Các dạng bất đẳng thức dành cho HS THCS

Các dạng bất đẳng thức dành cho HS THCS. Bài tập từ dạng đơn giản đến phức tạp có lời giải cụ thể và phương pháp nhận biết hướng giải. ............................................................................................................

.:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 1 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Kiến thức chung: B  : a < b  a  b. a > b  a  b.  . Ngoài ra ta còn có:   a  b.   a  b.     hay .       . Ba  (1)          (2)  (3)      m. 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa: 1.1. Kiến thức cơ bản: - B > 0.  2   ,   ,   : 1:  a > b b > c    > c. 2: >   + c > b + c 1: >   - c > b - c 2: + c >   > b - c 3:  a > b c > d    + c > b + d 4: > b thì ac > bc khi c > 0 ac < bc khi c < 0    -a < - b .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 2  ab > khi c > 0 cc ab < khi c < 0 cc         a > b > 0 c > d > 0    thì ac > bd  11 0 < < ab  * a > b > 0, n N thì a n > b n  * a > b > 0, n N thì nn a > b  a > b  a 2 > b 2   a 2  2 1.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho b a 2 + b 2 + c 2  + bc + ca. Chứng minh Ta có: 2 2 2 2a +2b +2c ³ 2ab+2bc+2ca a       2 2 2 ( b) (b c) (c a) 0.  Bài tập 2:  2  Chứng minh Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a -a bc-ab c-abc  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b +2b c +2c a -2a bc-2ab c-2abc0 2 2 2 (ab-bc) +(bc-ca) +(ca -ab)0.  Bài tập 3:  2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2  a(b + c + d + e), i a, b, c, d, e  R. Chứng minh Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a -ab+ b + -ac+c + -ad+d + -ae+e 4 4 4 4  0 2 2 2 2 a a a a -b + -c + -d + -e 2 2 2 2                          0.  Bài tập 4:   1 1 1 a b c a b c      . -1 )(b - 1)(c - 1) > 0. 2)  Chứng minh 1) Ta có: (a -1 )(b - 1)(c - 1) > 0  abc - ab - bc - ac + a + b + c > 0  1 + (a + b + c) - (ab + bc + ca) > 0 (1) Và .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 3 1 1 1 a b c a b c       ab bc ac a b c abc      a b c ab bc ac     (2)  2)    - 1)(b - 1)(c -   Bài tập 5:b: a 2 + b 2 ab . Chứng minh Ta có: a 2 + b 2 - ab   2 2 2 1 1 3 a 2. ab b b 0 2 4 4         2 2 13 a b b 0 24        R. Vì 2 2 13 a b 0; b 0 24         2 1 a b 0 2     và 2 3 b0 4  . Suy ra: a = b = 0 b (a n ) 2 + (b n ) 2  n b n |. Bài tập 6:  < a  b  c. C a b c b a c b c a a c b      Chứng minh Ta có:   2 2 2 2 2 2 a b c b a c 1 a c ab bc b c ba ac b c a a c b abc                  2 2 2 2 2 2 1 a c b c b a a b c b ac abc                  2 1 c a b a b ab a b c a b abc              2 1 a b c a b ab c abc            1 a b b c c a 0 abc      , (Vì 0 < a  b  c)   =  =  = c. y b .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 4 Bài tập 7: Cho a  b  c và x  y  z. C              a b x y ax by 2 2 2 Chứng minh Ta có:                      a b x y ax by 1 ax ay by bx 2ax 2by 2 2 2 4 = 4 1 [(ay - ax) + (bx - by)] = 4 1 (x - y)(b - a) 0, (do x y và a  b ) ng  =  = b.  Bài tập 8: . Ca 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2  a(b + c + d + e). Chứng minh Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - ab - ac - ad - ae = 4 1 (4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae) = 4 1 [(a 2 + 4b 2 + 4ab) + (a 2 + c 2 + 4ac) + (a 2 + 4d 2 + 4ad) + (a 2 + 4e 2 + 4ae)] = 4 1 [(a + 2b) 2 + (a + 2c) 2 + (a + 2d) 2 + (a + 2e ) 2 ]  0 Do (a + 2b) 2  0; (a + 2c) 2  0; (a + 2d) 2 0 và (a + 2e ) 2 0   a 2 . b Bài tập 9: ng minh b (a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ). Chứng minh Ta có: (a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 )  (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 )  (a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) - (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) 0  a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 - a 12 - a 8 b 4 - a 4 b 8 - b 12 0  (a 10 b 2 - a 8 b 4 ) + (a 2 b 10 - a 4 b 8  0  a 8 b 2 (a 2 - b 2 ) - a 2 b 8 (a 2 - b 2 ) 0  a 2 b 2 (a 2 - b 2 )(a 2 - b 2 )(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) 0.  a 2 b 2 (a 2 - b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 + b 4 )    2 = b 2  a =  = - b và a =  = 0 b Bài tập 10     c a c c b c ab    . Chứng minh Ta có:     c a c c b c ab            2 2 c a c c b c ab     .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 5         c a c c b c 2 c a c . c b c ab           2 a c b c 2c a c. b c c 0            2 a c b c c 0         B b, c. Bài tập 11: Cho a  2 3 3 3 1 1 1 4 ab bc ca a b b c c a            Chứng minh Ta có: 1 1 1 a b c ab bc ca abc     Do a, b, c > 0 và (a + b)(b + c)(c + a)  8abc Suy ra:       8 a b c 1 1 1 ab bc ca a b b c c a        Hay           4 a b 4 b c 4 c a 1 1 1 ab bc ca a b b c c a                     1 1 1 8 8 8 2 ab bc ca b c c a a b c a a b b c                (1) Trong (1) d  = b = c. , ta có:     2 2 14 a b 4ab ab ab          2 2 14 b c 4bc bc bc          2 2 14 c a 4ca ca ca      Suy ra:       2 2 2 1 1 1 4 4 4 ab bc ca a b b c c a         (2) Trong (2) d  = b = c. (1) và (2) Ta có 2 3 3 3 1 1 1 ab bc ca a b b c c a              = b = c. Bài tập 12: Cho  và abc =1.  3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1          . .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 6 Chứng minh Do 0  a b  c. Suy ra: (a - b) 2 (a + b) 0.  x = b.  (a - b)(a + b)(a - b) 0  (a 2 - b 2 )(a - b) 0  a 3 - a 2 b - ab 2 + b 3   a 3 + b 3 a 2 b + ab 2  a 3 + b 3 + 1 a 2 b + ab 2 + abc  a 3 + b 3 + 1 (a + b + c)    33 1 1 c a b c a b 1 ab a b c     . (Do abc = 1  1 c ab  ) T   33 1 1 a a b c b c 1 bc a b c       33 1 1 b a b c c a 1 ca a b c       3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1            = b = c =1. Bài tập 13:   x, y, z   a) x 2 + y 2 + z 2  2xy  2xz + 2yz b) x 2 + y 2 + z 2 + 3  2 (x + y + z) Chứng minh a)X x 2 + y 2 + z 2 - (2xy - 2xz + 2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy + 2xz  2yz = (x  y + z) 2 0 , , y, z  R  2 + y 2 + z 2  2xy - , y, z  R  + y = z b) Xé x 2 + y 2 + z 2 + 3  2(x + y + z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 - 2y + 1 + z 2 - 2z +1 = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2  0.   = y = z = 1 . Bài tập 14: Cho abc = 1 và a 3  2 a 3  b 2 + c 2 > ab + bc + ac. Chứng minh  2 a 3  b 2 + c 2 - ab - bc - ac = 2 a 4  2 a 12  b 2 + c 2 - ab - bc - ac = 2 2 2 3 22 a a a a 36abc b c ab ac 2bc 3bc b c 4 12 2 12a                   > 0 (Vì abc = 1 và a 3 > 36)  Bài tập 15:  .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 7 P = 2 2 2 x (y+z) y (z + x) z (x + y) ++ yz zx xy Giải Ta có : P = 2 2 2 2 2 2 x x y y z z + + + + + y z z x x y Mà x 2 + y 2  xy  xy, y. Nên x 3 + y 3  xy(x + y),  Hay 22 xy + (x + y) yx   :  22 22 yz (y z); zy zx (z x) xz       : P  2(x + y + z) = 2, (do x + y +z = 1) Suy ra: P = 2 khi x = y = z = 1 3 .  Bài tập 16: Cho x, y,  2 + y 2 + z 2 = 1.  xy yz zx ++ z x y . Giải Ta có: P 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x + + +2 z x y Mà 2 2 2 2 22 x y y z + zx  2y 2 , 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 y z z x 2z , xy z x x y 2x yz   . Nên P 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x + + +2 z x y  3.   3 3 .  3 . 1.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: 4x 2 + y 2  4xy. Bài tập 2:  x 2 + y 2 +1 xy + x + y. Bài tập 3:  (x + y)(x 3 + y 3 )(x 7 + y 7 ) 4(x 11 + y 11 ). .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 8 Bài tập 4:  1996 1996 1996 1995 1995 1995 x y z x y z 3 x y z       Bài tập 5: ng.      3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c       . Bài tập 6:  1)   8 8 8 3 a b c 1 1 1 a b c abc     2) 3 3 3 3 3 3 a b b c c a a c b a c b 6abc c a b b c a       Bài tập 7:  z - xy - yz -  2) x 2 + y 2 + z 2  2 y + y 2 z + z 2 x 3) x y z 2 yz 1 zx 1 xy 1       Bài tập 8:   2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. Bài tập 9:  2 . Ta có: x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 > x 2 + y 2 . Bài tập 10:  1) a 2 + b 2 + c 2  1 + a 2 b + b 2 c + c 2 a 2) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) - (a 2 b + b 2 c + c 2 a)  3 Bài tập 11:  a) 2 22 a b a b 22      b) 2 2 2 2 a b c a b c 33         Bài tập 12:  m 2 + n 2 + p 2 + q 2 + 1  m(n + p + q + 1) Bài tập 13: Cho a, b, c   4 4 4 a +b +c ³ abc(a +b+c) . Bài tập 14:         22 22 x y x y 43 y x y x Bài tập 15:                    1 1 1 1 1 y (x z) (x z). x z y x z Bài tập 16: Cho a, b, c là                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c 3 a b b c c a a b c Bài tập 17:             2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x 3(x y z) Bài tập 18:  2 + b 2 + c 2 = 1.  a. .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 9 2. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất của tỉ số: 2.1. Kiến thức cơ bản:   a b  1 thì a b  ac bc   .    a b  1 thì a b  ac bc      a b  c d  a b  ac bd    c d   2.2. Bài tập tự luyện: Bài tập 1:    a b c 12 b c c a a b        . Chứng minh  0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b. Ta có: c c c 2c c 2c a b c 1 a b a b c a b c a b a b c                   a a a 2a a 2a b c a 1 b c a b c a b c b c a b c                  b b b 2b b 2b c a b 1 c a a b c a b c c a a b c                   : a b c 2a 2b 2c 2 b c c a a b a b c a b c a b c                và a b c a b c 1 b c c a a b a b c a b c a b c                Vì a, b, c > 0.  a b c 12 b c c a a b         Bài toán trên    a b  1 thì a b  ac bc   .   = b. Bài tập 2: Cho a, b > 0. C 1 a b a b a b 2 a 1 b 1 a b 1 a 1 b 1               . Chứng minh : 1 a b a b 2 a 1 b 1 a b 1          Do a, b > 0 ta có: a a a b 1 a 1 a 1 a b 1         . .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 10 b b a b 1 b 1 b 1 a b 1             2 a b ab a 1 b 1 a b 1        1 a b a b 2 a 1 b 1 a b 1          (1) : a b a b a b 1 a 1 b 1       Do a, b > 0, ta có: aa a 1 a b 1     và bb b 1 a b 1     btrên,  a b a b a b 1 a 1 b 1       (2)  1 a b a b a b 2 a 1 b 1 a b 1 a 1 b 1                Bài tập 3:  a b c d 1< + + + < 2 a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b . Chứng minh  a a a d 1 a b c a b c a b c d            (1)  aa > a +b+c a + b+c+d (2)  a a b c d   < a a b c < ad a b c d     (3)  b b b a a b c d b c d a b c d           (4) c c b c a b c d c d a a b c d           (5) d d d c a b c d d a b a b c d           (6)  (4), (5), (6) ta có: a b c d 1< + + + < 2 a +b+c b+c+d c+d +a d +a +b  . Bài tập 4: Cho ac bd   [...]...   a k 1bk 1 )2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài tập 6: Với giá trị nào của số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng: 2n  2n  1 Chứng minh Với n = 0 suy ra 20  2.0  1  1 Bất đẳng thức sai n = 1 suy ra 21  2.1  1  3 Bất đẳng thức sai n = 2 suy ra 4 > 5 Bất đẳng thức sai n = 3 suy ra 8 > 7 Bất đẳng thức đúng n = 4 suy ra 16 > 9 Bất đẳng thức đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2,... giả sử trên là sai Vậy trong các bất đẳng thức sau: a(1 - b) > 0,25; b(1 - c) > 0,25; c(1 - a) > 0,25 có ít nhất một bất đẳng thức sai Bài tập 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức sau: |x| < |y - z|, |y| < |x - z|, |z| < |y - x| Chứng minh Giả sử: Cả ba bất đẳng thức trên không có bất đẳng thức nào sai Nghĩa là cả ba bất đẳng thức đó đều đúng Biên soạn:... bất đẳng thức đúng với n = k (giả thiết quy nạp) Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 Bước 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n  n 0 6.2 Bài tập áp dụng: 1 1 1 1 Bài tập 1: Chứng minh rằng: 2 + 2 + + 2 < 2 - , n  N; n  1 1 2 n n Chứng minh 1 1 Với n = 2 ta có 1   2  (đúng) 4 2 Suy ra: Bất đẳng thức đúng với n = 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k Ta phải chứng minh bất đẳng. .. - 1 + a-1)  1 Bài tập 3: Cho a + b + 2cd Chứng minh rằng có ít nhất một bất đẳng thức sau là đúng: c2 > a, d2 > b a > 0  Bài tập 4: Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn:  2 (b -1) - 4ac < 0  Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức là sai: ax2 + bx + c  y ; ay2 + by + c  z ; az2 + bz + c  x 4 Bất đẳng thức tam giác: 4.1 Kiến thức cơ bản: Gọi a, b, c >... 1    k  1  k  k Suy ra: Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Vậy bất đẳng thức trên đúng với mọi n Bài tập 8: Chứng minh rằng: 1.3.5  2n  1 2.4.6.2n  1 2k  1 Chứng minh Khi n = 1, thì bất đẳng thức trở thành: 1 1  Bất đẳng thức đúng 2 3 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là: 1.3.5  2k  1 2.4.6 2n 1 2k  1  Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là: (1) 1.3.5... thiết cho: a  -b  a  |b|  ak ≥ |b|k ≥ bk  a k  bk  a  b   0   Giả sử a < b và theo giả thiết cho: k - a < b  a  bk  a k  bk   a k  bk   a  b   0 Vậy bất đẳng thức luôn đúng Bài tập 3: Cho a ≥ -1, 1 ≤ n  N Chứng minh rằng: (1  a)n  1  na Chứng minh Với n = 1: Bất đẳng thức luôn đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  N Tức là: (1  a)k  1  ka Ta phải chứng minh bất đẳng. ..  ca(c + a) Cộng các vế của bất đẳng thức trên với nhau, ta được: (1) 2(a 3 + b3 + c3 )  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có: 1 1 1 1 1 1 3 + 3 + 3  33 3 3 3 = (2) 3 a b c a b c abc Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài tập 3: Cho a, b ≥ 0 Chứng... yz zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài tập 13: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 18xyz 2 + xyz Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2 = x + y + z + x + y + z  6 3 xyz Và xy  yz  zx  3 3  xyz  2 Nhận vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (1) Mặt khác, ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (2) Cộng bất đẳng thức (1) và... 2: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng: 1 1 1 a)    1 1.2 2.3 n  n  1 a) 1 1 1 1  2   2  2  2 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 Bài tập 3: Chứng minh: 2  2   2  2 Trong đó n, k N* và ak =    2 3 k a1 2a2 nan b) 1  6 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp: 6.1 Kiến thức cơ bản: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n 0 ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức. .. 6: Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a2 < 4b và c2 < 4d Chứng minh Giả sử 2 bất đẳng thức: a2 < 4b và c2 < 4d đều đúng Khi đó cộng các vế ta được: a2 + c2 < 4b + 4d  a2 + c2 < 4(b + d) (1) Theo giả thiết, ta có: 4(b+d)  2ac (2) Từ (1) và (2), suy ra: a2 + c2 < 2ac hay (a - c)2 < 0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức .             2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x 3(x y z) Bài tập 18:  2 + b 2 + c 2 = 1.  a +1 (Do các u i  .:: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 ::. Trần Trung Chính 18   2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u u u 2 3 n1              