100 Bài tập Hình + Đáp án Phần 3

MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 2: 50 tập bản. Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE.AD. · · 3. C/m góc AOC ∆BDC cân. = ACB 4. CE kéo dài cắt AB I. C/m IA=IB. B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) µ chung. 2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , có E · » (góc tt dây) Sđ ABE = sđ cung BE Sđ · = BDE » (góc nt chắn BE » ) sđ BE · · 3/C/m AOC = ACB · · * Do ABOC nt⇒ AOC (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt = ABC · · · · nhau) ⇒ ∆ABC cân A⇒ ABC = ACB ⇒ AOC = ACB 1 · ¼ · ¼ * sđ ACB = sđ BEC (góc tt dây); sđ BDC = sđ BEC (góc nt) 2 · · · · · · ⇒ BDC = ACB mà ABC = BDC (do CD//AB) ⇒ BDC ⇒ ∆BDC cân = BCD B. · · 4/ Ta có $I chung; IBE (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)⇒ = ECB IE IB ∆IBE∽∆ICB⇒ IB = IC ⇒ IB2=IE.IC · » − BE » ) mà ∆BDC cân B⇒ Xét ∆IAE ICA có $I chung; sđ IAE = sđ ( DB » » = sđ CE= » · » = BC » ⇒sđ IAE · sđ ECA = sđ (BC-BE) DB IA IE ⇒ ∆IAE∽∆ICA⇒ IC = IA ⇒IA2=IE.IC Từ và⇒IA2=IB2⇒ IA=IB Bài 52: Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vò độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ hình gì? 3. Kẻ AK⊥CC’. C/m AKHC hình thang cân. 4. Quay ∆ABC vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh hình tạo ra. A 1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 ⇒ AB=5; ∆ABA’ vuông B⇒BH =AH.A’H C' K O ⇒A’H= BH = AH ⇒AA’=AH+HA’= H B C ⇒AO= 25 25 2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ CC’⇒ACA’C’ A' Hình 52 Hình bình hành. Vì AA’=CC’(đường kính đường tròn)⇒AC’A’C hình chữ nhật. 3/ C/m: AKHC thang cân:  ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà ∆OAC cân O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC hình thang.  Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân. 4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH hình sinh hình nón. Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón. Sxq= p.d= .2π.BH.AB=15π 1 3 Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P. 1. C/m: a/ PMIO thang vuông. V= B.h= πBH2.AH=12π b/ P; Q; O thẳng hàng. 2. Gọi S Giao điểm AP với CQ. Tính Góc CSP. 3. Gọi H giao điểm AP với MQ. Cmr: a/ MH.MQ= MP2. b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆QHP. C P M S H A I B O J Q D Hình 53 1/ a/ C/m MPOI thang vuông. Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt) ⇒CO//MI mà MP⊥CO ⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI thang vuông. b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông ⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ QP đường kính (O)⇒ Q; O; P thẳng hàng. 2/ Tính góc CSP: Ta có sđ CSP= sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP= sđ(AQ+CP)= sđ CSP= sđ(AQ+QD) = sđAD=45o. Vậy CSP=45o. 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì ∆ AOM cân O; I trung điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO tam giác cân M⇒ ∆AMO tam giác ⇒ cung AM=60o MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o. ⇒ cung AM=MP ⇒ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.)⇒ ∆MHP∽∆MQP⇒ đpcm. b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP. Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân H QHP=120o⇒J nằm đường thẳng HO⇒ ∆HPJ tam giác mà HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP P nằm đường tròn ngoại tiếp ∆HPQ ⇒đpcm. Bài 54: Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D. 1. C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn. 2. C/m AC//MO MD=OD. 3. Đường thẳng OM cắt (O) E F. Chứng tỏ MA2=ME.MF 4. Xác đònh vò trí điểm M d để ∆MAB tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp này. B 1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt ⇒BOM=OMB MA=MB ⇒MO đường trung trực AB⇒MO⊥AB. Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ⇒CA⊥AB. Vậy AC//MO. d E F O D C A H Hình 54 C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cân D⇒đpcm. 3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung. Sđ AFM= sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ⇒EAM=A FM Sđ EAM= sd cungAE(góc tt dây) ⇒∆MAE∽∆MFA⇒đpcm. 4/Vì AMB tam giác đều⇒góc OMA=30o⇒OM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB 1 Ta có AB=AM= OM − OA =R ⇒S AMBO= BA.OM= .2R. R = R2 2 2 πR .120 πR πR 3 −π R2 ⇒ Squạt= = ⇒S= R2 = 360 3 ( ) ÐÏ(&(ÐÏ Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường tròn. Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C. 1. C/m AMN=BMC. 2. C/m∆ANM=∆BMC. 3. DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE⊥Ax. 4. Chứng tỏ M trung điểm DC. x D y M C E F A N Hình 55 B O 1/C/m AMN=BMA. Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NM⊥DC⇒NMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v⇒ AMN=BMA. 2/C/m ∆ANM=∆BCM: Do cung AM=MB=90o.⇒dây AM=MB MAN=MBA=45o.(∆AMB vuông cân M)⇒MAN=MBC=45o. Theo c/mt CMB=AMN⇒ ∆ANM=∆BCM(gcg) 3/C/m EF⊥Ax. Do ADMN nt⇒AMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC nt⇒BMC=CNB(cùng chắn cung CB) ⇒ AND=CNB Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) Ta lại có AND+DNA=1v⇒CNB+DNA=1v ⇒ENC=1v mà EMF=1v ⇒EMFN nội tiếp ⇒EMN= EFN(cùng chắn cung NE)⇒ EFN=FNB ⇒ EF//AB mà AB⊥Ax ⇒ EF⊥Ax. 4/C/m M trung điểm DC: Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN). ⇒∆NMC vuông cân M⇒ MN=NC. Và ∆NDC vuông cân N⇒NDM=45o. ⇒∆MND vuông cân M⇒ MD=MN⇒ MC= DM ⇒đpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 56: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB. Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF. 1. C/m AECD nt. 2. C/m:CD2=CE.CF 3. Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE. 4. C/m IK//AB. A F K C x M D O I E B Hình 56 1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF. Xét hai tam giác CDF CDE có: -Do AECD nt⇒CED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD nt⇒CDF=CBF(cùng chắn cung CF) Và sđ CBF= sđ cung BC(góc tt dây)⇒FDC=DEC Mà sđ CAD= sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Do AECD nt BFCD nt ⇒DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)⇒DCF=DCE.Từ và ⇒∆CDF∽∆CED⇒đpcm. 3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD⇒ xCF= xCE.⇒đpcm. 4/C/m: IK//AB. Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)⇒KIC=BAC⇒KI//AB. Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N. C/m OBPN hình bình hành. 3. AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J. C/m I; J; K thẳng hàng. N P J Q I K M A O B Hình 57 1/ C/m:BM//OP: Ta có MB⊥AM (góc nt chắn nửa đtròn) OP⊥AM (t/c hai tt cắt nhau) ⇒ MB//OP. 2/ C/m: OBNP hình bình hành: Xét hai ∆ APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP ⇒ POA=NBO (đồng vò)⇒∆APO=∆ONB⇒ PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) ⇒ OBNP hình bình hành. 3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PM⊥OJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ON⊥AB⇒ON⊥OJ⇒I trực tâm ∆OPJ⇒IJ⊥OP. -Vì PNOA hình chữ nhật ⇒P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP⇒ MNOP thang cân⇒NPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng · · chắn cung NM) ⇒ IPO=IOP ⇒∆IPO cân I. Và KP=KO⇒IK⊥PO. Vậy K; I; J thẳng hàng. & Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt I. 1. C/m ∆ABI vuông cân 2. Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt. C/m AC.AI=AD.AJ. 3. C/m JDCI nội tiếp. 4. Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K. Hạ DH⊥AB. Cmr: AK qua trung điểm DH. Hình 58 I C D N A O H J K B 1/C/m ∆ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách): -Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)⇒∆ABC vuông C.Vì OC⊥AB trung điểm O⇒AOC=COB=1v ⇒ cung AC=CB=90o. ⇒CAB=45 o. (góc nt nửa số đo cung bò chắn) ∆ABC vuông cân C. Mà Bt⊥AB có góc CAB=45 o ⇒ ∆ABI vuông cân B. 2/C/m: AC.AI=AD.AJ. Xét hai ∆ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= sđ cung AC =45o. Mà ∆ ABI vuông cân B⇒AIB=45 o.⇒CDA=AIB⇒ ∆ADC∽∆AIJ⇒đpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v⇒ CDJ+CIJ=2v⇒CDJI nội tiếp. 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND -Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ⇒KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1v⇒KJD=JDK⇒∆KDJ cân K ⇒KJ=KD ⇒KB=KJ. -Do DH⊥ JB⊥AB(gt)⇒DH//JB. p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có: DN AN NH AN DN NH = = = ; ⇒ mà JK=KB⇒DN=NH. JK AK KB AK JK KB ÐÏ(&(ÐÏ Bài 59: Cho (O) hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD đường thẳng MB cắt E. Chứng minh CM MD phân giác góc góc góc AMB 3. C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB tam giác đều. E C M N A O B 1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc góc AMB: -Do AB⊥CD trung điểm O AB CD.⇒Cung AD=DB=CB=AC=90 o. ⇒sđ AMD= sđcungAD=45o. D Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc góc AMB. 3/C/m: AM.DN=AC.DM. Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)⇒∆AMC∽∆DMN⇒đpcm. 4/Khi ON=NM ta c/m ∆MOB tam giác đều. Do MN=ON⇒∆NMO vcân N⇒NMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1v⇒OMB=MOB.Mà OMB=OBM ⇒OMB=MOB=OBM⇒∆MOB tam giác đều. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 60: Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C. Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Vẽ đường cao CH ∆ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD.BE. Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By. Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E. Đường thẳng EC cắt By F. 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O). 3. AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB 4. Xác đònh vò trí D để EF tiếp tuyến (O) Hình 85 F C E I J • O’ A D • O B 1/Cm:BDCF nội tiếp: Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O’)⇒FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒đpcm. 2/•C/m: CD2=CE.CF .Ta có Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’). Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt) ⇒CED+CFD=1v nên EDF=1v hay ∆EDF tam giác vuông có DC đường cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF. •Vì ∆EDF vuông D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.⇒đpcm. 3/C/m IJ//AB. Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED). Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chắn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm. 4/ Xác đònh vò trí D để EF tiếp tuyến (O). Ta có CD⊥EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính ⇒D≡O. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 86: Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B. Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’). Đường thẳng OC O’D cắt K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ:IC2=IA.IB. 3. Chứng minh IK nằm đường trung trực CD. 4. IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN. b/ E; F; M; N nằm đường tròn. 1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai I đtròn ⇒ICK=IDK=1v Hình 86 ⇒đpcm. 2/C/m: IC2=IA.IB. C Xét hai tam giác ICE E ICBcó góc I chung M sđ ICE= sđ cung A D • O CE (góc tt dây) •O’ B F N K Sđ CBI= sđ CE (góc nt cung bò chắn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm. 3/Cm IK nằm đường trung trực CD. IC=ID⇒I nằm trênđường Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB. trung trực CD Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB  -Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vuông IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K nằm đường trung trực CD.⇒đpcm. 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN. b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính IF IN = chất tỉ lệ thức ta có: .Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ với IM IE hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung ⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 87: Cho∆ABC có góc nhọn.Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H. 1. Chứng minh:ADHE nội tiếp. 2. C/m:AE.AC=AB.AD. 3. AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE. 4. Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O) A I E D x Hình 87 H B F O C 1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt. 2/C/m:AE.AC=AB.AD. Ta chứng minh ∆AEB ∆ADC đồng dạng. 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF: Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF. -Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chắn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH phân giác DEF. -Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH phân giác góc FDE⇒H là… 4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH= AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông)⇒∆IAE cân I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cân O⇒ OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE điểm E nằm đường tròn (O)⇒đpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 88: Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD⊥AB (C∈(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E∈(O)). 1. Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng. 2. Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt. 3. Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. 4. Chứng tỏ FA.EC=FD.EA. A E • O • O’ C B Hình 88 D F K 1/C/m AOC AO’D thẳng hàng: -Vì AB⊥CD ⇒Góc ABC=1v⇒AC đường kính (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng. 2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm 3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ∆ACD. Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA. Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 89: Cho ∆ABC có A=1v.Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K. 1. Chứng minh:OAO’ thẳng hàng 2. CM:AMKN nội tiếp. 3. Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC. 4. Chứng tỏ 4MI2=Rr. Hình 89 O’ A O M I N B K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng: -Vì M trung điểm dây AB⇒OM⊥AB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA. Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ góc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v. Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v ⇒đpcm. 2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm. Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật. 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’) -Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OA⊥AK điểm A nằm đường tròn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’) -C/m K nằm BC: Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC. Nhưng AMKN hình chữ nhật⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghóa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm 4/ C/m: 4MI2=Rr. Vì ∆OKO’ vuông K có đường cao KA.p dụng hệ thue=ức lượng tam giác vuông có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI= AK⇒đpcm ÐÏ(&(ÐÏ Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F. 1. Cm:BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE 3. Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H giao điểm AC với FE. Cm: AI.AM=AC.AH. E Hình 90 B A O I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm. 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BF⊥AE ED⊥AF nên C trực tâm ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm. 3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vuông góc với dây DB)⇒∆ADB cân A⇒ AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)⇒Đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm đường AM ⇒góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm. 4/ Bài 91: Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung DE(D∈(O)); DB CE kéo dài cắt M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn. 3. ADEM hình gì? 4. Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC. 1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) ⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm. 2/C/m MA tiếp tuyến B O A O’ C hai đường tròn; -Ta có sđADE= sđ E D M cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)⇒ABM=AMC. Hình 91 Tương tự ta có AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhau⇒Cặp góc cònlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM điểm A nằm đtròn…. 3/ADEM hình gì? Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta có MA tt đtròn⇒DAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật. 4/Cm: MD.MB=ME.MC . Tam giác MAC vuông A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vuông MAB có MA2=MD.MB⇒đpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK⊥ với đường thẳng AM. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E. Cmr: BD.KN=BE.KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN hình vuông. A Hình 92 B N M E K D C 1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) ⇒ đpcm. 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có: Vì ABCD hình vuông nên nội tiếp đường tròn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1v⇒A;K;C nằm đtròn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường tròn.