2.4 Liên hệ giữa các phần tử sinh và hình học của các quỹ đạo
2.4.1 Liên hệ giữa các phần tử sinh
Trong phần này chúng ta sẽ mô tả mối liên hệ đại số f1, ..., fm và ta sẽ thấy
đ-ợc liên hệ giữa đại số và hình học.
Cho đa thức đối xứng f ∈ k[x1, ..., xn]Sn = k[σ1, ..., σn]. Ta đã chứng minh f có biểu diễn duy nhất qua các đa thức đối xứng cơ bản σ1, ..., σn. Cho nhóm ma trận hữu hạn G ⊂ GL(n, k). Nếu k[x1, ..., xn]G = k[f1, ..., fm] thì ta đặt câu hỏi liệu rằng f ∈ k[x1, ..., xn]G có thể biểu diễn duy nhất qua các phần tử sinh f1, ..., fm không?
Chú ý nếu g1 và g2 là đa thức trong k[y1, ..., ym] thì
g1(f1, ..., fm) = g2(f1, ..., fm) ⇔h(f1, ..., fm) = 0,
với h = g1 −g2. Tính duy nhất sẽ bị phá vở nếu và chỉ nếu có một đa thức khác không h ∈ k[y1, ..., ym] sao cho h(f1, ..., fm) = 0. Một đa thức nh- thế là liên hệ đại số không tầm th-ờng của các phần tử f1, .., fm.
Nếu cho F = (f1, ..., fm) thì đặt
IF = {h ∈ k[y1, ..., ym] | h(f1, ..., fm) = 0 trong k[x1, ..., xn]}, là tập tất cả các liên hệ đại số giữa các f1, ..., fm.
Mệnh đề 2.4.1. Nếu k[x1, ..., xn]G =k[f1, ..., fm] và IF nh- trên thì:
(i) IF là ideal nguyên tố của k[y1, ..., ym].
(ii) Giả sử f ∈ k[x1, ..., xn]G và f =g(f1, ..., fm) là biểu diễn củaf qua các f1, ..., fm. Thì tất cả các biểu diễn đó đ-ợc cho bởi
f =g(f1, ..., fm) +h(f1, ..., fm), với h là biến thiên trên IF (hay h ∈ IF).
Chứng minh. (i) Ta thấy IF là một ideal. Bây giờ ta sẽ chứng minh IF là một ideal nguyên tố, ta chỉ cần chứng minh f.g ∈ IF. Từ đó suy ra f ∈ IF hoặc g ∈ IF. Nh-ng f g ∈ IF nghĩa là f(f1, ..., fm)g(f1, ..., fm) = 0, là tích của đa thức trong k[x1, ..., xn] và vì thế f(f1, ..., fm) hoặc g(f1, ..., fm) bằng 0. Do
đó f hoặc g sẽ thuộc trong IF.
Chúng ta gọi IF là ideal của các liên hệ cho F = (f1, ..., fm). Xét C2 = {±I2} ⊂ GL(2, k). Mà chúng ta biết k[x, y]C2 = k[x2, y2, xy], và theo ví dụ 2.3.1 ta sẽ xem IF = huv − w2i ⊂ k[u, v, w]. Bây giờ ta xét x6 + x3y3 ∈ k[x, y]C2 theo mệnh đề này ta sẽ biểu diễn x6 +x3y3 qua các phần tử x2, y2, xy.
(x2)3+ (xy)3+ (x2.y2−(xy)2).b(x2, y2, xy), vì các phần tử huv −w2i có dạng là (uv −w2).b(u, v, w) ∈ IF.
Mệnh đề 2.4.2. Nếu k[x1, ..., xn]G =k[f1, ..., fm], giả sử IF ⊂ k[y1, ..., ym] là ideal của các liên hệ. Khi đó có một đẳng cấu vành
k[y1, ..., ym]/IF ∼=k[x1, ..., xn]G, giữa vành th-ơng của IF và vành của các bất biến.
Chứng minh. Các phần tử của vành th-ơng k[y1, ..., ym]/IF đ-ợc viết là [g] với g ∈ k[y1, ..., ym] khi đó [g1] = [g2] nếu và chỉ nếu g1−g2 ∈ IF. Ta định nghĩa
Φ : k[y1, ..., ym]/IF → k[x1, ..., xn]G Φ(|g|) = g(f1, ..., fm).
Từ định nghĩa ta sẽ thấy Φ là một đồng cấu vành.
Ta cần chứng minh Φ là ánh xạ 1-1 và ánh xạ lên.
Từ k[x1, ..., xn]G = k[f1, ..., fm] khẳng định Φ là ánh xạ lên. Đến chứng minh Φ là 1-1, ta giả sử Φ([g1]) = Φ([g2]) thì g1(f1, ..., fm) = g2(f1, ..., fm), suy ra g1−g2 ∈ IF. Vì [g1] = [g2], nên Φ là ánh xạ 1-1.
Chứng minh này Φ là đẳng cấu vành.
Mệnh đề 2.4.3. Nếu k[x1, ..., xn]G =k[f1, ..., fm], xét ideal
JF =hf1−y1, ..., fm −ymi ⊂ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym].
(i) IF là ideal khử thứ n của JF. Vì thế, IF =JF ∩k[y1, ..., ym].
(ii) Cố định một thứ tự đơn thức trong k[x1, ..., xn, y1, ..., ym], với bất cứ đơn thức theo x1, ..., xn lớn hơn tất cả các đơn thức trong k[y1, ..., ym] và G là cơ
sở Grăobner của JF. Khi đó G∩ k[y1, ..., ym] là một cơ sở Grăobner cho IF trong thứ tự đơn thức trên k[y1, ..., yn].
Chứng minh. Nếu p ∈ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym] thì ta cần khẳng định p ∈ JF ⇔ p(x1, ..., xn, f1, ..., fm) = 0 trong k[x1, ..., xn]. (1)
Vì thay thếyi 7→fi nên nó sẽ đ-a tất cả các phần tửJF =hf1−y1, ..., fm−ymi dần đến 0. Mặt khác cho p ∈ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym], nếu thay thế mỗiyi trong p bởi fi −(fi −yi) thì ta đ-ợc nh- sau
p(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = p(x1, ..., xn, f1, ..., fm)+B1.(f1−y1)+ã ã ã+Bm.(fm−ym) víi B1, ..., Bm ∈ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym].
Đặc biệt, nếu p(x1, ..., xn, f1, ..., fm) = 0 thì
p(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = B1.(f1−y1) +ã ã ã+Bm.(fm −ym) ∈ JF. Ta lấy (1)∩k[y1, ..., ym]. Cho p ∈ k[y1, ..., ym], điều này chứng minh
p ∈ JF ∩k[y1, ..., ym]⇔ p(f1, ..., fm) = 0 trong k[x1, ...., xn], cho nên JF ∩k[y1, ..., ym] = IF bởi theo định nghĩa IF (đpcm).
Chứng minh (ii) thì theo định lí 1.7.4.
Ví dụ 2.4.1. Trong ví dụ tr-ớc, chúng ta nói rằng các bất biến của C2 = {±I2} ⊂ GL(2, k) là đ-ợc cho bởi k[x, y]C2 = k[x2, y2, xy]. Giả sử F = (x2, y2, xy) và đặt các biến mới là u, v, w. Thì ideal của các liên hệ vẫn đ-ợc tồn tại bởi phần tử x, y từ ph-ơng trình
u = x2, v = y2,
w = xy.
Ta cố định theo quan hệ thứ tự > trên Nn và x > y > u > v > w, thì một cơ
sở Grăobner cho ideal
JF =hu−x2, v −y2, w −xyi,
gồm có các đa thức
x2−u, xy−w, xv −yw, xw−yu, y2−v, uv −w2. Theo tính chất trên thì
IF = huv −w2i
Điều này nói lên rằng, tất cả các liên hệ giữa x2, y2 và xy là đ-ợc sinh bởi x2.y2 = (xy)2. Thì theo mệnh đề 2.4.2 vành của các bất biến có thể viết
k[x, y]C2 ∼=k[u, v, w]/huv −w2i.
Ví dụ 2.4.2. Cho nhóm ma trận cylic C4 ⊂ GL(2, k) cấp 4 và phần tử sinh A =
0 −1
1 0
, và ta nói rằng
k[x, y]C4 =k[x2 +y2, x3y+xy3, x2y2].
Đặt F = (x2+y2, x3y +xy3, x2y2). Ta nói rằng IF ⊂ k[u, v, w] là đ-ợc cho bởi IF =hu2w−v2−4w2i. Vì liên hệ là tầm th-ờng giữa các bất biến nên
(x2+y2)2.x2y2 = (x3y +xy3)2+ 4(x2y2)2. Theo mệnh đề 2.4.2, vành của các bất biến có thể viết
k[x, y]C4 ∼= k[u, v, w]/hu2w−v2−4w2i.
Định nghĩa 2.4.1. Nếuk[x1, ...., xn]G = k[f1, ..., fm], giả sử IF ⊂k[y1, ..., ym] là ideal của các liên hệ của F = (f1, ..., fm). Khi đó ta có tập đại số affin
VF =V (IF) ⊂km. Tập đại số VF sẽ có những tính chất sau.
Mệnh đề 2.4.4. Giả sử IF ⊂ k[y1, ..., ym] và VF =V(IF) ⊂ km. (i) VF là tập đại số nhỏ nhất trong km chứa tham số hóa
y1 = f1(x1, ..., xn), ...
ym = fm(x1, ..., xn).
(ii) IF =I(VF) sao cho IF là ideal của tất cả các đa thức triệt tiêu trên VF. (iii) VF là tập đại số bất khả quy.
(iv) Giả sử k[VF] là vành tọa độ của VF thì có một đẳng cấu vành k[VF]∼= k[x1, ..., xn]G.
Chứng minh. (i) Theo định nghĩa 1.10.2 ta đ-ợc chứng minh này.
(ii) Chú ý rằng chúng ta luôn có IF ⊂ I(V(IF)) = I(VF). Giả sử h ∈ I(VF) và cho bất cứ (a1, ..., an) ∈ kn thì suy ra
(f1(a1, ..., an), ..., fm(a1, ..., an))∈ VF. Do h triệt tiêu trên VF ta đ-ợc
h(f1(a1, ..., an), ..., fm(a1, ..., an)) = 0,
với (a1, ..., an) ∈ kn. Bằng giả thiết, k có đặc tính không và vô hạn, theo mệnh đề 1.9.1 suy ra
h(f1, ..., fm) = 0, và vì thế h ∈ IF.
(iii) Theo (ii) và mệnh đề 2.4.1 ta có I(VF) = IF là ideal nguyên tố. Vì thế VF là bất khả quy bởi mệnh đề 1.9.2
(iv) Tọa độ vành k[VF] có thể viết
k[VF] ∼= k[y1, ..., yn]/I(VF).
Từ (ii) I(VF) = IF, chúng ta có thể sử dụng đẳng cấu ở mệnh đề 2.4.2 k[VF] ∼= k[y1, ..., ym]/IF
∼= k[x1, ..., xn]G.
Định lí 2.4.1. Hai tập đại số V ⊂km và W ⊂ kn là đẳng cấu nếu và chỉ nếu một đẳng cấu k[V] ∼= k[W] của vành tọa độ mà đồng nhất trên hàm hằng.
Chứng minh. [” ⇒ ”] V và W là đẳng cấu thì k[V] ∼= k[W], theo mệnh đề 1.12.1
đẳng cấu là đồng nhất trên hàm hằng.
[” ⇐ ”] Nếu ta có một đẳng cấu vành f : k[W] −→ k[V] mà đồng nhất trên k, thì f và f−1 là ánh xạ ng-ợc giữa V và W. Theo mệnh đề 1.12.1, ta có
f = α∗ với α : V −→ W và f−1 = β∗ với β : W −→ V. Ta cần biểu diễn α và β là ánh xạ ng-ợc. Tr-ớc tiên ta xét ánh xạ α ◦ β : W −→ W, lấy Φ ∈ k[W] ta đ-ợc
(α◦β)∗(Φ) = β∗(α∗(Φ)) = f−1(f(Φ)) = Φ.
Ta thấyidw :W −→ W là ánh xạ đa thức trên W, vàid∗w(Φ) = Φ,∀Φ ∈ k[W].
Từ đó kết luận rằng, (α◦β)∗ =id∗w nên α◦β =idw. T-ơng tự, β ◦α = idv. Vì thế α và β là ánh xạ ng-ợc.
Hệ quả 2.4.1. Giả sử rằng k[x1, ..., xn]G = k[f1, ..., fm] = k[f10, ..., fm0 ].
Nếu ta đặt F = (f1, ..., fm) và F0 = (f10, ..., fm0 ) thì tập đại số VF ⊂ km và VF0 ⊂ km0 là một đẳng cấu.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.4.4, ta có đẳng cấuk[VF]∼=k[x1, ..., xn]G ∼=k[VF0].
Kết hợp định lí 2.4.1 thì tập đại sốVF ⊂ km vàVF0 ⊂ km0 là một đẳng cấu.