TÍCH PHÂN

CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG TCH PHN CễNG THC Bng nguyờn hm Nguyờn hm ca nhng hm s s cp thng gp Nguyờn hm ca nhng hm s thng gp dx = x + C x dx = dx x = ln x + C ( x 0) e dx = e + C sin xdx = cos x + C cos x dx = tan x + C x ax a dx = + C ( < a 1) ln a cos xdx = sin x + C x du = u + C x sin d ( ax + b) = a ( ax + b) + C x +1 + C ( 1) +1 x Nguyờn hm ca nhng hm s hp dx = cot x + C +1 ( ax + b ) dx = ( ax + b ) + C ( 1) a +1 dx = ln ax + b + C ( x ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) u du = u +1 + C ( 1) +1 du u = ln u + C ( u 0) e du = e + C u u au + C ( < a 1) ln a cos udu = sin u + C sin udu = cos u + C cos u du = tan u + C a u dx = sin u du = cot u + C I. I BIN S TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON 1. i bin s dng b tớnh tớch phõn ũ f[u(x)]u (x)dx ta thc hin cỏc bc sau: / a Bc 1. t t = u(x) v tớnh dt = u/ (x)dx . Bc 2. i cn: x = a ị t = u(a) = a, x = b ị t = u(b) = b . b Bc 3. b ũ f[u(x)]u (x)dx = ũ f(t)dt . / a a II. TCH PHN TNG PHN 1. Cụng thc Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú / / / / ( uv ) / = u v + uv ị ( uv ) / dx = u vdx + uv dx b ị d uv = vdu + udv ị ( ) b ũ d(uv) = ũ vdu + ũ udv a b ị uv b a = b a a Cụng thc: GV: CAO VN LIấM a a b b ũ vdu + ũ udv ị ũ udv = uv a b b a - ũ vdu . a CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG b b ũ udv = uv b a ũ vdu (1). - a a Cụng thc (1) cũn c vit di dng: b b ũ f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a ũ f (x)g(x)dx (2). / - a a 2. Phng phỏp gii toỏn b Gi s cn tớnh tớch phõn ũ f(x)g(x)dx ta thc hin a Cỏch 1. Bc 1. t u = f(x), dv = g(x)dx (hoc ngc li) cho d tỡm nguyờn hm v(x) v vi phõn b ũ vdu phi tớnh c. / du = u (x)dx khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn a Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu. c bit: b i/ Nu gp b ũ P(x) sinaxdx, ũ P(x) cosaxdx, ũ e ax a b ii/ Nu gp b a .P(x)dx vi P(x) l a thc thỡ t u = P(x) . a ũ P(x) ln xdx thỡ t u = ln x . a Cỏch 2. b Vit li tớch phõn b ũ f(x)g(x)dx = ũ f(x)G (x)dx v s dng trc tip cụng thc (2). / a a III. TCH PHN CHA GI TR TUYT I Phng phỏp gii toỏn 1. Dng b Gi s cn tớnh tớch phõn I = ũ f(x) dx , ta thc hin cỏc bc sau a Bc 1. Lp bng xột du (BXD) ca hm s f(x) trờn on [a; b], gi s f(x) cú BXD: a x f(x) b Bc 2. Tớnh I = + x1 x1 x2 - + x2 b b ũ f(x) dx = ũ f(x)dx - ũ f(x)dx + ũ f(x)dx . a a x1 x2 Vớ d 9. Tớnh tớch phõn I = ũx - 3x + dx . - Gii Bng xột du x x - 3x + 2 - + I = - ũ( x ũ( x - 3x + 2) dx - - GV: CAO VN LIấM - 3x + 2) dx = 59 . CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG Vy I = 59 . 2. Dng b Gi s cn tớnh tớch phõn I = ũ [ f(x) g(x) ] dx , ta thc hin a Cỏch 1. b Tỏch I = b ũ [ f(x) g(x) ] dx = a b ũ f(x) dx ũ g(x) dx ri s dng dng trờn. a a Cỏch 2. Bc 1. Lp bng xột du chung ca hm s f(x) v g(x) trờn on [a; b]. Bc 2. Da vo bng xột du ta b giỏ tr tuyt i ca f(x) v g(x). Vớ d 11. Tớnh tớch phõn I = ũ( x - x - ) dx . - Gii Cỏch 1. I = ũ( x - x - ) dx = - =- ũ x dx - ũ x - x2 + - x2 1)dx - - dx - ũ xdx + ũ xdx + ũ (x - =- ũ (x - 1)dx ổx2 +ỗ - xữ ữ ữ ỗ ố2 ứ - ổx2 ỗ - xữ ữ ữ = 0. ỗ ố2 ứ Cỏch 2. Bng xột du x x x1 I = ũ( - x + x - 0 + + + 1) dx + ũ ( x + x - 1) dx + ũ ( x - x + 1) dx = - x -0 + ( x - x ) + x 12 = 0. Vy I = . V. NG DNG CA TCH PHN A. TNH DIN TCH HèNH PHNG 1. Din tớch hỡnh thang cong Cho hm s f(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc ng b y = f(x), x = a, x = b v trc honh l S = ũ f(x) dx . a Phng phỏp gii toỏn Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) trờn on [a; b]. b Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn ũ f(x) dx . a Vớ d 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = ln x, x = 1, x = e v Ox. GV: CAO VN LIấM CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG Gii ln x " x ẻ [ 1; e] nờn Do e S= e ũ ln x dx = ũ ln xdx = x ( ln x 1) e = 1. Vy S = (vdt). Vớ d 2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = - x2 + 4x - 3, x = 0, x = v Ox. Gii Bng xột du x y + S=- ũ( - x + 4x - 3) dx + ũ ( - x2 + 4x - 3) dx ổ x ổ x3 ữ ỗ =- ỗ + 2x + 3x + + 2x2 + 3x ữ = . ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ0 ố ứ1 Vy S = (vdt). 2. Din tớch hỡnh phng 2.1. Trng hp 1. Cho hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b l S = ũ f(x) - g(x) dx . a Phng phỏp gii toỏn Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) - g(x) trờn on [a; b]. b Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn ũ f(x) - g(x) dx . a 2.2. Trng hp 2. Cho hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng b y = f(x), y = g(x) l S = ũ f(x) - g(x) dx . Trong ú a, b l nghim nh nht v ln nht ca a phng trỡnh f(x) = g(x) ( a Ê a < b Ê b ) . Phng phỏp gii toỏn Bc 1. Gii phng trỡnh f(x) = g(x) . Bc 2. Lp bng xột du hm s f(x) - g(x) trờn on [ a; b] . b Bc 3. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn ũ f(x) - g(x) dx . a Vớ d 3. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2. Gii t h(x) = (x + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = x = x = x = (loi). Bng xột du x GV: CAO VN LIấM CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG h(x) + S=- ũ( x - 6x + 11x - 6) dx + ũ ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx ổx ổx 11x 11x2 3 ữ ỗ =- ỗ 2x + 6x + 2x + - 6x ữ = . ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố4 ứ0 ố ứ1 2 Vy S = (vdt). Vớ d 4. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 . Gii t h(x) = (x3 + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = x = x = x = . Bng xột du x h(x) + S= ũ( x ũ( x - 6x + 11x - 6) dx - 6x2 + 11x - 6) dx ổx 11x =ỗ - 2x3 + - 6x ữ ữ ữ ỗ ố4 ứ ổx 11x2 ỗ - 2x3 + - 6x ữ = . ữ ữ ỗ ố4 ứ2 2 Vy S = (vdt). Chỳ ý: Nu on [ a; b] phng trỡnh f(x) = g(x) khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng b thc b ũ f(x) - g(x) dx = a ũ [ f(x) - g(x) ] dx . a B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY 1. Trng hp 1. Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = f(x) 0" x ẻ [ a;b ] , y = , b x = a v x = b (a < b) quay quanh trc Ox l V = pũ f 2(x)dx . a 2. Trng hp 2. Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x = g(y) 0" y ẻ [ c;d ] , x = , d y = c v y = d (c < d) quay quanh trc Oy l V = p g2(y)dy . ũ c 3. Trng hp 3. Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = f(x), y = g(x) , x = a v x = b (a < b, f(x) 0,g(x) " x ẻ [ a; b ]) quay quanh trc Ox l b V = pũ f 2(x) - g2(x) dx . a Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x2 , y2 = x quay quanh Ox. Gii GV: CAO VN LIấM CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG ỡù x ộx = Honh giao im ùớ ờx = . ùù x = x ợ ị V = pũ x - x dx = p ( ũ( x - x ) dx ) 3p x - x = . 10 3p Vy V = (vtt). 10 =p 4. Trng hp 4. Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x = f(y), x = g(y) , y = c v y = d (c < d, f(y) 0,g(y) " y ẻ [ c; d ]) quay quanh trc Oy l d V = pũ f 2(y) - g2(y) dy . c Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x = - y2 + , x = - y quay quanh Oy. Gii ộy = - Tung giao im - y + = - y ờy = . 2 ị V = pũ ( - y2 + 5) - ( - y ) dy - =p ũ( y - 11y2 + 6y + 16) dy - ổy5 11y3 153p =pỗ + 3y2 + 16y ữ ữ = . ỗ ỗ ữ ố5 ứ - 153p (vtt). Vy V = BI TP Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : I= J = e2 x x e ( cos x 3sin x ) dx ; ữ; K = x ( x ) dx ; L= ( 2x ) x Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : cos xdx ; I = sin x + J = cos x + 1sin xdx ; H = x + 1dx ; GV: CAO VN LIấM e K = 19 G= xdx x2 + ; e dx x ( ln x + 1) ln xdx ; x L= ; e tan x dx ; cos x T = dx . CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG e + ln x J = dx . x I = ( cos x ) sin xdx ; D = ( 2sin x + 1) cos xdx ; Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau õy : sin x J = x ữdx ; + cos x I = ( 4sin x cos x + 1) dx ; ( 3ln x + K = 1ữ ữdx x ) e L = x x + dx ; Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau õy : ( ) x + x xdx ; e x + ln x x dx ; cos x + sin x cos3 x dx ( 4sin x cos x + 1) sin xdx ; Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau õy : x + xdx ; e ln xdx ( ln x + 3) x ; sin x cos xdx + cos x ; 2 sin x cos xdx 3sin x + ; x 3dx x2 + Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : x sin xdx ; ( x ) cos xdx ; ( 3x ( x + 1) ln xdx ; e x ( x + 1) e dx ; x ln xdx ; x ) ln xdx Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : x ( e ) xdx ; e ( + cos x ) xdx ; ( + ln x ) dx ; ( sin x x ) xdx ; ( sin x + cos x ) xdx ; ( e x sin x ) xdx Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : e ( xe ( + x ln x ) dx ; x + 3) dx ; ( x cos x ) dx ; ( x sin x cos x ) dx . Bi : Tớnh cỏc tớch phõn sau : e x ln x + 1 x dx ; e x ( x ln x + 2) dx ; x e x + e x ữdx ; BI TP NNG CAO Bi 1. H, C A 2007. Tớnh din tớch hỡnh phng g/h bi : GV: CAO VN LIấM cos x ( x tan x ) dx CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG ( ) y = ( e + 1) x, y = + e x x . e KQ: Bi 2. H, C B 2007. Tớnh th tớch ca tr xoay to thnh quay hỡnh H g/h bi: y = x ln x , y = 0, y = e . quanh trc Ox. ( 5e3 ) KQ: 27 Bi 3. H, C D 2007 e I = x3 ln x dx KQ: 5e4 32 Bi 4. 2x + dx 2x + 1+ I= KQ: + ln2 Bi 5. Tớnh din tớch hỡnh phng g/h bi : y = v y = x ( x) x +1 . Bi 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gh bi: y = x v y = x . Bi 7. x ( x 1) I= Bi 8. x KQ: + + ln2 KQ: + ln2 ln3 dx KQ: I = x cos x dx KQ: 2 Bi 9. CSPTW 2007 Tớnh din tớch hỡnh phng g/hn bi cỏc ng sau: y = x ; y = x ; x = 1; x = . Bi 10. I = Bi 11. I = cos3 x dx + sin x x+2 x+1 KQ: KQ: dx KQ: 231 10 Bi 12. C Khi A 2007 I= x Bi 13. I = Bi 14. I = e ( x ln x ) 2007 1+ x ữ ( x sin x ) dx dx dx KQ: 32008 22008 2008 KQ: 5e3 27 KQ: + 384 32 ( ) Bi 15. C Khi B 2007. Tớnh din tớch hỡnh phng g/h bi cỏc ng sau y = x , y = x + cos2 x , x = , x = . KQ: Bi 16. I = x + dx KQ: GV: CAO VN LIấM CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG Bi 17. I = Bi 18. I = dx x (x x KQ: ) +1 14 31 KQ: e 60 x2 1dx KQ: Bi 19. I = x(e 2x Bi 20. I = xe x ) + x + dx 12 dx KQ: Bi 21. H, C Khi A 2008 tan x I= dx cos x KQ: ( ) 10 ln + Bi 22. H, C Khi B 2008 sin x ữdx I= sin x + ( + sin x + cos x ) KQ: 43 ln x dx x3 I = Bi 23. H, C Khi D 2008 KQ: Bi 24. Tớnh din tớch hỡnh phng g/h bi: ( P ) : y = x + x v d : y = x . /2 Bi 25. I = sin x dx + sin x cos x Bi 26. H, C Khi A 2009 KQ: ln I = (cos3 x 1) cos2 xdx KQ: Bi 27 . H, C Khi B 2009 ln 16 KQ: (vdt) + ln x dx (x + 1) I= KQ: 15 (1 + ln 3) ln Bi 28. H, C Khi D 2009 dx e 1 I= KQ: + ln(e + e + 1) x Bi 29. C Khi A, B, D 2009 I = (e 2x + x)e x dx KQ: Bi 30. H, C Khi A 2010 x + e x + 2x e x dx + 2e x I= e Bi 31 . H, C Khi B 2010 I = ln x dx x(2 + ln x) e Bi 32 . H, C Khi D 2010 GV: CAO VN LIấM I = x ữln xdx x KQ: KQ: e 1 + 2e + ln ữ ln ữ e 2 KQ: CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG Bi 33. H, C Khi D 2002. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong (C): y = KQ: (1 + ln )(dvdt) hai trc to . x3 dx x2 + Bi 34. I = ln ex Bi 35. I = (e x + 1)3 (1 ln 2) KQ: dx 4e x (e Bi 36. I = 2x + x + 1)dx KQ: Bi 37. I = KQ: KQ: cos3 x sin x.cos5 xdx Bi 38. H, C Khi A 2003 I= Bi 39. I = x + cos xdx dx Bi 40. I = x . x dx KQ: ln I= Bi 42. ln e2 x e x 15 2sin x dx + sin x I = dx ln ln KQ: Bi 41. H, C Khi B 2003 KQ: x x2 + 12 91 KQ: KQ: ln 2 KQ: 11 ln 20 KQ: a = 8, b = Bi 43. H, C Khi D 2003 I = | x x |dx KQ: Bi 44. I = x e x2 dx KQ: e Bi 45. I = x2 + ln xdx x Bi 46. H, C Khi A 2004 e2 + x I = dx + x 1 KQ: e Bi 47. H, C Khi B 2004 I = + 3ln x .ln x dx x KQ: 116 135 Bi 48. H, C Khi D 2004 I = ln( x x)dx KQ: ln GV: CAO VN LIấM 10 3x v x CHUYấN TCH PHN ễN THI I HC CAO NG Bi 49. I = ecos x sin xdx KQ: ln Bi 50. I = e x + 1.e x dx KQ: ln 1076 15 BI TP T GII 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau: e2 x + - 7x dx A= x B= x -1 dx -2 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau: e ln x dx x B= A= e3 cos x sin xdx C*= x dx x -1 1+ dx D*= x x +4 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau: ln e sin(ln x) dx I= x dx L= x x ln e + 2e 4. Tớnh cỏc tớch phõn sau: e ln x dx A= x M= sin xdx cos x + sin x 3x x dx x3 ln x dx x E= C*= 5. Tớnh: A= cos xdx e F= ln x + dx x x C= xe dx B= cos xdx G= x + x dx H= x + xdx D= e I= x x dx x dx x +1 E= x ln xdx x dx 1+ x J= 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: a. x=1; x=e; y=0 v y= + ln x x b. y=2x; y=3x v x=0 c. y=sin2xcos3x, trc Ox v x=0, x= . 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: y=0, y=x32x2+4x3 (C) v tip tuyn vi ng cong (C) ti im cú honh bng 2. 8. Cho hỡnh phng D gii hn bi cỏc ng y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tớnh din tớch hỡnh phng D. b. Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng D quay quanh trc Ox. 9. Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng gii hn bi ng cong y2=x3 v y=0, x=1 nú quay quanh: a) Trc Ox. b) Trc Oy. Ht GV: CAO VN LIấM 11 [...]...CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN – ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG π 2 ∫ Bài 49 I = ecos x sin 2 xdx KQ: 2 0 ln 8 Bài 50 I = ∫ e x + 1.e 2 x dx KQ: ln 3 1076 15 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1 Tính các tích phân sau: e2 2 2 x + 5 - 7x dx A= ∫ x 1 B= ∫ x 2 -1 dx -2 2 Tính các tích phân sau: π 3 e 2 3 ln 4 x dx x 1 B= ∫ A= ∫ e3 cos x sin xdx 0 C*= ∫ 5 2 x dx x -1 1 1+ dx D*= ∫ x x +4 2 3 Tính các tích phân sau: π 2 ln 5 e... y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3−2x2+4x−3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 8 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox 9 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng... −x −3 ln 3 e + 2e 4 Tính các tích phân sau: e ln x dx A= ∫ x 1 M= ∫ 0 2 2 sin 2 xdx cos 2 x + 4 sin 2 x 2 3x 4 − 2 x dx x3 1 ln x dx 2 1 x E= ∫ C*= ∫ 5 Tính: π 4 π A= ∫ cos xdx 2 0 e F= ∫ 1 ln x + 1 dx x 2 1 x C= ∫ xe dx B= ∫ cos xdx 3 0 0 2 4 2 G= ∫ x 1 + 2 x dx H= ∫ x 1 + 2 xdx 0 0 4 D= ∫ e 1 2 I= ∫ 1 2 x x dx x dx x +1 E= ∫ x ln xdx 1 1 x dx 2 0 1+ x J= ∫ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi . 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I. - + = . Vậy I 0= . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b a f(x) dx ò . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y lnx, x 1, x e= = = và Ox. GV: CAO VĂN LIÊM 3 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN – ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO