... ] Ch-ơng Lý thuyết bất biến nhóm hữu hạn Phần ta giới thiệu bất biến nhóm hữu hạn Mục đích mô tả tất đa thức bất biến tác động nhóm ma trận hữu hạn lên vành đa thức, cách tìm bất biến xây dựng... Lý thuyết bất biến nhóm hữu hạn 43 Chú ý rằng, ta cần ba bất biến cho k[x, y]C2 Vành [x2 , y , xy] có chất khác phá vỡ tính Vì bất biến viết hạng tử x2 , y , xy nhiều cách Ví dụ x4 y bất biến. .. trình lý thuyết bất biến Trong đề tài luận văn mục đích mô tả tất đa thức bất biến tác động nhóm ma trận hữu hạn lên vành đa thức, cách tìm bất biến xây dựng mối liên hệ phần tử sinh bất biến
Lý ThuyÕt BÊt BiÕn Cña Nhãm H÷u H¹n Th¸i V¨n D-¬ng 1 Líp TNK32 - Khoa To¸n - Tin häc, §¹i häc §µ L¹t GVHD: TS §ç Nguyªn S¬n 5/2012 1 LuËn V¨n Tèt NghiÖp N¨m 2012 Môc lôc 1 Mét sè kh¸i niÖm tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 7 9 11 12 18 19 22 24 24 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 29 30 35 36 36 39 43 49 49 54 57 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 2 Mét sè kÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quan hÖ thø tù trªn c¸c ®¬n thøc trong k[x1, ..., xn] HÖ sè dÉn ®Çu, ®¬n thøc ®Çu, sè h¹ng ®Çu . . . . . Gi¶i thuËt chia ®a thøc n biÕn . . . . . . . . . . . . Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §Þnh lÝ c¬ së Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . C¬ së Gr¨ obner vµ gi¶i thuËt t×m c¬ së Gr¨ obner . Mét sè ®Þnh nghÜa vÒ nhãm . . . . . . . . . . . . . TËp ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tham sè hãa c¸c tËp ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . Anh x¹ ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vµnh täa ®é cña tËp ®¹i sè affin . . . . . . . . . . . §Þnh lÝ kh«ng ®iÓm (NullstellenSatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 2.1 2.2 2.3 2.4 KÕt §a thøc ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Kh¸i niÖm ®a thøc ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 §a thøc ®èi xøng c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 §a thøc thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nhãm ma trËn h÷u h¹n vµ vµnh cña c¸c bÊt biÕn . . . . . . 2.2.1 Nhãm ma trËn h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Vµnh cña c¸c bÊt biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . PhÇn tö sinh cho vµnh cña c¸c bÊt biÕn . . . . . . . . . . . Liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö sinh vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o 2.4.1 Liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö sinh . . . . . . . . . . . . 2.4.2 H×nh häc cña c¸c quü ®¹o . . . . . . . . . . . . . . luËn vµ h-íng nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . 3 Giíi thiÖu Lý thuyÕt bÊt biÕn cã liªn quan ®Õn sù ph¸t triÓn cña h×nh häc ®¹i sè. VÝ dô nh-: §Þnh lÝ c¬ së cña Hilbert vµ ®Þnh lÝ kh«ng ®iÓm cña Hilbert (NullstellenSatz), nã ®ãng vai trß quan träng trong h×nh häc ®¹i sè vµ c¸c ®Þnh lÝ nµy ®· ®-îc chøng minh bëi Hilbert trong c¸c qu¸ tr×nh vÒ lý thuyÕt bÊt biÕn. Trong ®Ò tµi luËn v¨n nµy môc ®Ých lµ ®i m« t¶ tÊt c¶ c¸c ®a thøc bÊt biÕn ®èi víi t¸c ®éng cña mét nhãm ma trËn h÷u h¹n lªn vµnh ®a thøc, c¸ch t×m c¸c bÊt biÕn ®ã vµ x©y dùng mèi liªn hÖ gi÷a phÇn tö sinh cña c¸c bÊt biÕn vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o. Ch-¬ng 1 • Tr×nh bµy hÖ thèng c¸c kÕt qu¶ c¨n b¶n vÒ mét sè kh¸i niÖm, vµ mét vµi quy -íc vÒ tr-êng sè k, ®a thøc vµ ma trËn. • T×m hiÓu tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ gi¶i thuËt t×m c¬ së Gr¨ obner. • Ngoµi ra, cßn cã mét sè ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt vÒ nhãm, vµnh, ideal, tËp ®¹i sè affin, tham sè hãa tËp ®¹i sè affin, ¸nh x¹ ®a thøc, ®Þnh lÝ c¬ së Hilbert, ®Þnh lÝ kh«ng ®iÓm cña Hilbert... Ch-¬ng 2 • Giíi thiÖu bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n. • M« t¶ tÊt c¶ c¸c ®a thøc bÊt biÕn ®èi víi t¸c ®éng cña mét nhãm ma trËn h÷u h¹n lªn vµnh ®a thøc. • C¸ch t×m c¸c bÊt biÕn. • X©y dùng mèi liªn gi÷a c¸c phÇn tö sinh bÊt biÕn vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o. Ch-¬ng 1 Mét sè kh¸i niÖm tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè PhÇn nµy ta sÏ giíi thiÖu mét sè kh¸i niÖm, tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner, tÝnh chÊt nhãm, vµnh, tËp ®¹i sè ®Ó gi¶i quyÕt c¸c chøng minh liªn quan ë phÇn hai nãi vÒ lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n, gåm c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ kÕt qu¶ trong §¹i sè nh- ideal, quan hÖ thø tù, thuËt to¸n chia ®a thøc n biÕn, nhãm cylic, vµnh th-¬ng, tËp ®¹i sè,... 1.1 Mét sè kÝ hiÖu KÝ hiÖu k lµ mét tr-êng sè (vÝ dô nh-: k = R hoÆc k = C), k[x1 , ..., xn ] lµ vµnh ®a thøc. §Þnh nghÜa 1.1.1. Mét ®¬n thøc theo c¸c biÕn x1 , x2 , ..., xn cã d¹ng xα1 1 xα2 2 . . . xαn n , trong ®ã c¸c lòy thõa α1 , α2 , ..., αn lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m. Sè nguyªn α1 + α2 + · · · + αn , gäi lµ bËc cña ®¬n thøc. §Ó ®¬n gi¶n, ta th-êng viÕt α := (α1 , α2 , ..., αn ), |α| := α1 + α2 + · · · + αn , xα := xα1 1 xα2 2 . . . xαn n . 4 Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 5 §Þnh nghÜa 1.1.2. Mét ®a thøc f theo c¸c biÕn x1 , x2 , ..., xn víi c¸c hÖ sè trong k lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh h÷u h¹n c¸c ®¬n thøc víi c¸c hÖ sè trong k; tøc lµ f= aαxα , aα ∈ k. α∈Nn KÝ hiÖu k[x1 , x2 , ..., xn ] lµ tËp c¸c ®a thøc theo c¸c biÕn x1 , x2 , ..., xn víi c¸c hÖ sè trong k. aα xα lµ ®a thøc trong k[x1 , ..., xn ]. §Þnh nghÜa 1.1.3. Cho f = α∈Nn (i) aα gäi lµ hÖ sè cña ®¬n thøc xα . (ii) NÕu aα = 0 th× aαxα gäi lµ sè h¹ng cña f. 1.2 Quan hÖ thø tù trªn c¸c ®¬n thøc trong k[x1 , ..., xn] §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho X lµ mét tËp hîp. Mét quan hÖ ≤ trªn X gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu vµ chØ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ®©y (i) Ph¶n x¹: x ≤ x, víi mäi x ∈ X. (ii) Ph¶n ®èi xøng: x ≤ y vµ y ≤ x th× x = y. (iii) B¾c cÇu: NÕu x ≤ y vµ y ≤ z th× x ≤ z. Mét tËp hîp X mµ trªn ®ã cã trang bÞ mét quan hÖ thø tù ≤ gäi lµ tËp s¾p thø tù. Hai phÇn tö x, y gäi lµ so s¸nh ®-îc nÕu lu«n cã x ≤ y hoÆc y ≤ x. Mét quan hÖ thø tù trªn tËp X = ∅ mµ mäi cÆp phÇn tö cña X ®Òu so s¸nh ®-îc gäi lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn. Mét quan hÖ thø tù kh«ng toµn phÇn gäi lµ quan hÖ thø tù bé phËn. Trªn tÝch Descartes Nn = N × N × · · · × N ta x©y dùng c¸c quan hÖ thø tù >. §Þnh nghÜa 1.2.2. (Thø tù tõ ®iÓn) Cho α ∈ (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn vµ β ∈ (β1, β2 , ..., βn ) ∈ Nn . Ta nãi: α >lex β nÕu: trong hiÖu vector α − β ∈ Zn , thµnh phÇn kh¸c kh«ng ë gÇn bªn tr¸i nhÊt lµ d-¬ng. Ta viÕt xα >lex xβ nÕu α >lex β. VÝ dô 1.2.1. xy 3 >lex xy 2 z 5 v× (1, 3, 0) >lex (1, 2, 5) (do α − β = (0, 1, −5)). Th¸i V¨n D-¬ng 6 §Þnh nghÜa 1.2.3. (Thø tù tõ ®iÓn ph©n bËc) n n |α| = α βi hoÆc |α| = |β| vµ α >lex β. αi > |β| = i=1 β Cho α, β ∈ Nn . Ta nãi α >grlex β nÕu i=1 Ta viÕt x >grlex x nÕu α >grlex β. VÝ dô 1.2.2. xy 2 z 4 >grlex xyz 5 v× (1, 2, 4) >grlex (1, 1, 5) (do α = β = 7 vµ (1, 2, 4) >lex (1, 1, 5)). §Þnh nghÜa 1.2.4. (Thø tù tõ ®iÓn ng-îc) Cho α, β ∈ Nn . Ta nãi α >grevlex β nÕu n n |α| = βi ; hoÆc αi > |β| = i=1 n i=1 |α| = |β| vµ trong α−β ∈ Z , thµnh phÇn kh¸c kh«ng gÇn bªn ph¶i nhÊt lµ ©m. Ta viÕt xα >grevlex xβ nÕu α >grevlex β. VÝ dô 1.2.3. xy 5 z 2 >grevlex x4 yz 3 v× (1, 5, 2) >grevlex (4, 1, 3). 1.3 HÖ sè dÉn ®Çu, ®¬n thøc ®Çu, sè h¹ng ®Çu aα xα lµ ®a thøc kh¸c 0 trªn k[x1 , ..., xn ] vµ §Þnh nghÜa 1.3.1. Cho f = α ®Æt > lµ mét thø tù ®¬n thøc. n , aα = 0}. (i) BËc cña ®a thøc f lµ: multideg(f ) = max{α ∈ Z≥0 (ii) HÖ sè dÉn ®Çu f lµ: lc(f ) = amultideg(f) ∈ k. (iii) §¬n thøc ®Çu f lµ: lm(f ) = xmultideg(f) ∈ k[x1 , ..., xn ]. (iv) Sè h¹ng ®Çu f lµ: lt(f ) = lc(f ).lm(f ). VÝ dô 1.3.1. f (x, y, z) = −5x3 + 7x2 z 2 + 4z 2 theo quan hÖ thø tù >lex . multideg(f ) lc(f ) lm(f ) lt(f ) = = = = (3, 0, 0), −5, x3 , −5x3 . VÝ dô 1.3.2. Cho g(x, y, z) = x2 y + 2x2 z 3 + z 2 vµ f nh- trªn, víi x > y > z. Theo >lex th× multideg(f ) = (3, 0, 0) > (2, 1, 0) = multideg(g) nªn lm(f ) = x3 > x2 y = lm(g). Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 7 1.4 Gi¶i thuËt chia ®a thøc n biÕn §Þnh lÝ 1.4.1. (Chia ®a thøc) Cè ®Þnh theo mét quan hÖ thø tù > trªn Nn , vµ ®Æt F = {f1, ..., fs } lµ mét bé theo thø tù c¸c ®a thøc trong k[x1 , ..., xn ]. Khi ®ã mäi ®a thøc f ∈ k[x1 , ..., xn ] cã thÓ viÕt d-íi d¹ng: f = a1f1 + a2 f2 + · · · + as fs + r, víi ai , r ∈ k[x1 , ..., xn ], i = 1, ..., s vµ hoÆc r = 0 hoÆc r lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh víi hÖ sè trong k cña c¸c ®¬n thøc mµ kh«ng cã c¸i nµo chia hÕt cho bÊt cø lt(f1 ), ..., lt(fs ). Chóng ta gäi r lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho F. §Þnh lÝ ®-îc chøng minh b»ng thuËt to¸n sau ®©y, cho phÐp ta x©y dùng c¸c ®a thøc a1, ..., as vµ r tháa m·n ®Þnh lÝ chia ®a thøc. §Ó chøng tá ®Çu ra cña thuËt to¸n chÝnh lµ c¸c ®a thøc tháa m·n ®Þnh lÝ chia ®a thøc, tr-íc hÕt ta chøng tá r»ng t¹i mçi b-íc cña thuËt to¸n lu«n cã: Chøng minh. f = a1 f1 + · · · + as fs + p + r. (1) Gi¶i thuËt chia ®a thøc Input: Cho ®a thøc f, f1, f2 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ]. Output: T×m a1 , a2, ..., as , r ∈ k[x1 , ..., xn ] Gi¶i thuËt nh- sau: G¸n ai := 0, ∀i = 1, 2, ..., s; r := 0; p := f ; while p = 0 do i := 1; chiahet := f alse; while i ≤ s and chiahet = f alse do lm(p) = 0 then if lm(fi ) lt(p) ai := ai + ; lt(fi ) lt(p) p := p − fi ; lt(fi ) chiahet := true; else i := i + 1; if chiahet = f alse then Th¸i V¨n D-¬ng 8 r := r + lt(p); p := p − lt(p); return([a1 , a2 , ..., as ], r); Theo c¸ch ®Æt ban ®Çu a1 = · · · = as = r = 0 vµ p = f nªn ®-¬ng nhiªn lóc ®Çu lµ ®óng. Gi¶ sö (1) ®óng ë mét b-íc nµo ®ã. NÕu ë b-íc tiÕp theo vÉn cßn thùc hiÖn tiÕp phÐp chia (mµ r kh«ng thay ®æi), th× tån t¹i i ®Ó lt(fi )|lt(p). Khi ®ã ai nhËn gi¸ trÞ míi ai = ai + lt(p)/lt(fi ), vµ p nhËn gi¸ trÞ míi p = p − (lt(p)/lt(fi ))fi. Do ®ã ai fi + p = (ai + lt(p)/lt(fi ))fi + p − (lt(p)/lt(fi ))fi = ai fi + p. V× r kh«ng thay ®æi nªn (1) vÉn ®óng ë b-íc nµy. NÕu b-íc tiÕp theo kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, mµ chØ ®æi phÇn d- r, th× c¸c gi¸ trÞ míi cña p vµ r t-¬ng øng lµ p = p − lt(p) vµ r = r + lt(p). V× p + r = (p − lt(p)) + (r − lt(p)) = p + r, vµ a1, ..., as kh«ng thay ®æi nªn (1) vÉn ®óng ë b-íc nµy. Nh- vËy theo nguyªn lÝ quy n¹p, (1) ®óng ë mäi b-íc. NÕu thuËt to¸n dõng, tøc lµ khi p = 0 th× (1) trë thµnh f = a1 f1 + · · · + as fs + r. Chó ý r»ng r b¾t ®Çu tõ 0 vµ r chØ t¨ng thªm sè h¹ng míi khi chiahet = f alse, tøc lµ kh«ng cã lt(fi ) nµo chia hÕt cho lt(p). Khi ®ã sè h¹ng thªm vµo r chÝnh lµ lt(p), nªn r sÏ tháa m·n ®Þnh lÝ chia ®a thøc. Ta sÏ kh¼ng ®Þnh thuËt to¸n sÏ dõng l¹i sau h÷u h¹n b-íc. NÕu kÝ hiÖu p0 = f, pi , i ≥ 1 lµ ®a thøc p khi thay ®æi lÇn thø i, nªn ta sÏ cã lt(p0 ) > lt(p1 ) > lt(p2 ) > · · · V× c¸c ®a thøc ta ®· cè ®Þnh theo mét quan hÖ thø tù > nªn d·y nµy sÏ dõng sau h÷u h¹n b-íc, tøc lµ tån t¹i i ®Ó pi = 0 hay thuËt to¸n dõng. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 9 VÝ dô 1.4.1. Chia f = x2 y + xy 2 + y 2 cho f1 = xy − 1 vµ f2 = y 2 − 1 theo quan hÖ thø tù >lex vµ x > y ta ®-îc: x2 y + xy 2 + y 2 = (x + y)(xy − 1) + 1.(y 2 − 1) + x + y + 1. VËy ta ®-îc a1 = x + y; a2 = 1; r = x + y + 1. 1.5 Ideal §Þnh nghÜa 1.5.1. Mét tËp con I ⊂ k[x1 , ..., xn ] gäi lµ mét ideal nÕu tháa: • 0 ∈ I. • ∀f, g ∈ I th× f + g ∈ I. • ∀p ∈ k[x1 , ..., xn ], ∀f ∈ I th× pf ∈ I. MÖnh ®Ò 1.5.1. NÕu f1 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ] th× s f1 , ..., fs = gi fi | g1 , ..., gs ∈ k[x1 , ..., xn ] , i=1 lµ mét ideal cña k[x1 , ..., xn ]. Chóng ta gäi f1, ..., fs lµ ideal sinh bëi f1 , ..., fs . s Chøng minh. Ta thÊy 0 ∈ f1 , ..., fn = I. Do ®ã 0 = s Gi¶ sö f = s pi .fi ∈ I vµ g = i=1 0.fi ∈ I. i=1 qi .fi ∈ I vµ cho h ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi ®ã i=1 ta sÏ cã ph-¬ng tr×nh s f +g = (pi + qi )fi ∈ I. i=1 s hf = (h.pi ).fi ∈ I. i=1 VËy I = f1 , f2, ..., fs lµ mét ideal. VÝ dô 1.5.1. (1) x, y = {f x + gy | f, g ∈ k[x, y]} lµ mét ideal trong vµnh k[x, y]. Th¸i V¨n D-¬ng 10 (2) x1 , x2 , ..., xn = {f1x1 +f2 x2 +· · ·+fnxn | f1, f2 , . . . , fn ∈ k[x1 , x2 , · · · , xn ]} lµ mét ideal trong vµnh ®a thøc k[x1 , x2 , · · · , xn ]. §Þnh nghÜa 1.5.2. Mét ideal I ⊂ k[x1 , ..., xn ] gäi lµ ideal ®¬n thøc nÕu tån t¹i A ⊂ Zn≥0 sao cho I gåm tÊt c¶ c¸c ®a thøc cã d¹ng hα xα víi hα ∈ k[x1 , ..., xn ]. α∈A Ta kÝ hiÖu I = xα | α ∈ A . MÖnh ®Ò 1.5.2. Cho I = xα | α ∈ A lµ mét ideal ®¬n thøc. Khi ®ã mét ®¬n thøc xβ thuéc vµo I nÕu vµ chØ nÕu xβ lµ chia hÕt cho xα , víi α ∈ A. NÕu xβ lµ béi cña xα víi α ∈ A th× xβ ∈ I theo ®Þnh nghÜa ideal. Ng-îc l¹i, nÕu xβ ∈ I th× Chøng minh. s β hi xα(i) , x = i=1 víi hi ∈ k[x1 , ..., xn ] vµ α(i) ∈ A. Chóng ta thÊy r»ng, mçi sè h¹ng trong vÕ ph¶i cña ph-¬ng tr×nh lµ chia hÕt cho xα(i) . V× thÕ, vÕ tr¸i xβ còng ph¶i chia hÕt cho xα(i) . §Þnh nghÜa 1.5.3. Cho I ⊂ k[x1 , ..., xn ] lµ mét ideal kh¸c {0}. (i) Ta kÝ hiÖu lt(I) lµ tËp hîp c¸c sè h¹ng ®Çu cña c¸c phÇn tö cña I. lt(I) = {cxα | ∃f ∈ I víi lt(f ) = cxα }. (ii) Ta kÝ hiÖu lt(I) lµ lµ ideal sinh bëi c¸c phÇn tö cña lt(I). VÝ dô 1.5.2. LÊy I = f1 , f2 víi f1 = x3 − 2xy vµ f2 = x2 y − 2y 2 + x vµ sö dông quan hÖ thø tù >grlex ®¬n thøc trong k[x, y] th× x.(x2 y − 2y 2 + x) − y.(x3 − 2xy) = x2 . V× x2 ∈ I nªn x2 = lt(x2 ) ∈ lt(I) . Tuy nhiªn x2 kh«ng chia hÕt cho lt(f1 ) = x3 vµ lt(f2 ) = x2 y. V× vËy x2 ∈ lt(f1 ), lt(f2 ) theo mÖnh ®Ò 1.5.2. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 11 §Þnh nghÜa 1.5.4. Mét ideal I ⊂ k[x1 , ..., xn ] gäi lµ ideal nguyªn tè nÕu vµ chØ nÕu f, g ∈ k[x1 , ..., xn ] vµ f g ∈ I th× f ∈ I hoÆc g ∈ I. §Þnh nghÜa 1.5.5. Cho I = f1 , ..., fs ⊂ k[x1 , ..., xn ], ideal khö thø m cña I lµ ideal Im ⊂ k[xm+1 , ..., xn ] ®-îc x¸c ®Þnh bëi Im = I ∩ k[xm+1 , ..., xn ]. 1.6 §Þnh lÝ c¬ së Hilbert MÖnh ®Ò 1.6.1. Gi¶ sö I ⊂ k[x1 , ..., xn ] lµ mét ideal. (i) lt(I) lµ mét ideal ®¬n thøc. (ii) Tån t¹i g1 , ..., gs ∈ I sao cho lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) . (i) §¬n thøc ®Çu lm(g) cña phÇn tö g ∈ I − {0} sinh ra ideal ®¬n thøc lm(g) : g ∈ I − {0} . Mµ lt(I) = lt(g) : g ∈ I − {0} v× lt(g) vµ lm(g) chØ kh¸c nhau h»ng sè kh¸c kh«ng. Do ®ã, lt(I) lµ mét ideal ®¬n thøc. (ii) Tõ lt(I) ®-îc sinh ra bëi c¸c ®¬n thøc lm(g) víi g ∈ I − {0} nªn lt(I) = lm(g1 ), ..., lm(gs ) vµ do ®ã lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) . Chøng minh. §Þnh lÝ 1.6.1. (c¬ së HILBERT) Mçi ideal I ⊂ k[x1 , ..., xn ] lµ h÷u h¹n sinh. Tøc lµ tån t¹i g1, ..., gs ∈ I sao cho I = g1 , ..., gs . NÕu I = {0} th× ta cã tËp sinh lµ {0} ch¾c ch¾n sÏ h÷u h¹n. Cßn nÕu I bao gåm ®a thøc kh¸c kh«ng, th× ta cã thÓ x©y dùng mét tËp sinh g1 , ..., gs cho I nh- sau. Theo mÖnh ®Ò 1.6.1, g1 , ..., gs ∈ I sao cho lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) . Chóng ta cÇn chøng minh I = g1 , ..., gs . Ta thÊy g1 , ..., gs ⊂ I, v× ∀gi ∈ I. Ng-îc l¹i, gi¶ sö f ∈ I lµ ®a thøc bÊt k×. Theo thuËt to¸n chia ®a thøc, chia f cho g1 , ..., gs ta ®-îc Chøng minh. f = a1 g1 + · · · + as gs + r, víi r lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho g1 , ..., gs . Ta sÏ chØ ra r = 0. Chó ý r»ng r = f − a1 g1 − · · · − as gs ∈ I. Th¸i V¨n D-¬ng 12 NÕu r = 0 th× lt(r) ∈ lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gs ) , ®iÒu nµy chØ ra r»ng lt(r) ph¶i chia hÕt cho phÇn tö lt(gi ). §iÒu nµy cã nghÜa lµ r ph¶i lµ kh«ng. V× thÕ f = a1 g1 + · · · + as gs + 0 ∈ g1 , ..., gs . Do ®ã I ⊂ g1 , ..., gs . VËy I = g1 , ..., gs . 1.7 C¬ së Gr¨ obner vµ gi¶i thuËt t×m c¬ së Gr¨ obner §Þnh nghÜa 1.7.1. KÝ hiÖu f G = {g1 , ..., gn }. G G hay f −→ f lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho VÝ dô 1.7.1. Cho f = x2 y + 1 ∈ k[x1 , ..., xn ] vµ G = {g1 = xy − x, g2 = x2 − y} lµ mét bé thø tù c¸c ®a thøc trong k[x1 , ..., xn ] lÊy theo quan hÖ thø tù >lex vµ x > y th× G f −→ x + 1. VËy x + 1 lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho G. §Þnh nghÜa 1.7.2. Cè ®Þnh mét thø tù ®¬n thøc. Mét tËp con G = {g1 , g2 , ..., gt } cña ideal I gåm c¸c ®a thøc kh¸c 0, ®-îc gäi lµ c¬ së Gr¨ obner nÕu vµ chØ nÕu: lt(g1 ), ..., lt(gt ) = lt(I) . obner cña ideal §Þnh lÝ 1.7.1. Gi¶ sö G = {g1 , ..., gt } lµ mét c¬ së Gr¨ I ⊂ k[x1 , ..., xn ] vµ f ∈ k[x1 , ..., xn ]. Th× tån t¹i duy nhÊt r ∈ k[x1 , ..., xn ] víi hai tÝnh chÊt sau: (i) Kh«ng cã h¹ng tö nµo cña r lµ chia hÕt cho mét trong c¸c lt(g1 ), ..., lt(gt ). (ii) Tån t¹i g ∈ I sao cho f = g + r. Chøng minh. Theo thuËt to¸n chia ®a thøc ta cã f = a1g1 + · · · + at gt + r, trong ®ã r tháa (i) vµ còng tháa (ii) bëi g = a1g1 + · · · + at gt ∈ I. B©y giê ta sÏ chøng minh r lµ duy nhÊt. Gi¶ sö f = g1 + r1 = g2 + r2 tháa (i) vµ (ii). Ta cã r2 − r1 = g1 − g2 ∈ I. NÕu r2 = r1 th× lt(r2 − r1 ) ∈ lt(I) = lt(g1 ), ..., lt(gt ) . Nªn lt(r2 − r1 ) lµ chia hÕt cho lt(gt ). Khi ®ã: v× kh«ng cã h¹ng tö nµo cña r1 , r2 lµ chia hÕt cho bÊt cø lt(g1 ), ..., lt(gt ) nªn r2 − r1 = 0. Tõ ®ã suy ra r lµ duy nhÊt. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 13 §Þnh lÝ 1.7.2. §Æt I lµ ideal kh¸c kh«ng cña k[x1 , ..., xn ] vµ G = {g1 , g2 , ..., gt } ⊂ I lµ tËp c¸c ®a thøc kh¸c 0. Khi ®ã c¸c ®iÒu sau lµ t-¬ng ®-¬ng: (i) G lµ c¬ së Gr¨ obner cña I. G (ii) f ∈ I ⇔ f −→ 0. t hi gi . (iii) f ∈ I ⇔ f = i=1 (i) ⇒ (ii) Víi f ∈ k[x1 , ..., xn ] th× tån t¹i r ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ phÇn G d- cña phÐp chia f cho G, tøc lµ f −→ r. Do ®ã f −r ∈ I, vËy f ∈ I ⇔ r ∈ I G DÔ thÊy khi r = 0 tøc lµ f −→ 0 th× f ∈ I. Ng-îc l¹i, nÕu f ∈ I vµ r = 0, khi ®ã r ∈ I vµ theo (i) tån t¹i i ∈ {1, 2, ..., t} sao cho lm(gi )|lm(r). M©u G thuÉn v× r lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho G. Do ®ã r = 0 vµ f −→ 0. G (ii) ⇒ (iii) Ta cã f −→ 0 kÕt hîp víi thuËt to¸n chia ®a thøc ta ®-îc (iii). (iii) ⇒ (i) Chøng minh. ∀cxα ∈ lt(I) ⇒ ∃f ∈ I : lt(f ) = cxα (iii) t ⇒ f= hi gi i=1 ⇒ lm(f ) = max (lm(hi ).lm(gi )) = lm(hi0 ).lm(gi0 ) 1≤i≤t ⇒ lt(f ) = lc(f ).lm(hi0 ).lm(gi0 ) ⇒ cxα lµ béi cña lt(gi0 ) ⇒ cxα ∈ lt(g1 ), ..., lt(gt ) . HÖ qu¶ 1.7.1. NÕu G = {g1 , .., gt } lµ c¬ së Gr¨ obner cña ideal I th× I = g1 , ..., gt . DÔ thÊy g1 , ..., gt ⊆ I, ∀gi ∈ I, i = 1, ..., t. G Ng-îc l¹i, ∀f ∈ I th× theo ®Þnh lÝ 1.7.2 th× f −→ 0. Do ®ã f ∈ g1 , ..., gt . VËy I = g1 , ..., gt . Chøng minh. Th¸i V¨n D-¬ng 14 §Þnh nghÜa 1.7.3. Cho f, g ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ c¸c ®a thøc kh¸c kh«ng. (i) NÕu multideg(f ) = (α1 , ..., αn ) vµ multideg(g) = (β1, ..., βn ) th× γ = (γ1, ..., γn ) víi γi = max(αi , βi ), i = 1, ..., n. Chóng ta gäi xγ lµ béi chung nhá nhÊt cña lm(f ) vµ lm(g) vµ viÕt xγ = lcm(lm(f ), lm(g)). (ii) S- ®a thøc cña f vµ g lµ xγ xγ .f − .g. S(f, g) = lt(f ) lt(g) VÝ dô 1.7.2. Cho f = x3 y 2 − x2 y 3 + x, g = 3x4 y + y 2 ∈ R[x, y] víi theo quan hÖ thø tù >grlex vµ x > y. Th× γ = (4, 2) vµ x4 y 2 x4 y 2 .g .f − x3 y 2 3x4 y 1 = x.f − .y.g 3 1 = −x3 y 3 + x2 − .y 3 . 3 S(f, g) = §Þnh lÝ 1.7.3. (BUCHBERGER) Cho I lµ mét ideal ®a thøc. Khi ®ã mét c¬ së obner nÕu vµ chØ nÕu G = {g1 , g2 , ..., gs } cho I lµ mét c¬ së Gr¨ G ∀i, j (i = j), S(gi , gj ) −→ 0. [” ⇒ ”] do gi , gj ∈ I nªn S(gi , gj ) ∈ I. V× G lµ c¬ së Gr¨ obner nªn theo ®Þnh lÝ 1.7.2, ®a thøc d- cña S(gi , gj ) trong phÐp chia cho G x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ b»ng 0. [” ⇐ ”] Gi¶ sö víi mäi cÆp i = j ≤ s mét ®a thøc cña S(gi , gj ) trong phÐp chia cho g b»ng 0 (®a thøc d- nµy ®-îc chän lµ duy nhÊt). Ta chØ cÇn chøng minh r»ng trong tr-êng hîp nµy G lµ c¬ së Gr¨ obner. Cho f ∈ I = (g1 , g2 , ..., gs ) khi ®ã tån t¹i h1, h2 , ..., hs ∈ k[x1 , ..., xn ] sao cho f = h1 g1 + · · · + hs gs . (1) Chøng minh. Trong tÊt c¶ nh÷ng biÓu diÔn nh- trªn cña f, ta chän biÓu diÔn sao cho: max{lm(h1 g1 ), ..., lm(hs gs )} lín nhÊt. Ta sÏ x¸c ®Þnh mét ®¬n thøc m = xd . §Ó kh«ng lµm r¾c rèi thªm kÝ hiÖu ta gi¶ sö biÔu diÔn (1) tháa m·n: max{lm(h1 g1 ), lm(h2 g2 ), ..., lm(hs gs )} = m. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 15 Gi¶ sö lm(f ) < m khi ®ã c¸c tõ lín nhÊt cña hi gi triÖt tiªu nhau. §Æt mi = lm(hi gi ), t¸ch c¸c tõ cao nhÊt ra ®Ó vËn dông bæ ®Ò trªn nh- sau: f = hi gi + mi =m = hi gi mi lm(q). §Þnh lÝ 1.7.4. (§Þnh lÝ ideal khö) Cho ideal I ⊂ k[x1 , ..., xn ] vµ G lµ mét c¬ së Gr¨ obner cña I lÊy theo quan hÖ thø tù >lex (x1 > ... > xn ). Khi ®ã: ∀m : 0 ≤ m ≤ n th× tËp Gm = G ∩ k[xm+1 , ..., xn ], lµ mét c¬ së Gr¨ obner cña Im . Chøng minh. Cè ®Þnh m, 0 ≤ m ≤ n. Ta cã Gm ⊂ Im ®iÒu nµy chØ ra lt(Im ) = lt(Gm ) , theo ®Þnh nghÜa c¬ së Gr¨ obner. Bao hµm thøc lt(Gm ) ⊂ lt(Im ) lµ hiÓn nhiªn. §Ó chøng minh ®iÒu cßn l¹i lt(Im ) ⊂ lt(Gm ) , ta cÇn chØ ra r»ng sè h¹ng ®Çu lt(f ), ∀f ∈ Im lµ chia hÕt cho lt(g), ∀g ∈ Gm . Chó ý r»ng f ∈ I th× ®iÒu nµy dÉn tíi lt(f ) sÏ chia hÕt cho lt(g), ∀g ∈ G, v× G lµ c¬ së Gr¨ obner cña I. V× f ∈ Im , nªn lt(g) chØ liªn quan ®Õn c¸c biÕn xm+1 , ..., xn . V× ta sö dông theo thø tù tõ >lex, nªn mäi ®a thøc liªn quan tíi x1 , ..., xn lµ lín h¬n c¸c ®a thøc trong k[xm+1 , ..., xn ], lt(g) ∈ k[xm+1 , ..., xn ], suy ra g ∈ k[xm+1 , ..., xn ]. §iÒu nµy nãi lªn g ∈ Gm . Th¸i V¨n D-¬ng 18 1.8 Mét sè ®Þnh nghÜa vÒ nhãm §Þnh nghÜa 1.8.1. XÐt nhãm (X, .) vµ S lµ mét tËp con cña X. Nhãm con S cña X ®-îc x¸c ®Þnh bëi S := U | U lµ nhãm con cña X víi S ⊆ U , gäi lµ nhãm con cña X sinh bëi tËp S. NÕu X = S th× ta nãi X ®-îc sinh bëi S vµ S gäi lµ hÖ sinh cña X. Nhãm X gäi lµ h÷u h¹n sinh nÕu nã cã hÖ sinh h÷u h¹n S = {a1, a2 , ..., an } ⊆ X. Trong tr-êng hîp nµy ta viÕt X = a1 , a2 , ..., an . NÕu S = ∅ th× S lµ nhãm con tÇm th-êng {1}. NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa cña S ta thÊy ngay r»ng a) S ⊆ S . b) S ⊆ U víi mäi nhãm con U chøa S. Nh- vËy S lµ nhãm con nhá nhÊt chøa S cña X. §Þnh nghÜa 1.8.2. Nhãm (X, .) gäi lµ nhãm cylic nÕu vµ chØ nÕu nã ®-îc sinh bëi mét phÇn tö a ∈ X, tøc tån t¹i a ∈ X sao cho X = a = {an | n ∈ Z}. PhÇn tö a khi ®ã gäi lµ phÇn tö sinh cña nhãm cylic X. NhËn xÐt. a) am an = am+n = am an , víi m, n ∈ Z nªn mçi nhãm cylic lµ giao ho¸n. b) NÕu nhãm cylic X ®-îc viÕt theo lèi céng th× X cã d¹ng: X = a = {na | n ∈ Z}. VÝ dô 1.8.1. a) (Z, +) lµ nhãm cylic víi hai phÇn tö sinh lµ 1 hoÆc -1. Ngoµi hai phÇn tö nµy Z kh«ng cßn phÇn tö sinh nµo kh¸c v× gi¶ sö cã a = ±1 lµ phÇn tö sinh th× do na = 1 víi mäi n ∈ Z. Ta suy ra ®iÒu m©u thuÉn lµ 1 ∈ Z. b) (Zm , +) lµ nhãm cylic víi phÇn tö sinh 1. Nhãm nµy h÷u h¹n cÊp m. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 19 §Þnh nghÜa 1.8.3. Mét ho¸n vÞ cña Jn = {1, 2, ..., n} lµ mét song ¸nh σ : Jn −→ Jn . TËp tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña Jn ®-îc kÝ hiÖu lµ Sn . §Þnh nghÜa 1.8.4. Cho G lµ mét nhãm vµ X lµ mét tËp hîp kh¸c rçng. Nhãm G gäi lµ t¸c ®éng lªn tËp hîp X nÕu cã mét ¸nh x¹ G × X −→ X (α, x) −→ α.x, tháa c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y (i) (α.β).x = α.(β.x), víi mäi α, β ∈ G, x ∈ X. (ii) 1.x = x, víi mäi x ∈ X vµ 1 lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña nhãm G. 1.9 TËp ®¹i sè §Þnh nghÜa 1.9.1. Cho k lµ mét tr-êng vµ n lµ sè nguyªn d-¬ng. TËp hîp k n = {(a1 , a2, ..., an ) | ai ∈ k, i = 1, 2, ...., n}, gäi lµ kh«ng gian affin n chiÒu trªn tr-êng k. Khi n = 1, ta gäi k 1 lµ ®-êng th¼ng affin. Khi n = 2, ta gäi k 2 lµ mÆt ph¼ng affin. Khi n > 2, mçi ®a thøc f = α cα xα ∈ k[x1 , ..., xn ] x¸c ®Þnh mét hµm sè f : k n −→ k (a1, ..., an ) −→ cα aα1 ...aαn . α MÖnh ®Ò 1.9.1. Gi¶ sö k lµ mét tr-êng v« h¹n phÇn tö vµ f ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi ®ã f = 0 trong k[x1 , ..., xn ] nÕu vµ chØ nÕu f : k n −→ k lµ hµm kh«ng. DÔ thÊy ®a thøc kh«ng sÏ dÉn ®Õn hµm kh«ng. Ng-îc l¹i, chóng ta sÏ biÓu diÔn r»ng nÕu f (a1, ..., an ) = 0, ∀(a1, ..., an ) ∈ k n th× f lµ ®a thøc kh«ng. Ta sÏ sö dông quy n¹p trªn n biÕn. Khi n = 1, ®a thøc bËc m trong k[x] sÏ cã m nghiÖm kh¸c nhau. §Æc biÖt f ∈ k[x1 , ..., xn ] ta gi¶ ®Þnh f (a) = 0, ∀a ∈ k. V× k lµ mét tr-êng v« h¹n, nghÜa lµ f cã v« h¹n nghiÖm vµ v× thÕ f ph¶i lµ ®a thøc kh«ng. Chøng minh. Th¸i V¨n D-¬ng 20 Gi¶ sö ®óng ®Õn n − 1 vµ f ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ ®a thøc triÖt tiªu t¹i tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña k n . Ta cã thÓ viÕt f lµ tæng lòy thõa xn N gi (x1 , ..., xn−1 )xiN , f= i=0 víi gi ∈ k[x1 , ..., xn−1 ]. Chóng ta sÏ biÓu diÔn mçi gi lµ ®a thøc kh«ng trong n − 1 biÕn, tõ ®ã nã dÉn ®Õn f lµ ®a thøc kh«ng trong k[x1 , ..., xn ]. NÕu ta cè ®Þnh (a1, ..., an−1 ) ∈ k n−1 , ta sÏ cã ®a thøc f (a1 , ..., an−1 , xn ) ∈ k[xn ]. B»ng nh÷ng gi¶ ®Þnh trªn f , nã sÏ triÖt tiªu víi mçi an ∈ k. Trong tr-êng hîp n = 1 th× f (a1 , ..., an−1 , xn ) lµ ®a thøc kh«ng trong k[xn ]. Sö dông c«ng thøc trªn cho f , ta xem c¸c hÖ sè cña f (a1 , ..., an−1 , xn ) lµ gi (a1, ..., an−1 ), vµ v× thÕ gi (a1, ..., an−1 ) = 0, ∀i. V× (a1, ..., an−1 ) lµ tïy ý chän trong k n−1 nªn nã sÏ chØ ra r»ng mçi gi ∈ k[x1 , ..., xn−1 ] sÏ cho hµm kh«ng trong k n−1 . Theo gi¶ thiÕt quy n¹p th× suy ra mçi gi lµ ®a thøc kh«ng trong k[x1 , ..., xn−1 ]. §iÒu nµy nãi lªn f lµ ®a thøc kh«ng trong k[x1 , ..., xn ]. §Þnh nghÜa 1.9.2. Tr-êng k gäi lµ ®ãng ®¹i sè nÕu mäi ®a thøc kh¸c h»ng trong k[x1 , ..., xn ] cã mét nghiÖm thuéc k. VÝ dô 1.9.1. Tr-êng c¸c sè thùc R kh«ng ®ãng ®¹i sè v× ®a thøc x2 + 1 kh«ng cã nghiÖm trong R. Tr-êng c¸c sè phøc C lµ ®ãng ®¹i sè. §Þnh nghÜa 1.9.3. Gi¶ sö k lµ mét tr-êng vµ f1, ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ]. Th× tËp V (f1, ..., fs ) = {(a1, ..., an ) ∈ k n | fi (a1, ..., an ) = 0, i = 1, 2, ..., n}, gäi lµ tËp ®¹i sè affin x¸c ®Þnh bëi f1 , ..., fs . VÝ dô 1.9.2. (i) Trong R2 tËp ®¹i sè affin V (x2 + y 2 − 1) lµ ®-êng trßn t©m t¹i gèc täa ®é, b¸n kÝnh ®¬n vÞ. (ii) §å thÞ cña ®a thøc f lµ mét tËp ®¹i sè affin. (iii) TËp ®¹i sè affin V (y − x2 , z − x3 ) lµ ®-êng cong bËc ba trong R3 . Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 21 (iv) TËp c¸c nghiÖm cña hÖ c¸c ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh a11x1 + · · · + a1n xn = b1 , a21x1 + · · · + a2n xn = b2 , .. . . = .. am1 x1 + · · · + amn xn = bm , lµ mét tËp ®¹i sè affin trong k n (gäi lµ tËp ®¹i sè tuyÕn tÝnh). §Þnh nghÜa 1.9.4. Gi¶ sö V ⊂ k n lµ mét tËp ®¹i sè affin. Th× ta ®Æt I(V ) = {f ∈ k[x1 , ..., xn ] | f (a1, ..., an ) = 0, ∀(a1 , ..., an ) ∈ V }, lµ mét ideal cña V. §Þnh nghÜa 1.9.5. TËp ®¹i sè affin V ⊂ k n ®-îc gäi lµ bÊt kh¶ quy nÕu V = V1 ∪ V2 , trong ®ã V1 , V2 lµ hai tËp ®¹i sè affin, th× hoÆc V = V1 hoÆc V = V2 . VÝ dô 1.9.3. TËp ®¹i sè affin V (xz, yz) kh«ng bÊt kh¶ quy do ta cã thÓ viÕt V (xz, yz) = V (x, y) ∪ V (z). MÖnh ®Ò 1.9.2. Gi¶ sö V ⊂ k n lµ mét tËp ®¹i sè affin. Th× V lµ bÊt kh¶ quy nÕu vµ chØ nÕu I(V ) lµ mét ideal nguyªn tè. [” ⇒ ”]. Ta cã V lµ bÊt kh¶ quy vµ f g ∈ I(V ). §Æt V1 = V ∩ V (f ) vµ V2 = V ∩ V (g) lµ mét tËp ®¹i sè affin bëi v× giao cña tËp ®¹i sè affin lµ tËp ®¹i sè affin. Khi ®ã f g ∈ I(V ) suy ra V = V1 ∪ V2 . V× V lµ bÊt kh¶ quy nªn ta cã hoÆc V = V1 hoÆc V = V2 . Tõ ®ã V = V1 = V ∩ V (f ). §iÒu nµy suy ra r»ng f lµ triÖt tiªu trªn V, cho nªn f ∈ I(V ). Do ®ã I(V ) lµ ideal nguyªn tè. [” ⇐ ”]. Ta cã I(V ) lµ ideal nguyªn tè vµ V = V1 ∪ V2 . Gi¶ sö r»ng V = V1 . Chóng ta chØ cÇn chøng minh I(V ) = I(V2). §Ó chøng minh nµy, chó ý I(V1 ) v× V1 V . V× thÕ r»ng I(V ) ⊂ I(V2) v× V2 ⊂ V . Ta thÊy I(V ) f ∈ I(V1) − I(V ). LÊy bÊt cø g ∈ I(V2 ). V× V = V1 ∪ V2 , ®iÒu nµy chØ ra r»ng f g lµ triÖt tiªu trªn V, vµ v× thÕ f g ∈ I(V ). Nh-ng I(V ) lµ ideal nguyªn tè cho nªn f hoÆc g sÏ thuéc trong I(V ). Mµ chóng ta biÕt r»ng f ∈ I(V ) vµ do ®ã g ∈ I(V ). §iÒu nµy chøng minh I(V ) = I(V2 ) do V = V2 bëi v× I lµ 1 − 1. V× vËy, V lµ tËp ®¹i sè bÊt kh¶ quy. Chøng minh. Th¸i V¨n D-¬ng 22 §Þnh lÝ 1.9.1. (§Þnh lÝ më réng) Gi¶ sö I = f1 , ...., fs ⊂ C[x1 , ..., xn ] vµ I1 lµ ideal khö ®Çu tiªn cña I. Víi mçi 1 ≤ i ≤ s, ta viÕt i fi = gi (x2 , ..., xn )xN 1 + c¸c phÇn tö x1 cã bËc < Ni , víi Ni ≥ 0 vµ gi ∈ C[x2 , ..., xn ] lµ kh¸c kh«ng. Gi¶ sö r»ng (a2, ..., an ) ∈ V (I1). NÕu (a2, ..., an ) ∈ V (g1 , ..., gs ) th× tån t¹i a1 ∈ C sao cho (a1, a2 , ..., an ) ∈ V (I). Chøng minh. Xem tµi liÖu [1] trang 115. HÖ qu¶ 1.9.1. Gi¶ sö V = V (f1, ..., fs ) ⊂ Cn vµ fi = cxN 1 + c¸c phÇn tö x1 cã bËc < N, víi c ∈ C lµ kh¸c kh«ng vµ N > 0. NÕu I1 lµ ideal khö thø nhÊt th× trong Cn−1 ta cã π1 (V ) = V (I1), víi π1 lµ phÐp chiÕu trªn n − 1 thµnh phÇn cuèi. Chøng minh. Xem tµi liÖu [1] trang 124. 1.10 Tham sè hãa c¸c tËp ®¹i sè VÝ dô 1.10.1. Trong R3 xÐt hÖ c¸c ph-¬ng tr×nh x + y + z = 1, 2y − z = 1. TËp c¸c nghiÖm cña hÖ trªn lµ mét ®-êng th¼ng ®-îc cho bëi x = −3t + 2, y = t, z = 2t − 1, víi tham sè t ∈ R; ta gäi biÓu diÔn nµy lµ phÐp tham sè hãa cña tËp nghiÖm ban ®Çu. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 23 §Þnh nghÜa 1.10.1. Gi¶ sö k lµ mét tr-êng. Th-¬ng f /g cña hai ®a thøc f, g ∈ k[t1 , t2 , ..., tm ] (g kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0) gäi lµ hµm h÷u tØ theo c¸c biÕn t1 , t2 , ..., tm víi hÖ sè trong k. Hai hµm h÷u tØ f /g vµ p/q gäi lµ b»ng nhau nÕu qf = pg trong k[t1 , t2 , ..., tm ]. TËp c¸c hµm h÷u tØ theo c¸c biÕn t1 , t2 , ..., tm víi hÖ sè trong k kÝ hiÖu lµ k[t1 , t2 , ..., tm ]. NhËn xÐt. Cho tËp ®¹i sè affin V := V (f1 , f2 , ..., fs ) ⊂ k n , ta nãi hÖ c¸c ph-¬ng tr×nh f1 = f2 = · · · = fs = 0, lµ biÓu diÔn Èn cña V. Gi¶ sö r1 , r2 , ..., rn ∈ k[t1 , t2 , ..., tm ] sao cho c¸c ®iÓm (x1 , x2 , ..., xn ) x¸c ®Þnh bëi x1 = r1 (t1 , t2 , ..., tm ), x2 = r2 (t1 , t2 , ..., tm ), .. . . = .. xn = rn (t1, t2 , ..., tm ), thuéc V. Ta nãi r1 , r2 , ..., rn lµ mét biÓu diÔn tham sè h÷u tØ cña tËp ®¹i sè V. NÕu c¸c r1 , r2 , ..., rn lµ c¸c hµm ®a thøc, ta ®-îc mét tham sè hãa ®a thøc cña V. VÝ dô 1.10.2. TËp ®¹i sè affin V (x2 − y 2z 2 + z 3 ) cã tham sè hãa ®a thøc x = t(u2 − t2 ), y = u, z = u2 − t 2 , trong ®ã c¸c tham sè u, t ∈ k. §Þnh nghÜa 1.10.2. Cho k lµ mét tr-êng v« h¹n, F : k m −→ k n lµ hµm x¸c ®Þnh bëi tham sè hãa ®a thøc. Ideal I = x1 − f1 , ..., xn − fn ⊂ k[t1 , ..., tm , x1 , ..., xn ] vµ Im = I ∩ k[x1 , ..., xn ] lµ ideal khö thø m. Khi ®ã V (Im ) ®-îc gäi lµ tËp ®¹i sè bÐ nhÊt trong k n chøa F (k m ). Th¸i V¨n D-¬ng 24 1.11 Anh x¹ ®a thøc §Þnh nghÜa 1.11.1. Cho V ⊂ k n vµ W ⊂ k m lµ c¸c tËp ®¹i sè. Ta nãi Φ : V −→ W lµ ¸nh x¹ ®a thøc (hay ¸nh x¹ chÝnh quy) nÕu tån t¹i c¸c ®a thøc f1, ..., fn ∈ k[x1 , ..., xn ] sao cho Φ(a1 , ..., am ) = (f1(a1 , ..., am ), ..., fn (a1, ..., an )), ∀(a1, ..., am ) ∈ V . (f1 , ..., fn ) gäi lµ biÓu diÔn cña ¸nh x¹ Φ. VÝ dô 1.11.1. XÐt c¸c tËp ®¹i sè V = V (y − x2 , z − x3 ) ⊂ k 3 , W = V (y 3 − z 2) ⊂ k 2 . XÐt phÐp chiÕu π1 : k 3 −→ k 2 , (x, y, z) → (y, z). Ta cã π1 (V ) = {(x2 , x3 ) | x ∈ k} ⊂ W. Suy ra π1 : V −→ W lµ ¸nh x¹ ®a thøc. 1.12 Vµnh täa ®é cña tËp ®¹i sè affin KÝ hiÖu: K[V ] lµ tËp hîp c¸c hµm ®a thøc Φ : V −→ k. §Þnh nghÜa 1.12.1. Vµnh täa ®é cña tËp ®¹i sè affin V ⊂ k n lµ vµnh K[V ]. §Þnh nghÜa 1.12.2. Gi¶ sö V ⊂ k m vµ W ⊂ k n lµ tËp ®¹i sè. Ta nãi V vµ W lµ ®¼ng cÊu nÕu tån t¹i ¸nh x¹ ®a thøc α : V −→ W vµ β : W −→ V sao cho α ◦ β = idW vµ β ◦ α = idV . (Víi bÊt k× tËp ®¹i sè V, ta viÕt idV lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt tõ V vµo chÝnh nã). MÖnh ®Ò 1.12.1. Gi¶ sö V vµ W lµ tËp ®¹i sè. (i) Gi¶ sö α : V −→ W lµ ¸nh x¹ ®a thøc. Φ : W −→ k lµ hµm ®a thøc. Suy ra Φ ◦ α : V −→ k còng lµ hµm ®a thøc. H¬n n÷a, ¸nh x¹ α∗ : k[W ] −→ k[V ] ®-îc ®Þnh nghÜa α∗ (Φ) = Φ ◦ α lµ ®ång cÊu vµnh vµ ®ång nhÊt trªn hµm h»ng k ⊂ k[W ]. (ii) Gi¶ sö f : k[W ] −→ k[V ] lµ ®ång cÊu vµnh mµ ®ång nhÊt trªn hµm h»ng th× tån t¹i duy nhÊt ¸nh x¹ ®a thøc α : V −→ W ®Ó f = α∗ . Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 25 1.13 §Þnh lÝ kh«ng ®iÓm (NullstellenSatz) §Ó nghiªn cøu tËp ®¹i sè V ⊂ k n ta sÏ nghiªn cøu tËp ideal I(V ) = {f ∈ k[x1 , ..., xn ] | f (x) = 0, ∀x ∈ V }, lµ tÊt c¶ c¸c ®a thøc triÖt tiªu trªn V. Chóng ta cã ¸nh x¹ C¸c tËp ®¹i sè affin −→ c¸c ideal, V −→ I(V ). Ng-îc l¹i, cho mét ideal I ⊂ k[x1 , ..., xn ], ta ®Þnh nghÜa V (I) = {(a1, ..., an ) ∈ k n | f (a1 , ..., an ) = 0, ∀f ∈ I}. Theo ®Þnh lÝ vÒ c¬ së Hilbert th× V(I) lµ mét tËp ®¹i sè affin. Do ®ã ta cã t-¬ng øng C¸c ideal −→ c¸c tËp ®¹i sè affin, I −→ V (I). Nh- vËy, ta cã t-¬ng øng gi÷a c¸c tËp ®¹i sè affin vµ c¸c ideal. NhËn xÐt. T-¬ng øng ®-îc thiÕt lËp trªn kh«ng lµ 1-1. ThËt vËy, ta cã x vµ x2 lµ hai ideal kh¸c nhau trong k[x] nh-ng x¸c ®Þnh cïng mét tËp ®¹i sè affin V (x) = V (x2 ) = {0}. Mét vÊn ®Ò kh¸c n¶y sinh khi k kh«ng ®ãng ®¹i sè. Ch¼ng h¹n, xÐt c¸c ®a thøc 1, 1 + x2 , 1 + x2 + x4 trong R[x]. C¸c ®a thøc nµy n¶y sinh ra ba ideal kh¸c nhau. I1 = 1 = R[x], I2 = 1 + x2 , I3 = 1 + x2 + x4 , nh-ng mçi ®a thøc ®Òu kh«ng cã nghiÖm thùc. V× thÕ V (I1) = V (I2) = V (I3) = ∅. §Þnh lÝ 1.13.1. (§Þnh lÝ kh«ng ®iÓm yÕu - NullstenSatz) Gi¶ sö k lµ tr-êng ®ãng ®¹i sè vµ I ⊂ k[x1 , ..., xn ] lµ ideal tháa m·n V (I) = ∅. Khi ®ã I = k[x1 , ..., xn ]. Th¸i V¨n D-¬ng 26 §Ó chøng minh ideal I = k[x1 , ..., xn ], ta sÏ chøng minh ®a thøc h»ng 1 ∈ I. Bëi v×, nÕu 1 ∈ I th× b»ng ®Þnh nghÜa cña ideal, ta cã f = f.1 ∈ I víi f ∈ k[x1 , ..., xn ]. V× thÕ, 1 ∈ I lµ ®ñ ®Ó I lµ vµnh ®a thøc. NÕu n = 1 vµ I ⊂ k[x1 , ..., xn ] tháa V (I) = ∅ th× I = k[x]. Gi¶ sö kÕt qu¶ ®· ®-îc chøng minh cho vµnh ®a thøc trong n − 1 biÕn, mµ ta viÕt lµ k[x2 , ..., xn ]. XÐt bÊt k× ideal I = f1 , ..., fs ⊂ k[x1 , ..., xn ] mµ V (I) = ∅. Chóng ta gi¶ sö f1 kh«ng lµ h»ng sè v× f1 lµ h»ng sè th× ®Þnh lÝ ®· ®-îc chøng minh. V× thÕ, gi¶ sö f1 cã tæng bËc N ≥ 1. Ta sÏ thay ®æi täa ®é cho f1 , xÐt sù thay ®æi tuyÕn tÝnh cña c¸c täa ®é Chøng minh. ∼ x1 = x1 , ∼ ∼ x2 = x2 +a2 x1 , (1) .. . ∼ ∼ xn = xn +an x1 , víi ai lµ ch-a x¸c ®Þnh râ h»ng sè trong k. Thay thÕ x1 , ..., xn trong f1 ta ®-îc ∼ ∼ ∼ f1 (x1 , ...xn ) = f1(x1 , ...., xn +an x1 ) ∼N ∼ = c(a2, ..., an ) x1 + c¸c phÇn tö x1 cã bËc < N. Theo mÖnh ®Ò 1.9.1 th× c(a2 , ..., an ) = 0. Víi c¸ch chän cña a2 , ..., an d-íi thay ®æi täa ®é (1) th× mçi ®a thøc f ∈ k[x1 , ..., xn ] sÏ dÉn ®Õn ®a thøc ∼ ∼ ∼ f ∈ k[x1 , ..., xn ]. ∼ ∼ k[x1 , ..., xn ]. Chó ∼ ∼ ∼ Ta sÏ kiÓm tra I = {f : f ∈ I} lµ mét ideal trong ∼ ý r»ng, ta vÉn cã V (I ) = ∅. H¬n n÷a, nÕu ta cã thÓ biÓu diÔn r»ng 1 ∈ I th× 1 ∈ I. Ta cã f1 ∈ I thay ®æi biÕn täa ®é, ta sÏ ®-îc ∼ ∼ f1 ∈ I , víi tÝnh chÊt ∼ ∼ ∼ ∼N ∼ f1 (x1 , ..., xn ) = c(a2 , ..., an ) x1 + c¸c phÇn tö x1 cã bËc < N, víi c(a2 , ..., an ) = 0. Theo hÖ qu¶ 1.9.1 vµ nã lµ ®ãng ®¹i sè. Gi¶ sö π1 : k n −→ k n−1 , ∼ ®Æt I1 ∼ ∼ ∼ ∼ = I ∩ k[x2 , ..., xn ] ∼ ∼ ∼ th× V (I1) = π1 (V (I )). §iÒu nµy suy ra V (I1) = π1 (V (I )) = π1 (∅) = ∅. VËy lµ phÐp chiÕu ¸nh x¹ trªn n − 1 thµnh phÇn. NÕu ta ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ I1 = k[x2 , ..., xn ]. §iÒu nµy suy ra 1 ∈ I1 ⊂ I . Do ®ã 1 ∈ I. Mét sè kh¸i niÖm - tÝnh chÊt cña c¬ së Gr¨ obner vµ tËp ®¹i sè affin 27 §Þnh lÝ 1.13.2. (§Þnh lÝ kh«ng ®iÓm cña Hilbert) Cho k lµ tr-êng ®ãng ®¹i sè. Gi¶ sö f, f1 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ] sao cho f ∈ I(V (f1, ..., fs )) khi vµ chØ khi tån t¹i sè nguyªn m ≥ 1 sao cho f m ∈ f1 , ..., fs . Cho f lµ mét ®a thøc mµ triÖt tiªu t¹i kh«ng ®iÓm chung cña c¸c ®a thøc f1, ..., fs . Ta ph¶i chØ ra tån t¹i mét sè nguyªn m ≥ 1 vµ c¸c ®a thøc A1 , ..., As sao cho Chøng minh. s f m = Ai f i . i=1 XÐt ideal ∼ I = f1 , ..., fs , 1 − yf ⊂ k[x1 , ..., xn , y], víi f, f1 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ]. Ta sÏ chøng minh ∼ V (I ) = ∅. Gi¶ sö (a1 , ..., an , an+1 ) ∈ k n+1 . HoÆc (a1, ..., an ) lµ mét kh«ng ®iÓm chung cña f1 , ..., fs hoÆc (a1, ..., an ) kh«ng lµ kh«ng ®iÓm chung cña f1 , ..., fs . Tr-êng hîp thø nhÊt, f (a1, ..., an ) = 0 bëi v× f triÖt tiªu t¹i bÊt cø kh«ng ®iÓm chung cña f1 , ..., fs . V× thÕ, ®a thøc 1−yf cho ta 1−an+1 f (a1 , ..., an ) = 1 = 0 ∼ t¹i mäi ®iÓm (a1, ..., an , an+1 ). §Æc biÖt, (a1, ..., an , an+1 ) ∈ V (I ). Tr-êng hîp thø hai, ∀i, 1 ≤ i ≤ s, chóng ta ph¶i cã fi (a1, ..., an ) = 0. fi nh- lµ hµm n + 1 biÕn, mµ kh«ng phô thuéc vµo biÕn cuèi cïng, chóng ta cã fi (a1, ..., an , an+1 ) = 0. Tõ (a1 , ..., an , an+1 ) ∈ k n+1 lµ tïy ý vµ (a1 , ..., an , an+1 ) ∈ ∼ ∼ V (I ), ta sÏ kÕt luËn r»ng V (I ) = ∅. ∼ ¸p dông ®Þnh lÝ kh«ng ®iÓm yÕu ®Ó kÕt luËn 1 ∈I , cã nghÜa lµ s 1= pi (x1 , ..., xn , y)fi + q(x1 , ...., xn , y)(1 − yf ), i=1 víi c¸c ®a thøc pi , q ∈ k[x1 , ..., xn , y]. Ta ®Æt y = 1/f (x1 , ..., xn ) suy ra s pi (x1, ..., xn , 1/f )fi . 1= i=1 Th¸i V¨n D-¬ng 28 Nh©n hai vÕ ph-¬ng tr×nh cho f m , ta ®-îc s f m = Ai f i , i=1 víi c¸c ®a thøc Ai ∈ k[x1 , ..., xn ]. Ch-¬ng 2 Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n PhÇn nµy ta sÏ giíi thiÖu bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n. Môc ®Ých lµ ®i m« t¶ tÊt c¶ c¸c ®a thøc bÊt biÕn ®èi víi t¸c ®éng cña mét nhãm ma trËn h÷u h¹n lªn vµnh ®a thøc, c¸ch t×m c¸c bÊt biÕn ®ã vµ x©y dùng mèi liªn hÖ gi÷a phÇn tö sinh cña c¸c bÊt biÕn vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o. 2.1 §a thøc ®èi xøng 2.1.1 Kh¸i niÖm ®a thøc ®èi xøng Cho f = x3 + bx2 + cx + d vµ cã c¸c nghiÖm t-¬ng øng lµ α1 , α2 , α3 th× ta cã biÓu diÔn: x3 + bx2 + cx + d = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ). Khai triÓn vÕ ph¶i ta ®-îc: x3 + bx2 + cx + d = x3 − (α1 + α2 + α3)x2 + (α1α2 + α1α3 + α2α3 )x − α1 α2 α3 . V× thÕ, ta ®Æt: b = −(α1 + α2 + α3 ), c = α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 , d = −α1 α2 α3 . Nh- vËy, ta thÊy ®a thøc f ®-îc biÓu diÔn qua b, c, d bëi c¸c phÇn tö α1 , α2 , α3 lµ ®a thøc kh«ng bÞ thay ®æi cho dï ta thay ®æi trËt tù cña c¸c α1 , α2 , α3 , ®a thøc nh- vËy ®-îc gäi lµ ®a thøc ®èi xøng. 29 Th¸i V¨n D-¬ng 30 §Þnh nghÜa 2.1.1. Mét ®a thøc f ∈ k[x1 , x2 , ..., xn ] ®-îc gäi lµ ®a thøc ®èi xøng nÕu tháa: f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ), víi mäi ho¸n vÞ σ ∈ Sn . VÝ dô 2.1.1. Cho ®a thøc f = x2 + y 2 + z 2 víi c¸c biÕn x, y, z. Khi ta thay ®æi trËt tù c¸c x, y, z th× ®a thøc vÉn kh«ng thay ®æi. f = x2 + y 2 + z 2 = x2 + z 2 + y 2 = y 2 + z 2 + x2 = y 2 + x2 + z 2 . Nh- vËy ®a thøc f ®-îc gäi lµ ®èi xøng. 2.1.2 §a thøc ®èi xøng c¬ b¶n §Þnh nghÜa 2.1.2. C¸c ®a thøc lµ ®a thøc ®èi xøng c¬ b¶n cã d¹ng nh- sau σ1 = x 1 + x 2 + · · · + x n , σ2 = 1 ... > xn > y1 > ... > yn . Khi ®ã c¸c ®a thøc k (−1)i hk−i (xk , ..., xn )yi , k = 1, 2, ..., n, gk = hk (xk , ..., xn ) + i=1 (1) Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 35 lµ mét c¬ së Gr¨ obner cho ideal σ1 − y1 , ..., σn − yn . Chøng minh. Tr-íc tiªn, ta chó ý tíi ®a thøc ®ång nhÊt k (−1)i hk−i (xk , ..., xn )σi . 0 = hk (xk , ..., xn ) + (2) i=1 TiÕp theo, ta sÏ biÓu diÔn r»ng g1 , ..., gn lµ cã d¹ng lµ mét c¬ së cña σ1 − y1, ..., σn − yn . Ta lÊy (1) trõ (2), ta sÏ ®-îc biÓu diÔn sau k (−1)i hk−i (xk , ..., xn )(yi − σi ). gk = (3) i=1 Tõ ®ã g1 , ..., gn ⊂ σ1 − y1, ..., σn − yn . Ta sÏ chøng minh ®iÒu ng-îc l¹i, chó ý r»ng khi h0 = 1, ta sÏ viÕt (3) l¹i nh- sau k−1 k (−1)i hk−i (xk , ..., xn )(yi − σi ) gk = (−1) (yk − σk ) + (4) i=1 Quy n¹p trªn k ta sÏ cã σ1 − y1 , ..., σn − yn ⊂ g1 , ..., gn . Ta cã lt(gk ) = xkk . Ta sö dông theo quan hÖ thø tù tõ ®iÓn trªn Nn víi x1 > ... > xn > y1 > ... > yn . V× thÕ, sè h¹ng ®Çu cña g1 , ..., gk lµ nguyªn tè cïng nhau, kÕt obner cho ideal hîp víi mÖnh ®Ò 1.7.1 ta sÏ nãi g1 , ..., gk lµ mét c¬ së Gr¨ σ1 − y1 , ..., σn − yn . 2.1.3 §a thøc thuÇn nhÊt §Þnh nghÜa 2.1.3. Mét ®a thøc f ∈ k[x1 , ..., xn ] gäi lµ thuÇn nhÊt bËc k nÕu c¸c h¹ng tö cña nã cïng bËc k. VÝ dô 2.1.4. f = x2 y 2 + x3 y + xy 3 + x4 + y 4 lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc 4. MÖnh ®Ò 2.1.3. Mét ®a thøc f ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ ®èi xøng nÕu vµ chØ nÕu c¸c thµnh phÇn thuÇn nhÊt lµ ®èi xøng. Th¸i V¨n D-¬ng 36 [” ⇐ ”] HiÓn nhiªn. [” ⇒ ”] Cho f lµ mét ®a thøc ®èi xøng, c¸c xσ1 , ..., xσn lµ c¸c ho¸n vÞ cña c¸c x1 , ..., xn . Ho¸n vÞ c¸c h¹ng tö cña f cã bËc lµ k th× vÉn kh«ng thay ®æi bËc cña nã. V× f (xi1 , ..., xin ) = f (x1 , ..., xn ) nªn thµnh phÇn thuÇn nhÊt thø k còng ph¶i ®èi xøng. Chøng minh. §Þnh lÝ 2.1.3. NÕu k lµ mét tr-êng chøa c¸c sè h÷u tØ Q th× mçi ®a thøc ®èi xøng trong k[x1 , ..., xn ] ®Òu cã thÓ viÕt d-íi d¹ng mét ®a thøc cña s1 , ..., sn , trong ®ã sk = xk1 + · · · + xkn . Tõ mçi ®a thøc ®èi xøng lµ ®a thøc cña c¸c ®a thøc ®èi xøng c¬ b¶n nªn chØ cÇn chøng minh ®Þnh lÝ cho c¸c ®a thøc ®èi xøng c¬ b¶n. §Þnh lÝ ®-îc chøng minh qui n¹p theo k b»ng c¸ch dïng ®ång nhÊt thøc Newton. Chøng minh. sk − σ1 sk−1 + · · · + (−1)k−1 σk−1 s1 + (−1)k kσk = 0, 1 ≤ k ≤ n, sk − σ1 sk−1 + · · · + (−1)n−1 σk−n+1 sk−n+1 + (−1)k σn sk−n = 0, k > n. Ta sÏ biÓu diÔn σk qua c¸c ®a thøc s1, ..., sn . DÔ thÊy khi k = 1 th× σ1 = s1 . NÕu lµ ®óng cho 1, 2, ..., k − 1 th× theo ®ång nhÊt thøc Newton ta cã: 1 σk = (−1)k−1 sk − σ1 sk−1 + · · · + (−1)k−1 σk−1 s1 . k VËy ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc ®èi xøng qua c¸c s1, ..., sn . VÝ dô 2.1.5. Mçi phÇn tö hµm ®èi xøng ®Òu cã thÓ viÕt trong c¸c h¹ng tö cña tæng c¸c lòy thõa. s1 = x1 = σ1 ←→ σ1 = s1 , 1 s2 = x21 + x22 = σ12 − 2σ2 ←→ σ2 = (s22 − s2 ), 2 1 s3 = x31 + x32 + x33 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ←→ σ3 = (s31 − 3s1 s2 + 2s3 ). 6 2.2 Nhãm ma trËn h÷u h¹n vµ vµnh cña c¸c bÊt biÕn 2.2.1 Nhãm ma trËn h÷u h¹n §Þnh nghÜa 2.2.1. GL(n, k) lµ tËp tÊt c¶ c¸c ma trËn n × n kh¶ nghÞch trªn tr-êng k. Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 37 GL(n, k) víi phÐp nh©n ma trËn lµ mét nhãm, hay cßn gäi lµ nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t. §Þnh nghÜa 2.2.2. Mét tËp con h÷u h¹n G ⊂ GL(n, k) ®-îc gäi lµ nhãm ma trËn h÷u h¹n nÕu lµ kh¸c rçng vµ ®ãng d-íi phÐp nh©n ma trËn. Sè phÇn tö cña G ®-îc gäi lµ cÊp cña G vµ kÝ hiÖu lµ |G|. VÝ dô 2.2.1. Cho A ∈ GL(n, k) lµ mét ma trËn sao cho Am = In víi m lµ sè nguyªn d-¬ng. NÕu m lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt sao cho Am = I th× ta cã biÓu diÔn: Cm = {In , A, ..., Am−1 } ⊂ GL(n, k), lµ ®ãng d-íi phÐp nh©n ma trËn vµ gäi lµ nhãm ma trËn h÷u h¹n. Cm lµ nhãm cylic cÊp m. VÝ dô nh-: A= 0 −1 1 0 ∈ GL(2, k). DÔ dµng kiÓm tra A4 = I2 , do ®ã C4 = 1 0 0 1 , 0 −1 1 0 , −1 0 0 −1 , 0 1 −1 0 lµ mét nhãm cylic cÊp 4 trong GL(2, k). Mét vÝ dô quan träng cña nhãm ma trËn h÷u h¹n lµ ma trËn ho¸n vÞ. Gäi Mσ lµ ma trËn cña biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trong c¬ së chÝnh t¾c f : k n → k n , (x1 , ..., xn ) → (xσ(1) , ..., xσ(n) ). Ma trËn biÓu diÔn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nµy gäi lµ ma trËn ho¸n vÞ. xσ(1) x1 Mσ . ... = ... . xn xσ(n) VÝ dô nh- xÐt f : R3 → R3 , (x1 , x2 , x3 ) → (x2 , x3 , x1 ). Ta lÊy σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1 vµ kiÓm tra 0 1 0 x1 x2 x1 Mσ . x2 = 0 0 1 x2 = x3 . 1 0 0 x3 x3 x1 Th¸i V¨n D-¬ng 38 Ta sÏ dÔ dµng thÊy Mσ .Mv = Mvσ , víi vσ lµ ho¸n vÞ i → v(σ(i)). V× thÕ, ma trËn ho¸n vÞ lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n trong GL(n, k). Ta kÝ hiÖu nhãm ma trËn nµy lµ Sn . MÖnh ®Ò 2.2.1. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n th×: (i) In ∈ G. (ii) NÕu A ∈ G th× tån t¹i m nguyªn d-¬ng sao cho Am = In . (iii) NÕu A ∈ G th× A−1 ∈ G. (i) HiÓn nhiªn. (ii) LÊy A ∈ G th× khi ®ã {A, A2 , A3 , ...} ⊂ G v× G lµ ®ãng d-íi phÐp nh©n. Do G cã tÝnh h÷u h¹n nªn suy ra Ai = Aj víi i > j vµ v× A cã tÝnh chÊt nghÞch ®¶o nªn nh©n hai vÕ cho A−j ta ®-îc Am = In víi m = i − j > 0. (iii) Tõ (ii) suy ra In = Am = A.Am−1 = Am−1 .A. Do ®ã A−1 = Am−1 ∈ G v× G lµ ®ãng d-íi phÐp nh©n. Tõ (i) nªn G = 0 vµ l¹i cã A ∈ G nªn kÕt hîp víi (ii) suy ra In = Am ∈ G. Chøng minh. Cho A = (aij ) ∈ GL(n, k) vµ f ∈ k[x1 , ..., xn ] th× g(x1 , ..., xn ) = f (a11x1 + · · · + a1nxn , ..., an1 x1 + · · · + ann xn ), (1) còng lµ mét ®a thøc trªn k[x1 , ..., xn ]. KÝ hiÖu x lµ vector cét cña biÕn x1 , ..., xn . Do ®ã x1 x = ... . xn Ta viÕt gän ph-¬ng tr×nh (1) nh- sau g(x) = f (A.x). NÕu ta cho r»ng A lµ ma trËn chuyÓn c¬ së th× g ®¬n gi¶n lµ f trong hÖ trôc täa ®é míi. VÝ dô 2.2.2. Cho f (x, y) = x2 + xy + y 2 ∈ R[x, y] vµ 1 A=√ 2 1 −1 1 1 ∈ GL(2, R). Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 39 th× x−y x+y √ , √ 2 2 x−y 2 x−y x+y x+y √ = + √ . √ + √ 2 2 2 2 3 1 = x2 + y 2 . 2 2 g(x, y) = f (A.x) = f 2 VÒ ph-¬ng diÖn h×nh häc, ta cã thÓ lo¹i bá h¹ng tö xy cña f bëi phÐp quay 45o . ThËt vËy, nã cã thÓ cho ta ®a thøc gièng nh- ®a thøc b¾t ®Çu. NÕu h(x, y) = x2 + y 2 vµ ma trËn A nh- trªn th× ta cã thÓ kiÓm tra x−y x+y √ , √ 2 2 2 2 x−y x+y √ = + √ 2 2 2 2 = x +y . h(x) = h(A.x) = h Trong tr-êng hîp nµy ta nãi h lµ bÊt biÕn d-íi ma trËn A, ®iÒu nµy sÏ dÉn ®Õn c¸c ®Þnh nghÜa sau ®©y. 2.2.2 Vµnh cña c¸c bÊt biÕn Cho G ⊂ GL(n, k) là nhãm ma trËn h÷u h¹n. k[x1 , ..., xn ] lµ T¸c ®éng nhãm G lªn G × k[x1 , ..., xn ] −→ k[x1 , ...., xn ] (A, f ) −→ A.f, Af (x) = f (Ax). §Þnh nghÜa 2.2.3. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. Mét ®a thøc f (x) ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ bÊt biÕn d-íi G nÕu f (x) = f (A.x), ∀A ∈ G. KÝ hiÖu k[x1 , ..., xn ]G lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc bÊt biÕn d-íi t¸c ®éng cña G. HÇu nh- c¸c vÝ dô c¬ b¶n cña c¸c bÊt biÕn cña mét nhãm ma trËn h÷u h¹n ®Òu ®-îc cho bëi lµ c¸c ®a thøc ®èi xøng. Th¸i V¨n D-¬ng 40 VÝ dô 2.2.3. XÐt nhãm Sn ⊂ GL(n, k) cña ma trËn ho¸n vÞ th× hiÓn nhiªn ta cã: k[x1 , ..., xn ]Sn = { tÊt c¶ ®a thøc ®èi xøng trong k[x1 , ..., xn ]}. Theo ®Þnh lÝ 2.1.2, ®a thøc ®èi xøng lµ ®a thøc mµ cã thÓ biÓu diÔn duy nhÊt d-íi d¹ng mét ®a thøc ®èi xøng c¬ b¶n. Chóng ta cã thÓ viÕt nh- sau: k[x1 , ..., xn ]Sn = k[σ1 , ..., σn ]. V× thÕ, mçi bÊt biÕn cã thÓ viÕt nh- lµ mét ®a thøc trong h÷u h¹n nhiÒu bÊt biÕn. MÖnh ®Ò 2.2.2. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. Khi ®ã k[x1 , ..., xn ]G lµ ®ãng d-íi phÐp céng, phÐp nh©n vµ chøa c¶ ®a thøc h»ng. MÖnh ®Ò 2.2.3. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. Mét ®a thøc f ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ bÊt biÕn d-íi G nÕu vµ chØ nÕu tÊt c¶ thµnh phÇn cña nã lµ thuÇn nhÊt. NÕu A = (aij ) ∈ GL(n, k) vµ cã xi11 ...xinn lµ ®¬n thøc cã tæng bËc lµ k = i1 + · · · + in . Mµ f lµ bÊt biÕn d-íi G cho nªn Chøng minh. f (x) = f (A.x) = f (a11x1 + · · · + a1n xn , ..., an1 x1 + · · · + annxn ) = (a11x1 + · · · + a1nxn )i1 ...(an1 x1 + · · · + ann xn )in . Khai triÓn ra th× ta thÊy c¸c thµnh phÇn cña nã lµ thuÇn nhÊt bËc k. Bæ ®Ò 2.2.1. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n vµ gi¶ sö chóng ta cã A1 , ..., Am ∈ G sao cho A ∈ G cã thÓ viÕt A = B1 B2 ...Bt , víi Bi ∈ {A1, ..., Am }, i = 1, ..., t. k[x1 , ..., xn ]G nÕu vµ chØ nÕu: Khi ®ã f ∈ k[x1 , ..., xn ] lµ thuéc f (x) = f (A1.x) = · · · = f (Am .x). Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 41 [ ⇒ ] Tr-íc tiªn chóng ta biÓu diÔn r»ng nÕu f lµ bÊt biÕn d-íi ma trËn B1 , ..., Bt th× nã còng bÊt biÕn d-íi tÝch B1 ...Bt . §iÒu nµy lu«n ®óng víi t = 1. NÕu nã còng ®óng víi t − 1 th× Chøng minh. f ((B1 , ..., Bt ).x) = f ((B1 , ..., Bt−1 ).Bt x) = f (Bt .x) = f (x) (bÊt biÕn d-íi Bt ). Gi¶ sö r»ng f lµ bÊt biÕn d-íi A1 , ..., Am . Tõ phÇn tö A ∈ G cã thÓ viÕt A = B1 ...Bt víi Bi ∈ {A1, ..., Am }, ®iÒu ®ã chØ ra r»ng f ∈ k[x1 , ..., xn ]G . [ ⇐ ] HiÓn nhiªn. VÝ dô 2.2.4. XÐt nhãm ma trËn h÷u h¹n V4 = ±1 0 0 ±1 ⊂ GL(2, k). Ta cã thÓ kiÓm tra hai ma trËn −1 0 0 1 , 1 0 0 −1 lµ hai phÇn tö sinh cña V4 . Theo bæ ®Ò nµy, mét ®a thøc f ∈ [x, y] lµ bÊt biÕn d-íi V4 nÕu vµ chØ nÕu f (x, y) = f (−x, y) = f (x, −y). xi y j , ta cã thÓ kiÓm tra ®iÒu kiÖn sau: ViÕt f = ij aij xi y j = f (x, y) = f (−x, y) ⇔ ij aij (−x)i y j ij aij xi y j = ⇔ ij (−1)i aij xi y j ij i ⇔ aij = (−1) aij , ∀i, j ⇔ aij = 0, víi i sè lÎ. Th¸i V¨n D-¬ng 42 T-¬ng tù ta còng cã: aij xi y j = f (x, y) = f (x, −y) ⇔ ij aij xi (−y)j ij aij xi y j = ⇔ ij (−1)i aij xi y j ij ⇔ aij = (−1)j aij , ∀i, j ⇔ aij = 0, víi j sè lÎ. Do ®ã ta thÊy x, y xuÊt hiÖn lµ mét lòy thõa ch½n. V× thÕ, ta viÕt: f (x, y) = g(x2 , y 2 ) lµ mét ®a thøc duy nhÊt g(x, y) ∈ k[x, y]. Ng-îc l¹i, mçi ®a thøc f râ rµng lµ bÊt biÕn d-íi V4 . §iÒu nµy chøng tá r»ng k[x, y]V4 = k[x2 , y 2 ]. V× thÕ, mçi bÊt biÕn V4 cã thÓ viÕt duy nhÊt nh- lµ mét ®a thøc trong hai bÊt biÕn x2 vµ y 2 . VÝ dô 2.2.5. XÐt nhãm cylic C2 = {±I2 } ⊂ GL(2, k) cÊp 2. C¸c bÊt biÕn cña c¸c ®a thøc f ∈ k[x, y] sao cho f (x, y) = f (−x, −y). Ta còng ®Æt aij xi y j . Ta kiÓm tra ®iÒu kiÖn sau: f (x, y) = ij aij xi y j = f (x, y) = f (−x, −y) ⇔ ij aij (−x)i (−y)j ij i+j ⇔ aij = (−1) aij , ∀i, j ⇔ aij = 0, víi (i + j) (sè lÎ). §iÒu nµy cã nghÜa lµ f bÊt biÕn d-íi C2 nÕu vµ chØ nÕu x vµ y cïng ch½n hoÆc cïng lÎ. V× thÕ, mét ®¬n thøc xi y j xuÊt hiÖn trong f cã d¹ng i j xy = x2k y 2l = (x2 )k (y 2)l x2k+1 y 2l+1 = (x2 )k (y 2)l xy nÕu i,j lµ lÎ nÕu i,j lµ ch½n. §iÒu ®ã nãi r»ng f lµ mét ®a thøc cã thÓ biÓu diÔn qua c¸c bÊt biÕn x2 , y 2 , xy. Ta viÕt nh- sau: k[x, y]C2 = k[x2 , y 2 , xy]. Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 43 Chó ý r»ng, ta chØ cÇn ba bÊt biÕn cho k[x, y]C2 . Vµnh [x2 , y 2 , xy] cã b¶n chÊt kh¸c nhau bëi v× nã ph¸ vì tÝnh duy nhÊt. V× mét bÊt biÕn cã thÓ viÕt trong c¸c h¹ng tö x2 , y 2 , xy nhiÒu h¬n mét c¸ch. VÝ dô x4 y 2 lµ bÊt biÕn d-íi C2 nh-ng x4 y 2 = (x2 )2 .y 2 = x2 (xy)2. Trong phÇn sau ta sÏ ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò mèi liªn hÖ ®¹i sè x2 .y 2 = (xy)2 gi÷a c¬ së c¸c bÊt biÕn. 2.3 PhÇn tö sinh cho vµnh cña c¸c bÊt biÕn §Þnh nghÜa 2.3.1. Cho f1 , ..., fm ∈ k[x1 , ..., xn ] vµ chóng ta kÝ hiÖu k[f1 , ..., fm ] lµ con cña k[x1 , ..., xn ] gåm tÊt c¶ ®a thøc biÓu diÔn qua c¸c f1 , ..., fm víi hÖ sè trong k. NghÜa lµ phÇn tö f ∈ k(f1 , ..., fm ) lµ ®a thøc mµ cã thÓ viÕt f = g(f1, ..., fm ), víi g lµ ®a thøc m biÕn víi hÖ sè trong k. V× k[f1 , ..., fm ] lµ ®ãng d-íi phÐp nh©n, phÐp céng vµ chøa h»ng sè nªn nã lµ con cña k[x1 , ..., xn ]. Chóng ta nãi k[f1 , ..., fm ] ®-îc sinh bëi f1 , ..., fm trªn k. Ta thÊy k[f1 , ..., fm ] vµ ideal f1 , ..., fm ®Òu ®-îc sinh bëi f1, ..., fm , nh-ng trong mçi tr-êng hîp, sù kh¸c biÖt ®ã kh«ng ®¸ng kÓ. §Þnh nghÜa 2.3.2. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. To¸n tö Reynolds cña G lµ ¸nh x¹ RG : k[x1 , ..., xn ] → k[x1 , ..., xn ] t-¬ng øng mçi f (x) ∈ k[x1 , ..., xn ] víi RG (f )(x) = 1 |G| f (A.x). A∈G Chó ý phÐp chia cho |G| lµ cho phÐp v× k cã ®Æc sè kh«ng. To¸n tö Reynolds cã mÖnh ®Ò quan träng sau ®©y. MÖnh ®Ò 2.3.1. Gi¶ sö RG lµ to¸n tö Reynolds cña nhãm ma trËn h÷u h¹n G. (i) RG lµ k tuyÕn tÝnh theo f. (ii) NÕu f ∈ k[x1 , ..., xn ] th× RG(f ) ∈ k[x1 , ..., xn ]G . Th¸i V¨n D-¬ng 44 (iii) NÕu f ∈ k[x1 , ..., xn ] th× RG(f ) = f . Chøng minh. (ii) LÊy B ∈ G th× RG(f )(Bx) = 1 |G| f (A.Bx) = A∈G 1 |G| f (AB.x). (1) A∈G ViÕt G = {A1 , ..., A|G| } chó ý Ai B = Aj B khi i = j (mÆt kh¸c ta nh©n hai vÕ cho B −1 ®Ó cã kÕt qu¶ lµ Ai = Aj ). Mét tËp con {A1 B, ..., A|G| B} ⊂ G chøa |G| phÇn tö kh¸c biÖt cña G vµ v× thÕ nã ph¶i b»ng G, khi ®ã ta cã biÓu diÔn G = {AB : A ∈ G}. Ta thÊy ®a thøc f (AB.x) chÝnh lµ ®a thøc f (A.x), cã thÓ kh¸c nhau vÒ cÊp 1 |G| f (AB.x) = A∈G 1 |G| f (A.x) = RG(f )(x), A∈G vµ ®iÒu nµy chØ ra r»ng RG(f )(B.x) = RG(f )(x), ∀B ∈ G. §iÒu nµy suy ra RG(f ) ∈ k[x1 , ..., xn ]G . (iii) Chó ý, nÕu f ∈ k[x1 , ..., xn ]G th× khi ®ã RG (f )(x) = 1 |G| f (A.x) = A∈G 1 |G| f (x) = f (x) A∈G v× f lµ bÊt biÕn. Tõ ®ã RG(f ) = f lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 2.3.1. XÐt nhãm ma trËn cylic C4 ⊂ GL(2, k) cÊp 4 và phÇn tö sinh A= 0 −1 1 0 . Chóng ta biÕt r»ng k[x, y]C4 = {f ∈ k[x, y] | f (x, y) = f (−y, x)}. DÔ dµng kiÓm tra to¸n tö Reynolds ®-îc cho bëi: RC4 (f )(x, y) = 1 f (x, y) + f (−y, x) + f (−x, −y) + f (y, −x) . 4 Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 45 Theo mÖnh ®Ò 2.3.1, ta cã thÓ tÝnh to¸n mét vµi bÊt biÕn nh- sau: 1 2 1 (x + (−y)2 + (−x)2 + y 2) = (x2 + y 2), 4 2 1 RC4 (xy) = (xy + (−y)x + (−x)(−y) + y(−x)) = 0, 4 1 1 RC4 (x3 y) = (x3 y + (−y)3x + (−x)3 (−y) + y 3 (−x)) = (x3 y − xy 3), 4 2 1 RC4 (x2 y 2) = (x2 y 2 + (−y)2 x2 + (−x)2 (−y)2 + y 2(−x)2 ) = x2 y 2 . 4 RC4 (x2) = V× thÕ x2 + y 2, x3 y − xy 3 , x2 y 2 ∈ k[x, y]C4 , ®ã lµ ba bÊt biÕn cña k[x, y]C4 . §Þnh lÝ 2.3.1. (E.Noether, 1916) Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. Khi ®ã k[x1 , ..., xn ]G = k[RG (xβ ) : |β| ≤ |G|]. §Æc biÖt k[x1 , ..., xn ]G lµ ®-îc sinh bëi h÷u h¹n nhiÒu c¸c bÊt biÕn. Chøng minh. cα xα ∈ k[x1 , ..., xn ]G th× theo mÖnh ®Ò 2.3.1 suy ra NÕu f = α c α xα = f = RG(f ) = RG α cα RG(xα ). α Tõ ®ã, mçi bÊt biÕn lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh (trªn k) cña c¸c RG(xα ). §Ó chøng minh k[x1 , ..., xn ]G ⊂ k[RG (xβ ) : |β| ≤ |G|], chØ cÇn chØ ra r»ng víi mäi α, RG (xα ) lµ ®a thøc theo RG (xβ ), |β| ≤ |G|. Tr-íc hÕt ta cã khai triÓn (x1 + · · · + xn )k = |α|=k k! xα1 1 . . . xαn n = α1 ! . . . αn ! aαxα , (1) |α|=k §Æt Ai lµ dßng thø i cña A = (aij ) ∈ G. V× thÕ, Ai .x = ai1 x1 + · · · + ain xn . NÕu α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Zn≥0 th× (A.x)α = (A1 .x)α1 . . . (An .x)αn . Ta l¹i cã RG(xα ) = 1 |G| (A.x)α . A∈G Th¸i V¨n D-¬ng 46 Gäi u1 , ..., un lµ c¸c biÕn míi vµ thay thÕ xi trong ph-¬ng tr×nh (1) bëi ui Ai .x víi ui ∈ G, i = 1, ..., n. (u1 A1 .x + · · · + un An .x)k = aα(A.x)α uα . |α|=k LÊy tæng hai vÕ ta ®-îc Sk = (u1 A1 .x + · · · + un An .x)k = A∈G (A.x)α uα (2) aα A∈G |α|=k bα RG(xα )uα , = |α|=k víi bα = |G|aα. VÕ tr¸i cña (2) lµ tæng lòy thõa bËc k cña |G| ®¹i l-îng XA = u1 A1 x + · + un An x. Tõ Sk lµ ®a thøc ®èi xøng theo XA nªn theo ®Þnh lÝ 2.1.3, tån t¹i ®a thøc F víi hÖ sè trong k sao cho Sk = F (S1, ..., S|G| ). Thay thÕ vµo ph-¬ng tr×nh (2) ta ®-îc bα RG(xα )uα = F |α|=k bβ RG(xβ )uβ , ..., |β|=1 bβ RG(xβ )uβ . |β|=|G| Khai triÓn vÕ ph¶i vµ ®ång nhÊt c¸c hÖ sè cña uα , suy ra bα RG(xα ) = mét ®a thøc trong RG(xβ ), |β| ≤ |G|. V× k cã ®Æc sè kh«ng nªn hÖ sè bα = |G|aα = 0 trong k. Tõ ®ã ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 2.3.2. Chóng ta trë l¹i vÝ dô trªn, víi nhãm cylic C4 ⊂ GL(2, k) cÊp 4. Ta tÝnh RC4 (xi y j ), ∀(i + j) ≤ 4. KÕt qu¶ nh- sau xi y j RC4 (xi y j ) x 0 0 y 1 2 2 (x + y 2 ) x 2 0 xy 1 2 2 2 y 2 (x + y ) x3 0 2 0 xy xi y j RC4 (xi y j ) xy 2 0 y3 0 1 4 4 x (x + y 4 ) 2 x3 y 12 (x3 y − y 3x) x2 y 2 x2 y 2 xy 3 − 12 (x3 y − y 3x) 1 4 y4 (x + y 4 ) 2 Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 47 Theo ®Þnh lÝ 2.3.1 k[x, y]C4 ®-îc sinh bëi bèn bÊt biÕn x2 + y 2 , x4 + y 4, x3 y − xy 3, x2 y 2, chóng ta kh«ng cÇn ®Õn x4 + y 4 v× x4 + y 4 = (x2 + y 2)2 − 2x2 y 2 . V× thÕ ta ®· chøng minh r»ng k[x, y]C4 = k[x2 + y 2, x3 y − xy 3, x2 y 2]. Khi |G| lín, ta cÇn tÝnh to¸n tö Reynolds cho nhiÒu ®¬n thøc. VÝ dô 2.3.3. XÐt nhãm cylic C8 ⊂ GL(2, R) cÊp 8 vµ phÇn tö sinh 1 A=√ 2 1 −1 1 1 ∈ GL(2, R). Ta cã x−y x+y 1 −x − y x − y √ , √ f √ , √ + f (−y, x) + f 8 2 2 2 2 −x + y −x − y √ , √ + f (y, −x) + f (−x, −y) + f 2 2 x + y −x + y + f (x, y) . + f √ , √ 2 2 RC8 f (x, y) = Th× theo ®Þnh lÝ 2.3.1 k[x, y] ®-îc sinh ra bëi 44 bÊt biÕn RC8 (xi y j ), i+j ≤ 8. ThËt sù chØ cÇn ®Õn 3 th«i. VÝ dô 2.3.4. NÕu chóng ta biÕt k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] th× chóng ta cã thÓ biÓu diÔn mét bÊt biÕn bÊt k× f ∈ k[x1 , ..., xn ]G qua c¸c phÇn tö f1 , ..., fm . Ta cã thÓ dÔ dµng kiÓm tra ®a thøc sau f (x, y) = x8 + 2x6 y 2 − x5 y 3 + 2x4 y 4 + x3 y 5 + 2x2 y 6 + y 8 , tháa f (x, y) = f (−y, x) vµ bÊt biÕn d-íi nhãm C4 tõ vÝ dô 2.3.1. Suy ra f ∈ k[x, y]C4 = k[x2 + y 2, x3 y − xy 3 , x2 y 2]. Ta sÏ biÓu diÔn f qua c¸c bÊt biÕn nµy nh- sau f (x, y) = −8x4 y 4 − (x3 y − xy 3 ).x2 y 2 − 2(x3 y − xy 3 ) + (x2 + y 2)4 . Th¸i V¨n D-¬ng 48 MÖnh ®Ò 2.3.2. Gi¶ sö r»ng f1 , ..., fm ∈ k[x1 , ..., xn ], cè ®Þnh mét thø tù ®¬n thøc trong k[x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ] víi tÊt c¶ ®¬n thøc theo x1 , ..., xn lín h¬n tÊt c¶ ®¬n thøc trong k[y1 , ..., ym ]. Gi¶ sö G lµ c¬ së Gr¨ obner cña ideal G f1 − y1, ..., fm − ym ⊂ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ]. Cho f ∈ k[x1 , ..., xn ], g = f lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho G th×: (i) f ∈ k[f1 , ..., fm ] nÕu vµ chØ nÕu g ∈ k[y1 , ..., ym ]. (ii) NÕu f ∈ k[f1 , ..., fm ] th× f = g(f1 , ..., fm ) lµ mét biÓu thøc cña f qua c¸c f1, ..., fm . Chøng minh. Ta chia f ∈ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ] cho G = {g1, ..., gt }, ta cã biÓu diÔn sau f = A1g1 + · · · + At gt + g, víi A1 , ..., At , g ∈ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., yn ]. (i) [” ⇐ ”] Gi¶ sö r»ng g ∈ k[y1 , ..., ym ]. Cø mçi i, ta thay thÕ fi cho yi trong c«ng thøc f trªn, thay thÕ nµy kh«ng ¶nh h-ëng ®Õn f, chØ ¶nh h-ëng khi ta thay thÕ cho c¸c x1 , ..., xn mµ th«i, nªn mçi ®a thøc trong f1 −y1 , ..., fn −ym dÇn ®Õn 0. V× g1 , ..., gt ∈ f1 − y1, ..., fn − ym nªn f = g(f1 , ..., fm ). V× thÕ f ∈ k[f1 , ..., fm ]. [” ⇒ ”] Gi¶ sö r»ng f = g(f1 , ..., fm ) víi g ∈ k[y1 , ..., ym ]. Ta cã f = C1 (f1 − y1 ) + · · · + Cn (fm − ym ) + g(y1 , ..., ym ). (1) Kh¸c víi c¸c ®a thøc ®èi xøng, g kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ phÇn d- cña phÐp chia f bëi G. LÊy G = G ∩ k[y1 , ..., ym ] bao gåm c¸c phÇn tö G t¸c ®éng trªn y1 , ..., ym . Ta cã thÓ gi¶ ®Þnh G = {g1 , ..., gt } víi s ≤ t. NÕu ta chia g bëi G , ta sÏ cã biÓu diÔn sau g = B1 g1 + · · · + Bs gs + g , (2) víi B1 , ..., Bs ∈ k[y1 , ..., ym ]. Ta kÕt hîp (1) vµ (2) ta ®-îc nh- sau f = C1 (f1 − y1 ) + · · · + Cn (fm − ym ) + g (y1, ..., ym ). Theo (2) th× mçi gi ®Òu n»m trong f1 − y1, ..., fm − ym . Ta cÇn g lµ phÇn d- cña f cho G. Ta sÏ chøng minh ®iÒu nµy. Tõ G lµ cë së Gr¨ obner nªn g lµ phÇn d- cña f bëi G, vµ sÏ kh«ng cã h¹ng tö nµo cña g chia hÕt cho lt(G). Gi¶ sö gi ∈ G, víi lt(gi ) chia hÕt cho mét vµi h¹ng tö cña g . Th× Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 49 lt(gi ) chØ bao gåm c¸c y1 , ..., ym v× g ∈ k[y1 , ..., ym ]. §iÒu ®ã chØ ra r»ng, gi ∈ k[y1 , ..., ym ] cho nªn gi ∈ G . Tõ g lµ phÇn d- cña phÐp chia f cho G , lt(gi ) kh«ng thÓ chia hÕt cho h¹ng tö g . DÉn ®Õn m©u thuÉn g lµ phÇn d-. (ii). Trong chøng minh (i) ta ®· chøng minh lu«n (ii). 2.4 Liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö sinh vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o 2.4.1 Liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö sinh Trong phÇn nµy chóng ta sÏ m« t¶ mèi liªn hÖ ®¹i sè f1 , ..., fm vµ ta sÏ thÊy ®-îc liªn hÖ gi÷a ®¹i sè vµ h×nh häc. Cho ®a thøc ®èi xøng f ∈ k[x1 , ..., xn ]Sn = k[σ1 , ..., σn ]. Ta ®· chøng minh f cã biÓu diÔn duy nhÊt qua c¸c ®a thøc ®èi xøng c¬ b¶n σ1 , ..., σn . Cho nhãm ma trËn h÷u h¹n G ⊂ GL(n, k). NÕu k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] th× ta ®Æt c©u hái liÖu r»ng f ∈ k[x1 , ..., xn ]G cã thÓ biÓu diÔn duy nhÊt qua c¸c phÇn tö sinh f1 , ..., fm kh«ng? Chó ý nÕu g1 vµ g2 lµ ®a thøc trong k[y1 , ..., ym ] th× g1 (f1 , ..., fm ) = g2 (f1, ..., fm ) ⇔ h(f1 , ..., fm ) = 0, víi h = g1 − g2 . TÝnh duy nhÊt sÏ bÞ ph¸ vë nÕu vµ chØ nÕu cã mét ®a thøc kh¸c kh«ng h ∈ k[y1 , ..., ym ] sao cho h(f1, ..., fm ) = 0. Mét ®a thøc nh- thÕ lµ liªn hÖ ®¹i sè kh«ng tÇm th-êng cña c¸c phÇn tö f1, .., fm . NÕu cho F = (f1 , ..., fm ) th× ®Æt IF = {h ∈ k[y1 , ..., ym ] | h(f1 , ..., fm ) = 0 trong k[x1 , ..., xn ]}, lµ tËp tÊt c¶ c¸c liªn hÖ ®¹i sè gi÷a c¸c f1 , ..., fm . MÖnh ®Ò 2.4.1. NÕu k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] vµ IF nh- trªn th×: (i) IF lµ ideal nguyªn tè cña k[y1 , ..., ym ]. (ii) Gi¶ sö f ∈ k[x1 , ..., xn ]G vµ f = g(f1, ..., fm ) lµ biÓu diÔn cña f qua c¸c f1, ..., fm . Th× tÊt c¶ c¸c biÓu diÔn ®ã ®-îc cho bëi f = g(f1, ..., fm ) + h(f1, ..., fm ), víi h lµ biÕn thiªn trªn IF (hay h ∈ IF ). Th¸i V¨n D-¬ng 50 (i) Ta thÊy IF lµ mét ideal. B©y giê ta sÏ chøng minh IF lµ mét ideal nguyªn tè, ta chØ cÇn chøng minh f.g ∈ IF . Tõ ®ã suy ra f ∈ IF hoÆc g ∈ IF . Nh-ng f g ∈ IF nghÜa lµ f (f1 , ..., fm )g(f1, ..., fm ) = 0, lµ tÝch cña ®a thøc trong k[x1 , ..., xn ] vµ v× thÕ f (f1 , ..., fm ) hoÆc g(f1 , ..., fm ) b»ng 0. Do ®ã f hoÆc g sÏ thuéc trong IF . Chøng minh. Chóng ta gäi IF lµ ideal cña c¸c liªn hÖ cho F = (f1, ..., fm ). XÐt C2 = {±I2 } ⊂ GL(2, k). Mµ chóng ta biÕt k[x, y]C2 = k[x2 , y 2 , xy], vµ theo vÝ dô 2.3.1 ta sÏ xem IF = uv − w 2 ⊂ k[u, v, w]. B©y giê ta xÐt x6 + x3 y 3 ∈ k[x, y]C2 theo mÖnh ®Ò nµy ta sÏ biÓu diÔn x6 + x3 y 3 qua c¸c phÇn tö x2 , y 2, xy. (x2 )3 + (xy)3 + (x2 .y 2 − (xy)2).b(x2 , y 2 , xy), v× c¸c phÇn tö uv − w 2 cã d¹ng lµ (uv − w 2).b(u, v, w) ∈ IF . MÖnh ®Ò 2.4.2. NÕu k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ], gi¶ sö IF ⊂ k[y1 , ..., ym ] lµ ideal cña c¸c liªn hÖ. Khi ®ã cã mét ®¼ng cÊu vµnh k[y1 , ..., ym ]/IF ∼ = k[x1 , ..., xn ]G , gi÷a vµnh th-¬ng cña IF vµ vµnh cña c¸c bÊt biÕn. C¸c phÇn tö cña vµnh th-¬ng k[y1 , ..., ym ]/IF ®-îc viÕt lµ [g] víi g ∈ k[y1 , ..., ym ] khi ®ã [g1 ] = [g2 ] nÕu vµ chØ nÕu g1 − g2 ∈ IF . Ta ®Þnh nghÜa Chøng minh. Φ : k[y1 , ..., ym ]/IF → k[x1 , ..., xn ]G Φ(|g|) = g(f1, ..., fm ). Tõ ®Þnh nghÜa ta sÏ thÊy Φ lµ mét ®ång cÊu vµnh. Ta cÇn chøng minh Φ lµ ¸nh x¹ 1-1 vµ ¸nh x¹ lªn. Tõ k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] kh¼ng ®Þnh Φ lµ ¸nh x¹ lªn. §Õn chøng minh Φ lµ 1-1, ta gi¶ sö Φ([g1 ]) = Φ([g2 ]) th× g1 (f1, ..., fm ) = g2 (f1, ..., fm ), suy ra g1 − g2 ∈ IF . V× [g1 ] = [g2 ], nªn Φ lµ ¸nh x¹ 1-1. Chøng minh nµy Φ lµ ®¼ng cÊu vµnh. MÖnh ®Ò 2.4.3. NÕu k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ], xÐt ideal JF = f1 − y1, ..., fm − ym ⊂ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ]. Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 51 (i) IF lµ ideal khö thø n cña JF . V× thÕ, IF = JF ∩ k[y1 , ..., ym ]. (ii) Cè ®Þnh mét thø tù ®¬n thøc trong k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ], víi bÊt cø ®¬n thøc theo x1 , ..., xn lín h¬n tÊt c¶ c¸c ®¬n thøc trong k[y1 , ..., ym ] vµ G lµ c¬ së Gr¨ obner cña JF . Khi ®ã G ∩ k[y1 , ..., ym ] lµ mét c¬ së Gr¨ obner cho IF trong thø tù ®¬n thøc trªn k[y1 , ..., yn ]. Chøng minh. NÕu p ∈ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ] th× ta cÇn kh¼ng ®Þnh p ∈ JF ⇔ p(x1 , ..., xn , f1 , ..., fm ) = 0 trong k[x1 , ..., xn ]. (1) V× thay thÕ yi → fi nªn nã sÏ ®-a tÊt c¶ c¸c phÇn tö JF = f1 −y1, ..., fm −ym dÇn ®Õn 0. MÆt kh¸c cho p ∈ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ], nÕu thay thÕ mçi yi trong p bëi fi − (fi − yi ) th× ta ®-îc nh- sau p(x1 , ..., xn , y1, ..., ym ) = p(x1 , ..., xn , f1 , ..., fm )+B1 .(f1−y1 )+· · ·+Bm .(fm −ym ) víi B1 , ..., Bm ∈ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ]. §Æc biÖt, nÕu p(x1 , ..., xn , f1 , ..., fm ) = 0 th× p(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) = B1 .(f1 − y1) + · · · + Bm .(fm − ym ) ∈ JF . Ta lÊy (1) ∩ k[y1 , ..., ym ]. Cho p ∈ k[y1 , ..., ym ], ®iÒu nµy chøng minh p ∈ JF ∩ k[y1 , ..., ym ] ⇔ p(f1 , ..., fm ) = 0 trong k[x1 , ...., xn ], cho nªn JF ∩ k[y1 , ..., ym ] = IF bëi theo ®Þnh nghÜa IF (®pcm). Chøng minh (ii) th× theo ®Þnh lÝ 1.7.4. VÝ dô 2.4.1. Trong vÝ dô tr-íc, chóng ta nãi r»ng c¸c bÊt biÕn cña C2 = {±I2 } ⊂ GL(2, k) lµ ®-îc cho bëi k[x, y]C2 = k[x2 , y 2 , xy]. Gi¶ sö F = (x2 , y 2, xy) vµ ®Æt c¸c biÕn míi lµ u, v, w. Th× ideal cña c¸c liªn hÖ vÉn ®-îc tån t¹i bëi phÇn tö x, y tõ ph-¬ng tr×nh u = x2 , v = y 2, w = xy. Ta cè ®Þnh theo quan hÖ thø tù > trªn Nn vµ x > y > u > v > w, th× mét c¬ së Gr¨ obner cho ideal JF = u − x2 , v − y 2 , w − xy , Th¸i V¨n D-¬ng 52 gåm cã c¸c ®a thøc x2 − u, xy − w, xv − yw, xw − yu, y 2 − v, uv − w 2. Theo tÝnh chÊt trªn th× IF = uv − w 2 §iÒu nµy nãi lªn r»ng, tÊt c¶ c¸c liªn hÖ gi÷a x2 , y 2 vµ xy lµ ®-îc sinh bëi x2 .y 2 = (xy)2 . Th× theo mÖnh ®Ò 2.4.2 vµnh cña c¸c bÊt biÕn cã thÓ viÕt k[x, y]C2 ∼ = k[u, v, w]/ uv − w 2 . VÝ dô 2.4.2. Cho nhãm ma trËn cylic C4 ⊂ GL(2, k) cÊp 4 vµ phÇn tö sinh A= 0 −1 1 0 , vµ ta nãi r»ng k[x, y]C4 = k[x2 + y 2 , x3 y + xy 3 , x2 y 2 ]. §Æt F = (x2 + y 2 , x3 y + xy 3 , x2 y 2 ). Ta nãi r»ng IF ⊂ k[u, v, w] lµ ®-îc cho bëi IF = u2 w − v 2 − 4w 2 . V× liªn hÖ lµ tÇm th-êng gi÷a c¸c bÊt biÕn nªn (x2 + y 2)2 .x2 y 2 = (x3 y + xy 3 )2 + 4(x2 y 2 )2 . Theo mÖnh ®Ò 2.4.2, vµnh cña c¸c bÊt biÕn cã thÓ viÕt k[x, y]C4 ∼ = k[u, v, w]/ u2 w − v 2 − 4w 2 . §Þnh nghÜa 2.4.1. NÕu k[x1 , ...., xn ]G = k[f1 , ..., fm ], gi¶ sö IF ⊂ k[y1 , ..., ym ] lµ ideal cña c¸c liªn hÖ cña F = (f1, ..., fm ). Khi ®ã ta cã tËp ®¹i sè affin VF = V (IF ) ⊂ k m . TËp ®¹i sè VF sÏ cã nh÷ng tÝnh chÊt sau. MÖnh ®Ò 2.4.4. Gi¶ sö IF ⊂ k[y1 , ..., ym ] vµ VF = V (IF ) ⊂ k m . (i) VF lµ tËp ®¹i sè nhá nhÊt trong k m chøa tham sè hãa y1 = f1 (x1 , ..., xn ), .. . ym = fm (x1, ..., xn ). Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 53 (ii) IF = I(VF ) sao cho IF lµ ideal cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc triÖt tiªu trªn VF . (iii) VF lµ tËp ®¹i sè bÊt kh¶ quy. (iv) Gi¶ sö k[VF ] lµ vµnh täa ®é cña VF th× cã mét ®¼ng cÊu vµnh k[VF ] ∼ = k[x1 , ..., xn ]G . (i) Theo ®Þnh nghÜa 1.10.2 ta ®-îc chøng minh nµy. (ii) Chó ý r»ng chóng ta lu«n cã IF ⊂ I(V (IF )) = I(VF ). Gi¶ sö h ∈ I(VF ) vµ cho bÊt cø (a1 , ..., an ) ∈ k n th× suy ra Chøng minh. (f1(a1 , ..., an ), ..., fm (a1, ..., an )) ∈ VF . Do h triÖt tiªu trªn VF ta ®-îc h(f1(a1, ..., an ), ..., fm (a1, ..., an )) = 0, víi (a1, ..., an ) ∈ k n . B»ng gi¶ thiÕt, k cã ®Æc tÝnh kh«ng vµ v« h¹n, theo mÖnh ®Ò 1.9.1 suy ra h(f1, ..., fm ) = 0, vµ v× thÕ h ∈ IF . (iii) Theo (ii) vµ mÖnh ®Ò 2.4.1 ta cã I(VF ) = IF lµ ideal nguyªn tè. V× thÕ VF lµ bÊt kh¶ quy bëi mÖnh ®Ò 1.9.2 (iv) Täa ®é vµnh k[VF ] cã thÓ viÕt k[VF ] ∼ = k[y1 , ..., yn ]/I(VF ). Tõ (ii) I(VF ) = IF , chóng ta cã thÓ sö dông ®¼ng cÊu ë mÖnh ®Ò 2.4.2 k[VF ] ∼ = k[y1 , ..., ym ]/IF ∼ = k[x1 , ..., xn ]G . §Þnh lÝ 2.4.1. Hai tËp ®¹i sè V ⊂ k m vµ W ⊂ k n lµ ®¼ng cÊu nÕu vµ chØ nÕu mét ®¼ng cÊu k[V ] ∼ = k[W ] cña vµnh täa ®é mµ ®ång nhÊt trªn hµm h»ng. [” ⇒ ”] V vµ W lµ ®¼ng cÊu th× k[V ] ∼ = k[W ], theo mÖnh ®Ò 1.12.1 ®¼ng cÊu lµ ®ång nhÊt trªn hµm h»ng. [” ⇐ ”] NÕu ta cã mét ®¼ng cÊu vµnh f : k[W ] −→ k[V ] mµ ®ång nhÊt trªn k, th× f vµ f −1 lµ ¸nh x¹ ng-îc gi÷a V vµ W. Theo mÖnh ®Ò 1.12.1, ta cã Chøng minh. Th¸i V¨n D-¬ng 54 f = α∗ víi α : V −→ W vµ f −1 = β ∗ víi β : W −→ V . Ta cÇn biÓu diÔn α vµ β lµ ¸nh x¹ ng-îc. Tr-íc tiªn ta xÐt ¸nh x¹ α ◦ β : W −→ W , lÊy Φ ∈ k[W ] ta ®-îc (α ◦ β)∗ (Φ) = β ∗ (α∗ (Φ)) = f −1 (f (Φ)) = Φ. Ta thÊy idw : W −→ W lµ ¸nh x¹ ®a thøc trªn W, vµ id∗w (Φ) = Φ, ∀Φ ∈ k[W ]. Tõ ®ã kÕt luËn r»ng, (α ◦ β)∗ = id∗w nªn α ◦ β = idw . T-¬ng tù, β ◦ α = idv . V× thÕ α vµ β lµ ¸nh x¹ ng-îc. HÖ qu¶ 2.4.1. Gi¶ sö r»ng k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] = k[f1 , ..., fm ]. NÕu ta ®Æt F = (f1, ..., fm ) vµ F = (f1, ..., fm ) th× tËp ®¹i sè VF ⊂ k m vµ VF ⊂ k m lµ mét ®¼ng cÊu. Theo mÖnh ®Ò 2.4.4, ta cã ®¼ng cÊu k[VF ] ∼ = k[x1 , ..., xn ]G ∼ = k[VF ]. m m KÕt hîp ®Þnh lÝ 2.4.1 th× tËp ®¹i sè VF ⊂ k vµ VF ⊂ k lµ mét ®¼ng cÊu. Chøng minh. 2.4.2 H×nh häc cña c¸c quü ®¹o §Þnh nghÜa 2.4.2. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ mét nhãm ma trËn h÷u h¹n. XÐt t¸c ®éng cña G lªn k n bëi G × k n −→ k n , (A, x) −→ Ax. Mét G- quü ®¹o cña x ∈ k n lµ tËp hîp G.x = {A.x | ∀A ∈ G}. TËp tÊt c¶ c¸c G- quÜ ®¹o trong k n kÝ hiÖu lµ k n /G vµ gäi lµ kh«ng gian quü ®¹o. Bæ ®Ò 2.4.1. Gi¶ sö r»ng G ⊂ GL(n, k) lµ nhãm ma trËn h÷u h¹n vµ f ∈ k[x1 , ..., xn ]. LÊy N = |G|. Khi ®ã cã c¸c bÊt biÕn g1 , ..., gN ∈ k[x1 , ..., xn ]G sao cho f N + g1 f N −1 + · · · + gN = 0. Chøng minh. XÐt ®a thøc (X − f (A.X)), ta khai triÓn ra nh- sau A∈G (X − f (A.X)) = X N + g1 (x)X N −1 + · · · + gN (x) A∈G Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 55 víi hÖ sè g1 , ..., gN ∈ k[x1 , ..., xn ]. Chóng ta cÇn chØ ra g1 , ..., gn lµ bÊt biÕn d-íi G. Ta sÏ chøng minh ®iÒu nµy. Gi¶ sö B ∈ G th× theo mÖnh ®Ò 2.3.1, ta nãi f (AB.x) còng nh- lµ f (A.x), nã chØ cã thÓ lµ kh¸c nhau vÒ bËc. (X − f (AB.X)) = A∈G (X − f (A.X)), A∈G khai triÓn hai vÕ, ta ®-îc X N + g1 (B.x)X N −1 + · · · + gN (B.x) = X N + g1 (x)X N −1 + · · · + gN (x), víi mçi B ∈ G. §iÒu nµy chøng minh r»ng g1 , ..., gN ∈ k[x1 , ..., xn ]G . Tõ X − f (In .x) = X − f (x), ®a thøc sÏ triÖt tiªu khi X = f . §Þnh lÝ 2.4.2. Cho G ⊂ GL(n, k) lµ nhãm ma trËn h÷u h¹n, k lµ mét ®ãng ®¹i sè. Gi¶ sö k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ] th× (i) ¸nh x¹ ®a thøc F : k n → VF ®Þnh nghÜa bëi F (a) = (f1 (a), ..., fm (a)) lµ toµn ¸nh. VÒ h×nh häc, ®iÒu nµy nghÜa lµ VF lu«n ®-îc tham sè hãa yi = fi (x1 , ..., xn ). (ii) ¸nh x¹ F : k n → VF , G.a → F (a) lµ 1-1 th× k n /G ∼ = VF . (i) Ta cã k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ]. Gi¶ sö JF = f1 −y1 , ..., fm − ym ⊂ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ]. V× IF = JF ∩ k[y1 , ..., ym ] lµ ideal khö cña JF nªn ®iÒu ®ã chØ ra r»ng mét ®iÓm (b1 , ..., bm ) ∈ VF = V (IF ) lµ gi¶i ph¸p cho hÖ ph-¬ng tr×nh Chøng minh. y1 = f1 (x1 , ..., xn ), .. . ym = fm (x1, ..., xn ). NÕu chóng ta cã thÓ chøng minh r»ng (b1, ..., bm ) ∈ V (IF ) më réng ®Õn (a1, ..., an , b1 , ..., bm ) ∈ V (JF ) th× F (a1 , ..., an ) = (b1, ..., bm ) vµ toµn ¸nh cña F : k n −→ VF nh- sau. Cø mçi i cã mét phÇn tö pi ∈ JF ∩ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ] sao cho p i = xN i + h¹ng tö xi cã bËc < N, Th¸i V¨n D-¬ng 56 víi N = |G|. Ta sÏ gi¶ ®Þnh ®iÒu ®ã lµ ®óng. Ta sÏ më réng (b1, ..., bm ) nhsau (ai+1 , ...., an , b1 , ..., bm ) ∈ V (JF ∩ k[xi+1 , ..., xn , y1 , ..., ym ]). V× k lµ ®ãng ®¹i sè vµ theo ®Þnh lÝ 1.9.1, ta sÏ më réng ®Õn (ai , ai+1 , ..., an , b1 , ..., bm ) mµ ®· ®-îc chøng minh lµ hÖ sè dÉn ®Çu trong xi lµ mét phÇn tö sinh cña JF ∩ k[x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ] lµ kh«ng triÖt tiªu. Ideal nµy chøa ®a thøc pi vµ ta cã thÓ gi¶ sö pi lµ phÇn tö sinh. Do kh«ng triÖt tiªu nªn sÏ tån t¹i ai . NÕu f = xi th× theo bæ ®Ò 2.4.1 ta ®-îc N −1 xN + · · · + gN = 0, i + g 1 xi víi N = |G| vµ g1 , ..., gN ∈ k[x1 , ..., xn ]G . Sö dông k[x1 , ..., xn ]G = k[f1 , ..., fm ]. Ta viÕt gj = hj (f1, ..., fm ) víi j = 1, ..., N th× N −1 + · · · + hN (y1, ..., ym ), pi (xi , y1 , ..., ym ) = xN i + h1(y1, ..., ym )xi trong k[xi , y1 , ..., ym ]. Tõ ®ã chØ ra r»ng pi (xi , y1 , ..., ym ) = 0 vµ pi ∈ JF . Tõ ®ã pi ∈ JF ∩ k[xi , ..., xn , y1 , ..., ym ]. (ii) XÐt ¸nh x¹ ∼ F : k n /G −→ VF , ®-îc ®Þnh nghÜa bëi G.a ®Õn F (a) = (f1(a), ...., fm (a)), mçi fi lµ bÊt biÕn vµ nã sÏ cã gi¸ trÞ nh- nhau trªn tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña mét G- quü ®¹o G.a. ∼ Ta sÏ chØ ra r»ng F lµ 1-1. Gi¶ sö G.a vµ G.b lµ quü ®¹o kh¸c nhau. Chóng ta cã thÓ x©y dùng mét bÊt biÕn g ∈ k[x1 , ..., xn ]G sao cho g(a) = g(b). §Ó cã ®-îc ®iÒu nµy, chó ý S = G.b ∪ G.a − {a} lµ h÷u h¹n trªn k n vµ thËt vËy, nã lµ mét tËp ®¹i sè. V× a ∈ S nªn ta ph¶i ®Þnh nghÜa ph-¬ng tr×nh f cña S mµ kh«ng triÖt tiªu t¹i a. Do ®ã, víi A ∈ G, ta cã f (A.b) = 0 vµ f (A.a) = 0 f (a) = 0 nÕu A.a = a nÕu A.a = a. Gi¶ sö lÊy g = RG(f ), ta kiÓm tra g(b) = 0 vµ g(a) = M f (a) = 0, |G| M lµ sè phÇn tö cña A ∈ G sao cho A.a = a. Mµ ta ®· cã g ∈ k[x1 , ..., xn ]G sao cho g(a) = g(b). B©y giê, ta sÏ xem g nh- lµ mét ®a thøc g = h(f1, ..., fm ) trong c¸c phÇn tö sinh cña chóng. Th× g(a) = g(b) suy ra fi (a) = fi (b), ∀i. ∼ §iÒu ®ã chØ ra r»ng, F cã gi¸ trÞ kh¸c nhau trªn G.a vµ G.b. Lý thuyÕt bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n 57 KÕt luËn vµ h-íng nghiªn cøu KÕt luËn - §èi víi ch-¬ng 1: • Tr×nh bµy hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ®¹i sè h×nh häc [1],[2],[3],[4],[5]. - §èi víi ch-¬ng 2: • Giíi thiÖu bÊt biÕn cña nhãm h÷u h¹n. • M« t¶ tÊt c¶ c¸c ®a thøc bÊt biÕn ®èi víi t¸c ®éng cña nhãm ma trËn h÷u h¹n lªn vµnh ®a thøc. • C¸ch t×m c¸c bÊt biÕn. • X©y dùng mèi liªn hÖ gi÷a c¸c phÇn tö sinh bÊt biÕn vµ h×nh häc cña c¸c quü ®¹o. H-íng nghiªn cøu Quan t©m t×m hiÓu tiÕp theo cña chóng t«i lµ: • T×m hiÓu thªm c¸c thuËt to¸n t×m bÊt biÕn ®èi víi c¸c nhãm t¸c ®éng. Tµi liÖu tham kh¶o [1] David cox, John Little, Donal O'Shea Ideals, Varieties, And Algorithms Second Edition [2] Ph¹m TiÕn S¬n H×nh Häc §¹i Sè TÝnh To¸n 1, §µ L¹t 2009 [3] Lª TuÊn Hoa §¹i Sè M¸y TÝnh - C¬ Së Gr¨ obner, Nhµ xuÊt b¶n §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi, 2003. [4] §ç Nguyªn S¬n §¹i Sè §¹i C-¬ng, §µ L¹t, 2008. [5] T¹ Lª Lîi §¹i Sè Vµ H×nh Häc Gi¶i TÝch 1, §µ L¹t, 2008. 58 [...]... i , i=1 với các đa thức Ai k[x1 , , xn ] Ch-ơng 2 Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn Phần này ta sẽ giới thiệu bất biến của nhóm hữu hạn Mục đích là đi mô tả tất cả các đa thức bất biến đối với tác động của một nhóm ma trận hữu hạn lên vành đa thức, cách tìm các bất biến đó và xây dựng mối liên hệ giữa phần tử sinh của các bất biến và hình học của các quỹ đạo 2.1 Đa thức đối xứng 2.1.1 Khái niệm... gọi là nhóm con của X sinh bởi tập S Nếu X = S thì ta nói X đ-ợc sinh bởi S và S gọi là hệ sinh của X Nhóm X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có hệ sinh hữu hạn S = {a1, a2 , , an } X Trong tr-ờng hợp này ta viết X = a1 , a2 , , an Nếu S = thì S là nhóm con tầm th-ờng {1} Nhận xét Từ định nghĩa của S ta thấy ngay rằng a) S S b) S U với mọi nhóm con U chứa S Nh- vậy S là nhóm con nhỏ nhất chứa S của X... xứng qua các s1, , sn Ví dụ 2.1.5 Mỗi phần tử hàm đối xứng đều có thể viết trong các hạng tử của tổng các lũy thừa s1 = x1 = 1 1 = s1 , 1 s2 = x21 + x22 = 12 22 2 = (s22 s2 ), 2 1 s3 = x31 + x32 + x33 = 13 31 2 + 33 3 = (s31 3s1 s2 + 2s3 ) 6 2.2 Nhóm ma trận hữu hạn và vành của các bất biến 2.2.1 Nhóm ma trận hữu hạn Định nghĩa 2.2.1 GL(n, k) là tập tất cả các ma trận n ì n khả nghịch trên tr-ờng... k[x, y, z] Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn 33 Ta tính lt(f ) f1 lt(f1 ) f2 lt(f2 ) f3 = = = = = = x3 y f 12 2 = 2x2 y 2 5x2 yz 2x2 z 2 5xy 2 z 5xyz 2 2y 2z 2 2x2 y 2 f1 + 222 = x2 yz xy 2 z xyz 2 x2 yz f2 + 1 3 = 0 Cuối cùng ta đ-ợc đa thức đối xứng cơ bản sau: f = 12 2 222 1 3 Mệnh đề 2.1.1 Trong vành k[x1 , x2 , , xn , y1, y2 , , yn ] cố định một thứ tự đơn thức, với bất kì đơn thức... (1)i hki (xk , , xn )yi , k = 1, 2, , n, gk = hk (xk , , xn ) + i=1 (1) Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn 35 là một cơ sở Gră obner cho ideal 1 y1 , , n yn Chứng minh Tr-ớc tiên, ta chú ý tới đa thức đồng nhất k (1)i hki (xk , , xn )i 0 = hk (xk , , xn ) + (2) i=1 Tiếp theo, ta sẽ biểu diễn rằng g1 , , gn là có dạng là một cơ sở của 1 y1, , n yn Ta lấy (1) trừ (2), ta sẽ đ-ợc biểu diễn sau k (1)i... ra điều mâu thuẫn là 1 Z b) (Zm , +) là nhóm cylic với phần tử sinh 1 Nhóm này hữu hạn cấp m Một số khái niệm - tính chất của cơ sở Gră obner và tập đại số affin 19 Định nghĩa 1.8.3 Một hoán vị của Jn = {1, 2, , n} là một song ánh : Jn Jn Tập tất cả các hoán vị của Jn đ-ợc kí hiệu là Sn Định nghĩa 1.8.4 Cho G là một nhóm và X là một tập hợp khác rỗng Nhóm G gọi là tác động lên tập hợp X nếu có... trật tự x1 , x2 , , xn thì f (X) vẫn không thay đổi Vì hệ số (1)r r của f là hàm đối xứng Ví dụ 2.1.2 22 1 3 = x2 y 2 + x2 yz + x2 z 2 + xy 2z + xyz 2 + y 2 z 2 là một đa thức đối xứng Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn 31 Định lí 2.1.1 Cho k là một miền nguyên Khi đó, các đa thức đối xứng cơ bản trong k[x1 , x2 , , xn ] là độc lập đại số trên k tức là: Nếu f (1 , 2 , , n ) = 0 thì f = 0 với f k[x1... quan đến các biến xm+1 , , xn Vì ta sử dụng theo thứ tự từ >lex, nên mọi đa thức liên quan tới x1 , , xn là lớn hơn các đa thức trong k[xm+1 , , xn ], lt(g) k[xm+1 , , xn ], suy ra g k[xm+1 , , xn ] Điều này nói lên g Gm Thái Văn D-ơng 18 1.8 Một số định nghĩa về nhóm Định nghĩa 1.8.1 Xét nhóm (X, ) và S là một tập con của X Nhóm con S của X đ-ợc xác định bởi S := U | U là nhóm con của X với S... của X Định nghĩa 1.8.2 Nhóm (X, ) gọi là nhóm cylic nếu và chỉ nếu nó đ-ợc sinh bởi một phần tử a X, tức tồn tại a X sao cho X = a = {an | n Z} Phần tử a khi đó gọi là phần tử sinh của nhóm cylic X Nhận xét a) am an = am+n = am an , với m, n Z nên mỗi nhóm cylic là giao hoán b) Nếu nhóm cylic X đ-ợc viết theo lối cộng thì X có dạng: X = a = {na | n Z} Ví dụ 1.8.1 a) (Z, +) là nhóm cylic với hai phần... không có hạng tử nào của g là chia hết cho phần tử lt(G) thì hiển nhiên g là phần d- của f chia bởi G Còn ng-ợc lại nếu g là chia hết cho phần tử lt(G) thì gi G với lt(gi ) đ-ợc chia hết bởi hạng tử của g Thật vậy, lt(gi ) bao hàm các y1, y2 , , yn từ g k[y1 , y2 , , yn ] Bây giờ ta sẽ thay thế tất cả các yi cho phù hợp với i Từ gi 1 y1 , , n yn , chúng ta sẽ thấy gi dần về 0 d-ới sự thay thế của