Xấp xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên theo giải pháp thích nghi

Sự khác biệt giữa các giải pháp thích nghi vàkhông thích nghi là một khía cạnh quan trọng của quy hoạch ngẫu nhiên.Trong các bài toán ngẫu nhiên, tính thích nghi thường được nghiên cứutr

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam 5

1.1.1 Bài toán chiếc túi cổ điển 5

1.1.2 Thuật toán tham lam 6

1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất 8

1.2.1 Các khái niệm 8

1.2.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 9

1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện và martingale 11

1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 12

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 12

1.3.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên 14

1.3.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải 15

Chương 2 Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên 20

2.1 Bài toán 20

2.1.1 Các ký hiệu và bài toán 20

2.1.2 Giải pháp thích nghi và xác định cận 20

2.2 Các kỹ thuật xấp xỉ của giải pháp thích nghi 25

2.2.1 Kỹ thuật 32/7-xấp xỉ 25

2.2.2 Kỹ thuật (2+ε)-xấp xỉ dùng cho đồ vật nhỏ 302.3 Giải pháp thích nghi có trật tự và tập ổn định 362.3.1 Đặt vấn đề 362.3.2 Thuật toán xấp xỉ cho bài toán với mô hình tập ổn định 37Kết luận 40Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũngnhư thực tiễn Do vậy, việc nghiên cứu bài toán chiếc túi ngẫu nhiên đãđược nhiều nhà toán học quan tâm và đưa ra nhiều hướng tiếp cận khácnhau Các bài báo khoa học của các nhà khoa học, mà gần đây chúngtôi được tiếp cận tới, chẳng hạn như B C Dean, M X Goemans and J.Vondrák (2008), A Gaivoronski, A Lisser and R Lopez (2008), A Lisser,

R Lopez and H Xu (2010), Anand Bhalgat (2011),

Trong vài năm gần đây, một số luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, chuyênngành Xác suất thống kê toán học cũng đã đề cập tới bài toán này Chẳnghạn: Võ Thị Tố Uyên (2009), Ngô Thị Tình (2011), Hoàng Thị Lý (2012).Khái niệm về một giải pháp thích nghi là khá phổ biến trong các tài liệu

về lập kế hoạch ngẫu nhiên Sự khác biệt giữa các giải pháp thích nghi vàkhông thích nghi là một khía cạnh quan trọng của quy hoạch ngẫu nhiên.Trong các bài toán ngẫu nhiên, tính thích nghi thường được nghiên cứutrong bối cảnh tối ưu chỉ một ràng buộc, đó là bài toán "chiếc túi" Có thểdẫn ra ví dụ về một giải pháp thích nghi, khi xếp "hàng" vào "chiếc túi"bằng thuật toán tham lam, sẽ cho ta một phương án tốt nếu biết lựa chọn

và điều chỉnh thứ tự sắp xếp

Trong một kết quả gần đây, tác giả B C Dean đã cho thấy rằng cácnghiên cứu đó thường không quan tâm tới mục tiêu cụ thể về tính thíchnghi, mà ông và nhiều tác giả khác đã xem xét trong công trình của mìnhtrước đây Khi tiếp cận tới các kết quả của ông cùng cộng sự từ bài báo Xấp

xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên: Lợi ích của thích nghi (Approximating theStochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity), công bố 2008[5], chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Xấp xỉ bài toánchiếc túi ngẫu nhiên theo giải pháp thích nghi"

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trìnhbày bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam giải nó; nêu nhữngkhái niệm và kiến thức cở sở của lý thuyết xác suất; bài toán quy hoạchtuyến tính nguyên ngẫu nhiên và bài toán chiếc túi ngẫu nhiên, các hướngtiếp cận để giải nó Các kiến thức chuẩn bị này nhằm phục vụ cho việcnghiên cứu của đề tài

Chương 2 Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ bài toán chiếc túingẫu nhiên Đây là nội dung chính của luận văn Trước hết chúng tôi nêubài toán, từ đó đưa ra giải pháp thích nghi Tiếp theo trình bày các nộidung xấp xỉ giải bài toán đã cho

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.Trần Xuân Sinh, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

và cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng

đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.Cũng nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cô giáo trongkhoa Toán, Phòng Sau Đại học trường Đại học Vinh Tôi xin bày tỏ lờicảm ơn tới bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận tiện cho tôi hoànthành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.Chúng tôi mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam

Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán chiếc túi cổ điển Đây là lớpbài toán thuộc lớp NP-khó Tuy nhiên, cho tới nay đã có rất nhiều thuậttoán giải Nhưng hầu hết các thuật toán chỉ dừng lại ở nghiệm gần đúng(ngoại trừ có thêm một số giả thiết kèm theo) Để phục vụ cho việc nghiêncứu của đề tài, chúng tôi chỉ đề cập tới thuật toán tham lam

1.1.1 Bài toán chiếc túi cổ điển

Cho n đồ vật, trọng lượng tương ứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị

là ci (i = 1, n) Ta hãy xếp đồ vật vào túi có tải trọng là b, sao cho tổngtrọng lượng không vượt quá b và đạt giá trị lớn nhất

Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:

Khi thông tin về dữ liệu của bài toán phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì ta

có bài toán chiếc túi ngẫu nhiên

1.1.2 Thuật toán tham lam

1.1.2.1 Sơ đồ chung của phương pháp

a  Đặc điểm chung của thuật toán tham lam

Người ta chỉ ra rằng đặc điểm chung của thuật toán tham lam là:

+ Thực hiện giải nhiều bài toán khác nhau theo một trật tự nhất định.+ Trên cơ sở thuật toán đang thực hiện, đưa ra kết quả trực tiếp và dứtđiểm cho bài toán đang xét

+ Trong tương lai sẽ không xem xét lại quyết định trong quá khứ.Với đặc điểm này thuật toán dễ đề xuất, thời gian tính nhanh nhưngthường không cho kết quả đúng

Ký hiệu M là tập phương án, S là tập lời giải gồm hữu hạn thành phần,xuất phát ta lấy S = ∅ Giả sử lời giải của bài toán cần tối đa n thànhphần Khi tập S chưa đủ n thành phần của bài toán, ta gọi là tập lời giải

Trong trường hợp thuật toán không cho lời giải tối ưu, ta chỉ cần đưa

ra một phản ví dụ

Trong trường hợp thuật toán cho lời giải tối ưu, ta cần phải chứng minh.Người ta đã chứng minh định lý sau đây, thể hiện tính tối ưu của thuậttoán tham lam

1.1.2.2 Định lý Thuật toán tham lam cho nghiệm tối ưu, nếu mỗibước việc chọn được thực hiện tối ưu

1.1.2.3 Thuật toán tham lam giải bài toán chiếc túi cổ điển

Bước chuẩn bị Sắp lại (đánh số lại) các đồ vật theo thứ tự thoả mãn

c1

a1 ≥ c2

a2 ≥ ≥ cn

an.Bước 1 Nếu a1 ≥ b, thì bỏ qua đồ vật thứ nhất, xét đồ vật thứ hai.Ngược lại, lựa chọn đồ vật thứ nhất, với trọng lượng a1;

Gán b := b − a1;

Quay trở lại bước 1 với đồ vật thứ hai

Thuật toán được nêu như trên thể hiện rõ "tính tham lam" của ngườixếp hàng vào túi Tuy nhiên, sau đây là phản ví dụ cho thấy thuật toánnêu trên chưa cho phương án tối ưu

Xét bài toán với n = 3; b = 19

Tuy nhiên, nếu chọn xếp đồ vật thứ 2 và thứ 3 thì thì tổng trọng lượng

là 9 + 9 = 18 < 19 và tổng giá trị là 16 + 10 = 26 Đó cũng chính làphương án tối ưu

Như vậy thuật toán nêu trên là không tìm được phương án tối ưu

Tuy nhiên, thuật toán nêu trên, nếu thực hiện khi tạm bỏ qua điều kiệnnguyên của biến xi thì cho kết quả giá trị tối ưu tương ứng sẽ là cận trêncủa giá trị hàm mục tiêu f Do vậy, nó sẽ là cơ sở để giải bài toán cái túitheo phương pháp "nhánh và cận".

1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất

Trong mục này chúng tôi chủ yếu tham khảo tài liệu [1]

A2) Nếu A ∈ A thì ¯A = Ω\A ∈ A,

A3) Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A)

 Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ-đại số nếu nó là đại số và thoả mãnA4) Nếu An ∈ F , ∀n = 1, 2, thì

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi là

độ đo xác suất trên F nếu

• Không gian đo và không gian xác suất

Cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo

(Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất, trong đó Ω 6= ∅ bất kỳ, F làmột σ-đại số các tập con của Ω.

• Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo, R = [−∞; +∞] Hàm thực X =X(ω) xác định trên Ω lấy giá trị trên R gọi là hàm F - đo được hoặc gọi

là biến ngẫu nhiên suy rộng nếu

{ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B) ∈ Fvới mỗi B ∈ B(R) (trong đó B(R) là σ - đại số các tập Borel của trục thực

R )

Nếu

X : Ω → R = (−∞; +∞)thì X được gọi là biến ngẫu nhiên

• Hàm Borel

Hàm ϕ : (Rn, B(Rn)) → (R, B(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nó là hàmB(Rn) - đo được, nghĩa là

ϕ−1(B) ∈ B(Rn),với mỗi B ∈ B(R)

• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá trị trên

R Hàm số FX(x) = P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối của biếnngẫu nhiên X

1.2.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

Trên cơ sở định nghĩa kỳ vọng và phương sai, chúng tôi sẽ nêu một sốtính chất của chúng

• Định nghĩa 1 Kỳ vọng hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên

X là số EX, được xác định bởi

EX =

Z

Ω

XdP

• Định nghĩa 2 Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX(hay varX) là một số được xác định bởi

DX = E(X − EX)2.Khi đó

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số λ, ta có E(λX) = λEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

ElimXn ≥ limEXn,Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn

8 (Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY <

∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX, n → ∞

9 (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X ≥ 0 h.c.c Lúc đó với mọi a > 0,

11 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY

• Các tính chất của phương sai

1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện và martingale

• Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất X : Ω → R là đại lượng ngẫunhiên và G là σ-đại số con của F Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y được gọi

là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-đại số G nếu

(i) Y là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được,

(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

và thường ký hiệu là Y = E(X|G)

• Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất (Xn, n ∈ N) là dãy cácđại lượng ngẫu nhiên (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số Khi đó dãy(Xn, Fn)n∈N được gọi là martingale nếu

(i) (Xn, Fn)n∈N là dãy phù hợp,

(ii) E Xn < ∞, ∀n ∈ N,

(iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N thì E(Xn|Fm) = Xm h.c.c

1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên

Trong mục này chúng tôi trình bày một cách khái quát về một số lớpbài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng

Rn, với cTx = Pn

j=1cjxj; b = (b1, b2, , bm) ∈ Rm; A = (Aj) = (aij)m×n,với Ax = Pnj=1aijxj; hai vectơ (ma trận) a = (a1, a2, , am) và b =(b1, b2, , bm) được sắp thứ tự a ≤ b nếu ai ≤ bi, ∀i = 1, m

Bài toán quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu có các phần tử của matrận A, b, c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyếntính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program) Để nghiên cứu bài toán quyhoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cáchtiếp cận khác nhau

Thông thường, người ta xét tới các trường hợp:

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu không cần thay đổi thì đó là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên một giaiđoạn (chỉ cần một lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại một lần thì đó là bài toán quy hoạch ngẫunhiên hai giai đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương ántối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại hơn một lần thì đó là bài toán quy hoạchngẫu nhiên nhiều giai đoạn (cần hơn hai lần xét tới tập phương án) Bàitoán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được xét đến thông qua bàitoán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn.

Bài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là

Dy thể hiện độ lệch giữa Ax với b và q = (q1, q2, , qn) gọi là vectơ phạtbởi tác động của biến ngẫu nhiên z.e

Giai đoạn thứ nhất, biến x là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin cóđược từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai, biến y là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ x của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giảibài toán

min{cTx + E(qTy(ez))}

với điều kiện

1.3.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án có một số (hoặc tấtcả) các toạ độ của biến nhận giá trị rời rạc thì ta có bài toán quy hoạchrời rạc ngẫu nhiên Trong lớp các bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên,chúng ta quan tâm tới lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Xét các bài toán quy hoạch nguyên dạng

min

x∈M c(x) := E[C(x, ω)] ,trong đó ω là một vectơ ngẫu nhiên có phân phối xác suất cho trước; M

là một tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc Rn; C(x, ω) là một hàmlấy giá trị thực của hai biến vectơ x và ω; E[C(x, ω)] là giá trị kỳ vọng củaC(x, ω) Chúng tôi giả thiết rằng hàm giá trị kỳ vọng c(x) được xác định

rõ và với mỗi x ∈ M hàm C(x, ) thì E[|C(x, ω)|] < ∞

Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới các bài toán với những đặcđiểm sau:

1) Hàm giá trị kỳ vọng c(x) := E[C(x, ω)] không thể viết được trongmột dạng tường minh hoặc giá trị của nó không thể tính toán được mộtcách dễ dàng

2) Hàm C(x, ω) là dễ tính toán đối với x và ω cho sẵn

3) Tập hợp M các phương án, mặc dầu hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậycách tiếp cận bằng liệt kê là không thể thực hiện được

Ta đã biết rằng các bài toán tối ưu rời rạc là bài toán NP-khó Một khókhăn ở đây là hàm mục tiêu c(x) có thể phức tạp hoặc khó để tính toánngay cả với phương pháp xấp xỉ Bởi thế các bài toán tối ưu rời rạc ngẫunhiên là thực sự khó Chúng ta có thể xét các bài toán tối ưu rời rạc ngẫunhiên trong đó nghiệm với sai số cho phép là đủ nhỏ để xác định công thứcước lượng của c(x) đối với mỗi x.

Quan tâm tới phương pháp này có Hochberg, Tamhane, Bechhofer, ner, Goldsman, Futschik và Pflug Một cách tiếp cận khác đã được Gelfand,Milter, Alrefaei, Andradattir, Fox, Heine, Gut - jahr, Pflug và Homem-de-Mello nghiên cứu, bao gồm các phương pháp thích nghi tốt để đếm các sựkiện mà giá trị hàm mục tiêu không được biết đến một cách chính xác Mộtcách tiếp cận nhánh và cận để giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Sant-đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev, Ruszczynski, và Pflug Còn Schultz

và Stougie đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch nguyênngẫu nhiên bằng cách nhờ tới một hệ cơ sở rút gọn của cơ sở Grobner.1.3.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giảiNhư đã trình bày trong mục 1.1.1, khi thông tin về dữ liệu của bài toán

cổ điển phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì ta có bài toán chiếc túi ngẫu nhiên.Cũng như đã trình bày trong mục 1.3.1 và 1.3.2 bài toán chiếc túi ngẫunhiên thuộc lớp các bài toán đã nêu Tuy nhiên, tùy theo sự phụ thuộc dữliệu của bài toán mà người ta nghiên cứu nó theo các cách tiếp cận khácnhau Sau đây chúng ta hãy nêu một số cách tiếp cận giải

1.3.3.1 Bài toán với ràng buộc ngẫu nhiên

Do ràng buộc với thông tin về dữ liệu ai, i = 1, 2, , n không rõ ràng,nên điều kiện buộc Pn

i=1aixi ≤ b không được xác định, phụ thuộc vào sựxuất hiện có tính ngẫu nhiên của ai

Giả sử ai, i = 1, 2, , n phụ thuộc biến ngẫu nhiên wi, i = 1, 2, , n

Ký hiệu w = (wi) lấy giá trị trên W ⊆ Rn+; độ đo xác suất P của W làP(w ∈ W ) = P(W ) = 1 Khi đó bài toán chiếc túi ngẫu nhiên trở thành

bài toán chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên

trong đó ε > 0, đủ bé cho trước nào đó

Bài toán nêu trên cũng thường được ký hiệu là bài toán (SKP ) - tic Knapsack Problem

Stochas-Như vậy bài toán chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x∗ ∈ {0; 1}n

với xác suất P



Pn i=1wixi ≤ b ≥ 1 − ε sao cho đạt max f Bài toán đặt ra không phải dễ dàng duyệt hết các phương án khi n khálớn Vì vậy, người ta cần khai thác các tính chất của nó nhờ vào việc biếnđổi tương đương đưa bài toán đã cho về bài toán quy hoạch tuyến tính với

dữ liệu đã biết

1.3.3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ

Trong trường hợp tổng quát, người ta phải tìm đến các phương phápxấp xỉ, tức là xây dựng dãy các phương án tốt dần Quá trình sẽ dừng lạikhi độ lệch của giá trị kỳ vọng hàm mục tiêu xấp xỉ với cận trên của nóvới độ chính xác cần thiết Sau đây, chúng tôi trình bày hai phương phápđiển hình là phương pháp tụt và phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên.a) Phương pháp tụt

Xét bài toán quy hoạch

minf (x) : x ∈ M ,trong đó f (x) là hàm khả vi, xác định trên tập lồi đóng M , thông thường,

ta xét hàm f (x) thuộc lớp C1,1(M ) (hàm f (x) khả vi và đạo hàm thoảmãn điều kiện Lipschitz trên M ) Quá trình xây dựng dãy điểm xk gọi là

giảm dư nếu xk ∈ M và f (xk+1) ≤ f (xk), k = 0, 1, Từ nay về sau, ta giảthiết rằng tập các phương án tối ưu

M∗ = x∗ ∈ M : f (x∗) = min

x∈Mf (x) 6= ∅,đồng thời cũng giả thiết rằng xk ∈ M/ ∗, (vì trong trường hợp ngược lại xk

là phương án tối ưu cần tìm và quá trình giảm dư kết thúc) Hướng s ∈ Rnchấp nhận được từ x ∈ M được gọi là hướng tụt từ x (hay là giảm từ x )nếu f (x + λs) ≤ f (x), với mọi λ ∈ [0, λ0], λ0 > 0

Lược đồ tổng quát

Bước xuất phát Chọn xấp xỉ ban đầu x0 ∈ M

Bước k, (k = 1, 2, ) Tại điểm xk, ta chọn hướng tụt (−sk) (Chẳnghạn chọn sk = xk− yk, trong đó yk ∈ M được chọn sao cho f (yk) < f (xk)).k.1 Đặt

wk = min

β≥0 f (xk − βsk) = f (xk− βksk)

k.2 Lấy λk ∈ (0, 1] sao cho

f (xk − βksk) ≤ (1 − λk)f (xk) + λkwk (∗)k.3 Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + 1 theo công thức

Theo cách xác định wk thì wk ≤ f (xk − βsk) với mọi β ≥ 0, tính riêng

β = 0, ta được wk ≤ f (xk) Đồng thời do λk > 0 nên ta suy ra

f (xk+1) ≤ f (xk)

Điều đó chứng tỏ hướng chấp nhận (−sk) là hướng tụt từ xk.

Chúng ta có thể thấy rằng các cách chọn ngẫu nhiên hướng chấp nhậnđược (−sk) là hướng tụt như đã nêu thì quá trình giảm dư là hội tụ.Ngoài ra, một trong quá trình xấp xỉ ấy là sử dụng thuật toán thamlam kết hợp với giải pháp thích nghi Phương pháp này sẽ được trình bàytrong chương 2

b) Phương pháp thử thống kê

ý tưởng của phương pháp thử thống kê (hay phương pháp Monte Carlo)

là phương pháp số giải các bài toán bằng cách mô hình hoá các biến ngẫunhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới ý tưởng xây dựngmột quá trình ngẫu nhiên có tất cả những đặc tính cần thiết của hệ thốngcần nghiên cứu Phương pháp thử thống kê có thể áp dụng được ở mọi nơi,miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay một phần của lýthuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dung tiền định chặtchẽ

Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:

- Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiêncứu;

- Mô hình hoá các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;

- Giải các bài toán của lý thuyết ước lượng thống kê

Giá trị thực tiễn của phương pháp thử thống kê là nó thay những phépthử bởi các kết quả tính toán dựa trên các biến ngẫu nhiên Bởi vậy, cóthể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiên cứu,

mà không cần dùng các phương pháp mô tả sự thay đổi của quá trình đãcho Bài toán cơ bản của phương pháp thử thống kê là xác định xác suấtcủa các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiênqua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần

Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử thống kê là Định lý giớihạn trung tâm Từ Định lý giới hạn trung tâm suy ra rằng khi tăng số

phép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên.

Như vậy, thực chất của phương pháp thử thống kê là chương trình đểtiến hành một dãy các phép thử ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong thực tếthường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các biến ngẫu nhiên cóphân phối đều trên một miền nào đó Có thể nhận được số ngẫu nhiên ởphương pháp thử thống kê theo một trong những phương pháp đã biết.Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử thống kê là để nhận đượccác đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cầnquá nhiều phép thử

Vì vậy, phương pháp thử thống kê thường chỉ áp dụng được với các bàitoán có số ẩn không lớn lắm (số ẩn n không lớn hơn 30)

Chương 2

Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ

bài toán chiếc túi ngẫu nhiên

2.1 Bài toán

2.1.1 Nêu bài toán

Một chiếc túi có thể chứa b đơn vị kích thước, có thể xếp n đồ vật khácnhau, ta ký hiệu [n] = {1, 2, , n} là tập hợp các chỉ số sử dụng cho đặctrưng bởi kích thước và giá trị của mỗi đồ vật Với mỗi đồ vật i ∈ [n], gọi

vi ≥ 0 là giá trị và si ≥ 0 là kích thước Ban đầu, chúng ta coi giá trị vi

là tất định, trong khi kích thước si là những biến ngẫu nhiên độc lập, vớiphân phối tuỳ ý Tuy nhiên, với sự phụ thuộc kích thước si một cách ngẫunhiên sẽ kéo theo giá trị vi ngẫu nhiên

Chúng ta giả thiết rằng các biến ngẫu nhiên vi độc lập nhau và độc lậpvới cả các biến si Trong trường hợp này ta chỉ cần thay thế mỗi một biếnngẫu nhiên vi bằng kỳ vọng của nó

Trong bài toán được nêu sau này chỉ xem xét giá trị của vi là tất định.Ngoài ra, chúng ta giả thiết rằng khả năng của chiếc túi là b = 1 đơn vịkích thước

2.1.2 Giải pháp thích nghi và xác định cận

2.1.2.1 Định nghĩa Cho một tập hợp các đồ vật J trong túi và khảnăng c còn lại của túi Khi đó P được gọi là giải pháp thích nghi (Adaptivepolicies) tương ứng tập J và khả năng c nếu ta chèn thêm đồ vật P(J, c)vào túi Lặp lại như vậy cho đến khi chiếc túi đầy (hoặc hết đồ vật chưachèn)

Chúng ta gọi val(P) là giá trị mục tiêu đạt được với mọi đồ vật đưa vào

... thuộc biến ngẫu nhiên ta có tốn túi ngẫu nhiên. Cũng trình bày mục 1.3.1 1.3.2 toán túi ngẫunhiên thuộc lớp toán nêu Tuy nhiên, tùy theo phụ thuộc dữliệu tốn mà người ta nghi? ?n cứu theo cách tiếp... data-page="20">

Chương 2

Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ< /h3>

bài tốn túi ngẫu nhiên< /h3>

2.1 Bài toán

2.1.1 Nêu toán

Một túi chứa b đơn vị kích thước, xếp... data-page="12">

1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên< /p>

Trong mục chúng tơi trình bày cách khái qt số lớpbài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Bài