Giải Tích Phức

Định lý nhất: Cho VD1: Cho minh cho . Giả sử với . Chứng @:H(D) không gian hàm chỉnh hình D. Đây định lý quen thuộc giải tích phức biến. Hàm chỉnh hình biến có tính chất : không điểm điểm cô lập. Giả sử hàm chỉnh hình có không điểm với . Từ ta thu điều phải chứng minh. Chỗ (từ ra) không nên không thỏa mãn ĐK Định lý trên, liệu kết luận không sai minh họa hàm vậy? Vâng để em xem sách Vấn đề tại: Tìm hàm đơn giản để tồn để . dãy Em đoán hàm được: Câu I.4: Cho đạt . ( (biên bao đóng ). Chứng minh tồn mà ) Bài 1: Cho mà điều hòa D. Chứng minh f hàm hằng. Bài 2: Cho D miền C . Giả sử A tập ròi rạc D cho f chỉnh hình . Chứng minh f chỉnh hình D. Giai: Bài 1: viết ( tức , xét f g hàm hai biến (x,y). Do f chỉnh hình nên f hàm điều hòa ), dùng điều kiện Cauchy-Riemann cho f hàm chỉnh hình được. Bài 2: cần thêm giả thiết f bị chặn lân cận điểm thuộc A (ví dụ hàm chỉnh hình C\{0} không thác triển chỉnh hình toàn C được). Do A rời rạc, nên có hình cầu mở B(a,R) D cho không chứa điểm khác A. với , hàm chỉnh hình , Do đó, ta định nghĩa với , bạn chứng minh f chỉnh hình a. Bài 1: Cho ( chỉnh hình hình tròn đơn vị) triệt tiêu điểm mà . Chứng minh Bài : áp dụng tính chất : hàm chỉnh hình biến khác không điểm rời. (: Khác hay khác không anh? Phản chứng không điểm không rời theo định lý hàm triệt tiêu? Bài : khác em ạ, khác hiển nhiên. Nhưng khác hằng, , với a số đó, có không điểm rời rạc. ) Bài 2: Cho D miền bị chặn . Giả sử liên tục bao đóng Chứng minh biên tồn để Bài : Bài áp dụng nguyên lý module cực tiểu. Giả sử khác không D, ta xét hàm hàm chỉnh hình Áp dụng nguyên lý module cực đại cho hàm (vì người ta gọi nguyên lý module cực tiểu cho hàm chỉnh hình không triệt tiêu), ta thu điều vô lý nhờ vào giả thiết | biên.( Cụ thể ạ?: Nếu cực đại lẫn cực tiểu D nên biên mà biên nên D, vô lý. Bài : Ký hiệu M giá trị tuyệt đối f biên. Nếu không điểm thì, với , nên . Đến rõ ràng chứ) Bài 3: Cho miền bị chặn. Các hàm chỉnh hình bao đóng D D. Chứng minh hữu hạn với Tập . Kết luận không D không bị chặn? Bai giai: Nếu tập A có vô hạn phần tử, D bị chặn, nên tập A có điểm giới hạn , mà f, g chỉnh hình nên chúng phải trùng nhau. ( dùng định nghĩa hàm f chỉnh hình có hàm F chỉnh hình lân cận F hạn chế xuống f). Nếu D không bị chặn kết luận không đúng, ví dụ: chọn , hai hàm chỉnh hình Nguyên lý phát biểu sau: Cho . Khi , đạt cực đại điểm thuộc D. Hãy chứng minh nguyên lý vận dụng giải BT sau: Bài 1: Cho Bài 2: Giả sử minh rằng: . Biết . Tính miền bị chặn. Các hàm liên tục bao đóng đại cực đại biên . Giai: Giả sử h đạt max điểm . Chọn cho , với . Chứng , ta có từ ta có với , Đặt C đóng D. Hơn h đạt cực đại , từ chứng minh ta có với với đó, điểm C, tức C tập mở, C khác rỗng, , h hàm D. Vậy h đạt cực đại điểm hàm đạt cực đại biên. Bài 3: Một hàm Giai: Dùng điều kiện Cauchy-Riemann ta chứng minh , f giá trị thực số. Nếu Nếu thì . với , hàm hàm nên f Bai Giả sử f hàm chỉnh hình B(0;r) (Hình tròn mở) f(z) = z mà modun(z) = . Chứng minh f = 0. (z số phức). Dùng nguyên lý module cực đại bác Module f đường tròn bán kính r/2 nên phần trong. Mà hàm chỉnh hình tập mở thành phần liên thông chứa tập mở đó. Vậy f đồng 0. rong giải tích phức, định lý cho hàm chỉnh hình miền (mở liên thông) tổng quát định lý đại số Định lý đại số nói đa thức khác có nghiệm số nghiệm hữu hạn, kể bội với bậc . Điều dẫn tới kết sau: Nếu đa thức lấy giá trị nhiều vô hạn điểm chúng điểm. Bài 1: Cho mà điều hòa D. Chứng minh f hàm hằng. Bài 2: Cho D miền C . Giả sử A tập ròi rạc D cho f chỉnh hình . Chứng minh f chỉnh hình D. . Chứng minh mọi @:H(D) là không gian các hàm chỉnh hình trên D. Đây là định lý rất quen thuộc trong giải tích phức một biến. Hàm chỉnh hình một biến có tính chất là : mỗi không điểm của nó là điểm cô lập trên tập mở thì nó bằng 0 trên thành phần liên thông chứa tập mở đó. Vậy f đồng nhất 0. rong giải tích phức, định lý duy nhất cho các hàm chỉnh hình trên một miền (mở và liên thông) chính là sự. chỉnh hình trên B(0;r) (Hình tròn mở) và f(z) = 0 tại z mà modun(z) = . Chứng minh f = 0. (z là số phức) . Dùng nguyên lý module cực đại thôi bác Module của f trên đường tròn bán kính r/2 bằng 0 nên