Bất đẳng thức Nesbit

BÊt ®¼ng thøc Nesbitt NguyÔn Anh TuyÕn Th¸i B×nh, July 15, 2009 1 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Tháng 3/1903, trên tạp chí Educati onal T ime s , A.M.Nesbitt đã đ-a ra bài toán: Cho a, b, c là các số thực d-ơng. Chứng minh rằng: a b + c + b c + a + c a + b 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bất đẳng thức trên đ-ợc gọi là bất đẳng thức Nesbitt. Đây là bất đẳng thức đẹp và đã thu hút đ-ợc sự chú ý của nhiều ng-ời. Trong bài viết này, tôi xin nói về những ứng dụng, mở rộng và một số vấn đề liên quan đến nó. 1 Bất đẳng thức Nesbitt và ứng dụng Nh- ta đã biết, bất đẳng thức Nesbi tt là một bất đẳng thức cơ bản, có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số ví dụ để làm rõ hơn về điều đó. Ví dụ 1.1. Cho a, b , c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 a 2 (b + c) + 1 b 2 (c + a) + 1 c 2 (a + b) 3 2 Lời giải. Ta có: 1 a 2 (b + c) = abc a 2 (b + c) = bc ab + ca 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Ví dụ 1.2. Cho a, b , c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 9 4 (a + b + c) Lời giải. Ta viết lại bất đẳng thức: (a + b + c) a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 9 4 Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz có: (a + b + c) a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 a b + c + b c + a + c a + b 2 9 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 2 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Ví dụ 1.3. Cho a, b , c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 a (b + 1) + 1 b (c + 1) + 1 c (a + 1) 3 2 Lời giải. Đặt a = x/y, b = y/z, c = z/x, ta có: 1 a (b + 1) = yz xy + zx 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Ví dụ 1.4 (Đề thi Olympic 30 - 4). Cho a, b > 0 và x, y, z là các số d-ơng tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 2 (ay + bz)(az + by) + y 2 (az + bx)(ax + bz) + z 2 (ax + by)(ay + bx) Lời giải. Theo bất đẳng thức AM GM có: (ay + bz)(az + by) (ay + bz + az + by) 2 4 = (a + b) 2 (y + z)2 4 (a + b) 2 (y 2 + z 2 ) 2 Suy ra, x 2 (ay + bz)(az + by) 2x 2 (a + b) 2 (y 2 + z 2 ) T-ơng tự, ta có: y 2 (az + bx)(ax + bz) 2y 2 (a + b) 2 (z 2 + x 2 ) z 2 (ax + by)(ay + bx) 2z 2 (a + b) 2 (x 2 + y 2 ) Do đó, x 2 (ay + bz)(az + by) 2 (a + b) 2 x 2 y 2 + z 2 + y 2 z 2 + x 2 + z 2 x 2 + y 2 3 (a + b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Bất đẳng thức Nesbitt không chỉ ứng dụng trong các bài bất đẳng thức Đại số mà còn là một công cụ quan trọng trong các bài toán bất đẳng thức Hình học. Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng: m a l b + h c + m b l c + h a + m c l a + h b 3 2 Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 3 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến H-ớng dẫn. Tr-ớc hết ta chứng minh: h a l a m a . Từ đó ta có: m a l b + h c m a m b + m c 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều. Ví dụ 1.6. Cho tam giác ABC có 3 đ-ờng phân giác AA 1 , BB 1 , CC 1 . Gọi khoảng cách từ A 1 dến AB, B 1 dến BC, C 1 dến CA lần l-ợt là a 1 , b 1 , c 1 . Chứng minh rằng: a 1 h a + b 1 h b + c 1 h c 3 2 Lời giải. Gọi H là chân đ-ờng vuông góc hạ từ A xuống BC và K là chân đ-ờng vuông góc hạ từ A 1 xuống AB. Ta có: S ABA 1 = 1 2 h a .BA 1 = 1 2 a 1 .AB a 1 h a = BA 1 AB = CA 1 CA = BA 1 + CA 1 AB + CA = a b + c T-ơng tự, ta có: b 1 h b = b c + a ; c 1 h c = c a + b Do đó, a 1 h a + b 1 h b + c 1 h c = a b + c + b c + a + c a + b 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 4 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Ví dụ 1.7. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đ-ờng phân giác trong góc A cắt BC tại A 1 , cắt (O) tại A 2 . Các điểm B 1 , B 2 ; C 1 , C 2 đ-ợc đinh nghĩa t-ơng tự A 1 , A 2 . Chứng minh rằng: A 1 A 2 BA 2 + CA 2 + B 1 B 2 AB 2 + CB 2 + C 1 C 2 AC 2 + BC 2 3 4 Lời giải. Vì đ-ờng phân giác trong góc A cắt (O) tại A 2 nên BA 2 = CA 2 . Do đó: A 1 A 2 BA 2 + CA 2 = A 1 A 2 2CA 2 Dễ dàng chứng minh đ-ợc CA 1 A 2 ACA 2 . Suy ra: A 1 A 2 CA 2 = CA 2 AA 2 . Tứ giác ABA 2 C nội tiếp, theo định lí P toleme có: BC.AA 2 = AB.CA 2 + AC.BA 2 BC.AA 2 = CA 2 (AB + CA) CA 2 AA 2 = BC AB + CA = a b + c Tóm lại, A 1 A 2 BA 2 + CA 2 = a 2(b + c) T-ơng tự, ta có: B 1 B 2 AB 2 + CB 2 = b 2(c + a) ; C 1 C 2 AC 2 + BC 2 = c 2(a + b) Do đó, A 1 A 2 BA 2 + CA 2 + B 1 B 2 AB 2 + CB 2 + C 1 C 2 AC 2 + BC 2 = 1 2 a b + c + b c + a + c a + b 3 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 5 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Nhận xét. Trong cách chứng minh trên ta mới sử dụng đẳng thức P toleme. Nếu sử dụng bất đẳng thức Pt oleme thì ta có bài toán tổng quát hơn: Ví dụ 1.8. Cho lục giác ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = F A. Chứng minh rằng: BC BE + DE AD + F A CF 3 2 Ví dụ 1.9 (Đề thi Olympic 30 - 4, 2003). Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Các đ-ờng trung tuyến AA 1 , BB 1 , CC 1 lần l-ợt cắt (O) tại A 2 , B 2 , C 2 . Chứng minh rằng: AA 1 AA 2 + BB 1 BB 2 + CC 1 CC 2 9 4 H-ớng dẫn. Ta dễ dàng có: AA 1 .A 1 A 2 = BA 1 .CA 1 = a 2 /4 AA 2 1 = 2b 2 + 2c 2 a 2 4 Suy ra, AA 1 AA 2 = 2b 2 + 2c 2 a 2 2b 2 + 2c 2 = 1 a 2 2(b 2 + c 2 ) T-ơng tự, ta có: BB 1 BB 2 = 1 b 2 2(c 2 + a 2 ) ; CC 1 CC 2 = 1 c 2 2(a 2 + b 2 ) Vậy, AA 1 AA 2 + BB 1 BB 2 + CC 1 CC 2 = 3 1 2 a 2 b 2 + c 2 9 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 6 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến 2 Bất đẳng thức Nesbitt và mở rộng Bất đẳng thức Ne sbitt có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong giải toán nên việc mở rộng nó là một công việc cần thiết. Trong mục này, tôi sẽ đ-a ra mở rộng bất đẳng thức Nesbitt theo hai h-ớng là những mở rộng trực tiếp và những mở rộng có thêm tham số. 2.1 Những mở rộng trực tiếp Đầu tiên, chúng ta sẽ nghĩ ngay đến việc kéo dài bất đẳng thức Nesbitt. Mở rộng 1. Cho a 1 , a 2 , , a n > 0; n 2. Chứng minh rằng: a 1 a 2 + a 3 + + a n n n 1 (1) Lời giải. Giả sử a 1 a 2 a n . Khi đó: 1 a 2 + a 3 + + a n 1 a 1 + a 3 + + a n 1 a 1 + a 2 + + a n1 Theo bất đẳng thức Chebyshev có: a 1 a 2 + a 3 + + a n 1 n (a 1 + a 2 + + a n ) 1 a 1 + a 2 + + a n1 1 n (a 1 + a 2 + + a n ) n 2 (a 1 + a 2 + + a n )(n 1) = n n 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . Nếu gắn thêm số mũ vào Mở rộng 1. ta có: Mở rộng 2. Cho a 1 , a 2 , , a n > 0; n 2 và k (n 1)/n. Chứng minh rằng: a 1 a 2 + a 3 + + a n k n (n 1) k (2) Ta xét tiếp đến một mở rộng nữa về chiều dài. Mở rộng 3. Với mọi x i 0, x i + x i+1 > 0, x n+i = x i (i = 1, 2, , n) thì: n i=1 x i x i+1 + x i+2 n 2 (3) Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 7 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Chú ý. Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Shapiro đ-ợc nhà Toán học Shapiro đ-a ra trên tạp chí American Mathematic Monthly năm 1954. Bất đẳng thức Shapiro nhìn rất đơn giản nh-ng việc chứng minh lại vô cùng khó vì nó không đúng với mọi số tự nhiên n. Tuy nhiên cuối cùng thì nhà Toán học Troesch đã chứng minh đ-ợc bất đẳng thức Shapiro với kết quả quan trọng sau: Bất đẳng thức Shapiro đúng với mọi n chẵn 12 và n lẻ 23. Với mọi giá trị khác của n thì bất đẳng thức sai. Mở rộng bất đẳng thức Nesbitt th-ờng gặp là gắn với số mũ. Ta xét một vài mở rộng: Mở rộng 4. Cho a, b, c > 0 và n 1. Chứng minh rằng: a n b + c + b n c + a + c n a + b a n1 + b n1 + c n1 2 3 2 a + b + c 3 n1 (4) Hệ quả 1. Với a, b , c > 0 thoả mãn abc = 1 và n 1 thì: a n b + c + b n c + a + c n a + b 3 2 Ta có thể gắn thêm hệ số vào Mở rộng 4. nh- sau: Mở rộng 5. Cho a, b, c > 0 và n 1. Chứng minh rằng: a n pb + qc + b n pc + qa + c n pa + qb a n1 + b n1 + c n1 p + q 3 p + q a + b + c 3 n1 (5) Chứng minh. Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz có: a n pb + qc + b n pc + qa + c n pa + qb = a 2n2 pba n2 + qca n2 + b 2n2 pcb n2 + qab n2 + c 2n2 pac n2 + qbc n2 (a n1 + b n1 + c n1 ) 2 p(ba n2 + cb n2 + ac n2 ) + q(ca n2 + ab n2 + bc n2 ) Theo bất đẳng thức hoán vị có: a n1 + b n1 + c n1 ba n2 + cb n2 + ac n2 a n1 + b n1 + c n1 ca n2 + ab n2 + bc n2 Do đó, a n pb + qc + b n pc + qa + c n pa + qb a n1 + b n1 + c n1 p + q Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 8 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Thật dễ dàng chứng minh đ-ợc: a n1 + b n1 + c n1 p + q 3 p + q a + b + c 3 n1 Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nếu nâng số mũ mẫu số của Mở rộng 4. thì ta có bài toán t-ơng đối tổng quát sau: Mở rộng 6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a n (b + c) m + b n (c + a) m + c n (a + b) m a nm + b nm + c nm 2 m (6) Chứng minh. Ta có: (b + c) m 2 m1 (b m + c m ), suy ra: cyc a n (b + c) m cyc a n 2 m1 (b m + c m ) Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh: cyc a n 2 m1 (b m + c m ) a nm + b nm + c nm 2 m Thật vậy, ta có: cyc a n 2 m1 (b m + c m ) a nm + b nm + c nm 2 m = cyc a nm a m b m + c m 1 2 = cyc a nm b m + c m (2a m b m c m ) = cyc (a m b m ) a nm b nm + c nm b nm c nm + a nm = cyc a m b m (b nm + c nm )(c nm + a nm ) c nm (a nm b nm ) + a 2(nm) b 2(nm) 0 Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 9 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Mở