SKKn Một số giả pháp nâng cao chất lượng dạy và học Đại số 8

Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. III. Mc ớch yờu cu: Năm học 2010 - 2011 đợc nhà trờng phân công giảng môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giáo viên trờng, thông qua kỳ thi chất lợng kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện thân nhận thấy em học sinh cha có kỹ thành thạo làm dạng tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ lý để giải đợc loại tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu nh em học sinh lớp thủ thuật kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc nắm bắt phơng pháp để giải dạng toán kiến thức trình học toán vấn đề khó khăn. Trong việc giảng dạy môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tòi kiến thức mới, phơng pháp làm toán dạng nh phơng pháp thông thờng mà phải dùng số phơng pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng toán khó. Ngời thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học môn toán giải đợc dạng tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết tốt kỳ thi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phơng pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác nhau. IV. Nhng gii phỏp chớnh "Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" 1) Nội dung thứ nhất. Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức nh quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp, quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ. -1- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. 2) Nội dung thứ hai. Giáo viên dạy "Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" Giáo viên cho học sinh nắm vững chất việc phân tích đa thức thành nhân tử. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức đa thức khác. Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) 2.1) Các phơng pháp thông thờng. + Đặt nhân tử chung. + Dùng đẳng thức. + Nhóm nhiều hạng tử. Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp ba phơng pháp kể để phân tích đa thớc thành nhân tử. Ví dụ1: M1 Phân tích thành nhân tử. = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: M2 Phân tích thành nhân tử. = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bớc sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức. + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức không ? -2- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. + Nếu nhân tử chung, đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức. Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M3 dạng đẳng thức, hạng tử nhân tử chung, làm để phân tích đợc. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì ta dùng phơng pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 . M3 có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung. M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a 2b) Nh M3 đợc phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b). Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy. Trớc hết xác định xem dùng phơng pháp trớc ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy. + Đặt nhân tử chung. M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức không? -3- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. + Nhóm hạng tử: M4 = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z) 2] xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đợc phân tích đa thức thành nhân tử. Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích đợc nữa). 2.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức khác. Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phơng pháp phân tích thành nhân tử thông thờng (đã học SGK) kết hợp phơng pháp sau để làm toán khó. + Phơng pháp tách hạng tử. + Phơng pháp thêm, bớt hạng tử. + Phơng pháp đặt ẩn phụ. + Phơng pháp tìm nghiệm đa thức. + Phơng pháp dùng hệ số bất định. + Phơng pháp xét giá trị riêng. Cụ thể: 2.2.1: Phơng pháp tách hạng tử. Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + 8. Cách 1: a2 - 4a - 2a + (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) -4- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử lại. Cách 2: N = a2 - 6a + - (Tách = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức) = (a - 2) (a + 2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + (Tách = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng nhân tử) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác cách tách sau thông dụng nhất; Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đợc đa hiệu hai bình phơng (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử lại (cách 3). Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử. Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1. b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b -5- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. Ngoài tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (nh cách 3) 2.2.2) Phơng pháp thêm bớt hạng tử. Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử. P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Nh vây việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phơng tổng hay hiệu hai bình phơng . phân tích triệt để đợc. ví dụ 6, P1 có bình phơng hạng tử (x2) bình phơng hạng tử (2). Vậy muốn đẳng thức thiếu lần tích hạng tử đó. Do ta thêm 2.x2.2 = 4x2 đồng thời phải bớt 4x2. 2.2.3) Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi ta có: D1 = y2 + 4y - 12 -6- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. Ta dùng phơng pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x D phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) (x2 + x+ 6) Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào ph ơng pháp nêu trên. Chú ý có tam thức phân tích tiếp đợc nh : x2 + x + = (x + ) + . Do không phân tích tiếp đợc Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2). 2.2.4) Phơng pháp tìm nghiệm đa thức. Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp đợc dựa vào phơng pháp nêu trên. Các phơng pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = 1. đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d đa thức có x = -1. đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét đợc tổng hệ số nh ta xét ớc hệ số tự d (hệ số không đổi). Nếu ớc d làm cho đa thức có giá trị ớc nghiệm đa thức. Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử. E1 = x3 + 3x2 - xét tổng hệ số ta thấy. a + b + c = + + (-4) = x1 = -7- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau dùng phơng pháp học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử. E2 = x3 - 3x + Ta thấy tổng hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = có x = -2 nghiệm E2 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ số phơng pháp để phối kết hợp với phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc toán khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức nh giải phơng trình. 3) Một số tập áp dụng. Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. 1a) x2 - 4x + cách (phơng pháp tách). Gợi ý cách làm. C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: Tách = - 1. C3: Tách = 12 - C4: Tách -4x = -2x + (-2x) = + Sau nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung. 1b. 81a4 + (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm lần tích 9a2 Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2 1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến). Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y -8- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. 1d: x3 - 2x2 - x + (phơng pháp tìm nghiệm). Gợi ý: Xét tổng hệ số a + b + c = Ngoài sử dụng phơng pháp khác để phân tích tập thành nhân tử. Bài tập 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức. M= a 4a a + với a = 102 a a + 14a Gợi ý: + Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ phơng pháp nhóm đẳng thức đa tử thành nhân tử. + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử. + Rút gọn nhân tử chung tử thứcvà mẫu thức. + Thay a = 102 vào M rút gọn. Bài tập 3: Giải phơng trình sau: 3.a) y2 - 5y + = 0. Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phơng trình trở phơng trình tích. 3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0. Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích. Bài tập 4: Chứng minh đa thức sau. 4a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24. Với a số tự nhiên. Gợi ý: -9- Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. + Trớc hết phân tích đa thức cho thành nhân tử. A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phơng) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * Lập luận: + A cho tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho vậy: A + Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên mộc hai số chia hết cho số lại chia hết cho 4. Vậy A + Nhng (3 ; 8) = nên tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24. 4b: B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24. Với n số nguyên dơng tuỳ ý. Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức. A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gợi ý: + Trớc hết sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A. A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (tách 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhóm hạng tử) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * Lập luận. - 10 - Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. Vì (x - 2)2 o (y + 1)2 0, dấu " = "xảy a = y = - nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + Vậy AMin = x = 2; y = -1 V. Kết đạt đợc: áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy lp 83 trờng THCS Hng Ton năm học 2010 - 2011 thu đợc kết khả quan. Kết học tập học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua học, qua kỹ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt. 98% em học sinh biết sử dụng phơng pháp phân tích thông thờng cách thành thạo, 90% em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phơng pháp phân tích đợc nêu sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh phơng pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng toán khó kiến thức nh việc hình thành số kỹ trình học tập giải toán học môn toán. VI: Kết luận. Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hớng phơng pháp làm cha có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Vì lẽ giáo viên thân nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để từ đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc tập, gây hứng thú - 11 - Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán. Từ nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa cho học sinh làm, phát cách giải khác nh cách giải hay, tính tự giác học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải: Một vài phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh nhiều trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà viết có lẽ nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực tốt chơng trình THCS. Ngày 25 tháng năm 2011 Ngời thực Lờ Th Hng Liờn - 12 - [...]... Bên cạnh đó các phơng pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán VI: Kết luận Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bài khi cha có... sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú - 11 - Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8 học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán... dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài...Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8 Vì (x - 2)2 o và (y + 1)2 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 7 Vậy AMin = 7 khi x = 2; y = -1 V Kết quả đạt đợc: áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy ở lp 83 trờng THCS Hng Ton trong năm học 2010 - 2011 đã thu đợc các kết quả khả quan Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỹ thi, đặc... thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt 98% các em học sinh đã biết sử dụng các phơng pháp phân tích thông thờng một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phơng pháp phân tích đã đợc nêu trong... vài phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm . tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú - 11 - Sáng kiến kinh nghiệm môn đại số 8. học tập, say sa giải. kiến kinh nghiệm vào giảng dạy ở lp 8 3 trờng THCS Hng Ton trong năm học 2010 - 2011 đã thu đợc các kết quả khả quan. Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi. " ;Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải