Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bạc Liêu môn Toán lớp 12 (Năm học 2010 - 2011) - Có đáp án

1 Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình: 2 24 252 5 x xx xx − +−+ −= − Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số không âm (a i ), với i = 0, 1, 2, … thỏa điều kiện a m + n + a m – n = 1 2 (a 2m + a 2n ) với mỗi cặp chỉ số m, n tùy ý mà m ≥ n. Tính a 2010 biết a 1 = 1. Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình : tan 2 x + tan 2 y + cot 2 () x y + = 1 Câu 4: (4 điểm) Cho ,ab∈Z và 3)542( 22 M++++ baba .Chứng minh rằng a và b không chia hết cho 3. Câu 5: (4 điểm) Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + abc + bcd < 4. HẾT (Gồm 01 trang) CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) 2 24 252 5 x xx xx−+ −+ −= − (1) ĐK: 5 4 2 x≤≤ (0,25đ) (1) ⇔ 2 21 4 1 2 512 5 x xx xx−−+ −−+ −−= − -3 (0,5đ) ()() 3326 21 3 11 4 1 2 51 xx x xx xxx −− − ⇔−+ =+− −+ − + −+ (0,5đ) () ()() 11 2 3[ ] 2 1 3 11 4 1 2 51 xxx xxx ⇔− − + = + − −+ − + −+ (0,5đ) 3 11 2 21 11 4 1 2 51 x x xxx = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ −+ =+ ⎢ −+ − + −+ ⎣ (2) (0,75đ) (2) 121 21 21 2 51 4 1 x xx x ⇔+ =++ −+ −+ −+ (3) (0,5đ) Do 5 4 2 x≤≤ nên 5 (3) 2 1 2. 1 6 2 VP x>+> += và VT (3) < 3 (0,5đ) Vậy PT (1) có duy nhất nghiệm x = 3 (0,5đ) Câu 2: (4 điểm) Cho m = n = 1, ta được a 0 = 0; (0,5đ) Cho m = 1, n = 0, ta có a 1 + a 1 = 1 2 (a 2 + a 0 ) ⇒ a 2 = 4. (0,5đ) Ta sẽ chứng minh a n = n 2 bằng qui nạp (0,5đ) Với n = 0, 1, 2 khẳng định trên đúng (0,5đ) Giả sử a n = n 2 đúng với n = 0, 1, 2, …k; Cho m = k, n = 0, ta được a k + a k = 1 2 (a 2k + a 0 ) ⇒ a 2k = 4a k = (2k) 2 (0,5đ) Cho m = k, n = 1, ta được a k + 1 + a k – 1 = 1 2 (a 2k + a 2 ) ⇒a k + 1 = 1 2 a 2k + 2 – a k – 1 (0,5đ) ⇔ a k + 1 = 1 2 (2k) 2 + 2 – (k – 1) 2 ⇔ a k + 1 = (k + 1) 2 . (0,5đ) Theo giả thiết qui nạp ta có a n = n 2 với n = 0, 1, 2, … (0,25đ) Vậy a 2010 = 2010 2 . (0,25đ) (Gồm 03 trang) CHÍNH THỨC 2 Câu 3: (4 điểm) tan 2 x + tan 2 y + cot 2 () x y + = 1 (1) Ta có: cot ( x + y ) = 1 tan( ) x y + = 1tanx.tan tan x tan y y − + . ⇒ cot (x + y ) . [] tan x tan y+ = 1- tanx.tany . (0,25đ) ⇒ tanx.tany + tany . cot ( x + y ) + tanx . cot ( x + y ) = 1 ( 2 ). ( 1 ) – ( 2 ) vế theo vế ta được : 222 1 (t anx tan ) (tan cot( )) (cot( ) tan ) 0 2 y y xy xy x ⎡⎤ −+−+++− = ⎣⎦ (0,75đ) 222 t anx tan cot( ) tan tan cot ( ) 1. yxy xy xy ==+ ⎧ ⇔ ⎨ +++= ⎩ (0,25đ) 1 t anx tan cot( ) 3 1 t anx tan cot( ) 3 yxy yxy ⎡ ==+= ⎢ ⎢ ⇔ − ⎢ ==+= ⎢ ⎣ (0,75đ) Xét hệ ( I ) 1 tanx 3 1 tan 3 1 cot( ) 3 y xy ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ += ⎪ ⎩ 1 tanx 3 1 tan 3 y ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ (0,5đ) 6 (; ) 6 xm mn yn π π π π ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⇔∈Ζ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ (0,5đ) Xét hệ ( II ) 1 tanx 3 1 tan 3 1 cot( ) 3 y xy ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎪ =− ⎨ ⎪ ⎪ +=− ⎪ ⎩ 1 tanx 3 1 tan 3 y ⎧ =− ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ (0,5đ) 6 (; ) 6 xm mn yn π π π π ⎧ =− + ⎪ ⎪ ⇔∈Ζ ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho : 6 (; ) 6 xm mn yn π π π π ⎧ =+ ⎪ ⎪ ∈Ζ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ ; 6 (; ) 6 xm mn yn π π π π ⎧ =− + ⎪ ⎪ ∈ Ζ ⎨ ⎪ =− + ⎪ ⎩ (0,25đ) 3 Câu 4: (4 điểm) Ta có 2222 )2()1(542 +++=++++ bababa Với Zx ∈ thì x có dạng 3k , 3k+1 , 3k+2 ( k Z ∈ ) (0,5đ) 2 x⇒ có dạng 3m , 3m+1 ( m Z ∈ ) (0,5đ) Suy ra 22 )2()1( +++ ba có dạng 3t , 3t+1 , 3t+2 ( t Z ∈ ) (1,0đ) Vì 22 )2()1( +++ ba M 3 nên 22 )2(,)1( ++ ba có dạng 3t (1,0đ) Vậy 3)1( M+a và 3)2( M+b ba,⇒ không chia hết cho 3 (1,0đ) Câu 5: (4 điểm) Có 222 4 A EACCE==+ (1,0đ) ()() 22 A BBC CDDE=+ ++ uuur uuur uuur uuur DECDBCABDECDBCAB .2.2 2222 +++++= (1,0đ) Vì cos.2.2.2 abBCBABCAB −=−=  A BC cos2ab=  A EC (vì  A BC AEC + = 180 0 ) abCE= (vì CE = AE.cos  A EC = 2 cos  A EC ) (1,0đ) mà CE > CD = c nên BCAB.2 > abc Tương tự ta có: bcdDECD >.2 Vậy: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + abc + bcd < 4 (1,0đ) HẾT o A B D E C . và tên thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN *. CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 * Môn thi: TOÁN * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4. – (k – 1) 2 ⇔ a k + 1 = (k + 1) 2 . (0,5đ) Theo giả thi t qui nạp ta có a n = n 2 với n = 0, 1, 2, … (0,25đ) Vậy a 2010 = 2010 2 . (0,25đ) (Gồm 03 trang) CHÍNH THỨC 2 Câu 3: