Đang tải... (xem toàn văn)
... x∆ y PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S r n •L đường cong S qua M Tiếp tuyến L M gọi tiếp tuyến S M •Các tiếp tuyến thuộc mặt phẳng gọi tiếp diện. .. ( x0 + ta1 , y0 + ta2 ) Vẽ tiếp tuyến với L M0 Lưu ý: tiếp tuyến r u = ( a1 , a2 , z ′ ( ) ) qua M0 nhận làm vector phương Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) r Nếu hàm f khả vi M0, e = (... ) t →0 t hệ số góc tiếp tuyến đường cong L M0 Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến r S : z = f ( x, y ) , M ( x0 , y0 ) , a = ( a1 , a2 ) Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 M0 r Vẽ đường cong L : z
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một r a hướng cho bởi vector . r Đạo hàm của f theo hướng a tại M0: ∂f ( M 0 ) r = lim t →0 ∂a r f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 ) t r ∂f ( M 0 ) chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a r ∂a Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng r Xét đường cong L : z ( t ) = f ( M 0 + ta ) r f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) r = lim t →0 ∂a t z ( t ) − z ( 0) = lim = z′ ( 0 ) t →0 t là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M0. Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến r S : z = f ( x, y ) , M 0 ( x0 , y0 ) , a = ( a1 , a2 ) 1. Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0. r 2. Vẽ đường cong L : z ( t ) = f ( M 0 + ta ) x = x0 + ta1 , y = y0 + ta2 , z = f ( x0 + ta1 , y0 + ta2 ) 3. Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi r u = ( a1 , a2 , z ′ ( 0 ) ) qua M0 và nhận làm vector chỉ phương. Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) r Nếu hàm f khả vi tại M0, e = ( e1, e2 ) là r e vector đơn vị, đạo hàm theo hướng tại M tồn tại, 0 khi đó: ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) r = e1 + e2 ∂x ∂y ∂e Hàm 3 biến cũng được tính tương tự. Công thức tổng quát r a là vector tùy ý: ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) a1 ∂f ( M 0 ) a2 r = r + r ∂a ∂x a ∂y a (hàm 2 biến) ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) a1 ∂f ( M 0 ) a2 ∂f ( M 0 ) a3 r = r + r + r ∂a ∂x a ∂y a ∂z a (hàm 3 biến) Ví dụ 1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox tại điểm (-2,1) của hàm số 2 2 f ( x, y ) = xy − 2 x y Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là: r e = ( 1,0 ) ∂f ( −2,1) r = f x′ ( −2,1) .1 + f y′ ( −2,1) .0 ∂e = 9 .1 −12 .0 = 9 r 2. Tìm đạo hàm theo hướng a = ( 1,1, −1) tại f ( x, y, z ) = x 2 + 2 xz − 3 y 2 z 3 M = ( 2,1,2 ) của r a 1 ( 1,1, −1) = ( e1, e2 , e3 ) r = a 3 ∂f ( M ) r = f x′ ( M ) .e1 + f y′ ( M ) .e2 + f z′ ( M ) .e3 ∂a 1 1 1 15 = 0. + 6. + ( −9 ) . − ÷= 3 3 3 3 Vector Gradient rr r Gọi i , j , k là các vector đơn vị trên các ( ) trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại M 0 ( x0 , y0 ) . Gradient của f tại M là: 0 ( ∇f ( M 0 ) = grad ( M 0 ) = f x′ ( M 0 ) , f y′ ( M 0 ) ) r r = f x′ ( M 0 ) .i + f y′ ( M 0 ) . j Liên hệ ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) r e1 + e2 = ( ∇f ( M 0 ) , e ) r = ∂e ∂x ∂y ∂f ( M 0 ) r r = ∇f ( M 0 ) . e .cos ϕ = ∇f ( M 0 ) .cos ϕ ∂e ϕ là góc giữa ∂f ( M 0 ) r ∂e gradf ( M 0 ) r &e đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: cos ϕ = 1 ⇔ ϕ = 0 Tổng quát Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất. ∂f ( M 0 ) r ∂a r a = ∇f ( M 0 ) , r ÷ a Ví dụ ∂f (2, −3,0) r 1/ Tìm grad f (2, −3,0), ∂a yz r Với: f ( x, y, z ) = x.e , a = (2, −3,0) ( ) ( ∇f ( x, y, z ) = f x′, f y′ , f z′ = e yz , xze yz , xye yz ) ∇f (2, −3,0) = ( 1,0, −6 ) r ∂f (2, −3,0) 2, −3,0 ) a ( = ∇f (2, −3,0). r = ( 1,0, −6 ) . r ∂a a 13 KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có: d k f ( x0 , y0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ∑ + Rn k! k =1 n Cụ thể: n k 1 ∂ ∂ f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ∑ ∆x + ∆y ÷ f ( x0 , y0 ) + Rn ∂y k =1 k ! ∂x 1 Rn = d n +1 ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) Phần dư Lagrange (n + 1)! Có thể thay Rn bởi o( ρn) (Peano) (là VCB bậc cao hơn ρn khi ρ→ 0), 2 2 n ρ = ∆x + ∆y , o ( ρ ) Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. 2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. 3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy f x′ = yx y −1, f y′ = x y ln x ⇒ df (1,1) = ∆x + 0.∆y ′′ = y ( y − 1) x f xx y y −2 , y −1 y −1 ′′ f xy = x + yx ln x, 2 ′′ = x ln x f yy 2 2 ⇒ d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x∆y + 0.∆y 2 df (1,1) = ∆x + 0.∆y 2 2 d f (1,1) = 0.∆x + 2.∆x∆y + 0.∆y 2 2 df (1,1) d f (1,1) z = f ( x, y ) = f (1,1) + + + o( ρ 2 ) 1! 2! ∆x 2∆x∆y z = 1+ + + o( ρ 2 ) 1! 2! 2 = 1 + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o( ρ ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho 1 z = f ( x, y ) = 1 + x + y − xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 1 2 2 z= = 1 − u + u + o(u ) 1+ u 2 2 = 1 − ( x + y − xy ) + ( x + y − xy ) + o(u ) = 1 − x − y + x 2 + 3 xy + y 2 + o( ρ 2 ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho z = f ( x, y ) = e x 2 + xy Đặt X = x, Y = y – 1, z=e X + X 2 + XY 2 = 1 + X + X + XY 2 2 2 3 ( X + X + XY ) ( X + X + XY ) 3 + + + o( ρ ) 2 6 2 z = 1 + X + X + XY 2 2 2 3 ( X + X + XY ) ( X + X + XY ) 3 + + + o( ρ ) 2 6 3 2 7 3 2 3 = 1 + X + X + XY + X + X Y + o( ρ ) 2 6 3 2 7 3 2 3 z = 1 + x + x + x ( y − 1) + x + x ( y − 1) + o( ρ ) 2 6 Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho z = f ( x, y ) = x sin( y − 2). Suy ra f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành 3 Y 3 z = ( X + 1)sin Y = ( X + 1) Y − + o(Y ) ÷ 6 3 Y = Y + XY − + o( ρ 3 ) 6 3 ( y − 2) 3 = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o( ρ ) 6 3 ( y − 2) 3 f ( x, y ) = ( y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o( ρ ) 6 2 d f (1,2) = ( x − 1)( y − 2) = ∆x∆y 2! 2 ⇔ = dxdy ′′ (1,2) ∆y f xx′′ (1,2)∆x + 2 f xy′′ (1,2) ∆x∆y + f yy 2 ⇒ f”xy(1, 2) = 1 2 = ∆ x∆ y PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S r n •L là đường cong trong S đi qua M. Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M. PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Giả sử L ⊂ S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L Vector chỉ phương của tiếp tuyến tại M là : r u = ( x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) ) M∈ S: F(x,y,z) = 0, ta có: Fx′ ( M ) x′(t0 ) + Fy′ ( M ) y′(t0 ) + Fz′( M ) z ′(t0 ) = 0 Fx′ ( M ) x′(t0 ) + Fy′ ( M ) y′(t0 ) + Fz′( M ) z ′(t0 ) = 0 ⇒ ( x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 ) ) ⊥ ( Fx′ ( M ), Fy′ ( M ), Fz′ ( M ) ) r ⇒ u ⊥ gradF ( M ) (với mọi đường cong trong S và qua M) grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của S tại M. • Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp vector của mặt cong S. Phương trình pháp tuyến S : F ( x, y , z ) = 0, M = ( xM , yM , zM ) ∈ S x − xM y − yM z − zM = = Fx′ ( M ) Fy′ ( M ) Fz′ ( M ) S : z = f ( x , y ) , M = ( xM , y M , z M ) ∈ S x − xM y − yM z − z M = = f x′ ( M ) f y′ ( M ) −1 Phương trình tiếp diện S : F ( x, y , z ) = 0, M = ( xM , yM , zM ) ∈ S Fx′ ( M ) ( x − xM ) + Fy′ ( M ) ( y − yM ) + Fz′ ( M ) + ( z − z M ) = 0 S : z = f ( x , y ) , M = ( xM , y M , z M ) ∈ S z − zM = f x′ ( M ) ( x − xM ) + f y′ ( M ) ( y − yM ) Ví dụ 1/ Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu: x +y +z =4 2 2 2 a. M = ( 0,0,2 ) ( b. M = 1, 3,0 ) F ( x, y , z ) = x + y + z − 4 = 0 2 2 2 gradF ( x, y, z ) = ( 2 x,2 y,2 z ) a. gradF ( 0,0,2 ) = ( 0,0,4 ) ( T ) : ( x − 0 ) .0 + ( y − 0 ) .0 + ( z − 2 ) .4 = 0 ⇔ z=2 ( ) ( ) ( T ) : ( x − 1) .2 + ( y − 3 ) .2 3 + ( z − 0 ) .0 = 0 a. gradF 1, 3,0 = 2, 2 3,0 ⇔ x+ y 3−4=0 [...]... x∆ y PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S r n •L là đường cong trong S đi qua M Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Giả sử L ⊂ S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L Vector chỉ phương của tiếp tuyến. .. VCB bậc cao hơn ρn khi ρ→ 0), 2 2 n ρ = ∆x + ∆y , o ( ρ ) Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1 Thông thường chỉ sử dụng pd Peano 2 Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến 3 Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của ∆x = (x – x0), ∆y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) =... S và qua M) grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của S tại M • Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp vector của mặt cong S Phương trình pháp tuyến S : F ( x, y , z ) = 0, M = ( xM , yM , zM ) ∈ S x − xM y − yM z − zM = = Fx′ ( M ) Fy′ ( M ) Fz′ ( M ) S : z = f ( x , y ) , M = ( xM , y M , z M ) ∈ S x − xM y − yM z − z M = = f x′ ( M ) f y′ ( M ) −1 Phương trình tiếp diện S : F ( x, y , z ) =... Tổng quát Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất ∂f ( M 0 ) r ∂a r a = ∇f ( M 0 ) , r ÷ a Ví dụ ∂f (2, −3,0) r 1/ Tìm grad f (2, −3,0), ∂a yz r Với: f ( x, y, z ) = x.e , a = (2, −3,0) ( ) ( ∇f ( x, y, z ) = f x′, f y′ , f z′ = e yz , xze yz , xye yz ) ∇f (2, −3,0) = ( 1,0, −6 ) r ∂f (2, −3,0) 2, −3,0 ) a ( = ∇f (2, −3,0) r = ( 1,0, −6 ) r ∂a a 13 KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x,... kt Maclaurin đến cấp 2 cho 1 z = f ( x, y ) = 1 + x + y − xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 1 2 2 z= = 1 − u + u + o(u ) 1+ u 2 2 = 1 − ( x + y − xy ) + ( x + y − xy ) + o(u ) = 1 − x − y + x 2 + 3 xy + y 2 + o( ρ 2 ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho z = f ( x, y ) = e x 2 + xy Đặt X = x, Y = y – 1, z=e X + X 2 + XY 2 = 1 + X + X + XY 2 2 2 3 ( X + X + XY ) ( X + X +... ( x − xM ) + Fy′ ( M ) ( y − yM ) + Fz′ ( M ) + ( z − z M ) = 0 S : z = f ( x , y ) , M = ( xM , y M , z M ) ∈ S z − zM = f x′ ( M ) ( x − xM ) + f y′ ( M ) ( y − yM ) Ví dụ 1/ Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu: x +y +z =4 2 2 2 a M = ( 0,0,2 ) ( b M = 1, 3,0 ) F ( x, y , z ) = x + y + z − 4 = 0 2 2 2 gradF ( x, y, z ) = ( 2 x,2 y,2 z ) a gradF ( 0,0,2 ) = ( 0,0,4 ) ( T ) : ( x − 0 ) 0 + ( y −... ) 2 6 3 2 7 3 2 3 = 1 + X + X + XY + X + X Y + o( ρ ) 2 6 3 2 7 3 2 3 z = 1 + x + x + x ( y − 1) + x + x ( y − 1) + o( ρ ) 2 6 Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho z = f ( x, y ) = x sin( y − 2) Suy ra f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành 3 Y 3 z = ( X + 1)sin Y = ( X + 1) Y − + o(Y ) ÷ 6 3 Y = Y + XY − + o( ρ 3 ) 6 3 ( y − 2) 3 = ( y − 2) + ( x − 1)( y −...Vector Gradient rr r Gọi i , j , k là các vector đơn vị trên các ( ) trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại M 0 ( x0 , y0 ) Gradient của f tại M là: 0 ( ∇f ( M 0 ) = grad ( M 0 ) = f x′ ( M 0 ) , f y′ ( M 0 ) ) r r = f x′ ( M 0 ) i + f y′ ( M 0 ) j Liên hệ ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) ∂f ( M 0 ) r e1 + e2 = ( ∇f ( M