm tra Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra

- Nghiên cứu tác dụng các lực lên các phần tử đó

- Áp dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học đối với toàn bộ khối chất lỏng trong thể tích kiểm tra, coi như toàn bộ khối chất lỏng đó là một hệ thống vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên

Nhờ phương pháp này giúp ta lập được phương trình vi phân của phần tử chất lỏng Nhưng thường trong thủy lực không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái chuyển động của mỗi hạt chất lỏng mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt

Sự phân tích thứ nguyên nhiều khi cũng giúp ta tìm được dạng gần đúng của các định luật

Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng Thí nghiệm được làm trên những vật nhỏ gọi là mô hình

+ Có hai cách khảo sát chuyển động:

- Theo Euler: có vô số quan sát viên ở tại vô số điểm đặt tại dòng chảy Như vậy ta

có u, p, phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t:

u = f1(x, y, z, t) ;

p = f2(x, y, z, t)

- Theo Lagrand: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử chất

lỏng

* Ở thời điểm t0: một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c)

* Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z)

Ta có: x = f1(a, b, c, t) ; y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t)

Ðây là dạng chuyển động của dòng chảy

Hệ đo lường dùng trong thủy lực là: hệ đo lường quốc tế SI (m, kg, s) và vẫn còn dùng cả hệ kỹ thuật MkGS (m, kG, s)

Quan hệ giữa các đơn vị:

+ Lực: đo bằng Niutơn (được ký hiệu là N) và cũng được đo bằng kilôgam lực (ký hiệu kG)

1.2.1.1- Thuật ngữ chất lỏng đề cập ở đây được hiểu là chất lỏng “nước”

1.2.1.2- Chất lỏng có tính chất liên tục, dễ di động, gần như không chịu lực cắt, lực kéo,

có tính chống nén cao

Chất lỏng (và chất khí) khác chất rắn ở chỗ mối liên hệ cơ học giữa các phân tử trong chất lỏng, và chất khí rất yếu, nên chất lỏng có tính di động, dễ chảy hoặc nói một cách khác là nó có tính chảy Tính chảy thể hiện ở chỗ các phân tử trong chất lỏng có chuyển động tương đối với nhau khi các chất lỏng chuyển động; tính chảy còn thể hiện ở chỗ chúng không có hình dạng riêng, mà lấy hình dạng của bình chứa chất lỏng đứng tĩnh; vì thế chất lỏng còn gọi là chất chảy

Chất lỏng chống lại được sức nén, không co lại trong khi chất khí dễ dàng co lại khi bị nén Vì thế, người ta cũng thường gọi chất lỏng là chất chảy không nén được Tính chất không nén được của chất lỏng đồng thời cũng là tính không dãn ra của nó; nếu chất

lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị phá hoại, trái lại chất khí có thể dãn ra chiếm hết được thể tích của bình chứa nó

Chất lỏng có sức căng mặt ngoài (hình thành do lực hút, đẩy giữa các phân tử sinh

ra tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng với chất khác) Nhờ có sức căng mặt ngoài nên một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt ở môi trường trọng lực sẽ có dạng từ hạt Vì vậy, chất lỏng còn được gọi là chất chảy dạng hạt; tính chất này không có ở chất khí

Trong thủy lực, chất lỏng được coi như môi trường liên tục (những đặc trưng vật

lý của chất lỏng là liên tục) Với giả thiết này trong thủy lực học không nghiên cứu những vận động phân tử trong nội bộ chất lỏng mà chỉ nghiên cứu những vận động cơ học của chất lỏng dưới tác dụng của ngoại lực Do đó, người ta dùng những hàm số liên tục trong toán học để nghiên cứu thủy lực học

Vì vậy trong thủy lực nói chung, các nghiên cứu và tính toán được dựa trên giả thiết cơ bản là có tính liên tục, tính chảy, tính không nén được

1.2.2- KHỐI LƢỢNG RIÊNG VÀ TRỌNG LƢỢNG RIÊNG

, N/m3

(1-2)

Vì giá trị của g thay đổi theo vĩ độ địa lý và độ cao vị trí tính toán so với mực nước biển nên  có giá trị thay đổi Tuy nhiên, trong tính toán người ta thường lấy giá trị g = 9,81 m/s2

Trong kỹ thuật còn dùng khái niệm tỷ trọng (ký hiệu ) Đó là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất lỏng và trọng lượng riêng của nước ở 40

C



Bảng 1-2 Khối lƣợng riêng và trọng lƣợng riêng của một số chất lỏng

riêng , kg/m 3

Trọng lƣợng riêng , N/m 3

dV, ∆V – Lượng giảm thể tích khi áp suất tăng lên, ∆V = V - V 0 , m 3 ;

dp, ∆p- Lượng áp suất tăng lên, ∆p = p - p 0 , N/m 2

Vì sự thay đổi thể tích và sự thay đổi áp suất ngược nhau nên trước biểu thức (1-4)

Ở đây: , 0 - khối lượng riêng của chất lỏng ứng với áp suất p và p 0

Đại lượng nghịch đảo của hệ số nén là mô đun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E, đơn vị là N/m2

Nếu áp suất tăng lên từ 105

đến 400.105 Pa còn nhiệt độ không thay đổi thì khối lượng riêng của nước tăng lên khoảng 2% Vì vậy nên chất lỏng được coi như không nén được Tuy nhiên, trong cùng một điều kiện p = 105

Pa, t = 100C thì Enước = 2.109 N/m2còn Ethép = 2.1011 N/m2, nghĩa là môđun đàn hồi của thép lớn gấp 100 lần so với nước Vậy tính không nén được của chất lỏng chỉ để so sánh với chất khí

Trong kỹ thuật thường có thể bỏ qua tính nén của chất lỏng Nhưng nếu có sự thay đổi áp suất lớn, đột ngột và đặc biệt đối với những thể tích chất lỏng lớn chuyển động thì không thể bỏ qua tính nén được, ví dụ như trong va đập thủy lực

Trong quá trình nén chất lỏng thì khối lượng của nó không thay đổi nên chúng ta

có thể viết m = .V = const

Lấy đạo hàm biểu thức này ta có:

.dV + V.d = 0 hay:

Kết hợp với công thức (1-6) tính môđun đàn hồi của chất lỏng:



Đơn vị của biểu thức là bình phương của đơn vị vận tốc Nên chúng ta có thể viết:

Ở đây: V 0 - thể tích chất khí ở nhiệt độ ban đầu

Đối với chất lỏng chỉ cần sử dụng mối quan hệ bậc nhất:

Ở đây: β t - hệ số giãn nở của chất lỏng

Hệ số giãn nở vì nhiệt của chất lỏng được đặc trưng bởi hệ số giãn nở βt, độ-1 Đó

là sự tăng thể tích tương đối khi nhiệt độ của chất lỏng tăng lên 10

C

Từ (1-9) suy ra:

