ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG ĐỀ SỐ Bài 1: a) Chứng minh rằng: 10n + 18n − 28M27 b) Tìm số tự nhiên n để: n + n + số nguyên tố. 2 b) Cho x, y liên hệ hệ thức: x + 2xy +7(x+y) + 2y + 10 = (1). Hãy tìm GTLN; GTNN của: E=x+y+1 2009 2010 + x−6 =1 Bài 3: a) Giải phương trình sau: x − Bài 2: a) Cho a, b, c > 0; a + b + c = . Chứng minh: a +1 + b +1 + c +1 < b) Giải bất phương trình sau: x + − x + ≤ x Bài 4:Chứng minh tính chất ba đường trung tuyến tam giác. Bài 5:Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AD; BE; CF phân giác nó. Đặt: S ′ = S ∆DEF ; S = S ∆ABC . S a) Chứng minh rằng: S ′ ≤ . b) Tìm giá trị nhỏ S ′ theo S ĐỀ SỐ 1 + + . + < 2+ +2 2005 2004 + 2004 2005 b) Cho a; b; c ba số hữu tỉ thỏa mãnđiều kiện ab + bc + ca = 1. Bài 1:a) Chứng minh rằng: A = Chứng minh rằng: (a )( )( ) + . b + . c + số hữu tỉ Bài 2:a) Chứng minh tổng bình phương 1984 số nguyên liên tiếp số phương. 4 2 2 2 b)Chứng minh rằng: a + b + c < a b + b c + c a ; với a; b;c độ dài ba cạnh tam giác. 32 2 2 . Bài 3:a) Giải phương trình: x + x + − x − x + − x + = x 2x2 + ( ) ( ) 1 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( + x ) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷, x; y số y x dương thỏa mãn: x + y = Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC; hai đường cao BD cà CE. Chứng minh rằng: a) S ∆ADE = S∆ABC .cos A b) S BCDE = S ∆ABC .sin A Bài 5: Qua điểm O bên tam giác ABC; người ta vẽ ba đường thẳng tương ứng song song với ba cạnh tam giác đó. a b c a)Chứng minh hệ thức: + + = ; a1 ; b1 ; c1 đoạn thẳng gồm cạnh theo a b c thứ tự song song với cạnh a; b; c tam giác. a′ b′ c′ b) Tính giá trị biểu thức: P = + + ; a′; b′; c′ đoạn thẳng theo thứ tự cạnh a b c a; b; c gồm đường thẳng nói trên. Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức -1- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG ĐỀ 1 1 Bài 1: a)Cho A = + + + + . + n ( n − 1) + ( n + 1) n . Chứng minh rằng: A < với số tự nhiên n, c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab . b) Với a > c; b ≥ c; c > . Chứng minh: Bài 2: a) Cho a; b;c số hữu tỉ khác a = b + c. Chứng minh: 1 + + số hữu tỉ. a b2 c2 a b c + + b+c c+a a+b Bài 3: a) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa phương trình: x − 25 = y ( y + ) . 1 2 b) Giải phương trình: x + + y + = . x y Bài 4: Trên cạnh AB; BC, CA tam giác ABC, lấy điểm M; N; P cho: MA NB PC = = =k . MB NC PA S ∆AMP k = a) Chứng minh: b) Tính S ∆MNP theo k S ∆ABC S ∆ABA ( k + 1) S ∆MNP = c) Tìm k để S ∆ABA 16 Bài 5: Cho 00 < α < 900 . Chứng minh rằng: + tg α = cos α b) Cho ba số a, b, c > . Tìm GTNN A = ĐỀ 14 43 − 888 14 43 + . Chứng minh A số phương? Bài 1: a) Cho: A = 111 2n 2004 b) Cho N = 2003 n = k1 + k2 + k3 + . + kn ( n ∈ N ) . Với: S = k13 + k23 + k33 + + kn3 . Chứng minh rằng: ( S − 1) M6 Bài 2:a) Giải phương trình: b) Cho biểu thức :B = x + 10 x + 21 = x + + x + − + − x ( (1 + x) − (1 − x) ) + 1− x2 Hãy rút gọn biểu thức B tính giá trị góc nhọn α x = sin α = B. n −1 + + + + a + b + c = . Tìm GTNN B = Bài 2: a) Tìm n ∈ N thoả: 2n + 24 + 27 số phương. 6 4 b) Cho a − b = −1 . Tính: A = ( a − b ) + ( a + b ) Bài 3: (7 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x − a3 b3 c3 + + b+c c+a a+b x −9 b) x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) Bài 4: a) Chứng minh với n chẵn số A = n3 n n + + số nguyên. 24 12 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x + x +1 = y Bài 5: Cho ∆ABC nhọn, có đường cao BD, CE. Gọi H, K thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh EH = DK. Bài 6: Cho ∆ABC không cân A, tia đối tia BA, CA lấy điểm P, Q cho BP = CQ. Gọi M, N trung điểm đoạn BC, PQ. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự B’ C’. Chứng minh ∆AB’C’ cân. ĐỀ6 Bài 1: a) Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phương trình :x2-+2y2=2(xy+2y-2) b) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 ) Bài 2: Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x −1 x − x − x − + = + 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB AC E F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N. Chứng minh N trung điểm EF Bài 4: a) Cho a;b;c độ dài ba cạnh tam giác ABC cho a3 +b +c3 =3abc Chứng minh tam giác ABC b) Chứng minh với số nguyên a M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+1 số phương Đề Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức MS:PT/11/86/10*87 -3- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG Bài 1: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x + 1) + ( x − ) . b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y = với: x < y 1 1 + c) Cho A = 1.2.3 2007.2008 1 + + + + . + ÷. Chứng minh: AM2009 2007 2008 Bài 2: a) Cho an = ; với n = 1; 2;3; .; 2008; 2009 . Tính: S = a1 + a2 + a3 + . + a2008 + a2009 . n ( n + 1) + n n + a b c a b c + + =0. + + = . Chứng minh: 2 (b − c ) ( c − a ) ( a − b ) b−c c −a a −b Bài 3: Giải phương trình sau: a) x − 2010 + 2009 − 2010 − 2009 = b) Cho: =2. Bài 4: Cho ∆ABC có phân giác AM ; BN ; CP MB PA NC . . =1 a) Chứng minh: MC PB NA IA b) Gọi I giao điểm ba đường phân giác. Tính: theo độ dài cạnh tam giác. MA Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi M; N điểm cạnh AB BC cho BM = BN. Gọi G trọng tâm tam giác BMN I trung điểm AN. Tính góc tam giác GIC. b) x + x + x − Đề Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: A = − MS:Q1H/87-88/10*89 + 2+ − 2− 5 − =4 b) Giải phương trình: x − x2 − x + x2 − Bài 2: a) Chứng minh rằng: a + b + ≥ 4ab; ∀a; b x −1 x − 5x + x + − − . x + x − 3x + x − Rút gọn B tìm giá trị x ∈ Q để B nhận giá trị nguyên. Bài 3: a) Tìm số tự nhên n cho: n − 18n − 10 làmột số phương. b) Cho S = 1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ . + n.n ! . Chứng minh rằng: ( S − 1) M( n + 1) ! . b) Cho biểu thức: B = Bài 4: Gọi O điểm nằm bên ∆ABC ; kẻ đường thẳng song song với BC ; CA; AB cắt cạnh AB; AC ; BC M ; N ; P; Q; R; T . Đặt: S1 = S ∆OMN ; S = S∆OPQ ; S3 = S ∆ORT ; S = S ∆ABC . Chứng minh rằng: S1 + S + S3 = S . Bài 5: Cho ∆ABC có góc nhọn. Gọi AH ; BI ; CK đường cao tam giác. Chứng minh rằng: S ∆HIK = − cos A − cos B − cos C S ∆ABC Đề MS:ST/11/10/10*10 Bài 1: Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức -4- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = b) Bài 2: a) Cho x, y, z đôi khác x + y + z = . Tính giá trị biểu thức: A = yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + 3x + = y Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương. Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm. HA' HB' HC' + + a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA ) ≥ 4. c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 Đề 10 MS:ST/11a/10/10*10 Bài 1: a − (b − c) b2 + c − a Cho x = ;y= (b + c) − a 2bc Bài 2: a) Xác định số a, b biết: Tính giá trị P = x + y + xy (3 x + 1) a b = + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Bài 3: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên. Bài 4: Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK. Gọi G giao điểm DK EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng. Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho 6. Bài 1: a) Cho: A = a + b + c − 3abc Đề 11 MS:ST/11b/10/10*10 Cmr: Nếu a, b, c số dương đôi khác giá trị A số dương Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức -5- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG a b a − b b − c c − a c + + + + b) Chứng minh a + b + c = thì: A = ÷ ÷= a b a − b b − c c − a c c) Cho a, b, c ≠ 0. Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x2 + y + z x2 y z = + + a + b2 + c2 a b2 c x + xy + y Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y b) Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y 22499 9100 .09 Bài 3: a) Chứng minh số: n-2 sè n sè 2n+1 b) Chứng minh với số nguyên n :5 số phương. ( n ≥ ). + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Bài 4: Cho hình vuông ABCD. M điểm đường chéo BD. Kẻ ME MF vuông góc với AB AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Đề 12 MS:ST/11 c/10/10*10 Bài 1: a) Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 b) Tìm giá trị lớn nhất: M = x với x > ( x + 1995) c) Chứng minh rằng: A = n (n − 7) − 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n. 2 Bài 2: a) Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4. ( a + b + c − ab − ac − bc ) . a −d d −b b−c c−a ≥ b) Cho a,b,c,d > 0. CMR: + + + d +b b+c c+a a+d Chứng minh a =b =c . Bài 3: a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y = 345 b) Giải phương trình: x + a − x − 2a = 3a (a số). Bài 4: Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức -6- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG ĐỀ THI HSG LỚP SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) 1 x − + + + Cho biểu thức: A = ÷ ÷ : x ( x + 1) x x + 2x + x a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A . + y + 1 Bài 3: a) Giải các phương trình sau: 2009 2010 5 6 1x x− + − = b) Giải bất phương trình sau: 2 1x x x+ − + ≤ Bài 4:Chứng minh tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác. Bài 5:Cho. đa thức x 4 + 6x 2 +25 và 3x 4 +4x 2 +28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Bài 5 (1 điểm): Bài 3: Nguyễn Văn Anh – Ttrường THCS Hoài Đức -7- ĐỀ TỰ LUYỆN - HSG Cho bốn. số dương thỏa mãn: 2 2 1x y+ = Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC; hai đường cao BD cà CE. Chứng minh rằng: a) 2 . os ADE ABC S S c A ∆ ∆ = b) 2 .sin BCDE ABC S S A ∆ = Bài 5: Qua điểm O bất kì bên