đạo hàm theo hướng; ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng; sơ đồ matlab để vẽ tiếp tuyến; định lý (cách tính đạo hàm theo hướng); pháp tuyến – tiếp diện của mặt cong; khai triển taylor

... x∆ y PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) ∈ S r n •L đường cong S qua M Tiếp tuyến L M gọi tiếp tuyến S M •Các tiếp tuyến thuộc mặt phẳng gọi tiếp diện. .. ( x0 + ta1 , y0 + ta2 ) Vẽ tiếp tuyến với L M0 Lưu ý: tiếp tuyến r u = ( a1 , a2 , z ′ ( ) ) qua M0 nhận làm vector phương Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) r Nếu hàm f khả vi M0, e = (... ) t →0 t hệ số góc tiếp tuyến đường cong L M0 Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến r S : z = f ( x, y ) , M ( x0 , y0 ) , a = ( a1 , a2 ) Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 M0 r Vẽ đường cong L : z

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Phần 3

Đạo hàm theo hướngĐịnh nghĩa:

Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một

hướng cho bởi vector .a

Đạo hàm của f theo hướng tại Ma 0:

Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng

a

z t

t z

Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến

1 Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0

 

 1, , 02 

u  a a z

Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng)

2 Tìm đạo hàm theo hướng tạia  1,1, 1 

Vector Gradient

Gọi i j k , ,  là các vector đơn vị trên các

trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại

Ví dụ1/ Tìm grad f (2, 3,0), f  (2, 3,0)a

KHAI TRIỂN TAYLOR

n k

Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0,

y0), khi đó trong lân cận này ta có:

Có thể thay Rn bởi o(n) (Peano) (là VCB bậc cao hơn

 n khi  0),

2 2 , ( ) n

     

Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin

1 Thông thường chỉ sử dụng pd Peano.

2 Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến.

3 Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy

thừa của x = (x – x0), y = (y – y0)

1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho

f   x x

Ví dụ

2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho

1 ( , )

3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho

2 (1,2) 2!

6

y

f x y     y x y     o 

( x  1)( y  2)   x y  dxdy

PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG.

Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0)  S

n •L là đường cong trong S đi qua M

Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M.

•Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M.

PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG

grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của

S tại M.

• Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp

vector của mặt cong S.

(với mọi đường cong trong S và qua M)

Phương trình tiếp diện