Tính giãn nở của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất

Ví dụ đối với nước: khi nhiệt độ t = 40C đến 100

C và áp suất p = 105 Pa thì βt = 0,000014 độ-1

, khi t = 100C đến 200C (tăng 10 lần, p = 105

Pa) thì βt = 0,000150 độ-1 Nếu áp suất tăng lên đến 107

Pa thì βt = 0,00043 độ-1 (tăng gấp 3 lần)

Lưu ý: Hệ số giãn nở vì nhiệt lớn hơn nhiều so với hệ số nén được, song chúng đều là những trị số rất nhỏ nên trong một số tính toán thông thường có thể bỏ qua

Nếu nhiệt độ thay đổi từ từ, độ chênh lệch nhiệt độ không đáng kể thì cũng có thể

bỏ qua sự giãn nở thể tích của chất lỏng Nhưng khi sự thay đổi nhiệt độ lớn thì phải xét đến sự thay đổi thể tích chất lỏng Ví dụ trong hệ thống sưởi ấm thì sự thay đổi thể tích

do nhiệt độ làm cho nước chuyển động Từ công thức trên có thể suy ra công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng ở nhiệt độ t:

1.3.4- TÍNH NHỚT

Tính nhớt là tính chất cản trở chuyển động giữa các phần tử chất lỏng (nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động) Trong quá trình

chuyển động các lớp chất lỏng trượt lên nhau phát sinh ra lực ma sát trong gây ra tổn thất năng lượng và chất lỏng như thế gọi là chất lỏng có tính nhớt

Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tương đối và nảy sinh ra tác dụng lôi đi, kéo lại, hoặc nói cách khác, giữa chúng nảy sinh ra chất ma sát tạo nên sự chuyển biến một bộ phận cơ năng của chất lỏng thành nhiệt năng và mất đi Lực ma sát này gọi là ma sát trong (nội ma sát) Tính nảy sinh ra ma sát trong hoặc nói một cách khác tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi

là tính nhớt của chất lỏng Tính nhớt là biểu thị sức dính phân tử của chất lỏng; khi nhiệt

độ tăng cao, mỗi phân tử dao động mạnh hơn xung quanh vị trí trung bình của phân tử;

do đó sức dính phân tử kéo đi và độ nhớt của chất lỏng giảm xuống Mỗi chất lỏng đều có tính nhớt

Năm 1886, I Niutơn đã nêu giả thiết và quy luật ma sát trong của chất lỏng và sau

đó được rất nhiều thí nghiệm xác nhận là đúng

Sức ma sát giữa các lớp chất lỏng chuyển động thì tỉ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực mà phụ thuộc vào vận tốc và loại chất lỏng Những chất lỏng tuân theo định luật ma sát trong của Niutơn gọi là chất lỏng thực hoặc chất lỏng Niutơn Môn thủy lực nghiên cứu chất lỏng Niutơn Những chất lỏng như bêtông chảy, vữa xây dựng, vữa sét được sử dụng khi khoan giếng, vữa koloit v.v cũng chảy nhưng không tuân theo định luật Niutơn gọi là chất lỏng không Niutơn (phi Niutơn)

Thí nghiệm của Newton về tính nhớt bằng cách khảo sát chuyển động ổn định lớp chất lỏng trên bề mặt tấm phẳng theo một phương nhất định cho thấy vận tốc chất lỏng dọc theo phương vuông góc với phương chuyển động có giá trị khác nhau Nghĩa là giữa các lớp chất lỏng có lực tương tác hay nói cách khác giữa các lớp chất lỏng có lực ma sát làm thay đổi vận tốc chuyển động của các lớp chất lỏng Theo Niutơn, ứng suất tiếp của lực ma sát tỷ lệ thuận với građiên vận tốc, phụ thuộc vào chất lỏng và không phụ thuộc vào áp suất:

Ở đây: µ- hệ số nhớt động lực học, đặc trưng tính nhớt của chất lỏng, phụ thuộc vào loại chất lỏng, Pa.s hay N.s /m 2 ;

- gradien vận tốc theo phương y vuông góc với dòng chảy

Theo đó, lực ma sát giữa các lớp chất lỏng lân cận chuyển động có dạng:

Đơn vị nhỏ hơn centipoazơ (cP): P = 100 cP

Ngoài hệ số nhớt động lực học , trong kỹ thuật hay dùng hệ số nhớt động học ,

m2/s hoặc Stôc (stoc: 1 st =10-4

Để đo độ nhớt của chất lỏng, người ta dùng các loại dụng cụ đo khác nhau

Thường độ nhớt dầu bôi trơn được ghi kèm theo mac dầu ví dụ dầu AK15 là dầu bôi trơn dùng cho ôtô máy kéo có độ nhớt 50 =15 cSt ở nhiệt độ 500C

Ngoài ra một số nước có đơn vị đo độ nhớt riêng, ví dụ như: Nga dùng độ Engle (0E), Anh dùng giây Ređut ("R), Pháp dùng độ Bacbê (0B), Mỹ dùng giây Sêbôn ("S)

Khi ở nhiệt độ 200C: hệ số nhớt động lực học của không khí µkk = 18.10-5 Poazơ

hệ số nhớt động lực học của nước µnước = 1.10-2 Poazơ (lớn hơn 57 lần so với không khí)

Nhưng hệ số nhớt động học của không khí kk = 15.10-2 Stôc (lớn hơn 15 lần so với nước; hệ số nhớt động học của nước nước = 1.10-2 Stôc)

Độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất môi trường làm việc Khi

nhiệt độ tăng độ nhớt của chất lỏng giảm, còn của chất khí thì lại tăng (hình 1-1) Tùy

theo phạm vi nhiệt độ làm việc cần chọn dầu bôi trơn cho phù hợp Trong công nghiêp thường lấy độ nhớt động học ở 500

C làm chuẩn

Ảnh hưởng của áp suất đến độ nhớt không đáng kể Nếu p < 200.105

Pa thì không cần xét tới sự thay đổi của độ nhớt khi áp suất thay đổi Sự thay đổi này được mô tả bằng phương trình sau:

Ở đây: - độ nhớt khi áp suất bằng áp suất khí trời;

k- hệ số phụ thuộc loại dầu: dầu nhẹ k = 0,002, dầu nặng k = 0,003 (thường dùng trong truyền động thủy lực);

p- áp suất tính bằng at

Bảng 1-4 Độ nhớt động học () của một số chất lỏng

Chất lỏng Độ nhớt động học () Nhiệt độ Chất lỏng Độ nhớt động học () Nhiệt độ

Nước 1,01.10-6 m2/s 200C Không khí 14,9.10-6 m2/s 300C Xăng 0,83.10-6 m2/s 200C Dầu máy 60.10-6 m2/s 180C Thủy ngân 0,116.10-6 m2/s 180C

Hình 1-1

1.3.5- SỨC CĂNG BỀ MẶT CỦA CHẤT LỎNG

Chất lỏng có khả năng chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự

do, phân chia chất lỏng với chất khí hoặc mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn

Sự xuất hiện sức căng mặt ngoài được giải thích là để cân bằng với sức hút phân

tử của chất lỏng tại vùng lân cận mặt tự do, vì ở vùng này sức hút giữa các phân tử chất lỏng không cân bằng nhau như ở vùng xa mặt tự do Do đó có khuynh hướng giảm nhỏ diện tích mặt tự do và làm cho mặt tự do có một độ cong nhất định Do sức căng mặt ngoài mà giọt nước có dạng hình cầu Dùng một ống có đường kính khá nhỏ cắm vào

chậu nước, có hiện tượng mực nước trong ống dâng cao mặt nước tự do ngoài chậu nước; nếu chất lỏng này là thủy ngân thì lại có hiện tượng mặt tự do trong ống hạ thấp hơn mặt thủy ngân ngoài chậu Đó là hiện tượng mao dẫn, do tác dụng của sức căng mặt ngoài gây nên; mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp đầu là mặt lõm, trong trường hợp sau

là mặt lồi

Sức căng mặt ngoài đặc trưng bởi hệ số , biểu thị sức kéo dính trên một đơn vị dài của “đường tiếp xúc” Hệ số ơ phụ thuộc loại chất lỏng và nhiệt độ Trong trường hợp nước tiếp xúc với không khí ở 200

C ta thấy  = 0,076N/m, khi nhiệt độ tăng lên, ơ giảm

đi Đối với thủy ngân cũng trong điều kiện trên, thì  = 0,540N/m, tức là lớn hơn gần 7,5 lần so với nước

Trong đa số hiện tượng thủy lực ta không cần xét đến ảnh hưởng của sức căng mặt ngoài, vì trị số rất nhỏ so với những lực khác Thường phải tính sức căng mặt ngoài trong trường hợp có hiện tượng mao dẫn, ví dụ trong trường hợp dòng thấm dưới đất

Sức căng bề mặt của chất lỏng hình thành bởi tổng hợp lực hút của các phân tử bên trong khối chất lỏng lên các phân tử ở lớp bề mặt tạo nên màng bao có độ bền nhất định

Tính chất này của chất lỏng thể hiện rõ ở những bề mặt giữa chất lỏng này với chất lỏng khác (giữa nước với thành rắn, ) mà giữa chúng không thực hiện phản ứng hóa học Ở các mặt tiếp xúc này chất lỏng tạo ra một màng mỏng bao quanh bề mặt chất lỏng Các phân tử lỏng ở bên trong khối chất lỏng chịu tác dụng mọi phía như nhau Còn ở các phân tử trên bề mặt tiếp xúc hoặc ở lớp ngoài có bề dày nhỏ hơn 10-9

m thì các lực tác dụng lên chúng không bằng nhau (năng lượng của các phân tử trên mặt thoáng khác với năng lượng của các phân tử nằm trong nội bộ chất lỏng một lượng nào đó, gọi là năng lượng bề mặt)

Theo đó, các phân tử trên lớp bề mặt chịu tác dụng một lực tổng hợp hướng vào trong chất lỏng và tạo nên một màng mỏng trên bề mặt tiếp xúc gọi là sức căng bề mặt



Ở đây: R – Sức căng bề mặt (lực tác dụng từ bên ngoài);

l- chiều dài bề mặt tiếp xúc của chất lỏng

Ví dụ: Với mặt phân cách giữa nước và không khí khi nhiệt độ t = 200

C:  = 0,073 N/m; đối mặt phân cách giữa thủy ngân và không khí:  = 0,48 N/m

Bề mặt của hạt chất lỏng chịu sự tác động của lực do ứng suất bề mặt, làm cho thể tích chất lỏng hướng về dạng hình cầu

Khi nhiệt độ tăng hệ số sức căng bề mặt chất lỏng giảm theo qui luật tuyến tính

Ví dụ hệ số sức căng bề mặt của nước thay đổi theo nhiệt độ t = 1000

C thì  = 55 dyn/cm; t = 2000C thì  = 27,5 dyn/cm

Dựa vào tính chất sức căng bề mặt của chất lỏng để khảo sát các vấn đề sau:

- Sức căng bề mặt giữa các lớp chất lỏng với nhau

- Hiện tượng dính ướt

- Hiện tượng mao dẫn: Khi chất lỏng ở trong ống có đường kính nhỏ (gọi là ống mao dẫn) nếu lực dính ướt (Fr) lớn hơn lực kéo các phân tử lỏng (Fc) thì chất lỏng dâng lên trong ống cao hơn mực nước bên ngoài Độ cao này gọi là độ cao mao dẫn (chất lỏng

là nước) Còn nếu như Fc > Fr thì chất lỏng trong ống tụt xuống so với mực chất lỏng bên ngoài Hiện tượng này gọi là hạ mao dẫn (chất lỏng là thủy ngân)

Độ cao mao dẫn được tính từ điều kiện cân bằng giữa trọng lượng cột chất lỏng và lực căng bề mặt:

 Suy ra:

Công thức này thường dùng để tính hệ số sức căng bề mặt Để tránh hiện tượng mao dẫn trong các dụng cụ đo bằng chất lỏng (đo áp suất, nhiệt độ) phải chọn đường kính ống đo lớn hơn 10 mm

1.3.6- SỰ SÔI CỦA CHẤT LỎNG

Sự sôi của chất lỏng là quá trình bay hơi chất lỏng được xảy ra không những từ mặt thoáng mà còn xảy ra bên trong chất lỏng, các bọt khí được tạo thành trong toàn bộ chất nước và vỡ ra Lúc đó áp suất bay hơi bão hòa trong bọt khí pbh > p0 Nhiệt độ ứng với pbh gọi là nhiệt độ sôi Nhiệt độ sôi của chất nước ở áp suất p0 là không đổi Nhiệt lượng cung cấp tiếp cho chất nước đang sôi dùng để sinh công tách các phân tử ra khỏi pha lỏng và chuyển chúng sang pha hơi

Đối với chất lỏng nếu nhiệt độ sôi càng lớn thì độ bốc hơi giảm Đối với hệ thống thủy lực độ bốc hơi được đặc trưng bởi áp suất bão hoà pbh Trong điều kiện nhiệt độ không đổi, nếu áp suất bão hoà pbh càng lớn thì độ bốc hơi càng lớn

Độ hoà tan được biểu diễn bởi công thức

Ở đây: V k – thể tích của khí hoà tan trong điều kiện thường;

V n – thể tích chất lỏng;

k - độ hoà tan;

p 1 và p 2 - áp suất khí trước và sau khi hoà tan

Bảng 1-6 Độ hoà tan ở 20 0 C của một số chất

Ở đây: V k - thể tích chất khí được hấp thụ trong V thể tích chất lỏng

Thể tích chất khí ở nhiệt độ t (Vk) được tính theo thể tích khí ở nhiệt độ t = 00

C (V0k):

Khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất nước được tính từ phương trình trạng thái:

Ở đây: m 1 , m 2 - khối lượng chất khí trong hỗn hợp

V hh - thể tích hỗn hợp của chất khí, T 1 = T 2

Bởi vì mỗi chất khí có khả năng điền đầy thể tích không gian trên mặt thoáng chất nước và nếu tách hỗn hợp khí ra thành những thể tích riêng rẽ thì mỗi chất khí sẽ chiếm thể tích:

Ví dụ: Trong không khí có 21% Ôxy và 79% Nitơ

Tỷ lệ hỗn hợp này là:

Khi được hấp thụ trong nước ở 00C thì tỷ lệ này là: Như vậy lượng ôxy được hấp thụ trong nước gấp hai lần trong không khí

Khi chất lỏng giải phóng chất khí hấp thụ được do sự thay đổi áp suất (giảm) hoặc nhiệt độ (tăng) làm ảnh hưởng đến tính toán thủy lực và gây ra sự gián đoạn chuyển động của chất lỏng

1.3.8- SỰ TRAO ĐỔI NHIỆT VÀ KHỐI LƢỢNG

Hiện tượng trao đổi nhiệt và khối lượng xảy ra ở trong môi trường chất lỏng ở trạng thái tĩnh lẫn chuyển động

Nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với gradien nhiệt độ (theo định luật Furiê), còn khối lượng chất lỏng khuếch tán truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với gradien nồng độ của chất đó trong dòng chất lỏng (theo định luật Fích)

Tính chất trên được biểu diễn bởi các định luật sau đây:

Chất lỏng ở trạng thái tĩnh trong những điều kiện thay đổi áp suất và nhiệt độ bình thường, thì thể tích và khối lượng xem như không đổi vì không có chuyển động nên không có lực ma sát trong (không có tính nhớt) Như vậy chất lỏng thực ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tưởng do đó có thể nghiên cứu các qui luật của chất lỏng thực ở trạng thái tĩnh trên chất lỏng lý tưởng thì kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với thực tế

Tuy nhiên, trong trường hợp chất lỏng thực ở trạng thái chuyển động vì có tính nhớt nên có lực ma sát trong, có tiêu hao năng lượng do đó nếu dùng khái niệm chất lỏng

lý tưởng để nghiên cứu sẽ đơn giản hơn nhưng mặt khác, kết quả nhận được sẽ không

đúng với thực tế Do đó, người ta phải tiến hành các thực nghiệm trên chất lỏng thực So sánh kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm để rút ra các hệ số hiệu chỉnh đưa vào các công thức lý thuyết cho phù hợp với thực tế

Chương 2 TĨNH HỌC CỦA CHẤT LỎNG

2.1- KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Trong tĩnh học chất lỏng chúng ta có thể coi chất lỏng như chất lỏng lý tưởng vì ảnh hưởng tính nhớt không thể hiện Trong chương này chúng ta nghiên cứu điều kiện cân bằng của chất lỏng ở trạng thái tĩnh, qui luật phân bố áp suất và tính lực chất lỏng tác dụng lên vật tiếp xúc hay ngập trong chất lỏng

2 Trong tĩnh học chất lỏng có tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối Nếu chất lỏng không chuyển động so với hệ tọa độ gắn với quả đất thì chất lỏng ở trạng thái tĩnh tuyệt đối (ví

dụ như nước trong ao hồ ) Trong trường hợp này lực khối chỉ là trọng lực Nếu chất lỏng chuyển động so với hệ tọa độ tuyệt đối nhưng giữa chúng không có chuyển động tương đối, nghĩa là chất lỏng chuyển động liền một khối thì gọi đó là tĩnh tương đối (xe chở nước chuyển động có gia tốc ) Lực khối gồm trọng lực và lực quán tính Hệ tọa độ nghiên cứu các bài toán này được gắn vào bình chứa chất lỏng

Ở đây: V- thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối;

- khối lượng riêng của chất lỏng;

R- gia tốc khối (hay lực khối đơn vị)

Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực thì gia tốc khối là gia tốc trọng trường Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc thì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng trường và gia tốc quán tính của chuyển động

Lực mặt (hay lực bề mặt) là lực tác dụng lên bề mặt của khối chất lỏng, tỷ lệ với diện tích bề mặt chất lỏng Chúng gồm các lực như áp lực khí quyển tác dụng lên bề mặt

tự do của chất lỏng, lực ma sát,

Lực mặt được tính theo công thức:

∫ ( )

Ở đây: p- lực mặt tính trên một đơn vị diện tích

Nếu Fp thẳng góc với mặt chất lỏng thì p là áp suất Nếu Fp tác dụng theo phương tiếp tuyến với mặt S thì p là ứng suất tiếp

Áp suất chính là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích Nếu chất lỏng cân bằng gọi

là áp suất thủy tĩnh còn chất lỏng chuyển động thì gọi là áp suất thủy động Áp suất tại một điểm được tính theo:

Đơn vị của áp suất là Patxcan, ký hiệu là Pa - tương đương với N/m-2 Các đơn vị

đo lường khác với quan hệ tương đương được trình bày trong bảng 2-1

- Lực ngoài (ngoại lực): là những lực tác dụng lẫn nhau giữa khối chất lỏng cho trước và những vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó Ví dụ,

áp lực tác dụng lên mặt ngoài của khối chất lỏng cho trước, trọng lượng, lực quán tính, v.v… là những ngoại lực

2.2- ÁP SUẤT THỦY TĨNH (HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH)

a) Định nghĩa

Áp suất thủy tĩnh là những ứng suất gây ra bởi các lực khối và lực bề mặt Xét một

thể tích chất lỏng giới hạn bởi diện tích toàn phần Ω (hình 2-1) Tưởng tượng cắt khối

chất lỏng bằng mặt phẳng AB, chất lỏng phần I tác dụng lên phần II qua diện tích mặt cắt

 Bỏ I mà vẫn giữ II ở trạng thái cân bằng thì phải thay phần lực tác dụng I lên II bằng lực P gọi là áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt S Áp suất trung bình

Áp suất tại điểm M:

Đơn vị áp suất: 1 N/m2

= 1 Pa (pascal)

1 at = 9,8.104 N/m2 = 104 kG/m2 = 10 mH2O = 1 kG/cm2

Hình 2-1 Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh

b) Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh

Tính chất 1: áp suất thủy tĩnh luôn luôn tác dụng thẳng góc và hướng vào mặt tiếp

xúc (hình 2-2), có thể tự chứng minh bằng phản chứng

Hình 2-2 Biểu diễn áp suất thủy tĩnh vuông góc và hướng vào mặt tiếp xúc

Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD có thể chia làm hai thành phần; pn hướng theo pháp tuyến tại điểm O của mặt ABCD và  hướng theo tiếp

tuyến (hình 2-2b), thành phần  có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức là làm chất lỏng đang xét lại ở trạng thái tĩnh, vậy phải có  = 0

Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến hướng vào trong

Tính chất 2: áp suất thủy tĩnh tại mỗi điểm theo mọi phương bằng nhau

Tính chất này được thể hiện bằng biểu thức:

Để chứng minh biểu thức (2-1), trong khối chất lỏng đứng yên, tiến hành trích một

phân tố lỏng hình dạng tứ diện OABC vô cùng bé, có các cạnh dx, dy, dz (hình 2-3) để

xem xét Phân tố lỏng ở trạng thái cân bằng bởi các lực khối và lực mặt Trên mặt ABC có

áp suất p tác dụng Phương của áp suất này tạo với các trục của tọa độ các góc , ,  Vì các mặt vô cùng bé nên có thể coi áp suất tại mọi điểm trên một mặt đều bằng nhau Trên

mặt OBC có áp suất px trên mặt OAC có py trên mặt OAB có pz Các phân tố diện tích này

có liên quan với nhau:

dSx = dS.cos; dSy = dS.cos; dSz = dS.cos

Hình 2-3 Biểu diễn áp suất thủy tĩnh theo mọi phương đều bằng nhau

Lực mặt tác dụng lên phân tố lỏng là: dFp = p.dS; dFx = px.dSx; dFy = py.dSy;

dFz = pz.dSz

và dFpx = p.dS.cos = p.dSx ; dFpy = p.dS.cos = p.dSy ; dFpz = p.dS.cos = p.dSz

Lực khối tác dụng lên phân tố lỏng theo các trục tọa độ:

; ;

Ở đây: ⃗ ( )- gia tốc khối

Chất lỏng ở trạng thái cân bằng nghĩa là tổng các lực tác dụng lên phân tố sẽ bằng không Chiếu lên trục Ox: dFx – dFpx + dFRx = 0

Hay:

Khi dx, dy, dz → 0 (tại một điểm) ta thấy dx.dy.dz là tích vô cùng bé bậc ba có thể

bỏ qua được so với tích dy.dz là tích vô cùng bé bậc hai, vì thế ta viết được p = px

Chứng minh tương tự cho hình chiếu các lực lên các trục còn lại ta có: p = py; p =

pz Cuối cùng ta có biểu thức (2-1): px = py = pz = p

Vậy áp suất tĩnh của chất lỏng có tính chất như một đại lượng vô hướng nó không phụ thuộc vào vị trí của mặt tác dụng Nó là hàm của tọa độ không gian (áp suất thủy tĩnh tại một điểm chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó):

Xét một phần tử chất lỏng hình hộp cân bằng có các cạnh dx, dy, dz đặt trong hệ

trục tọa độ Oxyz (hình 2-4)

Ngoại lực tác dụng lên phần tử chất lỏng xét bao gồm lực khối và lực mặt

Lực khối tỷ lệ với khối lượng (F ~ m = ρ.dx.dy.dz), được tính theo công thức:

dFx = X..dx.dy.dz; dFy = Y..dx.dy.dz; dFz = Z..dx.dy.dz

Ở đây: X, Y, Z - hình chiếu lực khối đơn vị lên các trục x, y, z

Áp suất tại trọng tâm phân tố lỏng là p, áp suất ở điểm M cách tâm một đoạn theo phương x là Áp suất tại N cách tâm một đoạn là

Lực mặt tác dụng lên phần tử chất lỏng là các áp lực thủy tĩnh tác dụng trên các mặt hình hộp chất lỏng

Áp lực tác dụng lên các mặt thẳng góc với phương x là:

(

) (

)

Suy luận tương tự áp lực theo các phương y, z:

;

Điều kiện cân bằng của phần tử chất lỏng hình hộp là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực trên bất kỳ trục tọa độ nào cũng bằng không

Hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên phân tố chất lỏng lên trục x:

Hình 2-4 Thành lập phương trình vi phân của chất lỏng cân bằng

Do đó chất lỏng có thế ở trạng thái cân bằng chỉ khi lực khối tác dụng lên nó là lực có thế

2.4- PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC

Phương trình cơ bản thủy tĩnh học cho phép xác định được sự phân bố áp suất trong chất lỏng chịu tác dụng của ngoại lực Các nghiên cứu trên đây cho thấy quan hệ giữa ngoại lực tác động vào chất lỏng và ứng suất sinh ra trong nội bộ chất lỏng được thể hiện dưới dạng phương trình vi phân, chưa thể dùng được để giải bài toán cụ thể Nhiệm

vụ ở đây chính là lấy tích phân các phương trình vi phân cân bằng chất lỏng trong các điều kiện cụ thể

2.4.1- TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH ƠLE TĨNH

Để giải quyết một số vấn đề thực tế ta viết phương trình Ơle tĩnh dưới dạng:

Thay (2-10) vào (2-9):

Như vậy, dùng phương trình (2-11) có thể xác định được áp suất thủy tĩnh tại bất

kỳ điểm nào trong chất lỏng, nếu biết được trị số của hàm U và điều kiện biên U0; p0

Cũng từ (2-6) ta có:

Ở đây:  là góc tạo bởi hai vectơ lực khối và vectơ quãng đường dịch chuyển ds

Trên mặt đẳng áp áp suất tại mọi điểm có giá trị như nhau, nghĩa là p = const hay

dp = 0 Nếu  = const thì từ (2-12):

F.ds.cos = 0 Suy ra  = 900, nghĩa là mặt đẳng áp thẳng góc với vectơ gia tốc lực khối

Kết hợp với (2-8) thì mặt đẳng áp cũng là mặt đẳng thế

Mặt đẳng áp có hai chính chất:

Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau Vì nếu chúng cắt

nhau thì tại cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh lại có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh

Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp Do

đó, công của lực thể tích làm ra khi di động trên mặt đẳng áp thì bằng không

2.4.3- PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC

Xét trường hợp chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của lực khối là trọng lực

Giả sử khối chất lỏng đựng trong bình kín, đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (hình 5)

2-Áp suất tác dụng bề mặt chất lỏng là p0 Hình chiếu lực khối lên các trục x, y, z:

Phương trình (2-6) trong trường hợp khảo sát ở đây có dạng:

Như vậy với một điểm A bất kỳ trong chất lỏng có tọa độ z và ở độ sâu h = z0 - z;

ta có thể viết được phương trình cơ bản của thủy tĩnh học:

Hình 2-5 Sơ đồ xác định phương trình cơ bản của thủy tĩnh học

Cũng có thể xây dựng phương trình cơ bản của thủy tĩnh học thuần túy theo phương pháp lực như sau:

Trong khối chất lỏng tĩnh cân bằng, xét một khối hình trụ thẳng đứng, đáy có tiết diện  (hình 2-5b), mặt dưới cách mặt thoáng h1 chịu áp suất p1; trên mặt cách mặt thoáng h2 chịu áp suất p2

Tách riêng khối chất lỏng ra để xét thì cân bằng dưới tác dụng của những lực sau:

- Áp lực từ mặt trên p2. thẳng đứng từ trên xuống dưới

- Áp lực từ mặt dưới p1. thẳng đứng lên

- Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu

- Trọng lượng khối chất lỏng hình trụ:

G = ..(h1 - h2) Chiếu hệ lực lên phương thẳng đứng ta viết điều kiện cân bằng:

p1. - p2. - ..(h1 - h2) = 0

Hiệu số áp suất giữa hai điểm trong khối chất lỏng tĩnh thì bằng trọng lượng cột chất lỏng hình trụ, có đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng hệ số độ sâu giữa hai điểm ấy

Nếu mặt trên của hình trụ trùng với mặt thoáng, h2 = 0, ta có p2 = p0 (áp suất tại mặt thoáng), phương trình (2-16) được viết lại là:

p1 = p0 + .h1

Hoặc tổng quát ta có được phương trình (2-15) trên đây: p = p0 + .h

Phương trình (2-15) gọi là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, còn gọi là nguyên lý cơ bản thủy tĩnh học; được phát biểu “áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kì trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng cộng với trọng lượng cột chất lỏng hình trụ, đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng đến điểm ấy”

Từ (2-15) ta thấy khi h = const thì p = const, nghĩa là những điểm có cùng độ sâu thì có áp suất bằng nhau Với chất lỏng chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì các mặt đẳng

áp là những mặt phẳng nằm ngang

Ví dụ: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4 m, trọng lượng riêng

của nước  = 9.810 N.m3 ( = 1.000 kG/m3); áp suất tại mặt thoáng của bể bằng áp suất khí quyển p0 = pa = 98.100 N/m2 (p0 = 10.000 kG/m2)

Giải:

Áp dụng công thức (2-10) ta có: p = p0 + .h = 98.100 + 9.810  4

p = 137.340 N/m2 (p = 14.000 kG/m2 )

2.4.4- ĐỊNH LUẬT BÌNH THÔNG NHAU

“Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, thì độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng” Tức là:

(2-17)

Ở đây: h 1 , h 2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lượng đơn vị tương ứng là 1 , 2

Thật vậy, áp suất p1, p2 trên cùng mặt phẳng chia A-B ở bình 1, bình 2 (hình 2-6)

như trên đã nói thì bằng nhau: p1 = p2

Hình 2-6 Hình 2-7

Theo biểu thức xây dựng trên ta có:

p1 = p0 + 1.h1

p2 = p0 + 2.h2 Vậy: 1.h1 = 2.h2

2.6.1- ÁP SUẤT TRONG TĨNH TUYỆT ĐỐI

2.6.1.2- Phân biệt các loại áp suất

Áp suất thủy tĩnh được tính theo (2-15) là áp suất tuyệt đối, ký hiệu là pt Áp suất tuyệt đối có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn áp suất khí trời

Trường hợp mặt thoáng chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì p0 = pa (pa là áp suất khí trời)

Ngoài giá trị tuyệt đối dùng làm gốc để đo áp suất, người ta thường lấy áp suất khí trời làm gốc để đo các loại áp suất

Người ta qui ước áp suất khí trời pa = 1 at = 98.100 N/m2 (≈ 105 N/m2), pa ≈ 10 m

cột nước

+ Nếu pt > pa thì chúng ta có áp suất dư, ký hiệu là pd: pd = pt – pa = .hd

+ Nếu p < pa thì chúng ta có áp suất chân không, ký hiệu pck: pck = pa - pt = .hck Giá trị pckmax ≈ 10 m cột nước

2.6.2- PHÂN BỐ ÁP SUẤT THỦY TĨNH

2.6.2.1- Biểu đồ phân bố áp suất

Từ phương trình (2-15) ta thấy áp suất tĩnh là hàm số bậc nhất của độ sâu [phương trình p = p0 + .h có dạng y = a.x + b], với b tương ứng với áp suất trên mặt thoáng của chất lỏng (p0), còn hệ số góc a tương ứng trọng lượng riêng của chất lỏng , và h thay đổi theo độ sâu trong chất lỏng Biểu đồ phân bố áp suất được biểu diễn theo chiều sâu trong chất lỏng [Hệ trục tọa độ là chiều sâu h hướng xuống theo thực tế, gốc tọa độ sẽ là điểm nằm trên mặt thoáng tự do (tại đó áp suất dư bằng không), trục tọa độ thứ hai là giá trị áp suất dư pd]

Hình 2-8 thể hiện biểu đồ áp suất thủy tĩnh tuyệt đối và áp suất dư tác dụng lên mặt phẳng AB chìm trong chất lỏng có độ sâu h với các đường bao tương ứng ABC và AA’B’B

Nếu trường hợp mặt chịu áp suất thủy tĩnh là một mặt cong thì cách vẽ cũng tương

tự, chỉ có điều véctơ biểu thị áp suất tại các điểm không song song với nhau nên phải vẽ

từng điểm rồi nối lại Vẽ càng nhiều điểm thì biểu đồ càng chính xác Hình 2-9 thể hiện biểu đồ áp suất dư tác dụng lên một thùng hình trụ tròn nằm ngang chứa chất lỏng ở độ sâu h

Hình 2-8 Biểu đồ áp suất thủy tĩnh tác

Trên thực tế, áp kế trong kỹ thuật chỉ đo được áp suất tương đối là hiệu của áp suất tuyệt đối và áp suất không khí

Trên cơ sở công thức tính áp suất điểm (2-15) người ta chế tạo ra các dụng cụ đo

áp suất điểm bằng chất lỏng trong ống đo áp chữ U (ống bằng thủy tinh có đường kính trong d  1,5 cm, uốn hình chữ U, chất lỏng là thủy ngân hoặc nước, cồn, ) Nối trực tiếp một đầu ống thủy tinh qua ống cao su vào điểm cần đo áp suất, một đầu thông với khí trời

Hình 2-10

- Khi áp suất cần đo trong bình bằng áp suất khi trời (hình 2-10a) thì mực nước hai

cột ống chữ U bằng nhau Ta gọi áp suất tuyệt đối trong bình p = pa

- Khi áp suất bình lớn hơn áp suất khí trời (hình 2-10b), mực nước cột thông với

bình giảm xuống cột nước tự do dâng cao hơn cột kia một lượng là h Áp suất tính theo (2-15): p - pa = p =  h,

Hiệu p - pa = p =  h chính là áp suất dư: pd = p - pa

- Khi áp suất bình nhỏ hơn áp suất khí trời (hình 2-10c) mực nước cột thông với

bình dâng lên, cột tự do hạ xuống, hơn nhau một lượng là - h

Áp suất tính theo (2-15): p - pa = p = -  h

Tương tự, hiệu pa - p = - p = -  h chính là áp suất chân không: pck = pa – p

Độ chân không được ký hiệu:

Độ chân không tuyệt đối đạt được khi p = 0:

( ) Như vậy, khi trong bình là chân không tuyệt đối thì nước chỉ dâng lên một độ cao

là hn= 10 m, còn thủy ngân có độ dâng là hHg = 13,55 m

2.7- ÁP SUẤT CHẤT LỎNG TRONG TĨNH TƯƠNG ĐỐI

Chất lỏng chuyển động so với hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ theo được gắn liền với khối chất lỏng chuyển động Lực khối trong trường hợp này gồm trọng lực và lực quán tính của chuyển động theo Ta xét hai dạng tĩnh tương đối đặc trưng sau

2.7.1- BÌNH CHỨA CHẤT LỎNG CHUYỂN ĐỘNG THẲNG THAY ĐỔI ĐỀU (GIA TỐC a = const)

Chọn hệ trục tọa độ như hình 2-11

Hình 2-11 Chuyển động thẳng thay đổi đều (a = const)

Xuất phát từ phương trình (2-6): dp = ρ.(X.dx + Y.dy + Z.dz)

Lực khối: Trọng lực ⃗⃗ ⃗

Vậy, phân bố áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng:

p = p0 - .(a.y + g.z) Phương trình mặt đẳng áp: p = const, dp = 0

a.dy + g.dz = 0 → a.y + g.z = C Vậy mặt đẳng áp là mặt phẳng nghiêng một góc :

| | → a > 0: chuyển động nhanh dần đều;

→ a < 0: chuyển động chậm dần đều

* Lưu ý: Ứng dụng trường hợp trên để xác định được mực nước dâng lên cao bao

nhiêu khi xe chứa chất lỏng chuyển động nhanh, chậm dần đều Tìm những biện pháp cần thiết để đảm bảo việc cung cấp nhiên liệu được điều hoà ở bộ chế hoà khí của ôtô, máy bay v.v…

2.7.2 BÌNH CHỨA CHẤT LỎNG QUAY ĐỀU VỚI VẬN TỐC GÓC  = const

Đó là phương trình mặt paraboloit tròn xoay quay quanh trục Oz

Phương trình mặt thoáng (mặt tự do): p = p0

Do đó:

Hình 2-12 Bình chứa chất lỏng quay đều (ω = const)

* Lưu ý: Dựa trên hiện tượng này người ta chế tạo các máy đo tốc độ quay, các hệ

thống bôi trơn ở trục, các hệ thống lắng li tâm, đúc các bánh xe, các ống gang, thép v.v…

2.8- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH

2.8.1- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH PHẲNG CÓ HÌNH DẠNG BẤT KỲ

2.8.1.1- Xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng đặt nghiêng với mặt thoáng một góc 

Khi tính áp lực P tác dụng lên diện tích S (hình 2-13), ta phải xác định 3 yếu tố:

phương chiều, trị số và điểm đặt của P

Hình 2-13 Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng

Cách tính: tính dP tác dụng trên dS, sau đó tích phân trên toàn S sẽ được P

a/- Phương chiều

SOy = zC.S Gọi hC là độ sâu của C thì:

hC = zC.sin

Vậy: P = p0.S + .sin.zC.S = (p0 + .hC).S = pC.S (2-18)

Ở đây: p C - áp suất tại trọng tâm

Từ (2-18) ta thấy rằng tổng (p0 + .hC) là áp suất tuyệt đối của chất lỏng tại trọng tâm C của diện tích phẳng

Nếu áp suất trên mặt thoáng là áp suất khí trời (p0 = pa) và phía sau tấm phẳng là

áp suất khí trời Lực của áp suất khí trời lên tấm phẳng ở hai phía như nhau nên áp lực chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng trong trường hợp này là áp lực thủy tĩnh dư:

Từ công thức (2-19) chúng ta thấy rằng: áp lực (dư) của chất lỏng tác dụng lên tấm phẳng chính bằng tích áp suất (dư) của chất lỏng tại trọng tâm hình học nhân với diện tích tấm phẳng

Nếu tấm phẳng đặt nằm ngang song song với mặt thoáng ở độ sâu h (như đáy bình) thì hC = h Theo phương trình (2-19):

G là trọng lượng khối lỏng chứa trên đáy S ở độ sâu h Theo kết luận này thì dù hình dạng bình chứa như thế nào đi nữa nếu diện tích mặt đáy giống nhau và ở độ sâu

như nhau thì lực tác dụng của chất lỏng lên đáy như nhau (hình 2-14) Nó không phụ

thuộc vào trọng lượng thực của chất lỏng chứa trong bình Đây chính là nghịch lý tĩnh học chất lỏng Ứng dụng nghịch lý này người ta chế tạo ra các dụng cụ chứa chất lỏng theo nhu cầu sử dụng ví dụ để tăng độ ổn định các bình chứa hóa chất đặc biệt bao giờ cũng có đáy lớn

Hình 2-14 Bình chứa chất lỏng có hình dạng khác nhau

c/- Vị trí tâm áp lực

Ðiểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực Tùy theo áp lực là áp suất tuyệt đối hay là áp suất dư mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư Phương pháp xác định vị trí tâm áp lực trong hai trường hợp đều giống nhau Ở đây chỉ nêu lên phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư Gọi D(z, y) là tâm áp lực dư, cần xác định tọa độ zD

và yD của điểm D

* Trường hợp hình phẳng có trục đối xứng:

Gọi D là tâm (điểm đặt) của áp lực P

Áp dụng định lý Varinhong: Mômen của hợp lực (P) đối với một trục bằng tổng các mômen của các lực thành phần (dP) đối với trục đó

Lấy mômen đối với trục Oy:

∫ ( ) Mà:

Biểu thức (2-20) chứng tỏ rằng tâm áp lực (điểm D) luôn nằm thấp hơn trọng tâm

hình học (điểm C) so với mặt thoáng tự do một lượng là:

Trong trường hợp buộc phải lưu ý đến áp suất p0, điểm đặt tính theo công thức:

Nếu mặt chịu lực có trục đối xứng đi qua trọng tâm mà trục này nằm trong mặt phẳng thẳng đứng thì yD = yC Ngoài ra còn có yDo = yD do p0 không thay đổi trên mặt chịu lực

* Trường hợp hình phẳng không có trục đối xứng, ta phải tính thêm tọa độ yD Tương tự như lúc xác định zD Ta viết được phương trình cân bằng mômen so với trục Oz:

∫ ( ) ∫ Thay P theo (2-18) và chú ý rằng hC = zC.sin và p = .z.sin, ta có:

∫

Do đó: ∫

Ở đây: J yz là mômen quán tính ly tâm của tấm phẳng S đối với hệ trục yz

Nếu tấm phẳng đối xứng so với trục y (như hình tròn, hình chữ nhật ) thì Jyz = 0 Trong thực tiễn hay gặp trường hợp diện tích S có hình dáng đối xứng đối với trục song song với Oz, khi đó điểm D nằm trên trục đối xứng, ta chỉ cần xác định zD, không cần xác định yD

a/ Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h1, đáy dưới đặt ở độ sâu h2 Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

- Vị trí điểm đặt

Ta có:

và ( )

Sau khi thay vào biểu thức tổng quát và rút gọn, ta được:

b/ Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở mặt thoáng (h1 = 0) Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