rộng 7. Cho a, b, c > 0 và n là hằng số cho tr-ớc. Chứng minh rằng: a b + c n + b c + a n + c a + b n 3 2 n ; 2 (7) H-ớng dẫn. Bài toán trên dễ dàng chứng minh đ-ợc với tr-ờng hợp n 0 và n 1. Còn với tr-ờng hợp 0 < n < 1, ta sẽ chứng minh đ-ợc bằng ph-ơng pháp dồn biến. Hằng số tốt nhất cho bất đẳng thức là ln 3 ln 2 1. Chú ý. Đây là kết quả ở [1]. Hệ quả 2. Với a, b , c > 0 và n N, n 2 thì: n a b + c + n b c + a + n c a + b > n n 1 n n 1 Bất đẳng thức Nesbitt có một dạng mở rộng nữa khi thêm hệ số ở tử số. Mở rộng 8. Cho m, n, p; x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ma b + c + nb c + a + pc a + b (8) Chứng minh. Đặt x = b + c, y = c + a, z = a + b a = y + z x 2 , b = z + x y 2 , c = x + y z 2 Suy ra, ma b + c + nb c + a + pc a + b = m(y + z x) 2x + n(z + x y) 2y + p(z + y z) 2z = 1 2 my x + nx y + my x + my x + my x + my x (m + n + p) mn + mp + pn m + n + p 2 Vậy, ma b + c + nb c + a + pc a + b mn + mp + pn m + n + p 2 Bình luận. Trong phần trên, tác giả đã nêu lên những mở rộng của bất đẳng thức Nesbitt một cách đa chiều và đã tổng hợp các chiều ra một vài bài toán mạnh hơn. Nh-ng đó mới chỉ là ví dụ cho sự tổng hợp với mục đích thôi thúc sự sáng tạo từ bạn đọc. Hy vọng rằng các bạn sẽ từ đó rồi đ-a ra những bất đẳng thức mạnh hơn, ứng dụng lớn hơn trong các bài toán. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 10 [...]... Những bất đẳng thức lồng ghép Có rất nhiều bất đẳng thức đ-ợc tạo thành nhờ sự lồng ghép giữa bất đẳng thức Nesbitt và một biểu thức khác Trong đó, một số bài toán khi chứng minh thì tách độc lập hai phần Nh-ng bên cạnh đó có rất nhiều bài toán ta phải kết hợp cả hai phần của vế trái lại rồi chứng minh hợp lí mới cho kết quả ta muốn Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 18 Bất đẳng thức Nesbitt... minh: x(a b)(a c) + y(b a)(b c) + z(c a)(c b) 0 Giả sử a b c, ta dễ dàng suy ra x y z Do đó, bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Schur suy rộng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Chú ý Bất đẳng thức Schur suy rộng đ-ợc phát biểu nh- sau: Định lý 3.1 (Bất đẳng thức Schur suy rộng) Với các số d-ơng a, b, c, x, y, z sao cho (a, b, c) và (x, y, z) đều là các bộ đơn điệu... Trong phần trên, tôi đã đ-a ra một vài bài toán có gắn thêm hằng số vào bất đẳng thức Nesbitt Những bài toán đó th-ờng không đ-ợc coi là mở rộng của bất đẳng thức Nesbitt Tuy nhiên theo quan điểm của tôi thì nó vẫn là một dạng mở rộng bởi vì khi lấy một giá trị đặc biệt thay cho những hằng số đó thì ta sẽ thu đ-ợc bất đẳng thức Nesbitt Ví dụ, ở Bài toán 2.2.3 ta chọn x = y = z thì nó sẽ trở thành: a... ac b a+b ab c a+c Từ các bất đẳng thức trên suy ra: Sc = Sa (b c)2 + Sb (c a)2 + Sc (a b)2 Sb (c a)2 + Sc (a b)2 b2 (a b)2 b2c(b c) c2 b(c b) (a b)2 2 Sb + Sc + c c2 (b + a)(b + c) (c + a)(c + b) 2 (a b) (b c)b b a + b = 0 (b + a)(b + c) c a+c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bình luận Các bất đẳng thức trên, khi đ-ợc kết hợp với bất đẳng thức Nesbitt sẽ cho chúng ta những... Nesbitt Ví dụ, ở Bài toán 2.2.3 ta chọn x = y = z thì nó sẽ trở thành: a b c 3 + + b+c c+a a+b 2 Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 12 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến 3 Tản mạn bất đẳng thức Nesbitt 3.1 So sánh các bất đẳng thức dạng Nesbitt Bài toán 3.1.1 Cho a, b, c > 0 và m n 0 Chứng minh rằng: bm cm an bn cn am + m + m n + n + n b m + cm c + a m a + b m b + cn c + a n a +... bài toán mới mà một trong những cách chứng minh nó là đ-a bất đẳng thức Nesbitt vào nh- một phần tử trung gian Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 17 Bất đẳng thức Nesbitt 3.4 So sánh a b+c Nguyễn Anh Tuyến + b c+a + c a+b và b+c a + c+a b a+b c + b c 3 a Nh- chúng ta đã biết b+c + c+a + a+b 2 ; b+c + c+a + a+b 6 Vì hai bất đẳng thức a b c trên cùng chiều nên ta không dễ dàng đ-a ra ngay... ra câu hỏi con số 3/2 đã chặt với bất đẳng thức Nesbitt ch-a? Câu trả lời là 3/2 ch-a phải là con số thực sự chặt! Tôi xin lấy một vài ví dụ Bài toán 3.2.1 Cho a, b, c không âm Tìm hằng số k tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng: a b c 3 k.max {(a b)2, (b c)2 , (c a)2} + + + b+c c+a a+b 2 ab + bc + ca Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 14 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Lời giải... c + + 0 thì a + b a + c b + c c c b b a a Suy ra: a+b b+c , c+a b+c , b+c = b+c Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta có: b c a a + + +1< 1+1 =2 b+c c+a a+b b+c Bất đẳng thức đã đ-ợc chứng minh xong Bài toán 3.3.6 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh.. .Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến 2.2 Những mở rộng có thêm tham số Bài toán 2.2.1 Cho a, b, c; x, y, z > 0 Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 1 x + y + z xy + yz + zx (x2 + y 2 + z 2 ) b+c c+a a+b 2 Chứng minh Cộng mỗi vế của bất đẳng thức với x 2 + y 2 + z 2 , ta có: b 2 c 2 1 a 2 x + x2 + y + y2 + z + z 2 xy + yz + zx + (x2 + y 2 + z 2 ) b+c c+a a+b 2 Ta viết lại bất đẳng thức: (a +... (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 19 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Bài toán 3.5.5 Cho a, b, c không âm Chứng minh rằng: a b c 4(a + b)(b + c)(c + a) + + + 5 b+c c+a a+b a 3 + b 3 + c3 Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử a + b + c = 1; và đặt ab + bc + ca = q, abc = r Bất đẳng thức t-ơng đ-ơng với: 1 2q + 3r 4(q r) + 5 qr 1 3q 3r Theo bất đẳng thức AM GM có: 4(q r) q 1 3q + 3r . c 2 9 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều. Seminar Toán (0811) THPT Chuyên Thái Bình Page 6 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến 2 Bất đẳng thức Nesbitt và mở rộng Bất đẳng thức Ne sbitt. Page 7 Bất đẳng thức Nesbitt Nguyễn Anh Tuyến Chú ý. Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Shapiro đ-ợc nhà Toán học Shapiro đ-a ra trên tạp chí American Mathematic Monthly năm 1954. Bất đẳng thức. đ-ợc bất đẳng thức Shapiro với kết quả quan trọng sau: Bất đẳng thức Shapiro đúng với mọi n chẵn 12 và n lẻ 23. Với mọi giá trị khác của n thì bất đẳng thức sai. Mở rộng bất đẳng thức Nesbitt