Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng T bỏ trung I.lý thuyết. 1. Độ dài véctơ. x = ( x1; y1 ) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ có độ dài | x |= x12 + y12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ x = ( x1; y1; z1 ) có độ dài | x |= x12 + y12 + z12 2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ Khi ta có u = ( x1; y1 ); v = ( x2 ; y2 ) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) u v = ( x1 x2 ; y1 y2 ) ku = (kx1; ky1 ) (k ) u.v =| u | .| v | cos(u , v) u.v = x1.x2 + y1. y2 Chú ý: Trong không gian phép toán véctơ tơng tự nh mặt phẳng. 3. Bất đẳng thức véctơ. Cho hai véctơ a, b (Trong mặt phẳng không gian). Khi ta có | a + b || a | +| b | (1) Dấu = xảy a b k *+ : a = kb n n i =1 i =1 hai véctơ 0. | | | | (n *+ ) Tổng quát: | a b || a | +| b | (2) Dấu = xảy a b k * : a = kb hai véctơ 0. | u | .| v | u.v | u | .| v | (3) Dấu = thứ xảy thứ hai xảy a b k * : a = kb a b k *+ : a = kb hai véctơ hai véctơ . Dấu = 0. II. ứng dụng bất đẳng thức véctơ. 1. ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình. 1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình cho sau xét véctơ có tọa độ thích hợp áp dụng ba BĐT véctơ xét trờng hợp dấu xảy để đa nghiệm phơng trình cho. This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng 1.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Giải phơng trình sau x x + + x x + = (1.1) Giải ĐK: x3 Khi ta có (1.1) x x + + x = x + xét hai véctơ u = ( x;1); v = ( x + 1; x ) Ta có u.v = x x + + x ; Mà theo BĐT (3 ) ta có | u | .| v |= x + u.v | u | .| v | x x + + x x + Vì véctơ khác véctơ nên dấu = xảy x x =1 x x x +1 x = u v = x x (3 x) = x + x = x =1+ x = + Cả hai nghiệm thoả mãn phơng trình cho. Vậy phơng trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt x = 1; + . Ví dụ 2: Giải phơng trình sau x x + + x + x + 10 = 29 (1.2) Giải Phơng trình cho xác định với x. (1.2) ( x 1) + + ( x + 1) + = 29 Ta có xét hai véctơ Khi u = ( x 1;2); v = ( x 1;3) u + v = (2;5);| u |= x x + 5;| v |= x + x + 10;| u + v |= 29 | u + v || u | + | v | x x + + x + x + 10 29 x Vì hai véctơ ta xét khác véctơ nên dấu = xảy u v = x= x 1 Ta thấy x = thoả mãn phơng trình cho. Vậy phơng trình (1.2) có nghiệm nhât x = . 5 Mà theo BĐT (1 ) ta có Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x + x = m (1.3) Giải ĐK: x4 Xét hai véctơ u = ( x 2; x ); v = (1;1) Ta có | u |= 2;| v |= 2; u.v = x + x This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng u.v | u | .| v | x + x phơng trình (1.3) có nghiệm < x . x + y + z = 2 Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình sau x + y + z = (1.4) x3 + y + z = Mà theo BĐT (3) ta có từ phơng trình cho ta suy Giải Ta xét hai véctơ u = ( x; y; z ); v = (1;1;1) | u |= x + y + z = 3;| v |= 3; u.v = x + y + z = x y z Từ ta thấy u.v =| u | .| v | u v = = > x = y = z > 1 Khi ta có Kết hợp với hệ cho ta có nghiệm hệ (1.4) x =y =z=1. Ví dụ 5: Giải bất phơng trình sau x + x 2( x 3) + x (1.5) Giải ĐK: x Xét hai véctơ Khi ta có u = ( x 3; x 1); v = (1;1) | u |= ( x 3) + x 1;| v |= 2; u.v = x + x Từ bất phơng trình (1.5) ta thấy Mà theo BĐT (3) ta có Từ (*) (2*) suy u.v | u | .| v | (*) u.v | u | .| v | (2*) x x + 10 = u.v =| u | .| v | u v x = x x=5 x (Vì hai véctơ ta xét khác véctơ ). Vậy x =5 nghiệm bất phơng trình (1.5). 1.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Giải phơng trình sau x x + + x + 12 x + 25 = x + 12 x + 29 Bài 2. Giải phơng trình sau cos x + cos x + cos x cos x = Bài 3. Giải bất phơng trình sau x + + x + 50 x 12 Bài 4. Giải bất phơng trình sau 54 x + 5+4 x Bài 5. Giải hệ phơng trình sau This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng ( x + y ) + x + y + x y = ( x + y ) + x + y x y = Bài 6. Chứng minh hệ phơng trình sau vô nghiệm x + y + z = 2 x + y + z = Bài 7. Giải hệ phơng trình sau x + y + z = 2 x + y + z = x 2009 + y 2009 + z 2009 = Bài 8. Giải hệ phơng trình sau 2009 + x1 + + x2 + . + + x2008 = 2008 2008 2007 x + x + . + x = 2008 2008 2008 2. ứng dụng toán chứng minh bất đẳng thức. 2.1. Phơng pháp: Ta biến đổi BĐT cho sau xét véctơ có tọa độ thích hợp áp dụng ba BĐT véctơ xét trờng hợp dấu xảy để chứng minh BĐT cho. 2.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh x, y ta có 4cos x cos y + sin ( x y ) + 4sin x sin y + sin ( x y ) (2.1) Giải Xét hai véctơ Khi ta có u = (2cos x cos y;sin( x y )); u = (2sin x sin y;sin( x y )) | u |= 4cos x cos y + sin ( x y );| v |= 4sin x sin y + sin ( x y ) u + v = (2cos( x y );2sin( x y ));| u + v |= Mà theo BĐT (1) ta có | u | + ||| u + v | 4cos x cos y + sin ( x y ) + 4sin x sin y + sin ( x y ) Vậy BĐT (2.1) đợc chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh x, y, z ta có x + xy + y + x + xz + z y + yz + z (2.2) Giải Ta có (2.2) ( x + 3 y) + ( y) + ( x + z )2 + ( z ) y + yz + z 2 2 This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng xét hai véctơ u = x + y; y ; v = x z; z 2 2 Khi ta có | u |= x + xy + y ;| v |= x + xz + z 1 3 u + v = y z; y+ z ;| u + v |= y + yz + z 2 2 Mà theo BĐT (1) ta có | u | + | v || u + v | x + xy + y + x + xz + z y + yz + z Vậy BĐT (2.2) đợc chứng minh. Ví dụ 3: Cho số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh a + 2b b + 2c c + 2a + + ab bc ca Giải Ta có a + 2b b + 2c c + 2a 2 2 + + + + + + + ab bc ca b2 a c2 b2 a2 c2 xét ba véctơ u = ; ;v = ; ; w = ; b a c b a c a + 2b b + 2c c + 2a Khi ta có | u |= ;| v |= ;| w |= ab bc ca 1 2 1 u+v+w= + + ; + + ;| u + v + w |= + + = a b c a b c a b c 1 Vì ab + bc + ca = abc + + = a b c Mà theo BĐT (1) ta có | u | + | v | + | w || u + v + w | a + 2b b + 2c c + 2a + + ab bc ca nên dấu = xảy u v w a = b = c mà ab + bc + ca =abc suy a = b = c =3. Vì ba véctơ ta xét khác véctơ Vậy BĐT (2.3) đợc chứng minh dấu = xảy a = b = c =3. 2.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Chứng minh x, y, z *+ ta có x + xy + y + x + xz + z + y + yz + z 3( x + y + z ) Bài 2. Chứng minh a, b, c, d ta có (a + c) + (b + d ) a + b + c + d This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng Bài 3. Chứng minh x, y ta có ( x + y )(1 xy ) (1 + x )(1 + y ) Bài 4. Chứng minh a, b, c, x, y , z a) b) ta có | ax + by + cz | a + b + c . x + y + z a + b + c + x + y + z (a + x) + (b + y ) + (c + z ) a a + + a 3a + Bài 5. Chứng minh x, y , z > 0, x + y + z ta có c) x2 + 1 + y + + z + 82 y z x (Đề thi ĐH năm 2003) Bài 6. Cho ba số thực x, y , z đôi khác nhau. Chứng minh |x y| + x2 + y + | yz| + y2 + z2 | z x| > + z + x2 Bài 7. Chứng minh với số thực a, b ta có a) a + b 2a 2b + 37 + a + b + 6a 6b + 18 b) a + + a 2a + b + + b Bài 8. Chứng minh a, b, c ta có 6b + 