Từ trường hợp a/, tính với h1 = 0 ta được:

c/ Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc  = 900, đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h1, đáy dưới đặt ở độ sâu h2 Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

Từ trường hợp a/, tính với  = 900 ta được:

( )

d/ Xác định áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc  = 900, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở mặt thoáng h1 = 0 Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

Từ trường hợp a/, tính với h1 = 0 và  = 900 ta được:

2.8.2- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN ĐÁY PHẲNG NẰM NGANG CÓ DẠNG HÌNH CHỮ NHẬT

Đặc điểm của quy luật phân bố áp suất ở trường hợp đáy phẳng nằm ngang là tại mọi điểm của đáy áp suất đều như nhau

Biết rằng áp suất ở đáy là p = p0 + .g.h với h là chiều sâu của bể Kí hiệu S là mặt

chịu áp lực ta có áp lực thủy tĩnh lên mặt S (hình 2-15):

P = (p0 + .g.h).S Trong trường hợp này điểm đặt lực trùng với trọng tâm của mặt S

Hình 2-15

2.8.3- TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH CONG

Ở đây ta xét một số trường hợp thành cong là hình cầu, hình trụ Các lực phân tố không song song nhau

Cách tính: Xác định những thành phần của áp lực thủy tĩnh có phương khác nhau không cùng nằm trong một mặt phẳng sau đó cộng hình học những lực thành phần, kết quả sẽ cho ta trị số của áp lực thủy tĩnh P(Px,Py,Pz) lên mặt cong về trị số cũng như phương chiều Điểm đặt của chúng thì được xác định theo phương pháp đồ giải

Xét trường hợp thành cong S của bình chứa có một mặt tiếp xúc với chất lỏng, còn mặt kia tiếp xúc với không khí

Hệ trục tọa độ chọn như hình 2-16 (trục z theo phương thẳng đứng và mặt Oxy trùng với mặt thoáng)

Lấy một vi phân diện tích dS (coi như phẳng), vi phân áp lực thủy tĩnh dP tác dụng lên dS ở độ sâu h được xác định:

dP = γ.h.dS; dP⊥ dS

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Ở đây: S x , S y - Hình chiếu của S lên mặt phẳng vuông góc với Ox, Oy ;

h cx , h cy - Độ sâu của trọng tâm S x , S y

V - Thể tích hình trụ có đáy dưới là hình cong S, đáy trên là hình chiếu của S lên mặt thoáng S z (V còn gọi là vật thể áp lực)

Phương của áp lực thủy tĩnh P lập với hệ tọa độ Oxyz các góc xác định bởi các cosin định hướng sau:

( ⃗⃗ ⃗ ) ( ⃗⃗ ⃗ ) ( ⃗⃗ )

}

Điểm đặt là giao điểm của phương lực P vuông góc với mặt cong Nếu mặt cong là một phần mặt trụ trong nằm ngang thì áp lực thủy tĩnh P lên mặt đó lập thành một góc α với phương ngang:

Áp lực thủy tĩnh P đi qua trục tâm của mặt trụ tròn

2.8.4- PHƯƠNG PHÁP ĐỒ GIẢI

Ngoài cách xác định áp lực thủy tĩnh theo phương pháp giải tích đã trình bày ở trên, trong một số trường hợp đơn giản ta có thể xác định nhanh bằng phương pháp đồ giải

Ví dụ 1: Tính áp lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm phẳng thẳng đứng hình chữ nhật

có chiều cao h, chiều rộng b (hình 2-17)

- Phương pháp giải tích:

Theo công thức (2-15), ta tính áp lực thủy tĩnh dư: P = .hC.S

Độ sâu của trọng tâm thành bể thẳng đứng hC = h/2 và S = b.h

Thay vào phương trình trên ta có:

Điểm đặt áp lực P tính theo công thức (2-16):

Ở đây: và ;

Thay vào ta có:

- Phương pháp đồ giải:

Vẽ biểu đồ áp suất thủy tĩnh dư tác dụng lên tấm phẳng ta được tam giác vuông ABC (đáy là .h, cao là h) Theo công thức tính áp lực thủy tĩnh lên hình phẳng (2-15):

Ở đây: - diện tích tam giác biểu đồ phân bố áp suất thủy tĩnh

Hình 2-17 Biểu đồ phân bố áp suất

xác định áp lực thủy tĩnh lên tấm phẳng

Hình 2-18 Biểu đồ phân bố áp suất xác định áp lực thủy tĩnh lên trụ tròn

Vậy áp lực thủy tĩnh có trị số bằng trọng lượng khối chất lỏng hình trụ có đáy là biểu đồ áp suất ( ) và chiều cao là bề rộng của cánh cửa (b)

Điểm đặt của P đi qua trọng tâm biểu đồ áp suất và vuông góc với mặt tác dụng (P

đi qua trọng tâm ∆ ABC, cách A một khoảng 2/3h)

Ví dụ 2: Tính áp lực lên trụ tròn có bán kính R, chiều dài b

Chọn hệ trục tọa độ như hình 2-18 P ở trường hợp này chỉ bao gồm Px và Pz , Px =

P1x - P2x được xác định theo biểu đồ áp suất:

được hút hết không khí trong ống ra (để đo áp suất tuyệt đối) (hình 2-19)

Hình 2-19 Ống đo áp Hình 2-20 Áp kế thủy ngân kiểu chậu

Khi nối ống đo áp vào nơi cần đo, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống với một độ cao nhất định ta sẽ xác định được áp suất tại điểm đó: và

Dùng ống đo áp để đo các áp suất nhỏ cần có độ chính xác cao, do đó người ta thường dùng ống đo áp trong các phòng thí nghiệm

b/- Áp kế thủy ngân: Là một ống thủy tinh hình chữ U đựng thủy ngân (hình 2-20);

ở nhánh trái của ống nơi nối với chỗ cần đo áp suất có một bầu lớn mục đích để khi đo, thủy ngân di chuyển trong ống thì mức thủy ngân ở bầu hầu như không thay đổi

Áp suất dư tại A được xác định:

c/- Chân không kế thủy ngân:

Cấu tạo (hình 2-21) Tính áp suất chân không tại A ta có:

d/- Áp kế đo chênh: Để đo độ chênh lệch về áp suất tại hai điểm Nó là một áp kế

hình chữ U (hình 2-22) ( )

Hình 2-21 Chân không kế thủy ngân Hình 2-22 Áp kế đo chênh

Trong thực tế kỹ thuật thường dùng các loại áp kế bằng kim loại như áp kế lò xo

(hình 2-23), áp kế màng (hình 2-24) Các áp kế này cho ta ngay trị số đọc được trên đồng

hồ đo là áp suất dư đối với áp kế và áp suất chân không đối với chân không kế

Hình 2-23 Áp kế lò xo hình ống Hình 2-24 Áp kế màng

Ngoài các dụng cụ đo áp suất bằng kim loại, người ta còn dùng các dụng cụ đo áp suất bằng chất lỏng theo phương trình cơ bản của chất lỏng như ống đo áp (còn gọi là ống