các kết quả chuẩn bị, các không gian hàm

trình bày về các kết quả chuẩn bị, các không gian hàm

KhilO sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong mi~n hinh cdu

trang5

CHUONG2 cAc KET QuA CHuAN BJ, cAc KHONG GIAN HAM

11.1.cAc KHONG GIAN HAM.

f)~t 0 = (0,1),ta b6 qua dinh nghia cac khong gian ham thong d\lng:

em (0), U (0), Hm (0), wm,p (0).

V 6i m6i ham v ECO(0) ta dinh nghia

(2.1)

(

I

J

I/2

Ilvll=IIvIIH = fr2v2(r)dr

va dinh nghiaH la d~ydu hoa cua khong gian CO(0) d6i v6i chufin11.11.

TuO'ng t\1',v6i m6i ham v E cl (0), ta dinh nghia

(2.2) IlvIIv =~lv112 +Ilvft2

va dinh nghia V la d~ydu hoa cua khong gian cl (0) d6i v6i chufin IHlv'

Chli y r~ng chufin 11.11 va IHlv1~n luqt: duQ'c sinh ra tit cac tich vo hu6ng

(2.3)

I

(u, v) = fr2u(r)v(r)dr,

0

(2.4)

I

(u,v)+ (u', v') = fr2[u(r)v(r) + u'(r)v'(r)Vr.

0

Khi do ta dS dang chung minh r~ng H, V la cac khong gian Hilbert.

BB d~ 2.1 V alf9'cnhung lien t¥c va nlim tru m(lt trang H.

Chung minh DS th~y r~ng Ilvll::;Ilvllvv6i mQi v E V, do do phep nhling tit V vao H la lien t\lc M~t khac CI(O)c Vva tru m~t trong H, do do V tm m~t trong H.

H9c vien Nguyln Vii Dziing

KhilO sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 6

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

IIvll2 ~ ~(V2(1)+ Ilvf )2

Iv(l)! ~ 2/Jvllv'

rlv(r)1 ~ F5llvllv'

v2(l),;ellv'll' +(3+ ~)vI12

Chung minh

i/ Nghi?m lqi (2.5).

IIvll2 =fr2v2 (r)dr =~v2 (1)- 2 fr3v(r)v'(r)dr

Ta suy ra

~ -v2 (1) + - fr2v(r)v'(r)dr

~ -v2(1) +-lIvllllv'll3 3

~~v2(1)+~~JvII2 +lIvf)3 3

21Jv112~ ~(V\l) +llvr)2

Do do (2.5) duQ'c chUng minh

ii/ Nghi?m lqi (2.6).

Taco

v2(1) =f(r3v2(r)) dr = f(3r2v2(r)+2r3v(r)v'(r)}ir

~ 31Jv112 + 21Jv11llv'll

~ 31Jv112 +IJvII2 + Ilvf

HQcvien Nguyln Vu Dzung

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong mi~n hinh cdu

trang 7

~ 4~ivII2+Ilvf )=4Iiv11~.

V~y

Iv(1)1 ~ 2livllv'

Do do (2.6) duQ'c chUng minh

.iill Nghi?m Igi (2.7)

Taco

2 fS2V(S)V'(s)ds=v2 (s) - r2v2 (s) - 2 fSV2 (s)ds

~ v2 (1) - r2v2 (r).

Ta sur fa

1

r2v2 (r) ~ v2 (1) - 2 fS2V(S)V'(s)dS

r

1

~ v2 (1) + 2 ~r2v(r)v'(r)ldr

0

~ v2 (1) + 21iv11llv'll

~ v2 (1) + IIvl12+ Ilvf

~ 5~ivII2+ Ilvf )

V~y

rlv(r)1 ~ Fsllvllv'

Do do (2.7) duQ'c chung minh

4il Nghi?m Igi (2.8)

Theo chung minh (2.6) ta co

v2 (1) ~ 311vl12+ 21iv11llv'll

~ 31iv112 + :IIvl12 + Bllv'112

H9C vien Nguyin Vii Dziing

KhilO sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trang miJn hinh cdu

trang 8

~(3+ ~)vI12+£llvf

Do do (2.8) duQ'cchUngminh.

V <::;H <::;V', vai cac phep nhung lien t~c va nlim tru m(Lt.

Chung minh Trn6c h~t ta chUng minh r~ng H nhung trong V' Vi V<=.H,

v6i mQi WE H, anh X?

Tw : V ~ IR

1

V H Tw(v) =(w,v)=fr2w(r)v(r)dr

0

la tuy~n tinh lien t\lCtren v, tuc la TwE V'.

Ta xet anh X?

T:H~V'

wHT(w)=Tw'

Khi do ta co

(Tw,v)V,v, = (w,v), VVEV, VwEH.

Ta se chung minh toan tu T thoa cac tinh chfitsail:

(i) T: H ~ V' la dO'nanh,

(ii) IITwllv'~ IHI, VWE H,

(iii) T(H) = {Tw: WEH} la tru m~t trong V'.

Chung minh (i) DS thfiy r~ng T tuy~n tinh Th~t v~y, n~u Tw= 0, thi

(W,v) = (Tw,v)v',v =0, VVEV.

Do Vtru m~t trong H, nen ta co

(w,v)=O, VvEH

Do do W= o V~y T la dO'llanh, nghla la, mQt phep nhung tir H vao V'.

H9C vien Nguyln Vi1Dzi1ng

KhilO sat phlfang trinh parabolic phi tuyin

trang miJn hinh cdu

trang 9

IITwllv'= sup I(Tw,v)1= sup I(w,v)1

VEV, JIvIlv =\ VEv,llvllv=\

~ sup 11~111vII

VEV,llvIIv=\

~ sup 11~lllvIIv=II~I.

VEv,l/vllv=\

Chung minh (Hi) Ta chung minh r~ng m6i phiSm ham tuySn tinh lien t\lC

tren V' va tri~t tieu tren T(H)thi cling tri~t tieu tren V' Coi L E (V')' , vai

(L,Twlv;v'= 0, VTwE T(H). Ta chUng minh r~ng L =O Th?t V?y, do V phim x~, tuc 18.(V')'= V, theo nghla

(*) VL E (V')', 31 E V: (L,z)v-,v' = (z,/)v',v' Vz E V'.

L~y z = TwE V', ta co

0 = (L,Tw)v",v'= (Tw,l)v',v = (w,/)v',v' VWEV.

Do V tru m~t trong H, nen ta co

(w,/) = 0, VWEH.

V~y 1 = O Theo (*) ta co

(L,z) v,v " ,=(z,/) v, ' v =0, VZEV'.

V~yL tri~t tieu tren V'.

Chu thich 1.1 Tir b6 dS (2.3) ta dung ky hi~u tich vo huang (-,.) trong H d@chi c~p tich d6i ng~u giua V va V'.

B8 d~ 2.4 Phep nhung V C;H fa compact.

Chung minh cua b6 dS 2.4 co th@tim th~y trong [7]

Chu thich 1.2 Tir b6 dS 2.2 suy ra r~ng (v2(1)+I/v'I12t2 vaIlvllv 1a hai chuAn

tuang duang tren V va ta co

(2.9) Hllvllv~ ijlvf +llv(l)llz tz ~F5llvllv'Vv E V.

Th~t v~y, b~t d~ng thuc thu nh~t cua (2.9) co duQ'c 1ado:

H9C vien Nguyln Vii Dziing

Khao sat phuang trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh c6u

trang 10

~~~Ivf + Ilv(1)112)

2 Bat d~ng thuc con l<;licua (2.9) duQ'c suy ra tir:

Ilvf +llvl12~llvf +41Iv"~~51Ivll~.

Ta cling chli yr~ng

(2.10) limrv(r)=O, VveV.

r-+O+

(xem [1] b6 dS 5.40, p.128)

M~t khac, do HI (c,l) C CO([c,l]), 0 < c < 1 va

(2.11) cllvIIHI(e,l)~ IlvIIv'Vv e V, 0 < c < 1

Ta suy ra r~ng

(2.12) VI[e,l]eCO([c,l]), Ve, O<c<1.

Tir (2.10), (2.12) ta suy ra r~ng

(2.13) rveCO([O,l]), VveV.

Cho x la kh6ng gian Banach thgc d6i v6i chuftn IHlx'Ta ky hi~u LP(O,T;X),

1 ~ P ~ 00, la kh6ng gian cac lap tuang duang chua ham u: (O,T)~ X do

duQ'c, sao cho

T

fllu(t)II:dt < 00, 1 ~ P < 00,

°

hay

:3M > 0: Ilu(t)llx~ M, a.e., t e (O,T), v6i P=00.

Ta trang bi LP (O,T;X), 1 ~ P ~ 00,b6i chuftnnhu sau

(

T

)

IIP

IlullLP (O,T;X) = fllu(t)II: dt , v6i 1 ~ P < 00,

H9C vien Nguyln Vii Dzfmg

IluIILOO(O,T;X)=ess supllu(t)llxO<t<T

==inf{M > a: Ilu(t)llx5,M, a.e., t E (a,T)}, v6i p =00.

BB d~ 2.5 (Lions [3]) Y(a,T;X), 15,p 5,00 fa kh6ng gian Banach.

BB d~ 2.6 (Lions [3]) GQi X' fa d6i ngdu ciLa X Khi do y' (a,T;x'), vai

1 1

f ' ~~ ~ , P

-+ -;- = 1, 1< p < 00, a uOl ngau cua L a,T;X} non nlfa, neu X p an X(l

thi Y (a,T;X) cf1ngphiln x(l.

,

BB d~ 2.7 (Lions [3]) (L1(a,T;X)) = D>(a,T;X').

Hon nfra, cae kh6ng gian L1(a,T;x),L"'(a,T;X') kh6ng phan X(l.

Chti thieh 2.3 NSuX = LP(Q) thi y(a,T;X)= LP(Qx (a,T)}

11.3 PHAN BO CO GIA TRJ VECTO

Binh nghia 2.1 Cho X hi mQt khong gian Banach th\lc MQt anh X<;ltuySn

tinh lien t\lC tll D((a,T)) v~LOX gQi la mQt (ham sur rQng) phan b6 co gia trj trong X T~p cac phan b6 co gia trj trong X ky hi~u la

D'(a,T;X)= L(D(a,T);X)={f: D(a,T)~ X / f tuySn tinh, lien t\lc}.

Chti thieh 2.4 Ta ky hi~u D(a,T) thay cho D((a,T)) ho~c c;((a,T)) dS chi khong gian cac ham s6 th\lc khii vi vo h<;lnco gia compact trong (a,T). Binh nghia 2.2 Cho f E D'(a,T;X} Ta djnh nghla d<;loham ~ theo nghla phan b6 cua f b6i cong th(rc

(2.14) (~,rp)=-(f,:~), 'VrpED(a,T).

Cae tinh eh~t.

(i) Cho v E Y (a,T;X) Ta lam tuang (rng v6i no b6i anh x<;l Tv :D(a, T) ~ X

F~'~N

001206

nhu sail:

Khao sat phlfO'ng trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 12

T

(2.15) (Tv,rp) = fv(t)rp(t)dt, VrpED(a,T).

0

Ta co thS nghi~m l~i r~ng TvE D'(a,T;X} Th~t v~y:

0) Anh x~ Tv: D(a,T) ~ X la tuySn tinh.

OJ) Ta nghi~m l~i anh x~ Tv : D(a,T) ~ X la lien t\lc.

Gia sir {rpJc D(a,T), sao cho rpj~ a trong D(a,T) Ta co:

(2.16)

I/(Tv,rpj)1Ix =IlfV(t)rp/t)dt x ~ ~lv(t)rpj(t)lIxdt

,; (plv(t)II~dtr(~Iq>j (t )II~dtr' > 0, J > +00,

Do do(Tv,rpj)~ a trong X khi j ~ +00.V~y TvED'(a,T;X}

(ii) Anh x~ v ~ Tv la mQt don anh tuySn tiOOtir LP(a,T;X) vao D'(a,T;X}

Do do, ta co thS d6ng nhftt T"= v Khi do ta co kSt qua sau:

D~o ham trong LP(a,T;X)

Do b6 dS 2.8, ph~n tir IE LP(a,T;X) ta co thS coi I va do do dl la ph~n tir

dt

cua D'(a,T;x} Ta co cac kSt qua sau.

BA d~ 2.9 (Lions [3]) Niu IE L1(a,T;X) va I' E L1(a,T;X), thi I bling hdu

hit vai m(Jt ham lien t1:lC tic [a,T]~ X.

Chung minh bA d~ 2.9: Chung miOOb~ng OOiSubu6c:

t

0

T ' hJ

bJ

Th"t " ruac et, ta c ung mIll rang dt = dt = I t eo ng Ia p an o. ~ v~y,

VrpE D(a,T), ta co:

H9C vien Nguyln Vii Dziing

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 13

(2.17)

=

K

t

J

0 0 dt 0 s dt

T

= fl'(s)rp(s)ds = (I',rp).

0

V?y

:~ = ~ = I' trong D'(O,T;X).

Th?t V?y,gia su v= H - f Ta co v' = 0 theo nghia phan b6 (do bu6c 1) Ta

se chung minh r~ng v= C theo nghia phan b6 Th?t V?y v' = 0 tuang duang v6i

T

(2.18) fv(s)rp'(s)ds=O, VrpED(O,T).

0

Coi rpE D(O,T), ta co thS viSt rp du6i d~mg rp=Arpo+ <1>', trong do

<I>E D(O,T), CPo thoa frpo(s)ds = 1vaA = frp(t)dt.

T

Th?t V?y, vi f(rp(t) - Arpo(t))dt= 0 lien nguyen ham cua rp(t) - Arpo(t) tri~t tieu

0

t

t~i t=0 sethuQc D(O,T) ChQn <I>(t) = f(rp(s) - Arpo(S))ds trong (2.18), thay rp'

0

b6i <1>',ta thu duQ'c:

T

fv(s)<I>'(s)ds = 0, v rpE D(O,T),

0

hay

T

fv(s )[rp(s) - Arpo(s)}is = 0, V rp E D(O, T),

0

H9C vien Nguyln Vu Dzung

KhiLOsat phuang trinh parabolic phi tuyin

trong mi~n hinh cdu

trang 14

hay

(2.19) fv(s)lp(s)ds = A fv(s)lpo(s)ds = flp(t)dt fv(t)lpo(t)dt, Vlp E D(O,T).

T

D~t C = fv(t)lpo(t)dt, ta suy tu (2.19) dng

0

T

f(v(s) - C}P(s)ds = 0, VlpE D(O,T).

0

V~y

v(t) =C trong D'(O,T;X).

T

Bmyc 3: Ta sir d\lng tinh ch~t sau: NSu WE Ll(O,T;X) va fw(t)lp(t)dt= 0,

0

Vlp E D(O,T), thi wet)==0 v6i h~u hSt tE (O,T).DiSunay co dugc 1ado anh

X(;lw H Tw tu Ll(O,T;X) vao D'(O,T;X) 1a dan anh (tinh ch~t (ii) 6 tren).

Tu cac bu6c 1, 2 ,3 6 tren ta suy ra r~ng I =H + C theo nghia phan b6.

Tuong tv ta co b6 dS sau:

B6 d~ 2.10 (Lions [3]) Niu IE LP(O,T;X) va I' E LP(O,T;X) thi I bang

hdu hit vai m(Jt ham lien t1;lCtit [0,T] ~ x.

11.4.BO DE VE TINH COMPACT CUA LIONS [3].

Cho ba khong gian Banach Xo, Xl, X v6i Xo C X C Xl sao cho: (2.20) Xo, Xl 1a phan X(;l,

(2.21) Phep nhung X0C X 1a compact.

V 6i 0 < T < 00, 1 ~ Pi ~ 00, i = 0, 1 ta d~t

(2.22) W(O,T)= {vELPO(O,T;Xo):V'ELPI(O,T;Xt)}

Ta trang bi W(O,T) b6i chu€tn

(2.23) Ilvllw(O,T)=Ilvlleo(O,T;Xo) +llvtPl(O,T;xd'

Khi do W(O,T) 1am9t khong gian Banach HiSn nhien W(O,T)c LPo(0,T;X).

H9C vien Nguyln Vil Dzilng

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 15

Ta cling co kSt qua sau day lien quail dSn phep nhung compact

B8 d~ 2.11 (BE>dS vS tinh compact cua Lions [3])

Vbi giG thiit (2.20), (2.21) va niu 1<Pi <00, i = 0, 1, thi phep nhung

W(O,T)4LPo(O,T;X) la compact.

Chung minh bE>dS 2.11 co thS tim th~y trong Lions [3], trang 57

11.5.BO DE VE SV'HQI TV YEU TRONG Lq (Q).

BE>dS sau day lien quail dSn S\fhQi t\1ySu trong Lq (Q).

B8 d~ 2.12 (Xem Lions [3], trang 12)

Cho Q la tqp ma hi chqn cila IRN va Gm, G E Lq(Q), 1 < q < 00, saD cho

IIGmtq(Q)~ C, trong ao C la hlmg s6 aQc lqp vbi m,

va

Gm~ G a.e (r,t) trong Q.

Khi ao

Gm~ G trong Lq(Q)yiu.

11.6.BO DE GRONWALL.

BE>dS cu6i cling trong ph~n mlY lien quail dSn mQt b~t phuong trinh tich phan va no r~t c~n thiSt cho vi~c danh gia tien nghi~m trong cac chuang sau.

B8 d~ 2.13 (BE>dS Gronwall)

GiGsir I: [0,T]~ IR la ham khGrich, kh6ng am tren [0,T] va thoa bat &!ing

thUG

t

Jet) ~ c1 + Cz fl(s)dS, vbi hllU hit t E [o,Tl

0

trong ao c1' Cz la cac hlmg s6 kh6ng am Khi ao

J(t) ~ C1eC2t, vbi hdu hit t E [O,TJ

H9C vien Nguyin Vii Dzilng

KhilO sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trang miJn hinh cdu

trang 16

Ta cling dung cac ky hi~u u(t), u'(t) = uJt), ur(t) = Vu(t), urr(t)dSchi

u(r,t), -(r,t),ot -(r,or t), ~(r,t),or Ian IuQ't

H9C vien Nguyln Vii Dziing