Chỗ này từ trong ra nhưng không nên có vẻ không thỏa mãn ĐK của Định lý duy nhất trên, liệu kết luận ấy đúng không và nếu sai thì minh họa bằng 2 hàm như vậy?. Bài 2: bài này cần thêm g
Trang 1Định lý duy nhất:
minh mọi
@:H(D) là không gian các hàm chỉnh hình trên D.
Đây là định lý rất quen thuộc trong giải tích phức một biến Hàm chỉnh hình một biến có tính chất là : mỗi không điểm của nó là điểm cô lập Giả sử hàm chỉnh hình có không điểm khi đó
với Từ đó ta sẽ thu được điều phải chứng minh
Chỗ này (từ trong ra) nhưng không nên có vẻ không thỏa mãn ĐK của Định
lý duy nhất trên, liệu kết luận ấy đúng không và nếu sai thì minh họa bằng 2 hàm như vậy?
Vâng để em xem sách
Vấn đề hiện tại: Tìm 1 hàm đơn giản nhất có thể để trên dãy
Em đoán hàm này được:
Câu I.4:
chỉ đạt tại ( là bao đóng của )
Bài 1: Cho mà điều hòa trên D Chứng minh f là hàm hằng.
Bài 2: Cho D là miền trong C và Giả sử A là tập con ròi rạc của D sao cho f chỉnh hình trên Chứng minh f chỉnh hình trên D
Giai:
Bài 1: viết , xét f và g như là hàm hai biến của (x,y) Do f chỉnh hình nên f là hàm điều hòa ( tức là ), do đó
dùng điều kiện Cauchy-Riemann cho f là hàm chỉnh hình là được.
Bài 2: bài này cần thêm giả thiết là f bị chặn trong mỗi lân cận của mỗi điểm thuộc A (ví dụ hàm
chỉnh hình trên C\{0} nhưng không thác triển chỉnh hình ra toàn C được).
Do A là rời rạc, nên mỗi có một hình cầu mở B(a,R) trong D sao cho nó không chứa các điểm
Trang 2Do đó, ta định nghĩa
bạn hãy chứng minh f chỉnh hình tại a
Bài 1: Cho ( chỉnh hình trên hình tròn đơn vị) và triệt tiêu tại những điểm mà
Chứng minh trên
Bài 1 : áp dụng tính chất : nếu hàm chỉnh hình một biến khác hằng thì không điểm của nó luôn là
rời
(: Khác hằng hay khác không anh? Phản chứng nếu không điểm của nó không rời thì theo định lý duy
nhất hàm này triệt tiêu? Bài 1 : khác hằng em ạ, khác 0 thì hiển nhiên Nhưng khi khác hằng, thì
, với a là hằng số nào đó, vẫn chỉ có không điểm rời rạc.)
Bài 2: Cho D là miền bị chặn và Giả sử liên tục trên bao đóng của và
Chứng minh nếu trên biên của thì tồn tại để
Bài 2 : Bài này áp dụng nguyên lý module cực tiểu Giả sử khác không trong D, khi đó ta xét hàm
là hàm chỉnh hình trên Áp dụng nguyên lý module cực đại cho hàm (vì thế người ta gọi là nguyên lý module cực tiểu cho hàm chỉnh hình không triệt tiêu), ta thu được điều vô lý nhờ vào giả thiết | là hằng trên biên.( Cụ thể thế này ạ?: Nếu mọi thì không có cả cực đại lẫn
cực tiểu trong D nên nó ở trên biên mà biên hằng rồi nên hằng luôn trên D, vô lý Bài 2 : Ký
hiệu M là giá trị tuyệt đối của f trên biên
Đến đây chắc là rõ ràng rồi chứ)
Bài 3: Cho là miền bị chặn Các hàm chỉnh hình trên bao đóng của D và trên D Chứng minh
Tập hữu hạn với mọi
Kết luận còn đúng không khi D không bị chặn?
Bai giai: Nếu tập A có vô hạn phần tử, thì do D bị chặn, nên tập A có điểm giới hạn trong , mà f, g chỉnh hình trên nên chúng phải trùng nhau ( ở đây mình dùng định nghĩa hàm f chỉnh hình trên nếu có hàm F chỉnh hình trong một lân cận của và F hạn chế xuống bằng f)
Nếu D không bị chặn thì kết luận không còn đúng, ví dụ:
chọn và , thì hai hàm này chỉnh hình trên , nhưng
Nguyên lý phát biểu như sau:
Cho Khi đó không thể đạt cực đại tại bất cứ điểm nào thuộc D.
Trang 3Hãy chứng minh nguyên lý trên và vận dụng giải các BT sau:
Bài 2: Giả sử là miền bị chặn Các hàm và liên tục trên bao đóng của Chứng minh rằng: đại cực đại trên biên của
Giai: Giả sử h đạt max tại một điểm Chọn sao cho , với , ta có
Đặt thì C là đóng trong D Hơn nữa nếu thì h đạt cực đại tại , từ chứng minh ở trên ta có với với nào đó, do đó là điểm trong của C, tức là C là tập mở, C khác rỗng, do đó , vậy h là hàm hằng trên D
Vậy nếu h đạt cực đại tại một điểm trong thì nó là hàm hằng do đó cũng đạt cực đại tại biên
Giai: Dùng điều kiện Cauchy-Riemann ta chứng minh được rằng nếu , f giá trị thực thì là hằng số.
do đó , do đó các hàm này là hàm hằng nên f là hằng
Bai Giả sử f là hàm chỉnh hình trên B(0;r) (Hình tròn mở) và f(z) = 0 tại z mà modun(z) =
Chứng minh f = 0 (z là số phức).
Dùng nguyên lý module cực đại thôi bác Module của f trên đường tròn bán kính r/2 bằng 0 nên
nó bằng 0 ở phần trong Mà hàm chỉnh hình bằng 0 trên tập mở thì nó bằng 0 trên thành phần liên thông chứa tập mở đó Vậy f đồng nhất 0.
rong giải tích phức, định lý duy nhất cho các hàm chỉnh hình trên một miền (mở và liên
thông) chính là sự tổng quát của định lý cơ bản của đại số
Định lý cơ bản đại số nói rằng mọi đa thức khác hằng đều có nghiệm và hơn nữa số nghiệm
là hữu hạn, kể cả bội thì bằng với bậc của Điều này dẫn tới kết quả sau: Nếu 2 đa thức
lấy cùng một giá trị tại nhiều vô hạn điểm thì chúng bằng nhau tại mọi điểm.
Bài 1: Cho mà điều hòa trên D Chứng minh f là hàm hằng.
Bài 2: Cho D là miền trong C và Giả sử A là tập con ròi rạc của D sao cho f chỉnh hình trên Chứng minh f chỉnh hình trên D.