GIẢI TÍCH PHỨC (1)

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC §1 SỐ PHỨC I Dạng đại số số phức xác định z = x + iy : x = Rez gọi phần thực z y = Imz gọi phần ảo z Cho hai số phức z1 = x1 + iy1 ;z = x + iy ta nói z1 = z ⇔ x1 = x y1 = y số phức z = x − iy gọi số phức liên hợp z = x + iy Mặt phẳng phức thể hệ trục tọa độ.Trong trục 0y gọi trục ảo,còn trục 0x trục thực Khi cho z = x + iy  tương đương với M(x,y) m/p gọi tọa vị M uuuu r Độ dài vectơ OM gọi môdun số phức z = x + iy uuuu r OM = x + y = z = r uur uuuu r ¼ Góc 0x,OM = ϕ + k2π gọi Argumen z ,còn ϕ = argz gọi argumen ( ) phần z ⇒ z = r ( cosϕ + isin ϕ ) gọi dạng lượng giác số phức ⇒ z = z.z Công thức Moavơrơ: n z = r ( cosϕ + isin ϕ ) ⇒ z n =  r ( cosϕ + isin ϕ )  = r n ( cosnϕ + isin nϕ ) thừa nhận: cosϕ + isin ϕ = eiϕ (cơng thức ơle) Ví dụ: a) Arg(z1 + z ) = Argz1 +Argz b) Arg z1 = Argz1 - Argz z2 c) z1z = z1 z d) z1 / z = z1 / z e) Với Re z > Rea > z1 = z = z1,2 ≠ f) a−z với n > 5) Hàm Lôgarit hàm ngược hàm W = ez viết W = Lnz khai triển ta Lnz = ln z + i(arg z + k2π) với k ∈ Z ,còn ln z = ln z + i arg z gọi nhánh Lnz Các tính chất Lnz tương tự thực.Riêng đạo hàm Lnz ta phải thực nhánh 6) Hàm lượng giác ngược,đó hàm đa trị : a) W = arcsin z = -iln(iz+ − z ) b) W = arccosz = -iln(z+ z − 1) i + iz c) W = arctan z = − l n − iz Ví dụ:Tính Re(arctgeiϕ ) với ϕ nhọn 7) Hàm lũy thừa tổng quát W=z a với a = α + iβ viết W=eaLnz cụ thể W = e(α + iβ) ln z + iArgz  = eα ln z −βArgz ei ( β ln z + αArgz ) §3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC » ,chia AB » điểm I Định nghĩa:Cho hàm f(z) xác định đường L = AB chia theo thứ tự A ≡ z ,z1 ,z ,z3 z n ≡ B cung từ z k đến z k +1 lấy điểm ξk n tồn giới hạn lim d →0 ∑ f (ξk )∆z k d = max ∆zk k =0 với ∆z k = z k +1 − z k » cách chọn ξk giới hạn gọi giới hạn khơng phụ thuộc vào phép chia AB tích » viết phân hàm f(z) dọc theo cung AB ∫ f (z)dz » AB Với z = x + iy f (z) = U(x, y) + iV(x, y) dz = dx + idy ∫ f (z)dz = ∫ U(x, y)dx − V(x, y)dy + i ∫ V(x, y)dx + U(x, y)dy » AB » AB » AB Do cách tính tính chất tích phân hàm biến phức hồn tồn tích phân đường loại Ví dụ: Tính ∫ z − z =ε (z dz − z0 )n với n ∈ ¢ Nếu có hàm F(z) thỏa mãn F′(z) = f (z) » ⇒ ∀z ∈ AB z=B ∫ f (z)dz = F(z) z = A = F(B) − F(A) » AB II Định lý Cơsi:Nếu hàm f(z) giải tích miền G có biên L(trơn) Đ ∫ f (z)dz = L III Cơng thức tích phân Cơsi : Nếu hàm f(z) giải tích miền G có biên L(trơn) z ∈ G f (z) ∫ z − zo dz = f (zo ) 2πi Ñ L Chứng minh : Ta có f (z) f (z) − f (z o ) dz dz = dz + f (z ) o ∫ z − zo ∫ z − zo Ñ ∫ z − zo 2πi Ñ 2πi Ñ 2πi L L L mặt khác f (z) − f (z ) < ε f (z) liên tục z , nên f (z) dz f (z) − f (z o ) dz − f (z o ) Ñ = dz < ε Ñ ∫ ∫ Ñ ∫ 2πi L z − z o 2πi z − z π i z − z o o L L tức f (z) dz = f (z o ) Ñ ∫ 2πi L z − z o Ví dụ : a) I = b) I = IV dz z−2 z −1 = Ñ ∫ Ñ ∫ z −1 = z zdz +9 Tích phân loại Cơsi :Giả sử L đường cong trơn khúc f(z) liên tục L,khi f ( ξ) dξ gọi tích phân loại Cơsi ξ − z L ∀z ∉ L F(z) = ∫ f ( ξ) dξ giải tích miền D khơng ξ − z L Định lý : Cho f(z) liên tục L,khi F(z) = ∫ chứa L (n) F (z) = n! f ( ξ) dξ 2πi L∫ (ξ − z) n +1 đặc biệt L đường cong kín, từ cơng thức tích phân si ta có f (n) (z) = n! f ( ξ) dξ Ñ ∫ 2πi L (ξ − z) n +1 Ví dụ : a) I = b) I = cos z Ñ ∫ − 1) (z − 5) z − = (z dz dz Ñ ∫ (z2 − 1)3 z −1 =1 §4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT I Chuỗi Taylor: Mọi hàm f(z) giải tích z = a ln biểu diễn dạng f (z) = f (n) (a) n ∑ n! ( z − a ) n ≥0 Khai triển Taylor số hàm sơ cấp z = z 2n +1 a) sin z = ∑ (−1) ( 2n + 1) ! n =0 ∞ n ∞ z 2n b) cos z = ∑ ( −1) ( 2n ) ! n =0 z c) e = n ∞ zn ∑ n = n! ix Đặc biệt z = ix ta có e = 2n 2n +1 ∞ ∞ (ix) n n z n z = ( − 1) + i ( − 1) ∑ ∑ ( 2n ) ! n∑ ( 2n + 1) ! n = n! n =0 =0 ∞ eix = cos x + isin x (Công thức Euler) II Chuỗi Laurent: Định lý định nghĩa : Hàm f(z) giải tích miền G = { r < z − a < R} ; z ∈ G ln có f (z) = ∞ ∑ n =−∞ cn ( z − a ) Khai triển gọi chuỗi Laurent f(z) n tâm z = a • ∞ ∑ cn ( z − a ) n gọi phần n =0 • ∞ ∑ n =1 c− n ( z − a) n gọi phần Chứng minh : Theo tích phân Cơsi f (z) = f ( ξ) f ( ξ) f (ξ) dξ = dξ − dξ Ñ ∫ Ñ ∫ Ñ ∫ 2πi C ξ − z 2πi L ξ − z 2πi L ξ − z L1 L hai đường tròn tâm z = a G,sao cho miền giới hạn L1 L chứa z Ta có 1 = ξ − z (ξ − a) − (z − a) ∞ (z − a) n =∑ với ξ∈ L ⇒ ξ − a > z − a ; (ξ − a) − (z − a) n = (ξ − a) n +1 ∞ f ( ξ) f (ξ)dξ d ξ = (z − a) n (1) ⇒ ∑ Ñ ∫ Ñ ∫ n + 2πi L ξ − z n = 2πi L (ξ − a) 2 ∞ f ( ξ) f (ξ)dξ d ξ = − (ξ − a) n (2) Tương tự với ξ ∈ L1 ⇒ ∑ Ñ ∫ Ñ ∫ n + 2πi L ξ − z n = 2πi L (z − a) 1 Trong (2) đặt n + = −k ⇒  −∞  f (ξ)dξ  f (ξ)dξ  n     (z − a) n (z − a) + ∑Ñ ∑ ∫ Ñ ∫ Ñ ∫ n + n + 2πi L (ξ − a)  2πi L (ξ − a)  n = L2  n =−1      ∞ tích phân L1 L khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Nên ta đặt cn = III f (ξ)dξ với n = 0, ±1, ±2, ±3, Đó điều phải chứng minh Ñ ∫ 2πi L (ξ − a) n +1 PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG 1) Không điểm: z = a gọi không điểm f(z) f (a) = điểm z = a gọi không điểm cấp m f(z) nếu: f (z) = (z − a) m ϕ(z) ϕ(a) ≠ giải tích z = a 2) Định nghĩa: z = a gọi điểm bất thường cô lập hàm f(z) lân cận z = a có a điểm bất thường f(z) Giả sử z = a điểm bất thường lập hàm f(z) • lim f (z) = A z = a gọi điểm bất thường bỏ z →a • Nếu phần khai triển Laurent z = a có hữu hạn số hạng ∞ tức ∑ n =1 c− n c−m = + c − m +1 ( z − a ) n ( z − a ) m ( z − a ) m −1 + + c −1 c− m ≠ z = a z−a gọi cực điểm cấp m • Nếu phần khai triển Laurent z = a có vơ số số hạng z = a gọi điểm bất thường cốt yếu 3) Định lý : Cho f (z) = f1 (z) f (z) nhận z = a không điểm cấp m f (z) f1 (a) ≠ Thì f(z) nhận z = a cực điểm cấp m §5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG I THẶNG DƯ 1) Định nghĩa 1: Cho z điểm bất thường lập hàm f(z) 2πi Ñ ∫ f (z)dz z − zo = r khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi 2πi Ñ ∫ z − zo = r f (z)dz thặng dư f(z) z Ký hiệu Res [ f (z),z o ] = 2πi Ñ ∫ f (z)dz z − zo = r 2) Định nghĩa 2:ta gọi thặng dư hàm f (z) z = ∞ (nếu khơng giới hạn điểm bất thường cô lập z ) Res [ f (z), ∞ ] = 2πi Ñ ∫ f (z)dz tích phân lấy theo lấy theo chiều thuận chiều kim đồng C− hồ Trong miền giới hạn C chứa điểm bất thường hàm số f (z) M Giả sử f (z) có { a k } k =1 điểm bất thường lập (kể z = ∞ khơng giới hạn điểm bất thường cô lập cả).Khi Res [ f (z), ∞ ] + M ∑ k =1 Res [ f (z),a k ] = 3) Cơng thức tính : Ta có cn = f (ξ)dξ ∫ (ξ − z )n +1 với n = 0, ±1, ±2, ±3, Khi 2πi Ñ L n = −1 ⇒ c−1 = ∫ f (z)dz c−1 hệ số khai triển Laurent z0 2πi Ñ L 4) Cách tính thặng dư: a) Thặng dư cực điểm cấp m : Res [ f (z),a ] = (m −1) lim (z − a) m f (z)   (m − 1)! z →a  10 αf (t) + βg(t) ¤ αF(p) + βG(p) 2) Tính đồng dạng : cho f (t) Ô F(p) thỡ f (t) Ô p F  ÷với λ > λ λ 3) Dịch chuyn nh : cho f (t) Ô F(p) thỡ eat f (t) Ô F(p a) 4) Tớnh tr :Cho hàm f (t) hàm η(t − a)f (t − a) gọi hàm trễ f (t) với a>0 v f (t) Ô F(p) thỡ (t a)f (t a) Ô e pa F(p) 5) Hm xung biểu diễn hàm qua hàm η(t) :Hàm xung hàm có dạng ϕ(t) f (t) =  0 a < t < b t ∉ (a,b) ta có f (t) = η(t − a)ϕ(t) − η(t − b)ϕ(t) T 6) Ảnh hàm tuần hồn:Cho f (t) = f (t + T) +∞ ta cú f (t) Ô e pt f (t)dt = o =e − pT +∞ ∫e − pt f (t + T)dt = e − pT o +∞ ∫e f (t) Ô pu e pt f (t)dt − epT f (u)du T T T  +∞ − pu  − pT   − pu − pu  ∫ e f (u)du − ∫ e f (u)du ÷ = e  F(p) − ∫ e f (u)du  = F(p)  ÷ 0     T ⇒ F(p) = ∫e − pu f (u)du − e pT VÍ DỤ:Tìm ảnh hàm f (t) = sin t 7) Đạo hm ca hm gc: cho f (t) Ô F(p) Tỡm ảnh hàm f (k) (t) với k = ta cú f (t) Ô + e pt f ′(t)dt = e − pt f (t) +∞ +p +∞ ∫e − pt f (t)dt = pF(p) − f (0) 16 với k = f (t) Ô p [ pF(p) f (0) ] = p F(p) − pf (0) − f ′(0) f (k) (t) Ô p k F(p) p k −1f (0) − p k − 2f ′(0) − − pf (k − 2) (0) − f (k −1) (0) t 8) Tích phân hàm gốc : cho f (t) ¤ F(p) Tìm ảnh hàm ∫ f (u)du t Chứng minh : Giả sử ∫ f (u)du = (t) v (t) Ô (p) Khi ú (t) Ô p(p) − ϕ(0) ϕ(0) = Mặt khác ϕ′(t) = f (t) ,nên φ(p) = F(p) p 9) o hm hm nh: cho f (t) Ô F(p) Tỡm gốc F(k) (p) Chứng minh:Ta có F′(p) = + tf (t)dt tf (t) Ô F(p) nờn tiếp tục lấy đạo hàm theo p hai vế ta F′′(p) = +∞ ∫ (−t) f (t)dt ,tc l ( t) f (t) Ô F(p) F(k) (p) Ô ( t)k f (t) 10) Tớch phõn hm nh : cho f (t) Ô F(p) Tìm gốc ∫ F(u)du (nếu hội tụ) p Chứng minh: Ta có ∞  +∞ ∫  ∫ e p − ut +∞ +∞ +∞ ∞  f (t) − pt f (t) − ut f (t)dt  du = ∫ f (t)dt ∫ e du = ∫ e dt F(u)du Ô t t p p +∞ 11) Tích chập ảnh : Cho hai hàm f (t) g(t) ∫ f (u)g(t − u)du −∞ 17 gọi tích chập hai hàm f (t) g(t) Ký hiệu : f ∗ g = +∞ ∫ f (u)g(t − u)du −∞ LƯU Ý: • f ∗g = g∗f • Nếu f (t) g(t) hai hàm gốc +∞ t −∞ ∫ f (u)g(t − u)du = ∫ f (u)g(t − u)du với f (t) ¤ F(p) g(t) ¤ G(p) f ∗ g ¤ F(p)G(p) Chứng minh:Ta có f ∗ g ¤ +∞ ∫ (f ∗ g)e − pt dt = +∞  t ∫ +∞  +∞  − pt  − pt  ∫ f (u)g(t − u)du  e dt = ∫  ∫ g(t − u)e dt  f (u)du u     đặt t − u = v +∞  +∞ ∫  ∫  g(v)e − p(u + v) +∞ +∞  − pv dv  f (u)du = ∫ g(v)e dv ∫ e − pu f (u)du = F(p)G(p)  0 12) Công thức Duyhammen:Cho f (t) Ô F(p) v g(t) Ô G(p) thỡ pF(p)G(p) = p [ F(p) − f (0) ] G(p) + f (0)G(p) Ô f (0)g(t) + f g pF(p)G(p) = p [ G(p) − g(0) ] F(p) + f (0)F(p) Ô f (0)f (t) + g ∗ f (t) 13) Điều kiện để hàm ảnh hàm gốc Định lý : Giả sử hàm F(p) hàm biến phức thỏa mãn Giải tích nửa mặt phẳng Re p > so F(p) = plim →∞ 18 a + i∞ ∫ F(p)dp hội tụ tuyệt ∀ Re p ≥ a > so a − i∞ a + i∞ F(p)e pt dp Khi F(p) ảnh hàm gốc f (t) f (t) xác định f (t) = ∫ 2πi a − i∞ 14) Công thức tìm hàm gốc phân thức thực Cho F(p) = A(p) (tối giản).Giả sử a k (k = 1,M) cực điểm F(p) F(p) B(p) ảnh M pt hàm gốc f (t) f (t) = ∑  R esF(p)e ,p = a k  k =1 III Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số số: Cho phương trình a o x (n) + a1x (n −1) + a x (n − 2) + a x (n − 3) + + a n −1x ′ + a n x = f(t) thỏa mãn điều kiện x (k) (0) = x k với k = 0,n Cỏch gii : Gi s x Ô X thay x (k) B p k X − p k −1x o − p k − x1 − − px k − − x k −1 v f(t) Ô F(p) Qua ú ta tớnh c X = A(p) Từ ta tìm x(t) B(p) Chú ý: Đối với hệ phương trình ta làm tương tự VÍ DỤ: a) y′′ + (t + 1)y′ + ty = y(0) = 1; y′(0) = −1 b) Giải hệ phương trình  x ′′ − 3x − 4y + =   y′′ + x + y − = với điều kiện x(0) = x ′(0) = y(0) = y′(0) = §2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 19 I Nhắc lại số vấn đề chuỗi Fourier Cho hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2π ln có f(x) = ∞ ao + ∑ a n cos nx + b n sin nx n =1 đó: π • a o = ∫ f(x)dx π −π π • a n = ∫ f(x)cosxdx với n = 1,2,3 π −π • π b n = ∫ f(x)sinnxdx với n = 1,2,3 π −π ∞ ao nπ nπ + ∑ a n cos x + b n sin x Khi f(x) tuần hồn chu kỳ 2l ln có f(x) = n =1 l l hệ số xác định l • a o = ∫ f(x)dx l −l l nπ • a n = ∫ f(x)cos xdx với n = 1,2,3 l −l l l nπ • b n = ∫ f(x)sin xdx với n = 1,2,3 l −l l Nếu hàm f(x) hàm chẵn b n = với n = 1,2,3 hàm f(x) hàm lẻ a n = với n = 0,1,2,3 II Phép biến đổi Fourier 1) Định lý : Hàm f(x) khả tích R thỏa mãn điều kiện Đirichlet +∞ +∞ f(x) = ∫ dλ ∫ f (t)cos λ(t − x)dt (1) 2π −∞ −∞ 20 Ta có f (t)cos λ(t − x) hàm chẵn theo λ f (t)sin λ(t − x) lẻ theo λ nên +∞ +∞ +∞ +∞ 1 f(x) = d λ f (t) cos λ (t − x) − isin λ (t − x) dt = dλ ∫ f (t)e −iλ (t − x)dt (2) [ ] ∫ ∫ ∫ 2π −∞ −∞ 2π −∞ −∞ Khi (1) (2) gọi cơng thức tích phân Fourier thực phức tương ứng,và ta có +∞ +∞ +∞  +∞  1 − iλ (t − x) iλx − iλt dt = ∫ dλ ∫ f (t)e ∫ e  2π ∫ f (t)e dt  dλ 2π −∞ π −∞ −∞ −∞   2) Định nghĩa : Ta gọi +∞ f (t)e −iλt dt biến đổi Fourier hàm f(x) a) f$(λ) = ∫ 2π −∞ +∞ f$(λ)eiλx dλ biến đổi Fourier ngược hàm f(x) ∫ 2π −∞ b) f(x) = Nếu f(x) hàm chẵn f(x) = π = Và f$(λ) = f(x) = π π +∞ +∞ −∞ ∫ dλ ∫ f (t) [ cos λt cos λx − sin λt sin λx ] dt π +∞ ∫  +∞  cos λx  ∫ f (t)cos λtdt  dλ  π  +∞ ∫ f (t)cos λt dt gọi biến đổi Fourier theo cosin +∞ ∫ f$(λ)cos λxdλ gọi biến đổi Fourier ngược theo cosin Còn f(x) hàm lẻ tương tự ta có f$(λ) = π +∞ ∫ f (t)sin λtdt gọi biến đổi Fourier theo sin 21 f(x) = π +∞ ∫ f$(λ)sin λx dλ gọi biến đổi Fourier ngược theo sin LƯU Ý : a) Các định nghĩa có ý nghĩa túy tốn học b) Nếu hàm x(t) hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt λ = 2πf +∞ +∞  +∞   +∞  iλ t −iλ u i2πft −i2 πfu e x(u)e du d λ = e x(u)e du     df ta có x(t) = ∫ ∫ ∫ ∫ 2π −∞ −∞  −∞   −∞  c) Trong kỹ thuật người ta định nghĩa : µ )= • X(f +∞ ∫ x(u)e −i2 πfu du biến đổi Fourier hàm x(t) −∞ • x(t) = +∞ µ )e ∫ X(f i2 πft du biến đổi Fourier ngược hàm x(t) −∞ Ký hiệu : • F{ f (x)} = fˆ (λ) { biến i Fourier thun hoc f(x) Ô f$() } F1 fˆ (λ) = f (x) biến đổi Fourier ngược 0 t ≠ d) Hàm Dirac δ(t) =  ∞ t = +∞ Đó hàm chẵn thỏa mãn ∫ δ(t)dt =1 −∞ +∞ Với hàm f (t) liên tục ln có ∫ f (t)δ(t)dt = f (0) −∞ Khi (t) Ô + (t)e i2 ft dt = ⇒ F −1 { 1} +∞ = ∫ −∞ ei2 πft df δ(at) = δ(t) với a ≠ a 22 VÍ DỤ: a) Tìm hàm f (t) chẵn thỏa mãn +∞ ∫  − λ ≤ λ ≤ f (x)cos λtdt =  λ >  +∞ ∫ Qua tính tích phân I = sin x x2 Chứng minh:Ta có f (x) = π +∞  +∞ ∫  ∫  0 dx  f (x)cos λtdt  cos λxdλ = ∫ (1 − λ)cos λxdλ π0  λ =1  sin λx λ sin λx cos λx  − cos x =  − − = ÷ π x x x λ = π x2 +∞ Từ ∫ ( − cos x ) cos λxdx = π 1 − λ x2 ∫ ⇔ +∞ ∫ 2 ≤ λ ≤ λ > x  ÷   cos λxd  x  = π 1 − λ   ÷ 2    x    ÷ 2 +∞ sin ⇔  2 sin u u2 cos 2λudu = Với λ = I = π 1 − 2λ  2 ≤ λ ≤ λ > ≤ 2λ ≤ 2λ > π b) Tìm hàm lẻ f (t) thỏa mãn +∞ ∫ Do hàm lẻ nên f (t) = π 1 ≤ t <  f (u)sin(ut)du = 2 ≤ t ≤ 0 t ≥  +∞  +∞ ∫ ∫    f (u)sin λudu  sin λtdλ  23 1  f (t) =  ∫ sin λtdλ + ∫ sin λtdλ ÷ = ( − cos t − 2coss2t )  ÷ t 0  c) Từ biến đổi Fourier f(x) = e −x +∞ với x ≥ Tính I = ∫ x sin mx x2 + dx Chứng minh:Thác triển hàm f(x) = e− x thành hàm lẻ,khi biến đổi Fourier µ λ) = X( +∞ ∫ +∞  −u  ∞ ∞ λ −u e sin λudu =  e sin λu − λe cosλu − λ ∫ e − u sin λudu ÷ =  ÷ λ +1 u =0 u =0   −u Ta có f(x) = π π +∞ ∫ +∞ µ λ)sin λxdλ biến đổi Fourier ngược f(x) = e− x ∫ X( nên λ sin λx d λ = π λ2 + +∞ ∫ λ sin λx λ2 + dλ = e −x ⇒ I= +∞ ∫ x sin mx x2 + dx = π.e − m 3) Các tính chất (trong kỹ thuật): ˆ ) F{ y(t)} = Y(f ˆ ) với α ; β = cosnt a) Tuyến tính : Cho F{ x(t)} = X(f ˆ ) + βY(f ˆ ) F{ αx(t) + βy(t)} = αX(f ˆ ) F{ x(at)} = b) Đồng dạng : Cho F{ x(t)} = X(f µ )= Từ X(f +∞ ∫ x(u)e −i2 πfu ˆ f  X ÷ a a du −∞ F{ x(at)} = +∞ ∫ x(au)e − i2 πfu −∞ +∞ f +∞ f −i2 π v µ f ) a > a du = X( du = ∫ x(v)e a −∞ a a Khi a < ta có kết F{ x(at)} = +∞ ∫ x(au)e −∞ − i2 πfu −i2 π v µ f) a du = X( du = ∫ x(v)e a −∞ −a a 24 Tổng hợp ta có F{ x(at)} = ˆ f  X ÷ a a ˆ ) F{ x(t − t )} = e −i2 πt o X(f ˆ ) c) Trễ : Cho F{ x(t)} = X(f { } ˆ −f ) ˆ ) F ei2 πfo t x(t) = X(f d) Dịch chuyển ảnh : Cho F{ x(t)} = X(f ˆ ) e) Điều chế:Cho F{ x(t)} = X(f µ µ + f ) F{ x(t)cos(i2πf t)} = X(f − f ) + X(f   { } ˆ ) ˆ ) F x (k) (t) = (i2πf ) k X(f f) Đạo hàm hàm gốc: Cho F{ x(t)} = X(f Chứng minh: với k = x ′(t) = +∞ µ )e ∫ (i2πf )X(f i2 πft −∞ với k = x ′′(t) = +∞ ∫ (i2πf ) −∞ ˆ ) df tức F{ x ′(t)} = (i2πf )X(f 2µ ˆ ) Qua ta X(f )ei2πft df tức F{ x ′′(t)} = (i2πf ) X(f diều phải chứng minh { } ˆ (n) (f ) ˆ ) F t n x(t) = (−i2π) − n X g) Đạo hàm hàm ảnh : Cho F{ x(t)} = X(f µ (k) (f ) = Vì X +∞ ∫ (−i2πu) k { −∞ { } ˆ (n) (f ) hay x(u)e −i2πfu du tức F ( −i2πt) n x(t) = X } ˆ (n) (f ) F t n x(t) = (−i2π) − n X ˆ ) F{ y(t)} = Y(f ˆ ) F{ x ∗ y} = X(f ˆ )Y(f ˆ ) h) Tích chập: Cho F{ x(t)} = X(f Chứng minh: Ta có F{ x ∗ y} = +∞  +∞  −i2 πft x(u)y(t − u)du dt  e ∫∫  −∞  −∞  +∞ +∞ +∞  +∞  −i2 πft −i2 πfu ˆ )Y(f ˆ ) = ∫ x(u)  ∫ y(t − u)e dt  du = ∫ x(u)e du ∫ y(v)e −i2πfv dv = X(f  −∞  −∞ −∞ −∞ 25 III Biến đổi Fourier hữu hạn n =+∞ Cho dãy số { x(n)} n =−∞ Biến đổi Fourier hữu hạn xác định µ )= X(f n =+∞ ∑ x(n)e −i2πnf (khi chuỗi vế phải hội tụ) n =−∞ µ ) kí hiệu: F{ x(n)} = X(f µ )ei2 πnf df Và công thức biến đổi ngược x(n) = ∫ X(f µ )ei2 πfn df ta có x(n) = Nếu đặt ω = 2πf từ x(n) = ∫ X(f 2π 2π µ ω)e ∫ X( iωn dω n =+∞ Điều kiện đủ để dãy tín hiệu rời rạc { x(n)} n =−∞ có biến đổi Fourier hữu hạn là: n =∞ ∑ x(n) < ∞ (tức chuỗi hội tụ) n = −∞ µ ) F{ y(n)} = Y(f µ ) Tính chất: Cho F{ x(n)} = X(f µ ) + βY(f µ ) 1) Tuyến tính: F{ αx(n) + βy(n)} = α X(f µ ) 2) Trễ : F{ x(n − n o )} = e−i2πn o f X(f { } i2 πn f µ −f ) 3) Dịch chuyển ảnh: F e o x(n) = X(f o IV.Biến đổi Fourier rời rạc: Khi hàm số biểu diễn cho tín hiệu biến đổi Fourier chúng gọi biểu diễn phổ.Việc tính tốn biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải rời rạc hóa 26 cách chọn số hữu hạn giá trị mẫu theo thời gian phổ nhận số hữu hạn tần có số 1) Định nghĩa: Cho dãy số x(n) xác định với n ∈ { 0, 1, 2, 3, ,N-1} Chuỗi Fourier rời rạc dãy x(n) xác định X(k) = N −1 ∑ x(n)e − i2 πkn N k ∈Z n =0 Đặt W= i2 π eN Khi X(k) = N −1 ∑ x(n)W −kn n =0 a) W mN = W mN + n = W n Chứng tỏ W tuần hoàn chu kỳ N N −1 N −1 k =0 k =0 kn b) ∑ W = n ≠ l N ∑ W kn = N n = l N ( l ∈ ¥ ∗ ) N −1 Vì n ≠ l N W n ≠ W Nn = nên ∑ W kn = k =0 Còn n = l N W = nên n ( ) − Wn 1-W n N =0 N −1 ∑1= N k =0 2) Định nghĩa:Biến đổi Fourier rời rạc dãy tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N xác định : ° X(k) = N −1 ∑ x(m)W −mk m =0 với k = 0, N-1 Từ định nghĩa ta thấy 27 ° ° a) °X(k + mN) = X(k) Chứng tỏ X(k) hàm tuần hoàn chu kỳ N b) Biến đổi Fourier rời rạc dãy tín hiệu x(n) kết chu kỳ chuỗi Fourier rời rạc 3) Định lý:Với dãy tín hiệu x(n) tuần hồn chu kỳ N,thì N −1 ° x(n) = ∑ X(k)W nk gọi biến đổi Fourier ngược dãy tín hiệu x(n) tuần N k =0 hồn chu kỳ N Chứng minh: Thật vậy: N −1 ° N −1 N −1 N −1  N −1 nk − mk  nk k(n − m)  X(k)W = x(m)W W = x(m)W  ÷  ÷ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ÷ ÷ N k =0 N k =  m = N k =0  m =0   N −1  N −1 − k(m − n)  1 N −1 = ∑ x(m)  ∑ W = x(n) ∑ W − k(n − n) = x(n) ≤ m , n ≤ N − ÷ ÷ N m =0 k =0  k =0  N VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn x(n) = − x(n + N/2) ° ° CMR biến đổi Fourier rời rạc X(k) dãy x(n) thỏa mãn X(k) =0 ° = Chứng minh:Ta có X(k) N −1 ∑ x(n)W − kn n =0 =− N + N −1 ∑ m= N N k − km x(m)W W =− N + N −1 ∑ m= N N −1 = − ∑ x(n + N / 2)W − kn n =0 ° ° x(m)W − km = − X(k) Từ X(k) =0 28 V QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER Định lý : Giả sử hàm F(p) hàm biến phức thỏa mãn Giải tích nửa mặt phẳng Re p > so F(p) = plim →∞ a + i∞ ∫ F(p)dp hội tụ tuyệt ∀ Re p ≥ a > so a − i∞ a + i∞ F(p)e pt dp Khi F(p) ảnh hàm gốc f (t) f (t) xác định f (t) = ∫ 2πi a − i∞ Cho hàm f (t) thỏa mãn điều kiện hàm gốc phép biến đổi Laplace, để f (t) có ảnh Fourier f (t) khả tích ¡ Tức f (t) < Meαt (α < 0) a + i∞ i∞ 1 pt e F(p)dp f (t) = e pt F(p)dp Ta có f (t) = Do α < chọn a = , nên ∫ ∫ 2πi a − i∞ 2πi −i∞ +∞ $ λ) , hay ta viết lại eiλt F(iλ)dλ F(iλ) = F( đặt p = iλ f (t) = ∫ 2π −∞ +∞  +∞  iλ t − iλ u f (t) = ∫  ∫ f (u)e du  e dλ 2π −∞  −∞  Đặc biệt λ = 2πf : x(t) = +∞  +∞ ∫  ∫ x(u)e −∞  −∞ − i2 πfu  du  ei2πft dλ  $ λ) với p = iλ Nh vy :vi F(p) Ô f (t) thỡ F(p) = F( Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier hàm (t − 1) t > x(t) =  < t <  29 Chứng minh: Theo Laplace: x(t) = η(t − 1)(t − 1) 2e− p p = 2e −iλ (iλ) = 2i 2Ô 2e p p vi p = iλ cos λ − isin λ λ3 Mặt khác $ λ) = F( +∞ ∫ (t − 1) t =+∞ − iλt e  (t − 1) e −iλt 2(t − 1)e −iλt 2e −iλt  2e −iλ dt =  − − − =  iλ (iλ) (iλ)3  t =1 (iλ)3  30 ... F(B) − F(A) » AB II Định lý Cơsi:Nếu hàm f(z) giải tích miền G có biên L(trơn) Đ ∫ f (z)dz = L III Cơng thức tích phân Cơsi : Nếu hàm f(z) giải tích miền G có biên L(trơn) z ∈ G f (z) ∫ z − zo... Ñ ∫ Ñ ∫ z −1 = z zdz +9 Tích phân loại Côsi :Giả sử L đường cong trơn khúc f(z) liên tục L,khi f ( ξ) dξ gọi tích phân loại Cơsi ξ − z L ∀z ∉ L F(z) = ∫ f ( ξ) dξ giải tích miền D khơng ξ − z... thời f (z) giải tích z = a Res [ f (z),a ] = f1(a) f 2′ (a) c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent qua xác định c−1 II ỨNG DỤNG 1) Tích phân phức đường