TÍCH PHÂN LUYỆN THI

Phan Huy Hoàng TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC A.E.C LONG XUYÊN _ AN GIANG 55A TRẦN HƯNG ĐẠO PHAN HUY HOÀNG LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 Phan Huy Hoàng TÍCH PHÂN Bài 1 : ĐẠO HÀM 1/ Công thức đạo hàm Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp ( ) ( ) 1 / / x.x 0C −α α= = 2 / x 1 x 1 −=       ( ) x2 1 x / = ( ) /1 / U.U.U −αα α= / 2 / U. U 1 U 1 −=       ( ) / / U. U2 1 U = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xgcot1 xsin 1 gxcot xtg1 xcos 1 tgx xsinxcos xcosxsin 2 2 / 2 2 / / / +−=−= +== −= = ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 / / 2 / / / / / U Usin 1 gUcot U Ucos 1 tgU. U.UsinUcos U.UcosUsin −= = −= = ( ) ( ) aln.aa ee x / x x / x = = ( ) ( ) /U / U /U / U U.aln.aa U.ee = = ( ) ( ) aln.x 1 xlog x 1 xln / a / = = ( ) ( ) aln.U U Ulog U U Uln / / a / / = = 3.Các bài tập đạo hàm : Tính đạo hàm của các hàm số sau 1/ y = tgx21+ 2/ y = x.cotgx 3/ y = tg 2 1x + 4/ y = sin(sinx) 5/ y = cotg ( ) 3 2 x1+ 6/ y = ln 2 x 7/ y = ln(x 2 +1) 8/ y = ln 4 (sinx) 2 Phan Huy Hoàng 9/ y = xx 1 10/ y = 2 ee xx − + 11/ xx 3.2y = 12) xln x y = 13/ x xy = Bài 2 :NGUYÊN HÀM Định nghĩa nguyên hàm: . F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b) ⇔ ( ) ( ) xFxf / = *lưu ý : + F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x) + F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí hiệu ∫ dx)x(f . Ta có: ( ) )x(f)x(FCxFdx)x(f / =⇔+= ∫ BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm mở rộng ∫ ∫ ∫ − +α α − −= + +α = += 1nn 1 x)1n( 1 dx x 1 C 1 x dxx Cxdx1 ( ) ∫ ∫ ∫ ++= + + +α + =+ += +α α Cbaxln a 1 dx bax 1 C 1 )bax( a 1 dxbax Caxadx 1 3 Phan Huy Hoàng 3.Các tính chất của nguyên hàm a) [ ] ∫∫∫ +=+ dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f b) [ ] ∫∫∫ −=− dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f c) ∫ ∫ = dx)x(fkdx)x(kf 4.Các bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1/ f(x) = x 2 -3x+ x 1 2/ f(x) = ( ) 2 2 x3 − 3/ f(x) = 2 4 x 3x2 + 4/ f(x) = 4 3 xxx ++ 5/ f(x) = x1x 1 −+ 6/ f(x) = 3 x 1 x 1 − 7/ f(x) = tg 2 x 8/ f(x) = sin2x.cos3x 9/ f(x) = 2sin 2 2 x 10/ f(x) = ( ) xx e1e − 11/ f(x) = xsin.xcos x2cos 22 12/ f(x) = 5x2 1 + 13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx 4 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−= += +−= += += += += Cgxcotdx xsin 1 Ctgxdx xcos 1 Cxcosxdxsin Cxsinxdxcos C aln a dxa Cedxe Cxlndx x 1 2 2 x x xx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++−= + ++= + ++−=+ ++=+ += + C)bax(gcot a 1 dx )bax(sin 1 C)bax(tg a 1 dx )bax(cos 1 C)baxcos( a 1 dx)baxsin( C)baxsin( a 1 dx)baxcos( Ce a 1 dxe 2 2 xbax Phan Huy Hoàng 14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f định bởi f(x) = 2x(x 3 +1).Biết rằng nguyên hàm này bằng 3 khi x= -1 15/ Xác định các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x 2 +bx+c) x2 e − là một nguyên hàm của hàm số f(x) =(-2x 2 +8x-7) x2 e − trên R 16/ Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xlnx – x rồi suy ra nguyên hàm của f(x) = lnx 17/Tính đạo hàm số Z(x) = x 2 .lnx rồi suy ra nguyên hàm của f(x) = 2x.lnx NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ * Để tính tích hữu tỉ dạng )x(Q )x(P với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được )x(Q )x(P = A(x)+ )x(Q )x(R trong đó bậc R(x) ≤ bậc Q(x) * Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu Dạng ( ) ( )( )( ) ∫ −−− dx cxbxax xp : Đặt ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) cx c bx B .ax A cxbxax )x(p − + − + − = −−− Từ đó ta xác định được A, B, C Dạng ( )( ) ∫ −− dx bxax )x(P 3 Đặt ( )( ) ( ) ( ) 323 bx D bx C bx B ax A bxax )x(P − + − + − + − = −− @ Cần nhớ : công thức nguyên hàm hữu tỉ sau Cbaxln a 1 dx bax 1 ++= + ∫ ( ) ∫ + + −= + C bax 1 . a 1 dx bax 1 2 5 Phan Huy Hoàng ( )( ) ∫ +         β− − α−β−α = β−α− C x 1 x 11 dx xx 1 ( )( ) ∫ ∫ = +− = − dx axax 1 dx ax 1 22 = ∫ +         + − =       + − − C ax ax ln a2 1 dx ax 1 ax 1 a2 1 Tìm các nguyên hàm sau 1/ a) Xác định các hằng số A, B sao cho 233 )1x( B )1x( A )1x( 1x3 + + + = + + b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 3 )1x( 1x3 + + Đs: A = –2, B = 3, C 1x 3 )1x( 1 )x(F 2 + + − + = 2/ ∫ +− dx 4x4x 1 2 3/ ∫ ++ dx 1x2x x 2 3 4/ ∫ −+ + dx x2xx 3x2 23 5/ dx 2x3x 3x3x3 2 2 ∫ +− ++ 6/ dx 3x 2xx3 2 ∫ + ++ 7/ ∫ + ++ dx 2x 5x4x 2 8/ ( ) ∫ + dx 3x2 1 3 9/ ∫ +− dx 9x6x 1 2 10/ ∫ +− dx 6x5x 1 2 11/ ∫ +−− + dx 6x5x2x 1x3 23 2 12/ ∫ −− + dx )5x)(2x(x 10x7 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC 1/. Cần nhớ công thức : 6 Phan Huy Hoàng ( ) Cxsin a 1 dxbaxcos +=+ ∫ ( ) Cxcos a 1 dxbaxsin +−=+ ∫ ( ) ( ) Cbaxtg a 1 dx baxcos 1 2 ++= + ∫ ( ) ( ) Cbaxgcot a 1 dx baxsin 1 2 ++−= + ∫ 2/. Ta thường dùng đổi biến số để tính tích phân các hàm số lượng giác * Dạng ( ) ∫ xdxcosxsinR đặt t = sinx * Dạng ( ) ∫ xdxsinxcosR đặt t = cosx * Dạng ( ) ∫ dx xcos 1 tgxR 2 đặt t = tgx * Dạng ( ) ∫ dx xsin 1 gxcotR 2 đặt t =cotgx * Dạng [ ] dxxcos,xsinR n2n2 ∫ dùng công thức hạ bậc 2 x2cos1 xcos 2 + = , 2 x2cos1 xsin 2 − = * Dạng ∫ bxdxsin.axcos dùng công thức biến đổi tích thành tổng C + C = 2CC C - C = 2SS S + S = 2SC S - S = 2CS )]bacos()ba[cos( 2 1 bcos.acos −++= )]bacos()ba[cos( 2 1 bsin.asin −−+−= )]basin()ba[sin( 2 1 bcos.asin −++= )]basin()ba[sin( 2 1 bsin.acos −−+= 7 Phan Huy Hoàng * Dạng ∫ ++ dx cxsinbxcosa 1 , đặt t = tg 2 x , * Dạng ∫ dx xsin 1 , đặt t = tg 2 x ( Cần nhớ sinx = 2 t1 t2 + ,cosx = 2 2 t1 t1 + − ) Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxcosxsin 52 b) ∫ xdxcosxsin 23 c) ∫ dx xcos xsin 4 d) ∫ dx xcos 1 6 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdxcosxsin 22 b) ∫ xdxsin 4 c) ∫ xdxcos 6 d) ∫ xdxcos 2 e) ∫ dx 3 x sin Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ dx xsin 1 b) ∫ dx xcos 1 c) ∫ + dx xcos45 1 d) ∫ dx xcos 1 4 Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau a) ∫ xdx2cosx3sin b) ∫ xdx3cosxcos Bài 5 : tìm các nguyên hàm sau a) tgxdx ∫ b) 2 tg xdx ∫ c) 3 tg xdx ∫ d) 4 tg xdx ∫ e) 2 4 sin cos x dx x ∫ f) 1 sin2 dx x ∫ Bài 3 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.Định nghĩa:Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [ ] b,a và F(x) là một nguyên hàm của f(x) . 8 Phan Huy Hoàng Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Kí hiệu : ∫ −== b a b a )a(F)b(F)x(Fdx)x(f 2.Chú ý: ∫ = b a dx)x(f ∫ b a dt)t(f = ∫ b a du)u(f 3.Các tính chất : 1/ 0dx)x(f a a ∫ = 2/ ∫ = b a dx)x(f - ∫ a b dx)x(f 3/ ∫ = b a dx)x(f ∫ c a dx)x(f + ∫ b c dx)x(f 4/ ∫ = b a dx)x(f.k ∫ b a dx)x(f.k 5/ [ ] ∫ =+ b a dx)x(g)x(f ∫ b a dx)x(f + ∫ b a dx)x(g 6/ ( ) abMMdx b a −= ∫ 7/ Nếu f(x) ≥ g(x) , [ ] b,ax ∈∀ thì dx)x(gdx)x(f b a b a ∫ ∫ ≥ *Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0 , [ ] b,ax ∈∀ thì ∫ b a dx)x(f 0≥ 8/ Nếu f(x) liên tục trên đoạn [ ] b,a và [ ] b,ax,M)x(fm ∈∀≤≤ thì m(b-a) ≤ ∫ b a dx)x(f ≤ M(b- a) 4.Bài tập : 9 Phan Huy Hoàng 1/ ∫ −++ 3 1 1x1x dx :Đsố: )22( 3 4 − 2/ ∫ + 1 0 3 dx 1x x :Đsố : 2ln 6 5 − 3/ dx 1x x 2 1 0 2 4 ∫ − :Đsố       − 3ln 12 13 2 1 4/ ( ) ∫ + 4 1 2 1xx dx :Đsố 8 5 ln 4 3 + 5/ ∫ π 0 4 xdxcos :Đsố 8 3π 6/ ( ) ∫ π + 4 0 44 dxxcosxsin :Đsố 16 3π 7/ ∫ π + 0 dxx2cos1 :Đsố 22 8/ ∫ π π − 2 2 dxxsin :Đsố 2 9/ ∫ π + 0 dxxsin1 :Đsố 24 10/ a) Cho hàm số f(x) = xcosxsin xsin + . Tìm a ,b để f(x) = a+b xcosxsin xsinxcos + − b) Tính ∫ π 2 0 dx)x(f (Đsố 2 1 ba =−= , I = 4 π ) 11/ a) Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln 1x2x 1x2x 2 2 ++ +− . Tính I = dx 1x 1x 4 2 ∫ + − Đsố 1x 1x 22)x(F 4 2 / + − = , )12ln( 2 2 I −= 12/ Tính ∫       − t 0 4 dx 2 3 xsin4 . Từ đó giải phương trình f(t) = 0 10 [...]... )dx = ∫ f (a + b − x )dx a a π x sin x ∫ 1 + cos 2 x dx Ap dụng tính : 0 Bài 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1.Công thức từng phần : b ∫ u.dv = uv b a− a b ∫ vdu a b 2.Chú ý: Công thưc trên cho phép thay việc tính ∫ u.dv phức tạp a b bằng một tích phân ∫ vdu đơn giản hơn a 16 Phan Huy Hoàng 3.Hai dạng tích phân từng phần thường gặp e x  b Dạng1: I = ∫ p( x ) sin x  dx   a   cos x  ( Trong... diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , y = g(x) , y = h(x) " Bước 1 : Giải các phương trình f(x) - g(x) = 0 và g(x) - h(x) = 0 ; f(x) - h(x) = 0 Bước 2 : Thi t lập công thức diện tích Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2 27 1/ y = x 2 ; y = 2/ ; y= 27 x x2 8 y = x2; y = ; y= 8 x 2 3/ Parabol y = -x +4x-3 và hai tiếp tuyến tại các điểm A(0,-3) và B(3,0) BÀI 9 THỂ TÍCH... 21/ ∫ 3x + 1 3 0 ( x + 1) dx (KD-03):Đáp số : 1 0 Bài 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SO 1 .Tích phân đổi biến loại I : Đặt x = ϕ( t )  π π Đặt x = asint với t ∈  − ,   2 2 ⇒ dx = acostdt 1  π π dx Đặt x = atgt * Dạng ∫ 2 t∈  − ,  a + x2  2 2 1 ⇒ dx = a dt cos 2 t @ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận Bài tập:Tính các tích phân sau 2 1 π π dx 1/ ∫ Đặt x = 2 tgt, t ∈ (− , ) 2 2 2 0 4+x * Dạng ∫ a 2 − x 2... DẠNG I Bài toán : 19 Phan Huy Hoàng "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,hai đường thẵng x = a ,x = b và trục Ox " Giải b Bước 1 : diện tích cần tính là s = ∫ f ( x ) dx a Bước 2 : Giải phương trình : f(x) = 0 giả sử được nghiệm x = c∈ [a, b] Bước 3 : Khi đó c b a c s = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx * Nhận xét: + Việc tách ra2, 3 tích phân, hoặc không tách tuỳ thuộc số nghiệm phương... số: 2 ln 2 − 1 (KB-06) Đáp số: ln 3 2 38/ cos 2 x (sin 4 x − cos 4 x )dx ( BK HN 98) ∫ 0 π 2 39/ (e sin x + cos x ) cos xdx ∫ (KD-05) 0 Tách ra hai tích phân , Đáp số: e + ln x 3 1 + 7ln 2 x dx 40/ ∫ x 1 e 2 π −1 4 1 dx 42/ 41/ ∫ 101 + x − 1 ln 2 ∫ 0 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT VÀ KẾT HỢP 15 1 ex +1 dx 1/Cho I = π 2 Phan Huy Hoàng n sin x ∫ sin n x + cos n x dx ; J = 0 π 2 cos n x ∫ sin n x + cos n x dx 0 π -t... Nhận xét: nếu chưa cho hai đường thẳng x = a, x= b Thì giải phương trình trước , áp dung công thức tính diện tích sau Chú ý : Nếu bài toán: " Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y) ,x = g (y) hai đường thẵng y = a ,y = b " b Thì s= ∫ f ( y) − g( y) dy a Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 1 1 π π 1/ y = ,y= ,x= ,x= 2 2 6 3 sin x cos x x 2/ y = 2 , y = 3-x , x = 0... 7: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 3 1) Chứng minh: 4 < π3 ∫ π 6 sin x 1 dx < x 2 π π 3 3 sin x 3 < < , ∀x ∈  ,  6 3 2π x π 1 1 1 2 dx ≤ 2) Chứng minh: ≤ ∫ 2 0 4 − x2 − x3 2 HD: 1 x2 + 4 5 dx ≤ 2 2 3) Chứng minh: 1 ≤ ∫ 0 4) Chứng minh: π ≤ 4 3π 4 π 1 ∫ 3 − 2 sin 2 x dx ≤ 2 π 4 π 2 π 2 5) Chứng minh: sin 2 xdx ≤ 2 sin xdx ∫ ∫ 0 0 1 6) Chứng minh: 2 1 2 ≤∫ dx ≤ 9 −18 + x 3 7 BÀI 8: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG... quay (H) quanh b trục Ox có thể tích là: 2 V= π∫ [ f ( x )] dx a π 2 y = 0, y = sin 6 x + cos 6 x Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox 5 3 cos 4 x 5π 2 sin 6 x + cos 6 x = + Đsố : 8 8 16 2/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = -1, x = 2 y = 0, y = x − 2 x 1/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = 0, x = 22 Phan Huy Hoàng 8 3 b) Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay... giới hạn bởi các đường x = x = π 2 y = 0, y = sin 4 x + cos 4 x Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox 3 cos 4 x 3π 2 sin 4 x + cos 4 x = + Đsố : 4 4 8 4/ Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = x khi quay quanh trục Ox ( ĐH Nông nghiệp I ,1998) 5/ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay Chung quanh trục Ox hình phẳng... 27 2 6/ parabol y = –x –2x +3, tiếp tuyến với (P) tại điểm 8 M (2, -5) và trục tung Đsố : đvdt 3 DẠNG II 20 Phan Huy Hoàng Bài toán : "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) , y = g(x) hai đường thẵng x = a ,x = b " Bước 1 : diện tích cần tính là b s= ∫ f ( x ) − g(x ) dx a Bước 2 : Giải phương trình : f(x) – g(x) = 0 giả sử được nghiệm x = c∈ [a, b] Bước 3 : Khi đó c a s= . Phan Huy Hoàng TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC A.E.C LONG XUYÊN _ AN GIANG 55A TRẦN HƯNG ĐẠO PHAN HUY HOÀNG LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 Phan Huy Hoàng TÍCH PHÂN Bài 1 : ĐẠO HÀM 1/ Công thức đạo. 1 sin2 dx x ∫ Bài 3 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.Định nghĩa:Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [ ] b,a và F(x) là một nguyên hàm của f(x) . 8 Phan Huy Hoàng Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến. 98) 39/ ∫ π + 2 0 xsin xdxcos)xcose( (KD-05) Tách ra hai tích phân , Đáp số: 1 4 e − π + 40/ ∫ + e 1 3 dx x xln x7ln1 2 41/ dx 1x1 1 2 10 ∫ −+ 42/ ∫ + 2ln 0 x dx 1e 1 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT VÀ KẾT HỢP 15 Phan Huy