MỘT SỐ DẠNG TOÁN MA TRẬN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC Sầm Thị Sen 53A Toán Người hướng dẫn: TS. Thiều Đình Phong 1. Mở đầu Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc tổ chức năm, nhằm thúc đẩy phong trào học tập nghiên cứu Toán sinh viên, đồng thời góp phần phát hiện, bồi dưỡng sinh viên giỏi Toán học viện, trường đại học cao đẳng nước. Theo GS.TS Nguyễn Hữu Dư-phó chủ tịch kiêm Tổng bí thư Hội Toán học Việt Nam cho biết: kì thi sân chơi trí tuệ đỉnh cao sinh viên đam mê Toán học. Toán học không công cụ mạnh mẽ để giải toán chuyên môn; môn học rèn luyện tư lôgic. Bên cạnh đó, kì thi tạo hội trao đổi, chia sẻ kiến thức lĩnh vực, chuyên gia, giảng viên, sinh viên trường đại học với nhau. Để ghóp phần giúp cho bạn sinh viên có thêm tài liệu tham khảo ôn thi môn đại số kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, chọn chủ đề: “Một số dạng toán ma trận thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc”. 2. Các dạng toán phương pháp giải 2.1 Bài toán tính toán ma trận a. Phương pháp 1: Chéo hóa ma trận Tính chất. Nếu ma trận vuông A cấp n có n vector riêng độc lập tuyến tính A chéo hóa (nó R C). Ở phương pháp ta đưa ma trân A ma trận đồng dạng dạng đường chéo. Các bước cụ thể: (i) Tìm giá trị riêng, từ tìm vector riêng tương ứng xét xem A có chéo hóa không. (ii) Lập P ma trận vector riêng A chéo hóa được. (iii) Khi B = P−1 .A.P ma trận đường chéo với 26 λ1 0 λ 0 B = . . . . .2. . . . . . . 0 . . . λn gồm giá trị riêng nằm đường chéo chính. Ta có Bn = ( P−1 AP)n = P−1 A.P . . . .P−1 .A.P = P−1 .An .P ⇒ An = P.Bn .P−1 . Phương pháp có nhược điểm tính toán phức tạp, nhiều không thực được. √ − 52 . Tính A2002 . 2 −1 Ví dụ 1.2 (Olympic SV 2008). Cho A ma trận vuông cấp thỏa mãn det A < 0. Chứng minh tồn hai số thực phân biệt λ1 , λ2 ma trận A1 , A2 cho Ví dụ 1.1 (Olympic SV 2002). Cho A = An = λ1n .A1 + λ2n A2 , +1 √ ∀n = 1, 2, . . . Với phương pháp này, sáng tạo toán cách sau: - Chọn ma trận chéo B ma trận khả nghịch P cấp. - Tính A = P−1 BP. Từ ta có toán yêu cầu tính lũy thừa ma trận An . Ví dụ 1.3. Tính lũy thừa ma trận sau: (i) (ii) 17 −6 35 −12 2015 −3 10 −3 ; 15 −4 −4 24 −5 −3 108 −16 −18 √ 100 ; √1 −1 2000 . 1004 . b. Phương pháp 2: Quy nạp Trong phương pháp này, dự đoán công thức An , sau chứng minh công thức An quy nạp. Ưu điểm phương pháp trình bày rõ ràng, ngắn gọn. Tuy nhiên nhược điểm khó để dự đoán công thức. Ví dụ 1.4 (Olympic SV 1996). 0 Cho lũy thừa ma trận 0 Tính limn→∞ n = a11 (n) a12 (n) a13 (n) a21 (n) a22 (n) a23 (n) a31 (n) a32 (n) a33 (n) a22 (n) . a32 (n) 27 . 1.3. Phương pháp 3: Sử dụng ma trận lũy linh Cho A ma trận vuông cấp n, A gọi ma trận lũy linh tồn số nguyên q cho Aq = Sử dụng phương pháp này, để tính lũy thừa ma trận Bn , ta phân tích B thành tổng ma trân lũy linh A ma trận đặc biệt. Từ đưa việc tính hữu hạn lũy thừa: Aq−1 , . . . , A2 . 2006 −2006 Ví dụ 1.5 (Olympic SV 2006). Cho ma trận A = 2005 −2006 2005 −2005 Xác định phần tử đường chéo ma trận: . S = I + A + A2 + . . . + A2006 . −2 −1 . −2 1.4. Bài toán tìm hạng ma trận Phương pháp thông dụng dùng phép biến đổi sơ cấp dòng cột, ta C D đưa A ma trận khối 0 , C ma trận tam giác có phần tử đường chéo khác không. Đây ma trận hình thang, hạng A cấp C. Trong nhiều toán thi Olympic, phương pháp giải thường sử dụng hai bất đẳng thức sau: Cho A, B hai ma trận kích cỡ, ta có: Ví dụ 1.6 Tính A100 với A = rank( A + B) ≤ rank( A) + rank( B) ≤ n + rank( AB). Ví dụ 1.7 (Olympic SV 1994) Cho A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = E, E ma trận đơn vị. Chứng minh rank( A + E) + rank( A − E) = n. 1.5 Ma trận đa thức Cho f (t) = a0 + a1 t + · · · + ar tr ∈ K [t] đa thức biến A ∈ M (n, k ) ma trận vuông, ta gọi f ( A) = a0 I + a1 A + · · · + ar Ar ma trận đa thức. Bài toán đặt tính f ( A) cho biết A. Để giải toán, thường sử dụng tính chất sau: i) Cho ∀ f , g ∈ K [t] α ∈ K. Khi ( f + g)( A) = f ( A) + g( A); (α f )( A) = α f ( A); ( f g)( A) = f ( A) g( A). ii) Định lý Cayley-Hamilton. 28 Gọi f A (t) = | A − tI | đa thức đặc trưng A. Khi f A ( A) = 0. Để tính f ( A), ta thực phép chia f (t) cho f A (t) ta f (t) = q(t) f A (t) + r (t). Theo định lý Cayley-Hamilton, ta có f ( A) = q( A) f A ( A) + r ( A) = r ( A). Nên ta đưa toán tính r ( A) có bậc bé hơn. 2. Một số phương pháp tính định thức cấp n 2.1. Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác Sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) ma trận tính chất định thức để biến đổi định thức ma trận dạng tam giác. Định thức tích phần tử đường chéo chính. Ví dụ 2.1 (Olympic SV 2008). Cho a0 , d số thực, dãy { a1 , a2 , ., an } lập thành cấp số cộng công sai d. Tính định thức ma trận a0 a1 a . . . a n −1 a n a0 a . . . a n −2 a n −1 a1 a2 a a . . . a n −3 a n −2 A= . . . . . . a a0 a1 n −1 a n −2 a n −3 . . . a n a n −1 a n −2 . . . a a0 . 2.2. Phương pháp quy nạp truy hồi Phương pháp truy hồi biểu diễn định thức cần tính qua định thức có cấp thấp có dạng xác định theo công thức xác định. Trong phương pháp truy hồi, ta thường dùng cách khai triển định thức theo hàng theo cột cách hợp lý để đưa định thức có dạng với cấp thấp hơn. Ví dụ 2.2. Tính định thức Dn = cosx . 0 2cosx . 0 2cosx . . . 0 . . . . . . 0 . . . 2cosx 0 . 2cosx 2.3. Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Giả sử A = ( aij )n×n có cột j thỏa mãn aij = aij + aij với i=1, n, định thức ma trận A tính | A| = . . . a1j + a1j . . . a2j + a2j . . . . . anj + anj . . . . = . . . . a1j a2j . anj . . . . a1j . . . . a2j + . . . . . . . anj . . . . . Phương pháp hữu dụng ta tách nhiều định thức có hai cột tỷ lệ 29 (suy có giá trị định thức 0) định thức lại đơn giản, dễ tính. Sau số ví dụ minh họa phương pháp. Ví dụ 2.3 (Olympic SV 1993). Cho 2n số nguyên a1 ,a2 , . . . .an , b1 , b2 , . . . bn thỏa mãn điều kiện ∑in=0 bi = 0. Tính A= + a1 b1 a1 b2 a2 b1 + a2 b2 . . an b1 an b2 . a bn . a bn . . . . . . + a n bn Ví dụ 2.4 (Olympic SV 2003). Cho ma trận + x1 1 1 + x2 1 A= 1 + x3 , 1 1 + x4 x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm đa thức f(x) = x4 − x + . Tính det A. 2.4. Phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Phương pháp sử dụng tính chất định thức tích. Tức với A, B ma trận vuông cấp, ta có det( AB) = det( A). det( B). Ví dụ 2.6. Tính định thức cấp n (n ≥2) sau: detA = + x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 . . + x n y1 + x n y2 . . . + x1 y n . . . + x2 y n . . . . . . + xn yn 2.5. Tính định thức ma trận đa thức Định lý. Cho A ma trận vuông cấp n f(x) đa thức bậc m. Nếu λ1 , λ2 , . . . , λn giá trị riêng ma trận A ta có: (i) det f ( A) = f (λ1 ). f (λ2 ) . . . f (λn . (ii) f (λ1 ), f (λ2 ), . . . , f (λn ) giá trị riêng f(A). Nhận xét: Từ định lý ta có: (i) Nếu λ giá trị riêng A ∀k∈ N, k≥1, λk giá trị riêng Ak . (ii) Nếu f(x) đa thức nhận A làm nghiệm, λ giá trị riêng A f(λ) = 0. Từ suy tập giá trị riêng ma trận A tập tập nghiệm f(x). 30 Ví dụ 2.10 (Olympic SV 1999). Cho đa thức f ( x ) = x1999 + x2 − ma trận 0 2 0 A = −1 . Tính det f ( A). 3. Một số ví dụ khác 1. (Olympic SV 2011) Cho ma trận A = 2. (Olympic SV 1999) Cho ma trận A = An = −1 . Hãy tính A2012 . 1 x 1998 1999 , kí hiệu x 2000 a11 (n, x ) a12 (n, x ) a21 (n, x ) a22 (n, x ) . Tìm limn→∞ limx→1 aij (n,x), i,j = 1, 2. 3. (Olympic SV 2010) Cho A, B ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực cho det A = det( A + B) = det( A + 2B) + · · · + det( A + 2010B) = 0. (i) Chứng minh det( xA + yB) = 0, ∀ x, y ∈ R. (ii) Tìm ví dụ chứng tỏ kết không có det( A) = det( A + B) = det( A + 2B) + · · · + det( A + 2009B) = 0. 4. Với x = 0, tính định thức Dn = e x + e− x 0 x − x e +e 0 e x + e− x . . . . . . . . 0 0 . . . . . . . . x . . . e + e− x Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa (2006), Đại số tuyến tính, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [2] Hồ Công Xuân Vũ Ý (2013), Đại số tuyến tính, Đại học Tiền Giang. [3] Tuyển tập đề thi olympic 1994-2011. 31 . liệu tham khảo ôn thi môn đại số trong kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, chúng tôi chọn chủ đề: Một số dạng toán ma trận thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc . 2. Các dạng toán và phương. MỘT SỐ DẠNG TOÁN MA TRẬN THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC Sầm Thị Sen 53A Toán Người hướng dẫn: TS. Thi u Đình Phong 1. Mở đầu Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc được tổ. cách như sau: - Chọn một ma trận chéo B và ma trận khả nghịch P cùng cấp. - Tính A = P −1 BP. Từ đó ta có bài toán yêu cầu tính lũy thừa ma trận A n . Ví dụ 1.3. Tính các lũy thừa ma trận sau: (i) 17