ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán

có rất nhiều tài liệu nói về phương pháp đạt nhân tử chung. nhưng không ai tổng quát hết bài toán liên quan tới chúng. Vì vậy tôi xin đem tài liệu này lên giúp các bạn có cái nhìn tổng quan về bài toán đặt nhân tử

CHUYÊN ĐỀ:Ứngdụngphântíchđathứcthànhnhântửvàoviệc giảitoán Người thực Hoàng Thị Mạnh-ĐHSP TOÁN K55 LỜI MỞ ĐẦU Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương tŕnh lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương tŕnh đại số lớp lớp trên. Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn quan trọng. Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức . Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập. Để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải có tư khả phán đoán cao. Mặt khác kiến thức áp dụng đa dạng vào việc giải toán có liên quan tìm x, rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ PHẦN NỘI DUNG Cácphươngphápphântíchđathứcthànhnhântử: 1- Phươngphápphântíchđathứcthànhnhântửbằngphươngphápđặtnhântửchung: Phươngphápdùnghằngđẳngthức:Sửdụngbảyhằngđẳngthứcđángnhớdưới “dạngtổnghoặchiệu” đưavề “dạngtích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 6. A3 + B3 = (A+B)(A2 – AB + B2) 7. A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB + B2) - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. - Phối hợp nhiều phương pháp. 5-Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử. - Phương pháp đặt ẩn phụ. 7- Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng. A= Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A= Giải : Ta có 5x + 1 − 2x 5x + 2x-1 − − = + + x − x + x + 1 − x ( x − 1)( x + x + 1) x + x + x − Mẫu thức phân thức A= Do A= 5x + 1 − 2x − − x −1 x + x + 1 − x ( x − 1)( x + x + 1) 5x + (2x-1)(x-1) 2( x + x + 1) + + ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) 5x + + 2x − 2x − x + + 2x + 2x + 4( x + x + 1) = = 2 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − B= x + 3x − x2 + x − Vídụ 2: Rútgọnbiểuthức: Giải: Ta thấytửthứccónghiệmlà 1; mẫuthứccũngcónghiệmlà1 ;nên ta có x + 3x − B= x + x−2 x − x + x − ( x − x) + (4 x − 4) = x( x − 1) + 4( x − 1) = ( x − 1)( x + 4) = x + x − x + x − ( x − x) + (2 x − 2) x( x − 1) + 2( x − 1) ( x − 1)( x + 2) x + = Dạng2:Chứng minh chia hết Đểgiảibàitoánchứng minh đathứcA chia hếtchođathức B cónhiềucáchgiảinhưng đâytôichỉtŕnhbàyphươngphápvậndụngphântíchđathứcthànhnhântửđểgiải. Vídụ 1:Chứng minh rằngvớimọisốnguyên n, ta có: (4n+3)2 – 25 chia hếtcho Giải: Ta có (4n + 3)2 – 25 = (4n + 3)2 – 52 = (4n + + 5)(4n + - 5) = (4n + 8)(4n - 2) = 8(n + 2)(2n – 1) chia hếtcho vớimọisốnguyên n. Vídụ 2:Chứng minh rằngvớimọisốnguyên n biểuthức. A= n n2 n3 + + làsốnguyên. n n n3 2n + 3n + n + + = 6 Ta có: Muốnchứngminhbiểuthức sốnguyênchỉcầnchứngminh 2n + 3n2 + n3 chia hếtcho vớimọisốnguyên n. Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2). Ta thấy n (n + 1) (n + 2) làtíchcủabasốnguyênliêntiếpnênít nhấtcómộtthừasố chia hếtcho vàmộtthừasố chia hếtcho3 .Mà làhaisốnguyêntốcùngnhaunêntíchnày chia hếtcho 6. n n2 n3 + + Vậymọisốnguyên n biểuthức A= làsốnguyên. 50 49 Vídụ 3:Chứngminhđathức: x + x + . + x + x + chia hếtchođathức x16 + x15 + . + x2 + x + 1. Ta thấyđathứcbị chia có 51 sốhạng, đathức chia có 17 sốhạng, ta phântíchđathứcbị chia nhưsau: x50 + x49 + . + x2 + x + = (x50 + x49 + . + x35 + x34) +(x33 + x32 + . + x18 + x17) + x16 . x2 + x + 1. = (x34) (x16+x15+ .+x2+x+1)+x17(x16+x15+ .+x2+x+1)+ (x16 . +x2 + x + 1) = (x16 + x15 + . +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõràng: x50 + x49 + . + x2 + x + chia hếtcho x 16 + x15 + . x + 1. Kếtquảcủaphép chia : x34 + x17 + Vídụ 4: Chứng minh đathức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hếtchođathức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dựđoánđathức A phântíchthànhnhântửcómộtnhântửlà a + b + c. Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3+a2b+a2c+b2+b3+b2c+c2a +c2b +c3-a2b-ab2-abc-a2c-acb-ac2-acb-b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) VậyđathứcA chia hếtchođathức B. Vídụ 5: CMR: Cho 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 + n + n = n n a b c a + bn + cn với n lẻ. 1 1 bc + ac + ab + + = => = a b c a+b+c abc a+b+c Ta có: => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc. =>abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = =>bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c VÌ n lẻnên a2 = -bnhoặcbn = - c2hoặc an = - cn Thayvào ta suyrađi?uphảichứng minh. Dạng 3: Ápdụngphântíchđathứcthànhnhântửđểgiảimộtsốdạngphươngtŕnh. a) Giảiphươngtŕnhnghiệmnguyên. Vídụ 1:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtŕnh: xy – x – y = ⇔ Ta có: xy – x – y = x(y – 1) – (y - 1) = Ta cócáctrườnghợpsau: Trườnghợp 1: Trườnghợp 2: Trườnghợp 3: ⇔ (x – 1)(y – 1) = x −1 = x = ⇔ (TM)   y −1 =  y =  x − = −1 x = ⇔ (TM)   y − = −3  y = −2 x −1 = x = ⇔ (TM)   y −1 =  y =  x − = −3  x = −2 ⇔ (TM)   y − = −1  y = Trườnghợp 4: Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (2;4); (0;-2); (4;2); (-2;0) Vídụ 2:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtrình: 3xy + x – y = Ta có: 3xy + x – y = ⇔ ⇔ 9xy + 3x – 3y = 3x(3y + 1) –(3y + 1) = Ta cócáctrườnghợpsau: ⇔ ⇔ (9xy + 3x) – 3y = (3x - 1)(3y + 1) = Trườnghợp 1: Trườnghợp 2: Trườnghợp 3:  x=  x − = x =    ⇔ ⇔  3 y + = 3 y = y =  (TM) 3 x − = −1 3x = x = ⇔ ⇔  3 y + = −2 3 y = −3  y = −1 3 x − = 3x = x = ⇔ ⇔  3 y + = 3 y = y = (TM) −1  x=  3x − = −2 3x = −1  ⇔ ⇔  3 y + = −1 3 y = −2  y = −2  Trườnghợp 4: Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (0;-1); (1;0) (TM) (TM) Vídụ 3:Tìmnghiệmnguyêncủaphươngtŕnh: x + xy + y +2 = Ta có: x + xy + y +2 = Ta cócáctrườnghợpsau: Trườnghợp 1: ⇔ x +1 = x = ⇔   y + = −1  y = −2 x(y +1) + (y + 1) = -1 ⇔ (TM)  x + = −  x = −2 ⇔   y +1 = y = Trườnghợp 2: (TM) Vậynghiệmcủaphươngtŕnh: (0;-2); (-2;0) b)Giảiphươngtrìnhbậccao Vídụ 1:Giảiphươngtŕnh: ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 2x - )2 -( x - )2 = ⇔ ⇔ ( 2x - + x - )(2x - - x + 1) = 3x − = x = ⇔ ⇔ x − = x = ( 3x - 6)(x - 4) = Vậytậpnghiệmcủaphươngtŕnhđãcho là: S = {2; 4} Vídụ 2:Giảiphươngtŕnh: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = Giải : Ta có (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = (x + 1)(y+1) = -1 ⇔ ⇔ [(x + 1))(x+ 4)][(x + 2)(x+ 3)] - 24 = (x2 + 5x +4)(x2 + 5x +6) – 24 = Đặt t = x2 + 5x + ta đượcphươngtrình: (t – 1)(t + 1) – 24 = ⇔ t – – 24 = ⇔ ⇔ t –5 =0 Với t = - ta có: x2 + 5x + = -5 ⇔ (x + )2 + 15 (t – 5)(t + 5) = ⇔ x2 + 5x + 10 = = phươngtrìnhvônghiệm. ⇔ Với t = ta có: x + 5x + = t + =  t = −5 t − = ⇔  t = ⇔   x + 5x = ⇔ ⇔ x2 + 2.x. x(x + 5) = x = x = ⇔   x = −5 ⇔ x + =  Vậytậpnghiệmcủaphươngtŕnhđãcholà: S = {0; -5} Dạng 4:Tìmgiátrịlớnnhất, nhỏnhấtcủabiểuthức: Vídụ 1: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: A= 15- 2x – x2 Ta có A = 15- 2x – x2 = 16 – (x2 + 2x + 1) = 16 – (x + 1)2 Dấu “=” xảyra ⇔ x+1=0 ⇔ ≤ 16 x = -1 ⇔ Vậy Max A = 16 x = -1 Vídụ 2: Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: B = + 2x – 2x2 Ta có: B = + x – x2 = – 2(x2 – x ) = – (x2 – 2.x. + = – (x2 – 2.x. Dấu “=” xảyra ⇔ x- ⇔ + )+ =0 ⇔ = x= - ) - 1  x− ÷ 2 ≤  Vậy Max B = x= Vídụ 3: Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: C = x2 +6x – Ta có C = x2 +6x – = (x2 +2.x.3 + – 9) - = (x + 3)2 -12 ≥ -12 25 15 + + 4 =0 Dấu “=” xảyra ⇔ x+3=0 ⇔ ⇔ x = -3 Vậy Min C = -12 x=-3 Vívụ 4: tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức: D = 2x2 + 3x + Ta có: D = 2x2 + 3x + = (2x2 +3x) + = 2(x2 + x) + = 2(x2 +2. x + =2 3  x+ 4÷   + ) + = 2(x2 +2. x + 16 ) – 2. 16 +5 31 31 ≥ Dấu “=” xảyra Vậy Min D = 9 − 16 16 ⇔ x + 31 ⇔ x= =0 −3 ⇔ x= −3 Bàitậpvậndụng: Phântíchcácđathứcthànhnhântử. 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 – 2x 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Từnhnhanhsốtrícủabiểuthứcsauvới. a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 2 Q = a - a b - ab + b3 14) CMR biểuthức (2n + 3)2 - chia hếtcho vớimọi n nguyên. n n2 n3 + + 12 24 15) CM biểuthức làsốnguyênvớimọisốchẵn n. 16) Chứng minh đathức: x79 + x78 + . + x2 + x+ chia hếtchođathức x19 + x18 + . + x2 + x + 1. 17) Cho a + b + c = 0. Tínhgiátrịbiểuthức:\ A = (a – b)c3 + (c-a)b3 + (b – a)a3 18) Cho cácsố x, y, z thỏamãnđiềukiện: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tínhgiátrịbiểuthức M = x2014 + y2014 + z2014 19) Cho a, b, c làbasốdương. ⇔ Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + d) = abc a = b = c 20) Giảiphươngtrình: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - = Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 15- 2x – x2 Ta có A = 15- 2x – x2 = 16 – (x2 + 2x + 1) = 16 – (x + 1)2 Dấu “=” xảyra ⇔ Vậy Max A = 16 x+1=0 ⇔ ⇔ ≤ 16 x = -1 x = -1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x2 + 3x + Ta có: D = 2x2 + 3x + = (2x2 +3x) + = 2(x2 + x) + = 2(x2 +2. x + =2 3  x+ 4÷   + ) + = 2(x2 +2. x + 31 31 ≥ Dấu “=” xảyra Vậy Min D = 9 − 16 16 ⇔ x + 31 ⇔ x= =0 −3 ⇔ x= −3 16 ) – 2. 16 +5 . CHUYÊN ĐỀ:Ứngdụngphântíchđathứcthànhnhântửvàoviệc giảitoán Người thực hiện Hoàng Thị Mạnh-ĐHSP TOÁN K55 LỜI MỞ ĐẦU Chuyên đề " ;Phân tích đa thức thành nhân tử& quot; được học khá. pháp tìm nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Để giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học. PHẦN NỘI DUNG Cácphươngphápphântíchđathứcthànhnhântử: 1- Phươngphápphântíchđathứcthànhnhântửbằngphươngphápđặtnhântửchung: 2 - Phươngphápdùnghằngđẳngthức:Sửdụngbảyhằngđẳngthứcđángnhớdưới “dạngtổnghoặchiệu”