Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu.. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu.. Tì
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 29/3/2014
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4, 0 điểm)
1) Giải phương trình 2 2
3 4sin x 3 4sin 3 x 1 2 os10 c x
2) Tìm x để sin ; sin 2 ; 1 sin 7x 2 x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Câu 2 (6, 0 điểm)
1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu
2) Tìm hệ số của số hạng chứa x13 trong khai triển
3
1
4
f x x x x
thành đa thức
3) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 1 P1 2P23P3 nP nP2014, với P là số n các hoán vị của tập hợp có n phần tử
Câu 3 (2, 0 điểm) Tính
2014
2 1
2014 + 2013 lim
1
x
x
Câu 4 (6, 0 điểm)
1) Cho đường tròn O và dây cung AB thay đổi sao cho AB luôn đi qua điểm I cố định nằm
trong đường tròn O (I không trùng với tâm O) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn IA IB IM
2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có = a ; ' =a 3 ; 60 0
2
AB AD AA BAD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'
a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A')
b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN)
Câu 5 (2, 0 điểm) Cho các số thực dương a b a, b và hai dãy số u n ; v n xác định như sau:
*
;
2
n n
u a v b
u v
Chứng minh rằng hai dãy u n ; v n có giới hạn hữu hạn và limu n limv n
- HẾT -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NGÀY THI 29/3/2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
1.1
(2.0
điểm)
Xét sinx 0 x k k, Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn
Xét sinx 0 x k k, (*)
Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x
0.5
Phương trình tương đương với
sin 9x sinx 2 cos10 sinx x sin11x sinx 0 0.5
5
x m
x x
Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là 5
,
5 ; , ,
m k m n k
0.5
1.2
(2.0
điểm)
2
sin ; sin 2 ; 1 sin 7x x xlập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
2
os4x=0
c hoặc sin 3x 1
2
2
, k
KL
0.5
2.1
(2.0
điểm)
Gọi A là biến cố cần tính xác suất
Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là 3
5 10
Số cách chọn một toa để xếp ba người này là 1
4 4
Trang 3Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là 2
3
A 6
Vậy xác suất cần tìm là | | 2405 15
A
2.2
(2.0
điểm)
( ) (2x+1) (2x+1) (1 2x)
Ta có
21 21
21 0
k
Hệ số của số hạng chứa 13
x trong khai triển của 21
(2x+1) là 13 13
212
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển thành đa thức của 13 ( ) là
13 13 13 7
1
0.5
2.3
(2.0
điểm)
Ta có P k P k 1 k! (k 1)! (k 1)!k 1 (k 1)P k 1, k = 1, 2, (*) 0.5
Áp dụng (*) ta có P2 P1 P P1, 3 P2 2 , ,P2 P n 1 P n nP (**) n
0.5 Cộng các đẳng thức ở (**) ta được P n 1 P1 P1 2P2 nP n
Khi đó điều kiện đã cho thành P n 1 P2014 n 1 2014 n 2013
2.0
điểm
1
x
2013 2012
1
1
x
lim
x
2014.2013
4.1
(2.0
điểm)
E O
B
A
I
Gọi E là trung điểm của AB khi đó IA IB 2IE suy ra IM 2IE 0.5
Trang 4Ta có OE và AB vuông góc suy ra E thuộc đường tròn đường kính OI 0.5 Xét phép vị tự tâm I tỉ số 2 biến điểm E thành điểm M; Gọi (C) là đường tròn
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C') là ảnh của đường (C) qua 2
I
V hay (C')
4.2a
(2 0
điểm)
I
O'
O
E
N M
B' A'
C'
C D
D'
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết
D (ACC'A')
B Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A') 0.5 Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO 0.5 Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được 15
EO
4
a
Trong tam giác BEO vuông tại O Tính được tan BEO=2 15
15 Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là 15
19
0.5
4.2b
(2.0
điểm)
Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1) 0.5 Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'
Chứng minh được tam giác OO'E và tam giác AOI bằng nhau 0.5 Suy ra OAI=EOO'; OAI+OIA 900 EOO'+OIA 90 0
Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2) 0.5
Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) 0.5
Trang 52.0
điểm
Ta có
1 1
v u v ab b v
u v a b
Chứng minh bằng quy nạp v1 v2 v k; u1 u2 u k
0.5
1 1 1 1
2
u u v v (do u k 1 v k 1)
1
1
; 2
k k
v u v v
u v
0.5
1 2 k k 1 k 1 k 1
Vậy ( )u giảm và bị chặn dưới; ( ) n v tăng và bị chặn trên nên tồn tại n
0.5
n n n
u v u
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng