Giải tích phức

1 CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC §1. SỐ PHỨC I. Dạng đại số của số phức được xác định z = x + iy trong đó : x Rez  gọi là phần thực của z y Imz  gọi là phần ảo của z Cho hai số phức 1 1 1 2 2 2 z x iy ;z x iy     ta nói 1 2 1 2 z z x x    và 1 2 y y  số phức z x iy   gọi là số phức liên hợp của z x iy   Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục ảo,còn trục 0x là trục thực . Khi cho z x iy   thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M. Độ dài vectơ OM  được gọi là môdun của số phức z x iy   và 2 2 OM x y z r      Góc    0x,OM k2       được gọi là Argumen của z ,còn argz   gọi là argumen phần chính của z.    z r cos isin     được gọi là dạng lượng giác của số phức  2 z z.z  Công thức Moavơrơ:       n n n z r cos isin z r cos isin r cosn isinn                  thừa nhận: i cos isin e      (công thức ơle) Ví dụ: a) 1 2 1 2 Arg(z z ) Argz +Argz   b) 1 1 2 2 z Arg Argz -Argz z  c) 1 2 1 2 z z z z  d) 1 2 1 2 z / z z / z  2 e) Vi Rez 0 và Rea 0 thỡ a z 1 a z f) 1 2 z z 1 v 1,2 z 1 thỡ 1 2 1 2 z z 1 z z II. CN BC n CA S PHC W c gi l cn bc n ca s phc z v vit n n W z (n N) nếu W z n 1 k2 k2 Giả sử z r(cos isin ) và W=r (cos isin ) W= r(cos isi n ) n n (Cần chỉ rõ cho học sinhcănbậc n chỉ có n giá trị ph ân biệt với k 0,n 1) 3 4 VD:Tính 1 i ; 1 Đ2. HM BIN PHC Khỏi nim:Hm f(z) xỏc nh trờn tp G vi o z G m o f(z ) cú duy nht mt giỏ tr thỡ hm f(z) gi l hm n tr,trỏi li hm c gi l hm a tr. I. Gii hn Lu ý: o z z lim f(z) thỡ o z z theo nhiu cỏch khỏc nhau vi hm f(z) biu din di dng f(z) U(x,y) iV(x,y) với z x iy II. o hm ca hm bin phc o o o z 0 f(z z) f(z ) W f (z) lim f (z ) z v z 0 theo nhiu cỏch khỏc nhau ta cú o o o z 0 f(z z) f(z ) lim f (z ) z vi z x iy; z x i y o o o o o o o o o o f(z z) f(z ) U(x x,y y) iV(x x,y y) U(x ,y ) iV(x ,y ) cho y 0 v x 0 o x o o x o o f (z ) U (x ,y ) iV (x ,y ) cho x 0 v y 0 o y o o y o o f (z ) V (x ,y ) iU (x ,y ) 3  x o o y o o U (x ,y ) V (x ,y )    và x o o y o o V (x ,y ) U (x ,y )     (Đ/k Côsi-Riman) Nhận xét: a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman. Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm U(x,y),V(x,y) cùng các đạo hàm riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm. b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực. Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy 2 2 2 2 x y x y U U 0 vµ V V 0         đó là các hàm điều hòa. Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các hàm điều hòa. III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1) Hàm n W z  đơn trị và n 1 W nz    2) Hàm n n W z W z    đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo từng nhánh 3) Hàm mũ là hàm có phần thực x e cosy và phần ảo x e sin y  x iy z W e e    đó là hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực 4) Hàm lượng giác: iz iz e e cosz 2    ; iz iz e e sinz 2i    ; sinz tgz cosz  và cosz cotgz sinz  Lưu ý: a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực. b) cosz và sinz nói chung không bị chặn như trong thực,chẳng hạn n n e e cos(ni) 1 2     với n 1  5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm z W=e và viết W Lnz  . khai triển ta được Lnz ln z i(argz k2 )     với k   ,còn lnz ln z iargz   được gọi là nhánh chính của Lnz .Các tính chất của Lnz tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm của Lnz ta phải thực hiện trên từng nhánh. 4 6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị : a) 2 W = arcsin z = -iln(iz+ 1 )  z b) 2 W = arccosz = -iln(z+ 1)  z c) 1 W = ar n 2 1    i iz ctgz l iz Ví dụ:Tính Re(ar )  i ctge với  nhọn 7) Hàm lũy thừa tổng quát a W=z với a i     và viết aLnz W=e cụ thể   ( i ) ln z iArgz i ln z Argz ln z Argz W = e e e            §3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC I. Định nghĩa:Cho hàm f(z) xác định trên đường  L AB  ,chia  AB bởi các điểm chia theo thứ tự 0 1 2 3 n A z ,z ,z ,z z B   trên cung từ k z đến k 1 z  lấy bất kỳ điểm k  nếu tồn tại giới hạn n k k d 0 k 0 lim f ( ) z      trong đó k d max z   với k k 1 k z z z     và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia  AB và cách chọn k  thì giới hạn đó gọi là tích phân hàm f(z) dọc theo cung  AB và viết  AB f (z)dz  Với z x iy   và f(z) U(x,y) iV(x,y)   trong đó dz dx idy   thì    AB AB AB f(z)dz U(x,y)dx V(x,y)dy i V(x,y)dx U(x,y)dy        Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân đường loại 2. Ví dụ: Tính 0 n 0 z z dz (z z )     với n   5 Nếu có hàm F(z) thỏa mãn F (z) f(z)   thì   z B z A AB z AB f (z)dz F(z) F(B) F(A)          II. Định lý Côsi:Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì L f(z)dz 0    III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) và 0 z G  thì o o L 1 f(z) dz f (z ) 2 i z z     Chứng minh : Ta có o o o o o L L L f(z) f(z ) 1 f(z) 1 1 dz dz dz f(z ) 2 i z z 2 i z z 2 i z z               mặt khác do 0 f (z) f(z )    nên o o o o o L L L f(z) f(z ) 1 f(z) 1 dz 1 dz f(z ) dz 2 i z z 2 i z z 2 i z z                  tức là o o L 1 f(z) dz f (z ) 2 i z z     Ví dụ : a) z 1 2 dz I z 2      b) 2 z 1 2 zdz I z 9      IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc f(z) liên tục trên L,khi đó z L   thì L f( ) F(z) d z       được gọi là tích phân loại Côsi. Định lý : Cho f(z) liên tục trên L,khi đó L f( ) F(z) d z       giải tích miền D không chứa L và (n) n 1 L n! f( ) F (z) d 2 i ( z)         6 Ví dụ : a) 3 2 z 4 2 cosz I dz (z 1) (z 5)       b) 2 3 z 1 1 dz I (z 1)      §4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT I.Chuỗi Taylor: Mọi hàm f(z) giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng   (n) n n 0 f (a) f(z) z a n!     Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại z 0  a)   2n 1 n n 0 z sinz ( 1) 2n 1 !        b)   2n n n 0 z cosz ( 1) 2n !      c) n z n 0 z e n!     Đặc biệt z ix  ta có     n 2n 2n 1 ix n n n 0 n 0 n 0 (ix) z z e ( 1) i ( 1) n! 2n ! 2n 1 !                 và ix e cosx isin x   (Công thức Euler) II.Chuỗi Laurent: 1. Định lý và định nghĩa : Hàm f(z) giải tích trong miền   G r z a R     ; z G  thì luôn có     n n n n n 0 n 1 c f(z) c z a z a            .Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của f(z) tại tâm z a  trong đó 7    n n n 0 c z a     gọi là phần đều    n n n 1 c z a      gọi là phần chính Chứng minh : Theo tích phân Côsi 2 1 C L L 1 f( ) 1 f( ) 1 f( ) f(z) d d d 2 i z 2 i z 2 i z                        trong đó 1 L và 2 L là hai đường tròn tâm z a  ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi 1 L và 2 L chứa z. Ta có 1 1 z ( a) (z a)        với n 2 n 1 n 0 1 (z a) L a z a ; ( a) (z a) ( a)                    2 2 n n 1 n 0 L L 1 f( ) 1 f( )d d (z a) 2 i z 2 i ( a)                    (1) Tương tự với 1 L   1 1 n n 1 n 0 L L 1 f( ) 1 f( )d d ( a) 2 i z 2 i (z a)                     (2) Trong (2) đặt n 1 k     2 2 1 n n n 1 n 1 n 0 n 1 L L L 1 f( )d 1 f( )d (z a) (z a) 2 i 2 i ( a) ( a)                                           trong 2 tích phân trên 1 L và 2 L không phụ thuộc vào đường lấy tích phân . Nên ta đặt n n 1 L 1 f ( )d c 2 i ( a)         với n 0, 1, 2, 3,     Đó là điều phải chứng minh. III.PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG 1) Không điểm: z a  được gọi là không điểm của f(z) nếu f(a) 0  , còn z a  được gọi là không điểm cấp m của f(z) nếu: m f(z) (z a) (z)    trong đó (a) 0   và giải tích 8 tại z a  . 2) Định nghĩa: z a  được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) nếu trong lân cận của z a  chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của f(z) . Giả sử z a  là điểm bất thường cô lập của hàm f(z)  z a lim f (z) A   thì z a  gọi là điểm bất thường bỏ được.  Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a  chỉ có hữu hạn số hạng tức là       n m m 1 1 n m m 1 n 1 c c c c z a z a z a z a                  trong đó m c 0   thì z a  được gọi là cực điểm cấp m.  Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a  có vô số số hạng thì z a  được gọi là điểm bất thường cốt yếu. 3) Định lý : Cho 1 2 f (z) f(z) f (z)  trong đó 2 f (z) nhận z a  là không điểm cấp m và 1 f (a) 0  .Thì f(z) nhận z a  là cực điểm cấp m. §5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG I.THẶNG DƯ 1) Định nghĩa : Cho 0 z là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) thì o z z r 1 f(z)dz 2 i     không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi o z z r 1 f(z)dz 2 i     là thặng dư của f(z) tại 0 z .Ký hiệu   o o z z r 1 Resf(z),z z f(z)dz 2 i       2) Công thức tính : Ta đã có n n 1 0 L 1 f( )d c 2 i ( z )         với n 0, 1, 2, 3,     Khi n 1   9  1 L 1 c f (z)dz 2 i     trong đó 1 c  là hệ số trong khai triển Laurent tại 0 z 3) Cách tính thặng dư: a) Thặng dư cực điểm cấp m :   (m 1) m z a 1 Resf(z),z a lim (z a) f(z) (m 1)!           b) Cho 1 2 f (z) f(z) f (z)  trong đó 2 f (z) nhận z a  là không điểm cấp 1 và 1 f (a) 0  đồng thời 2 f (z) giải tích tại z a  thì   1 2 f (a) Resf(z),z a f (a)    c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent qua đó xác định 1 c  II.ỨNG DỤNG 1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử k a (k 1,N)  là các điểm bất thường của f(z) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì   N k k 1 L f(z)dz 2 i Resf(z),z a       2) Tích phân thực f (x)dx    trong đó f(x) là phân thức hữu tỷ  Bổ đề : Gọi R C là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có Imz 0  và thỏa mãn z lim zf (z) 0   với 0 argz    thì R R C lim f(z)dz 0    . Chứng minh : phương trình R C : i z Re (0 )        R i i C 0 f(z)dz f (Re )d(Re )       10 từ giả thiết ta có i i 0 0 f (Re )iRe d zf(z) d            .Đó là điều phải chứng minh.  Định lý : Cho 1 2 f (z) f(z) f (z)  với i f (z) có 1 2 degf (z) 2 degf (z)   và f(z) có k a (k 1,N)  là các cực điểm ở phía trên 0x và k b (k 1,M)  là cực điểm đơn trên 0x Khi đó     N M k k k 1 k 1 f(x)dx 2 i Resf(z),z a i Resf(z),z b              3) Tích phân dạng f (x)cos xdx     và f(x)sin xdx     với ( 0)   Theo công thức ơle,ta có i x f(x)e f(x)cos x if(x)sin x      khi đó i x f(x)e dx f(x)cos xdx i f(x)sin xdx               nếu các tích phân hội tụ. Qua đó i x f(x)cos xdx Re f(x)e dx                    và i x f(x)sin xdx Im f(x)e dx                    a) Bổ đề : Gọi R C là cung tròn z R  có Imz a  với a   cố định.Nếu i x F(z) e f(z)   với 0   cố định,còn f(z) giải tích trong nửa mặt phẳng Imz a  trừ một số hữu hạn các điểm bất thường và z lim f(z) 0   thì R i x R C lim e f (z)dz 0     b) Định lý : Cho 1 2 f (z) f(z) f (z)  với i f (z) có 1 2 degf (z) 1 degf (z)   và f(z) có k a (k 1,N)  là các cực điểm ở phía trên 0x và k b (k 1,M)  là cực điểm trên 0x. Khi đó N M i x i x i x k k k 1 k 1 f(x)e dx 2 i R esf(z)e ,z a i R esf(z)e ,z b                         [...]... F(p) là hàm biến phức thỏa mãn 1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p  so 2 lim F ( p )  0 p  a  i 3 F ( p )dp hội tụ tuyệt đối với  Re p  a  so  a  i a  i 1 pt Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định f (t )   F ( p)e dp 2 i a  i Cho một hàm f (t) thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi Laplace, để f (t) có ảnh Fourier thì f (t) khả tích trên  Tức...  f (0)g(t)  f   g hoặc pF(p)G(p)  p  G(p)  g(0)  F(p)  f (0)F(p)  f (0)f (t)  g   f (t) 16 13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn 1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p  so 2 lim F ( p )  0 p  a  i 3  F ( p )dp hội tụ tuyệt đối với  Re p  a  so a  i a  i 1 pt Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác... f(x) khả tích trên  và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì   1 f(x) =  d   f (t )cos (t  x)dt (1) 2   Ta có f (t )cos (t  x) là hàm chẵn theo  và f (t )sin (t  x) lẻ theo  nên     1 1  i  (t  x ) f(x) = d   f (t )  cos  (t  x)  i sin  (t  x) dt  dt (2)   d   f (t )e 2   2   Khi đó (1) và (2) được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương... F(p)  F(k) (p)  ( t)k f (t) 0  10) Tích phân hàm ảnh : cho f (t)  F(p) Tìm gốc của  F(u)du (nếu hội tụ) p Chứng minh: Ta có      e   ut p 0      f (t)  pt f (t)  ut f (t)dt  du   f (t)dt  e du   e dt   F(u)du  t t  0 p 0 p   11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm f (t) và g(t) thì  f (u)g(t  u)du được   gọi là tích chập của hai hàm f (t) và g(t) Ký hiệu... ảnh B( p) M của hàm gốc f (t) và f (t )    R esF ( p )e pt , p  ak    k 1 III.Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số: Cho phương trình ao x ( n )  a1 x (n 1)  a2 x (n  2)  a3 x ( n  3)   an 1 x  a n x = f(t) thỏa mãn điều kiện x ( k ) (0)  xk với k  0, n  1 Cách giải : Giả sử x  X thay x ( k )  p k X  p k 1 xo  p k  2 x1   pxk  2  xk 1 và f(t)... víi n  0   z   víi n  0   z  z   víi n  0   z 1    với z  1 12 II.Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm W  f (z) hãy tìm một dãy số x (n) sao cho qua biến đổi Z dãy x (n) cho ảnh là W  f (z) CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN §1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE I.KHÁI NIỆM: 1) Định nghĩa : Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau... hàm gốc ta chỉ cần ghi f (t) là hàm gốc  2) Định lý: Giả sử so là chỉ số tăng của f (t) ,với p  s  i thì tích phân  f (t)e  pt dt o  hội tụ s  so ,hơn nữa lim  f (t)e p   pt dt  0 o 13  Chứng minh:Ta có   f (t)e  pt dt  M o e  (s  so )t dt  o M với s  so Tức là tích phân s  so   f (t)e  pt dt hội tụ.Mặt khác khi p   tức là s   o  hay   f (t)e  pt dt   ... và f(t)  F ( p ) Qua đó ta tính được X  A( p ) Từ đây ta tìm được x(t ) B( p) Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự VÍ DỤ: a) y   (t  1) y   ty  0 víi y (0)  1; y (0)  1 b) Giải hệ phương trình  x  3 x  4 y  3  0   y   x  y  5  0 17 với điều kiện x (0)  x(0)  y (0)  y (0)  0 §2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER I Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier ao  Cho hàm... e  pt f (t)dt  pF(p)  f (0) 0 với k  2 thì f (t)  p  pF(p)  f (0)   p 2 F(p)  pf (0)  f (0) vậy f (k) (t)  p k F(p)  p k 1f (0)  p k  2 f (0)   pf (k  2) (0)  f (k 1) (0) t 8) Tích phân hàm gốc : cho f (t)  F(p) Tìm ảnh của hàm  f (u)du 0 t Chứng minh : Giả sử  f (u)du  (t) và (t)  (p) Khi đó (t)  p(p)  (0) nhưng 0 (0)  0 Mặt khác (t)  f (t) ,nên (p)  F(p)... (t)e i 2 ft dt  1  F 1 1 =  ei 2ft df  và (at)   1 (t) với a  0 a VÍ DỤ: a) Tìm hàm f (t ) chẵn thỏa mãn   0  1   víi 0    1 f ( x)cos tdt   víi   1  0  Qua đó tính tích phân I =  sin 2 x x 0 2 Chứng minh:Ta có f ( x )   2      0  0 dx 1  2 f ( x)cos tdt  cos xd    (1  )cos xd  0   1 2  sin x  sin x cos x  2 1  cos x     = . CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC §1. SỐ PHỨC I. Dạng đại số của số phức được xác định z = x + iy trong đó : x Rez  gọi là phần thực của z y Imz  gọi là phần ảo của z Cho hai số phức 1.    II. Định lý Côsi:Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì L f(z)dz 0    III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) và 0 z. phức tương tự như hàm biến thực. Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy 2 2 2 2 x y x y U U 0 vµ V V 0         đó là các hàm điều hòa. Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích