Đề đáp án dự bị 2005

a Viết phương trình mặt phẳng P qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC.Tìm tọa độ giao điểm của AC với mặt phẳng P.. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC... Do đó A, O nằm trê

PHẦN HAI: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN

TOÁN NĂM 2005 VÀ BÀI GIẢI

DỰ BỊ 1 KHỐI A:

Câu I: (2 đ)Gọi (C m) là đồ thị của hàm số : y = x2 2mx 1 3m2

+ + −

− (*) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1

2 Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

Câu II: ( 2 điểm) 1 Giải hệ phương trình : 2 2 4

Câu III: (3 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có

trọng tâm G( ;4 1), phương trình đường thẳng BC là

3 3 x−2y− =4 0và phương trình đường thẳng

BG là 7x−4y− =8 0.Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC.Tìm tọa độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P)

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC

Câu IV: ( 2 điểm) 1.Tính tích phân 3 2

2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ

số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm hàng ngàn bằng 8

Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0 Cmrằng :

S 2P S 4 P 2I

⎩ vậy x, y là nghiệm của phương trình X2+0X 2 0 − =

Vậy hệ có 2 nghiệm x 2

⎩ vậy x,y là nghiệm của phương trình X2+ − =X 2 0

⇒ X 1hay X= =−2 Vậy hệ có 2 nghiệm x 1

Ta có 4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos x2 3

(1) ⇔ −2 2 cosx− 3 cos2x 2 sin 2x= −

(1) ⇔ −2 cosx= 3 cos2x sin 2x− Chia hai vế cho 2:

(1) ⇔ −cosx= 3cos2x−1sin 2x

CÂU III 1/ Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt ⎧⎨ − − =⎩x 2y 4 07x 4y 8 0− − = ⇒B 0, 2( − )

Vì ΔABC cân tại A nên AG là đường cao của ΔABC

2a/ Ta có BCuuur=(0, 2,2− )

• mp (P) qua O 0,0,0( ) và vuông góc với BC có phương trình là

• Ta dễ thấy cũng vuông tại O Do đó A, O cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông

Do đó A, O nằm trên mặt cầu đường kính BC, sẽ có tâm I là trung điểm của BC Ta dễ dàng tìm dược

BOCΔ

I 0,1,1 R= 1 12+ 2 = 2Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là : x2+(y 1− ) (2 + −z 1)2 =2

• Có 6 cách chọn a1

• Có 5 cách chọn a2

• Có 3! cách chọn a ,a ,a3 4 5

• Có 4 cách chọn a6

Vậy ta có 6.5.6.4 = 720 số n

b) Khi a ,a ,a3 4 5∈{1,3,4}tương tự ta cũng có 720 số n

Theo qui tắc cộng ta có 720 + 720 = 1440 số n

Cách khác Khi a ,a ,a3 4 5∈{1,2,5}

Có 3! = 6 cách chọn a a a3 4 5

Có A36 cách chọn a ,a ,a1 2 6

Vậy ta có 6 4.5.6 = 720 số n

Khi a ,a ,a3 4 5∈{1,3,4}tương tự ta cũng có 720 số n

Theo qui tắc cộng ta có 720 + 720 = 1440 số n

+ +

=+

2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C )

Câu II:( 2 điểm) 1 Giải hệ phương trình : 2 1

⎪⎩

2 Giải phương trình :2 2 cos (3 ) 3cos sin 0

4

Câu III: (3 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

(C): x2 + y2 −12x−4y+36 0= Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ

Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngòai với đường tròn (C)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S

b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC

Câu IV: ( 2 điểm) 1.Tính tích phân 7 3

0

21

Câu V: (1 điểm) Cmrằng với mọi x, y > 0 ta có :

2

x 1MXĐ: D R= \ 1{ }−

x 1BBT

x = −1 là phương trình tiệm cận đứng

y x= là phương trình tiệm cận xiên

2/ Phương trình tiếp tuyến qua Δ M 1,0(− ) ( hệ số góc k ) có dạng

cosx sin x 3cosx sin x 0

cos x sin x 3cos xsin x 3cosxsin x 3cosx sin x 0

Vì đường tròn ( )C1 tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm nằm trên 2 đường thẳng I1 y= ±xvàvì (C) có tâm I 6,2( ),R = 2

nên tâm I (x; x)1 ± với x > 0

1

TH : Tâm I ∈1 đường thẳng y = x ⇒ I x,x( ), bán kính R1=x

( )C1 tiếp xúc ngoài với (C) ⇔ I I1= +R R1⇔ (x 6− ) (2+ x 2− )2 = +2 x

⇔ x 6− 2+ x 2− 2 = +4 4x x+ 2 ⇔ x2−16x 4x 36 0− + =

⇔x2−20x 36 0+ = ⇔ =x 2 hay x 18= Ứng với R1 =2 hay R1=18

Có 2 đường tròn là: (x 2− ) (2+ y 2− )2 =4; (x 18− ) (2+ y 18− )2 =18

2

TH : Tâm I ∈1 đường thẳng y= − ⇒x I x, x( − ); R1 = x

Tương tự như trên, ta có x= 6

Có 1 đường tròn là ( x 6 − ) (2 + y 6 + )2 = 36

Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:

2a/ Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒ OC AB uuur uuur = ⇒ B(2,4,0)

* Đoạn OB có trung điểm là H 1,2,0 ( ) H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I ( 1; 2; 2 ) là tâm mặt cầu và bán kính R = 1 SB = 1 4 16 16 3 + + =

Vậy phương trình mặt cầu là ( x 1 − ) (2 + y 2 − )2 + − (z 2)2 = 9

2b/ SCuuur=(0,4, 4− ) chọn (0,1, 1− )là vtcp của SC

Pt tham số đường thẳng SC

Thế pt tham số của SC và pt (P) Ta có t=2 và suy ra M 0,2,2( )

Gọi A x,y,z1( ) là điểm đối xứng với A qua SC Có M là trung điểm của AA1 nên

Câu I: (2 điểm) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y=x4−6x2+5

2 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2

( t là tham số )

a) Xét vị trí tương đối của d1 và d2

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x− + =y z 0 và độ dài đọan MN = 2

Câu IV: ( 2 điểm)

3a+ 3b+ 3b+ 3c+ 3c+ 3a≤3 Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Bài giải: CÂU I:

2/ Tìm m để pt x4 −6x2 −log m 02 = có 4 nghiệm phân biệt

2/ Giải pt: sin x cos2x cos x tg x 1 2sin x 0 2+ 2 ( 2 − +) 3 = ( )

Điều kiện : cosx 0 x k

2

π

≠ ⇔ ≠ + π

( )2 ⇔sin x cos2x sin x cos x 2sin x 0+ 2 − 2 + 3 = vàcosx 0≠

⇔sin x cos2x 2sin x( + 2 )−cos2x 0= vàcosx 0≠

⇔sin x cos2x 1 cos2x( + − )−cos2x 0= vàcosx 0≠

⇔sin x 1 2sin x− −( 2 )=0 vàcosx 0≠

⇔2sin x sin x 1 02 + − = vàcosx 0≠

⇔sin x= 1 (vìsin x= −1 loại )( )

1/ Do tính đối xứng của elíp (E) Ta chỉ cần xét trường hợp x 0,y 0≥ ≥

Gọi A 2m,0 ;B 0,m( ) ( ) là giao điểm của tiếp tuyến của (E) với các trục tọa độ ( ) Pt AB:

Vậy pt tiếp tuyến là x 2y 10 0+ − =

Vì tính đối xứng nên ta có 4 tiếp tuyến là

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*)

2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua điểm I

Câu II:( 2 điểm) 1 Giải bất phương trình : 8x2−6x+ −1 4x+ ≤1 0

2 Giải phương trình : 2

2

cos 2 1( ) 3

Câu III: (3 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

(C1 ): x2 + y2 =9và (C2 ): x2 + y2 Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng

(P) : 2x+2y− + =z 1 a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1 b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng : x-1 y-1 z-5

x = −1 là pt t/c đứng y x 1= + là pt t/c xiên

Đồ thị :Bạn đọc tự vẽ

2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I 1,0(− ) là giao điểm của 2 tiệm cận Gọi ( ) ( ) 2o o

⇔ = Vô lí Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I 1,0(− )

CÂU II 1/ Giải bất phương trình 8x2−6x 1 4x 1 0+ − + ≤ (1)

2/ Giải phương trình tg x 3tg x2 cos2x 12

CÂU III 1/ Đường tròn ( )C1 có tâm O 0,0( ) bán kính R1=3

Đường tròn ( )C2 có tâm I 1,1( ), bán kính R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( )C1 , ( )C2 là

2 1 6 đi qua A(1,1,5) và có VTCP ar =(2,1, 6− )

CÂU IV: 1/ Tính π ( )

=∫ / 4 + sinx 0

2/ Gọi n a a a a a= 1 2 3 4 5 là số cần lập

Trước tiên ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: A25 =4.5 20= cách

Xếp 1,5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên

4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2

3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3

* Theo qui tắc nhân ta có: A 5.4.3 20.60 120025 = = số n

Cách khác : - Bước 1 : xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: A25 =4.5 20= cách

-Bước 2 : có A35 =3.4.5 60= cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại

Vậy có 20.60 = 1200 số n thỏa ycbt

Câu I: (2 điểm) Gọi (C m) là đồ thị của hàm số y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1)

(m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 =

2) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y= 2mx – m – 1

Câu II:( 2 điểm) 1 Giải bất phương trình : 2x+ −7 5− ≥x 3x− 2

2 Giải phương trình : (3 ) sin

Câu III: (3 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

(C): x2 + y2 − −4x 6y−12= 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

0

d : 2x− + =y 3 sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1BB 1 với A(2;0;0), B(0; 4; 0),

O1(0; 0; 4)

a) Tìm tọa độ các điểm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1

b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O1A và cắt

OA, OA1 lần lượt tại N, K Tính độ dài đọan KN

Câu IV: ( 2 điểm) 1.Tính tích phân 2

1/ Khảo sát y= − +x3 (2m 1 x+ ) 2− −1m

2

khi m=1 Khi m = 1 thì y= − +x3 3x2−

2/ Tìm m để (Cm) tiếp xúc với y 2= mx m 1 d− − ( )

(d) tiếp xúc với ( )Cm ( ) có nghiệm

(2) cot gx sin x 2 cosx sin x 2

Ghi chú:Khi sinx ≠ 0 thì cos x ≠ ± 1

CÂU III 1/ Đường tròn (C) có tâm I 2,3( ), R=5

Vậy (S) có tâm I(1,2,2)

Pt tham số OA1 là:

Điều kiện là x≥ −1.Ta có 72x+ x 1+ −72+ x 1+ ≤ ∀ ∈ −0, x [ 1;1]

Ta có: (1) ⇔ 7 x 1+ (72x−72)≤2005 1 x : đún( − ) g x∀ ∈[−1;1]và sai khi x > 1

Do đó (1) ⇔ − ≤ ≤1 x 1 Vậy, hệ bpt có nghiệm ⇔

2 Tìm m để phương trình 2 3 3

1

m x

+ + =+ có 4 nghiệm phân biệt

Câu II:( 2 điểm) 1 Giải bất phương trình : 2 2

2 Giải phương trình :sin 2x+cos 2x+3sinx−cosx− =2 0

Câu III: (3 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5),

B(2; 3) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A1BB 1C1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1 B C1D1.Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc nhau

b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N

Câu IV: ( 2 điểm) 1.Tính tích phân 2 2

2 Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức : 2P n +6A n2−P A n n2 =1

( Pn là số hóan vị của n phần tử và k

n

A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử)

Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dương và x yz = 1 Cmrằng :

Tiệm cận: x=-1 là tc đứng

Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) có x<-1

Do đó, nhờ đồ thị y x2 3x

+ có 4 nghiệm phân biệt ⇔ m > 3

CÂU II 1/ Giải bất phương trình ( )

2/ Giải phương trình sin2x cos2x 3sin x cosx 2 0 2+ + − − = ( )

(2) ⇔2sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 2 0+ − 2 + − − =

Có Δ =(2 cosx 3+ )2−4 2 cosx 1( )( + =) (2 cosx 1+ 2

1/ Gọi I a,b( ) là tâm của đường tròn (C)

Pt (C), tâm I, bán kính R= 10 là

Ta có: r ru.v= −1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )− − + − = ⇔ ⊥0 ru vr⇒ (AB D1 1) (⊥ AMB1)

b/ ACuuur1=(2,2,2) ⇒ Pt tham số

x t

AC : y t

z t, N AC∈ 1⇒N t,t,t( )

Vậy tỉ số khoảng cách từ N AC N A∈ 1( ≠ ⇔ ≠t 0) tới 2 mặt phẳng (AB D1 1) và (AMB1)

không phụ thuộc vào vị trí của điểm N

1 y 1 z 1 x 2+ + + + + ≥

3

HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN

(TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN)