Ứng dụng hàm số

Chuyeân ñeà 8: ÑAÏO HAØM VAØ ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM ÑAÏO HAØM Toùm taét giaùo khoa: I. Ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: 1. Soá gia: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x 0 ∈ (a; b) Goïi Δx laø soá sao cho x 0 + Δx ∈ (a; b) • • Δx goïi laø soá gia taïi ñieåm x0 Hieäu f(x 0 + Δx) − f(x 0 ) , kyù hieäu Δy , goïi laø soá gia cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 öùng vôùi soá gia Δx Δy = f(x 0 + Δx) − f(x 0 ) 2. Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x 0 ∈ (a; b) Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0, kyù hieäu laø f'(x0) hay y'(x0) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) cuûa tyû soá giöõa soá gia cuûa haøm soá Δy vaø soá gia cuûa bieán soá Δx taïi ñieåm x0 khi soá gia cuûa bieán soá daàn tôùi 0 f(x 0 + Δx) − f(x 0 ) Δy = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx f '(x 0 ) = lim Ghi nhôù: Ñeå tìm ñaïo haøm cuûa haøm soá f taïi ñieåm x0 theo ñònh nghóa, ta caàn thöïc hieän hai böôùc sau • Böôùc 1: Tính Δy theo coâng thöùc Δy = f(x 0 + Δx) − f(x 0 ) Δy • Böôùc 2: Tìm giôùi haïn lim Δx → 0 Δx Chuù yù: • Neáu ñaët x = x 0 + Δx thì Δy = f(x) − f(x 0 ) vaø khi Δx → 0 thì x → x 0 Khi ñoù ta coù: f '(x 0 ) = lim x → x0 f(x) − f(x 0 ) x − x0 • Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì noù lieân tuïc taïi ñieåm ñoù Ví duï: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau baèng ñònh nghóa taïi ñieåm x0 a) f(x) = x 2 − 3x ; x 0 = 2 1 ; x0 = 1 2x − 1 c) f(x) = x − 3 ; x 0 = 6 b) f(x) = 3. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: • Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø f'(x0) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá M 0 (x 0 ; f(x 0 )) ∈ (C) vaø Δ laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M 38 y f(x0 ) (C): y=f(x) Δ M0 x x0 a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: • Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) k = f '(x 0 ) b) Phöông trình tieáp tuyeán: • Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M0(x0;f(x0)) laø: y = f '(x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ) 4) YÙ nghóa vaät lyù cuûa ñaïo haøm: a) Vaän toác töùc thôøi: Vaän toác töùc thôøi taïi thôøi ñieåm t0 (hay vaän toác taïi thôøi ñieåm t0) cuûa moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng vôùi phöông trình s = s(t) laø v(t 0 ) = s'(t 0 ) b) Cöôøng ñoä töùc thôøi: Cöôøng ñoä töùc thôøi taïi thôøi ñieåm t0 (hay cöôøng ñoä taïi thôøi ñieåm t0) cuûa moät doøng ñieän vôùi ñieän löôïng q = q(t) laø i(t 0 ) = q '(t 0 ) II. Ñaïo haøm moät beân: Ñònh nghóa: 1) Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = f (x ) taïi ñieåm x 0 , kí hieäu f ′ x −0 f (x ) − f ( x 0 ) Δy f ′ x −0 = lim− = lim− x →x 0 Δx → 0 Δx x − x0 ( ) ( ) ( ) + 2) Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f (x ) taïi ñieåm x 0 , kí hieäu f ′ x 0 f (x ) − f (x 0 ) Δy f ′ x +0 = lim+ = lim+ x →x 0 Δx → 0 Δx x − x0 ( ) Ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f (x ) toàn taïi f ′ x −0 = f ′ x +0 = M ⇒ f ′(x 0 ) = M ( ) ( ) III. Ñaïo haøm treân moät khoaûng: Ñònh nghóa: Haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng J neáu noù coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x0 baát kyø thuoäc J. II. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm: 1. Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá: 39 (u ± v )′ = u ′ ± v′ 1. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ): 2. Ñaïo haøm cuûa tích: (u.v )′ = u ′.v + u.v′ 3. Ñaïo haøm cuûa thöông: Ñaëc bieät ′ ( C.u ) = C.u′ Vôùi C laø haèng soá. ′ ⎛ u ⎞ u ′.v − u.v′ Ñaëc bieät ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ ′ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎜ ⎟ = 2 ⎝v⎠ v 4. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp: Cho hai haøm soá y = f (u ) vaø u = g(x ) khi ñoù y = f [g(x )] ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai haøm soá treân, khi ñoù: y′x = y′u .u′x 2. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn: Haøm soá hôïp u = f (x ) (C )′ = 0 ( C laø haèng soá ) ′ x α = αx α −1 ′ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎜ ⎟ = 2 x ⎝x⎠ ′ 1 x = 2 x ′ ex = ex (u )′ = αu ( ) ( ) ( ) ( ) ln a vôùi (0 < a ≠ 1) (log a x )′ = 1 vôùi (0 < a ≠ 1) x ln a (ln x )′ = 1 (x > 0) x ′ ( ln x ) = 1x (x ≠ 0) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x (tgx )′ = 12 = 1 + tg 2 x cos x (cot gx )′ = − 21 = −(1 + cot g 2 x ) sin x ′ a.d − c.b ⎛ ax + b ⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cx + d ⎠ (cx + d ) x α −1 .u ′ ′ ⎛ 1 ⎞ − u′ ⎜ ⎟ = 2 u ⎝u⎠ ′ u′ u = 2 u ′ e u = e u .u ′ ( ) (a )′ = a x α (a )′ = a .u ′ ln a vôùi (0 < a ≠ 1) ′ (log a u )′ = u vôùi (0 < a ≠ 1) u ln a ′ (ln u )′ = u u ′ ′ ( ln u ) = uu (sin u )′ = u ′ cos u (cos u )′ = −u ′ sin u ′ (tgu )′ = u 2 = (1 + tg 2 u ).u ′ cos u ′ (cot gu )′ = − u2 = −(1 + cot g 2 u ).u ′ sin u ′ ⎛ ax 2 + bx + c ⎞ a.a1 x 2 + 2a.b1 x + b.b1 − a1 .c ⎜⎜ ⎟⎟ = (a1 x + b1 )2 ⎝ a1 x + b1 ⎠ u Ví duï 1: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 40 u 3 1 1) y = − x3 + 4x 2 − 5x − 11 2) y = 2x 2 − 5x + 1 3 2x − 1 3) y= 4) y = x 4 − 3x 2 + 7 3x + 2 Ví duï 2: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1) y = 3x 4 − 6x3 + 2x 2 + 5x 2) y = 3 cos x + 2 sin x ( 3) y=(2x 2 + 5x)(x 3 + 2x 2 ) 4) y = ) 3x 2 + 2x + 6 x−2 Ví duï 3: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1+ x ⎛π x⎞ 1) y = 2) y = 2 cos ⎜ − ⎟ 1− x ⎝4 2⎠ cosx + sin x 3) y= 4) y = ln(cos x) sinx − cos x Ví duï 4: Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1) y = x 4 − x 2 4) y = e − x + x 7) y = x ln x x+3 2) y = x2 +1 ex 5) y = x 8) y = x − 2 + 4 − x 41 3) y = x2 x2 −1 6) y = 1 2 x − ln x 2 9) y = x + 2 − x 2 TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa: Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) • [f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ] • [f nghòch [ ] [ ] ñn ⇔ ∀ x , x ∈ (a; b ) : x < x ⇒ f ( x ) < f ( x ) 1 2 1 2 1 2 ñn bieán (giaûm) treân (a; b) ] ⇔ ∀ x , x ∈ ( a ; b ) : x < x ⇒ f ( x ) > f ( x ) 1 2 1 2 1 2 y y f ( x2 ) f ( x1 ) (C ) : y = f ( x) a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 ) x O x x2 a x1 b ÑÒNH LYÙ LAGRANGE: Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [ a; b] vaø coù ñaïo haøm trong khoaûng ( a; b ) thì toàn taïi ñieåm c ∈ ( a; b ) sao cho : f '(c) = f(b) − f(a) b−a Ví duï:Tìm soá c trong ñònh lí Lagrange aùp duïng cho haøm soá y = f(x) = 2x 2 − 5x + 3 treân ñoaïn [ 0;4] 1. Ñieàu kieän caàn cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • • [f ñoàng bieán (taêng) treân khoaûng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ [f nghòch bieán (giaûm) treân khoaûng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ 2. Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu: Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) > 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) < 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f nghòch bieán (giaûm) treân (a; b) ⎡ ' ⎤ • ⎢⎣f (x) = 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇒ f khoâng ñoåi treân (a; b) [ [ [ x f ' ( x) f (x ) a ] ] ] b x + f ' ( x) 42 f (x ) a b − Ñònh lyù 3: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ höõu haïn ñieåm cuûa (a; b) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢ñaúng thöùc chæ xaûy ra taïi moät soá ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ höõu haïn ñieåm cuûa (a; b) ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ [ ñoàng bieán (taêng) treân (a; b) ] [ nghòch bieán (giaûm) treân (a; b)] Minh hoïa ñònh lyù: x x0 a f ' ( x) + 0 x b + − f ' ( x) Ñònh lyù 4: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) • • 0 b − f ( x) f (x ) • x0 a [f ñoàng bieán (taêng) treân (a; b)] [f nghòch bieán (giaûm) treân (a; b)] [f khoâng ñoåi treân (a; b)] ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢⎣f (x) = 0 ∀x ∈ (a; b)⎥⎦ ⇔ ⇔ ⇔ 3. Phöông phaùp xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá: Muoán xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f (x) ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá : D=? Böôùc 2: Tính f ' ( x) vaø xeùt daáu f ' ( x) Böôùc 3: Döïa vaøo ñònh lyù ñieàu kieän ñuû ñeå keát luaän. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: x+3 x2 +1 ex 1) y = x 4 − x 2) y = 2 4) y = e − x + x 5) y = x 7) y = ln x 8) y = x − 2 + 4 − x x 43 3) y = x2 x2 −1 6) y = 1 2 x − ln x 2 9) y = x + 2 − x 2 1 Baøi 2: Cho haøm soá y = f ( x ) = − x 3 + 2 x 2 + (2a + 1) x − 3a + 2 (1). Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán treân R 3 1 Baøi 3: Tìm m ñeå haøm soá y = − x 3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x − 4 ñoàng bieán treân khoaûng (0;3) 3 2 1 Baøi 4: Cho haøm soá y = f ( x) = x 3 + (m − 1) x 2 + (2m − 3) x − (1) 3 3 Vôùi giaù trò naøo cuûa m, haøm soá (1) ñoàng bieán treân R m Baøi 5: Cho haøm soá y = f ( x) = x + 2 + (1) x −1 Tìm a ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù 2 − 2 x + (m + 2) x − 3m + 1 Baøi 6: Cho haøm soá y = f ( x) = (1) x −1 Tìm a ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh cuûa noù 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = x 3 − ax 2 + (2a − 1) x − a + 2 3 Tìm a ñeå haøm soá nghòch bieán trong khoaûng (-2;0) Baøi 8: Cho haøm soá y = x 3 − mx 2 + x + 1 (1) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán trong khoaûng (1;2) x 2 + mx − 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = x −1 Tìm m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (- ∞ ;1) vaø (1;+ ∞ ). 44 CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa I. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b) y O y (C ) : y = f ( x) f ( x0 ) f ( x) a x (x x ) 0 b x a ( x x0 ) O b f ( x) f ( x0 ) • ⎡x ⎢⎣ 0 laø ñieåm CÖÏC ÑAÏI • ⎡ ⎢x 0 ⎣ laø ñieåm CÖÏC TIEÅU ñn cuûa haøm soá f ⎤⎥ ⎡ ⎢⎣ f(x) ⇔ ⎦ ñn ⇔ cuûa haøm soá f ⎤⎥ ⎦ II.Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò: Ñònh lyù Fermat : Giaû söû y=f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø ⎡f ⎢ ⎢f ⎢⎣ coù ñaïo haøm taïi x ñaït cöïc trò taïi x 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ ⇒ (C ) : y = f ( x) ⎡ ⎢⎣ f(x) < f(x 0 > f(x ∀ x ∈ V \ ⎧⎨ x ) 0 ⎩ ∀ x ∈ V \ ⎧⎨ x ) ⎩ ⎫⎤ 0 ⎬⎭ ⎥⎦ ⎫⎤ 0 ⎬⎭ ⎥⎦ x ∈ (a; b) 0 f ' ( x ) = 0 ⎤⎥ 0 ⎦ YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f ( x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f ( x) taïi ñieåm M(x0,f(x0)) phaûi cuøng phöông vôùi Ox III. Ñieàu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöcï trò: 1) Ñònh lyù 1: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm treân moät laân caän cuûa ñieåm x0 ( coù theå tröø taïi ñieåm x0) ⎡ Neáu khi x ñi qua x ⎤ maø • ⎢ 0 ⎥ ⎤ ⎡ ⎢ ⎣⎢ f • ' ( x ) ñoåi daáu töø ⎡ Neáu ⎢ ⎢ ' ⎣⎢ f ( x ) ⎥ + sang - ⎦⎥ khi x ñi qua x maø ⎤ 0 ⎥ ⎥ ñoåi daáu töø − sang + ⎦⎥ ⇒ ⇒ ⎢⎣ f ñaït CÖÏC ⎡ ⎢f ⎣ ÑAÏI taïi x ñaït CÖÏC TIEÅU 0 ⎥⎦ taïi x 0 ⎤ ⎥ ⎦ Baûng toùm taét: x f ' ( x) f ( x) x0 a + 0 x b − f ' ( x) x0 a − 0 f ( x) CD 45 CT b + 2) Ñònh lyù 2: Giaû söû haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp hai taïi x0 vaø f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • • ⎡ ⎢⎣ Neáu ⎡ ⎢⎣ Neáu f ' ' ( x ) < 0 ⎤⎥ 0 ⎦ ⇒ f '' ( x ⇒ 0 ) > 0 ⎤⎥ ⎦ ⎡f ⎢⎣ ñaït CÖÏC ÑAÏI ⎡ ⎢f ⎣ ñaït CÖÏC TIEÅU taïi x 0 taïi x ⎤ ⎥⎦ ⎤ ⎥ ⎦ 0 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá: 1) y = x 4− x 2) 4) 2 y = e−x + x 5) 7) y= x ln x y = x+3 x2 +1 x y=e x 8) y = x−2 + 4− x 3) 6) y= x2 x 2 −1 y = 1 x 2 − ln x 2 9) y = x + 2 − x 2 y = x3 + 2(m − 1) x 2 + (m 2 − 4m + 1) x − 2(m 2 + 1) . Tìm m ñeå y ñaït 1 + 1 = 1 (x + x ) cöïc ñaïi, cöïc tieåu taïi hai ñieåm x1, x2 thoûa maõn ñieàu kieän x x 2 1 2 1 2 x 2 + mx − 2 . Xaùc ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu Baøi 3: Cho haøm soá y = mx − 1 vôùi hoaønh ñoä thoûa maõn x + x = 4 x x 1 2 1 2 x 2 + mx + 1 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 Baøi 4: Tìm m ñeå haøm soá y = x+m Baøi 2: Cho haøm soá Baøi 5: Giaû söû haøm soá v'(x ) ≠ 0 0 f ( x) = thì u ( x) v( x ) ñaït cöïc trò taïi x0. Chöùng minh raèng neáu u'(x ) 0 f (x ) = 0 v'(x ) 0 2 y = x + 3x + 5 x+2 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Chia f(x) cho f'(x), ta ñöôïc: f ( x) = f ' ( x).( Ax + B) + αx + β AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: Baøi 6: Cho haøm soá f ( x ) = αx + β 0 0 y = x 3 − 3x 2 − 3x + 2 Giaû söû f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 Chöùng minh raèng : AÙp duïng : Tìm giaù trò cöïc trò cuûa haøm soá: 46 Baøi 7: Goïi (Cm) laø ñoà thò haøm soá y = mx + 1 x (1) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc trò vaø khoaûng caùch töø ñieåm cöïc tieåu cuûa (Cm) ñeán tieäm caän xieân cuûa (Cm) baèng Baøi 8: Cho haøm soá y = 1 2 x 2 + mx + 1 . Tìm m sao cho haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1 x+m 1 3 x − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 3 Tìm m sao cho haøm soá coù hai cöïc trò coù hoaønh ñoä döông Baøi 10: Cho haøm soá y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 + 2m − 3) x + 4 (1) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung Baøi 11: Cho haøm soá : y = ( x − m )3 − 3 x Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0. Baøi 12: Cho haøm soá : y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 Tìm m ñeå haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò. x 2 + mx Baøi 14: Cho haøm soá y = 1− x Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi ,cöïc tieåu vaø khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá baèng 10. Baøi 9: Cho haøm soá y = 47 GTLN VAØ GTNN CUÛA HAØM SOÁ Toùm taét giaùo khoa 1. Ñònh nghóa: • • Cho haøm soá y = f (x) xaùc ñònh treân D Soá M ñöôïc goïi laø GTLN cuûa haøm soá neáu: ⎧ f ( x) ≤ M ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Toàn taïi x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = M Kyù hieäu: M = Max y x∈D Soá m ñöôïc goïi laø GTNN cuûa haøm soá neáu: ⎧ f ( x) ≥ m ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Toàn taïi x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m Kyù hieäu: m = min y y x∈D M Minh hoïa: f ( x) x x0 x0 x O m (C ) : y = f ( x) D 2. Caùc phöông phaùp tìm GTLN & GTNN cuûa haøm soá y = f (x) treân D a) Phöông phaùp 1: Söû duïng baát ñaúng thöùc 2 vôùi x > 0 x y = x−2 + 4− x Ví duï 1: Tìm GTLN vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : y = x+ b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa pt hoaëc heä phöông trình Ví duï: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2 +3 x y= x2 + x + 2 b) Phöông phaùp 2: Söû duïng ñaïo haøm, laäp BBT cuûa haøm soá f treân D roài suy ra keát qua Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa haøm soá : Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa haøm soá : y = 4 x3 − 3 x 4 2 y = x 2 + vôùi x > 0 x 48 Ví duï 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x−2 + 4− x Ví duï 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin 2x - x Ví duï 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y= Ví duï 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x + 2 − x2 1 y = sin x − cos2 x + 2 Ví duï 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : Ví duï 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : sinx 2 + cosx ⎡ π π⎤ treân ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ treân [0;π ] 1 y = 2(1 + sin 2 x.cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8x) 2 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 9 x Baøi 2: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin 2x − x vôùi x ∈[−2;2] ⎡ π π⎤ treân ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ Baøi 3: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = x 2 .e x treân [−3;2] Baøi 4: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = 5cosx − cos5x Baøi 5: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: 2 +3 x y= x2 + x + 2 Baøi 6: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: Baøi 7: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: treân [− π ; π ] 4 4 y = x + 12 − 3x 2 y = ( x + 2) 4 − x 2 Baøi 8: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = (3 − x) x 2 + 1 vôùi x ∈[0;2] Baøi 9: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : 2cos2 x + cos x + 1 y= cos x + 1 Baøi 10: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = 2sin x − 4 sin3 x treân ñoaïn ⎡⎣ 0;π ⎤⎦ 3 Baøi 11: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : f ( x) = cos 2 2 x + 2(sin x + cos x) 2 − 3sin 2 x Baøi 12: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø beù nhaát cuûa haøm soá sau : 49 y = 4cos2 x + 3 3 sin x + 7sin2 x sin x + 1 Baøi 13: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin 2 x + sin x + 1 Baøi 14: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = 2(1+ sin2 x cos4 x ) − 1 (cos4 x − cos8x) 2 Baøi 15: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: y = 2(sin3 x + cos3 x ) + 8sin x.cos x --------------------------------Heát---------------------------------- 50 [...]... GTLN của hàm số : Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : y = 4 x3 − 3 x 4 2 y = x 2 + với x > 0 x 48 Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = x−2 + 4− x Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = sin 2x - x Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y= Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = x + 2 − x2 1 y = sin x − cos2 x + 2 Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : sinx... pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f (x) trên D a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức 2 với x > 0 x y = x−2 + 4− x Ví dụ 1: Tìm GTLN và nhỏ nhất của hàm số : Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : y = x+ b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt hoặc hệ phương trình Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2 +3 x y= x2 + x + 2 b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra... GTLN và GTNN của hàm số: y = x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 9 x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = sin 2x − x với x ∈[−2;2] ⎡ π π⎤ trên ⎢− ; ⎥ ⎣ 2 2⎦ Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = x 2 e x trên [−3;2] Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 5cosx − cos5x Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2 +3 x y= x2 + x + 2 Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: trên [− π ;...GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa 1 Đònh nghóa: • • Cho hàm số y = f (x) xác đònh trên D Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu: ⎧ f ( x) ≤ M ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Tồn tại x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = M Ký hiệu: M = Max y x∈D Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu: ⎧ f ( x) ≥ m ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪⎩Tồn tại x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m Ký hiệu: m = min... và GTNN của hàm số: y = (3 − x) x 2 + 1 với x ∈[0;2] Bài 9: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số : 2cos2 x + cos x + 1 y= cos x + 1 Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x − 4 sin3 x trên đoạn ⎡⎣ 0;π ⎤⎦ 3 Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : f ( x) = cos 2 2 x + 2(sin x + cos x) 2 − 3sin 2 x Bài 12: Tìm giá trò lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : 49 y... Tìm giá trò lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : 49 y = 4cos2 x + 3 3 sin x + 7sin2 x sin x + 1 Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = sin 2 x + sin x + 1 Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 2(1+ sin2 x cos4 x ) − 1 (cos4 x − cos8x) 2 Bài 15: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 2(sin3 x + cos3 x ) + 8sin x.cos x Hết 50 ... = ⎝v⎠ v Đạo hàm hàm số hợp: Cho hai hàm số y = f (u ) u = g(x ) y = f [g(x )] gọi hàm hợp hai hàm số trên, đó: y′x = y′u u′x Đạo hàm hàm số bản: Hàm số hợp u = f (x ) (C )′ = ( C số ) ′ x α =... hàm số có ba điểm cực trò x + mx Bài 14: Cho hàm số y = 1− x Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu khoảng cách hai điểm cực trò đồ thò hàm số 10 Bài 9: Cho hàm số y = 47 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ... m để hàm số có cực đại, cực tiểu Bài 3: Cho hàm số y = mx − với hoành độ thỏa mãn x + x = x x 2 x + mx + đạt cực đại x = Bài 4: Tìm m để hàm số y = x+m Bài 2: Cho hàm số Bài 5: Giả sử hàm số v'(x