10 a + 2a + + a 2ab + b + + b 2bc + c + + c 2cd + d + + d 10d + 26 Bài 9. Chứng minh a, b, c , abc = ta có bc ca ab + + 2 2 a b+a c b c+b a c a+c b (Đề thi ĐH NNI_2000) Bài 10. Cho x, y, u , v : u + v = x + y = 1. Chứng minh | u ( x y ) + v( x + y ) | Bài 11. Chứng minh a) x, y ta có cos x + cos y + sin x + sin y | sin x + sin x + sin x sin x | Bài 12. Chứng minh a, b c ta có b) c(a c) + c(b c) ab Bài 13. Chứng minh a, b, c 2 a) a + b + c abc ( a + b + c ) ta có This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng a + b + c ab + bc + ca b) x + xy + y = Bài 14. Chứng minh x, y , z : ta có xy + yz + zx 2 y + yz + z = 16 Bài 15. Cho n ; a1 , a2 , ., an , b1 , b2 , ., bn . Chứng minh n n a + b + bi i =1 i =1 i =1 Bài 16*. Chứng minh x [ 0;1] ta có n i i x + x + x + x + Bài 17*. Chứng minh a, b, c ta có |ab| |b c| |ca| + 2009 + a . 2009 + b 2009 + b . 2009 + c 2009 + c . 2009 + a Bài 18*. Cho n số thực a1 , a2 , ., an . Chứng minh (1 a1 ) + + (a1 a2 ) + + . + (an1 an ) + + (n + an ) + (n + 1) 3. ứng dụng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số. 3.1. Phơng pháp: Phơng pháp chủ yếu ta xét véctơ có tọa độ thích hp sử dụng ba BĐT véctơ để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ hàm số cho. 3.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số sau f ( x) = x x + + x + x + Giải TXĐ: 2 Ta có f ( x ) = x + + + x+ + 3 Xét hai véctơ u = ( x + ; ); v = ( x + ; ) 2 2 2 Khi ta có | u |= x x + 1;| v |= x + x + 1; u + v = (1; 3);| u + v |= Mà theo BĐT (1) ta có | u | + | v || u + v | f ( x) Dấu = xảy x = 0. Vậy giá trị nhỏ hàm số f(x) cho đạt đợc x = 0. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) = cos x 2cos x + + cos x + 4cos x + Giải Xét hai véctơ u = (1 cos x;2); v = (2 + cos x;2) Khi ta có | u |= cos x 2cos x + 5;| v |= cos x + 4cos x + 8; u + v = (3;4);| u + v |= Mà theo BĐT (1) ta có | u | + | v || u + v | f ( x) This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm Chuyên đề bất đẳng thức véctơ ứng dụng Dấu = xảy x= + k (k ) Vậy giá trị nhỏ hàm số f(x) cho đạt đợc x= + l (l ) . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ khoảng x= x= + l (l ) + k (k ) [ 2000 ;2002 ] hàm số f ( x) = cos x 6cos x + 10 + cos x + 2cos x + Giải Xét hai véctơ Khi ta có u = (3 cos x;1); v = (cos x + 1;1) | u |= cos x 6cos x + 10;| v |= cos x + 2cos x + 2;| u + v |= 20 | u | + | v || u + v | f ( x) 20 Dấu = xảy x = k ( k ) Xét đoạn [ 2000 ;2002 ] ta có k = 1000; 1001 tơng ứng với x = 2000 ;2002 Mà theo BĐT (1) ta có Vậy giá trị nhỏ hàm số f(x) cho đoạn [ 2000 ;2002 ] 20 đạt đợc x = 2000 ;2002 . 3.3.Bài tập tự luyện. Bài 1. Cho hàm số f ( x ) = A sin x + B cos x ( A + a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên. b) Dùng câu a chứng minh B 0) cos3 x + a cos3 x + 1 + + 3a x, a 2cos3x Bài 2. Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = f ( x, y ) = x + y + x + 12 y + 37 + x + y x + y + 18 Bài 3. Tìm giá trị lớn hàm số sau f ( x) = ( x + 6) + 100 + ( x + 1) + Bài 4. Tìm giá trị nhỏ hàm số sau y = x px + p + x 2qx + 2q ( p q ) Bài 5. Tìm giá trị nhỏ hàm số sau y = a + x + a + (c x ) This document is created by GIRDAC PDF Converter Trial version GIRDAC PDF Converter Full version does not add this green footer Full version can be ordered from http://www.girdac.com/Products/Buy.htm