⇒Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒ BD BE = ⇒đpcm. KA KN 3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN CB⊥AN ;AK cắt BC M⇒M trực tâm tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chất hình vuông)⇒MN//DB. 4/Cm:BNEM hình vuông: Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM tam giác vuông cân⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và o o BDM=45 ⇒MBE=45 ⇒∆MBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMN⇒BMEN hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN hình vuông. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O. Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q. 1. Cm: QPCB nội tiếp. 2. Cm: AN//DB. 3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 4. Cm: ∆PEN tam giác cân. F N I Q A E B P M O D C 1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).⇒đpcm. 2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ⇒O trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua M⇒M trung điểm NC ⇒OM đường trung bình ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB. 3/Cm:F;E;M thẳng hàng. Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhật⇒∆AIE OAB tam gíc cân ⇒IAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//AC Vì I trung điểm AN;M trung điểm NC⇒IM đường trung bình ∆ANC⇒MI//AC .Từ và Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ⇒F;F;M thẳng hàng. 4/C/m∆PEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếp⇒PNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cân E. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o. Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P. Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q. 1. Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn. 2. Cm:AB.PE=EB.PF. 3. Cm:S∆AEF=2S∆APQ. 4. Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD. A B M P E Q D F C 1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường tròn: Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vuông)⇒ABEQ nội tiếp ⇒ABE+AQE=2v mà ABE=1v⇒AQE=1v.Ta có ∆AQE vuông Q có góc QAE=45o⇒∆AQE vuông cân⇒AEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o ⇒APFD nội tiếp⇒APF+ADF=2v mà ADF=1v⇒APF=1v ECF=1v  .Từ ⇒E;P;Q;F;C nằm đường tròn đường kính EF. 2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: -Vì ABEQ nt⇒BAE=BQE(Cùng chắn cung BE) ⇒BAE=PFE -Vì QPEF nt⇒PQE=PEF(Cùng chắn cung PE) ⇒đpcm. 3/Cm: :S∆AEF=2S∆APQ. Theo cm ∆AQE vuông cân Q⇒AE= AQ + QE = AQ Vì QPEF nt ⇒PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung S AEF  AE  =  = ⇒∆AQP~∆AEF⇒ S AQP  AQ  ( 2) =2⇒đpcm. 4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai ∆MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vuông góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J. 1. C/m:OHIK nội tiếp. 2. Chứng tỏ KH⊥OI. 3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB 4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn. A B J O F H D K E C 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh) 2/Cm HK⊥OI. Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O ⇒OI đường cao thứ ba ⇒OI⊥AB. I Ta có OKIH nt⇒OKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI⊥AB AD⊥AB ⇒OI//AD⇒OIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE ⇒OKH=OCE⇒HK//AB.Mà OI⊥AB ⇒OI⊥KH. 3/Cm: HJ.KC=HE.KB . Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp: VìAH⊥BE;EJ//AD AD⊥AB⇒EJ⊥AB⇒BJ đường cao thứ ba tam giác ABE⇒BJ⊥AE Vì E trung điểm DH;EJ//AD⇒EJ đường trung bình tam giác ADH⇒EJ//= AB;BF= BC mà BC//=AD⇒JE//=BF⇒BJEF hình bình hành⇒JB//EF.Mà BJ⊥AE⇒EF⊥AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1v⇒ABFE nt. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 96: Cho ∆ABC, phân giác góc góc góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với đường thẳng AB; BC; AC. 1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 2. Chứng minh: BICJ nt. 3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E. Cmr:AE⊥AJ. 4. C/m: AI.AJ=AB.AC. A E I B P C K H J 1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BK⊥Ax;BI⊥Ay DM⊥Ax,DN⊥Ay . 1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2. Chứng minh AD2=AP.MD. 3. Chứng minh MN=KI. 4. Chứng tỏ KI⊥AN. x B P C K y Q N M A I D Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vuông góc với CD AM. 1. Chứng minh KHDM nt. 2. Chứng minh:AB=CK+AM. Bài 99: Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD. 1. Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF. 2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 3. Chứng minh:CN.CF=4BE.BF 4. Chứng minh MN//AC. A D M B E N C F 1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàng⇒đpcm. 2/Cm:AFCD nội tiếp: -Do ADCE hình bình hành⇒BC//AE⇒góc BCA=ACE(so le) -sđCAE= sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= sđ cung AE ⇒CAE=AFE.⇒BCN=BFA⇒AFCD nội tiếp. 2/Cm CN.CF=4BE.BF. -Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)⇒∆BAE~∆BFA⇒ AB BE = ⇒AB2=BE.BF BF AB Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạng⇒AC2=CN.CF.Nhưng ta lại có AB= AC.Do đó trở thành: AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF. Từ  ⇒đpcm. 4/cm MN//AC. Do ADCE hbh⇒BAC=ACE(so le).Vì ADCF nt ⇒DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)⇒ACM=CMN⇒MN//AC. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 100: Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC .AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E. 1. Chứng minh ∆BNI cân. 2. PKEN nội tiếp. 3. Chứng minh AN.BD=AB.BN 4. Chứng minh I trực tâm ∆MPN IE//BC. 1/C/m ∆BNI cân Ta có sđBIN= sđ(AP+BN) sđIBN= sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt) ⇒BIN=IBN⇒∆BNI cân N. 2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp: A P M F E K O I B C N Vì cung AM=MB⇒ANM=MPB hay KPE=KNE⇒Hai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…⇒đpcm. 3/C/m AN.DB=AB.BN. Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)⇒đpcm. 4/ •Chứng minh I trực tâm ∆MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có: sđ AFD= sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường tròn.) sđ ADF= sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường tròn.) Mà Cung AP=PC;MB=AM⇒AFD=ADF⇒∆AFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)⇒AN⊥MP hay NA đường cao ∆NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP. •C/m IE//BC.Ta có ∆BNI cân N có NE phân giác ⇒NE đường trung trực BI⇒EB=EI⇒∆BEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIB⇒EI//BC. ÐÏ( &(ÐÏ Hết [...]... DE=BD+CE 3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R là bán kính của đường tròn tâm O) 4 C/m:BC là tiếp tuyến của đtròn đường kính DE E I A D Hình 69 2 1 B 2 4 1 H O 3 C 1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒Hai tam giác vuông DOB bằng DOA⇒O1=O2.Tương tự O3=O4.⇒O1+O4=O2+O3 Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v⇒ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) và DE=DA+AE ⇒DE=DB+CE 3/ Do... AOP⇒PI=IO.Mà IO=PO(bán kính)⇒PO=IO=PI⇒∆PIO là tam giác đều⇒POI=60o.⇒OAB =30 o.Tương tự OAC =30 o⇒BAC=60o.Mà ∆ABC cân ở A(Vì đường caoAO cũng là phân giác) có 1 góc bằng 60o ⇒ABC là tam giác đều 2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau) ⇒Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có: POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o⇒HOK=60o 3/ Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau... trung trực của DC⇒F;E;O thẳng hàng •C/m AED=AOD 1 1 Ta có:Sđ AED= sđ(AD+BC)= 2 2sđAD=sđAD vì cung AD=BC(cmt) 2 Mà sđAOD=sđAD(góc ở tâm chắn cung AD)⇒AOD=AED 4/Cm: AOCF nội tiếp: + Sđ AFC= 1 sđ(DmC-AB) 2 Sđ AOC=SđAB+sđ BC 1 2 1 2 Sđ (AFC+AOC) = sđ DmC- sđAB+sđAB+sđBC Mà sđ DmC =36 0o-AD-AB-BC.Từvà ⇒sđ AFC+sđ AOC=180o.⇒đpcm ÐÏ(&(ÐÏ Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn.Kẻ OA⊥xy rồi từ... trên cung nhỏ BC Gọi P là chu vi ∆ AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC ⇒P=(IA+IB )+ (JC+JA)=AB+AC=2AB không đổi 4/Giả sử BCJI nội tiếp⇒BCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2v⇒JIA=ACB.Theo chứng minh trên có ACB=CBA⇒CBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BC⊥OA⇒JI⊥OA Mà OM⊥JI ⇒OM≡ OA⇒M là điểm chính giữa cung BC ÐÏ(&(ÐÏ Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến...5 Chứng minh:DH//CB 1/C/m: CD=CE: Hình 60 d D C E A O của hình thang ta có:OC= H B Do AD⊥d;OC⊥d;BE⊥d⇒ AD//OC//BE.Mà OH=OB⇒OC là đường trung bình của hình thang ABED⇒ CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình BE + AD ⇒BE+AD=2.OC=AB 2 3/ C/m BH=BE.Ta có: 1 2 1 sđ CAB= sđ cung CB(góc nt)⇒ECB=CAB;∆ACB cuông ở C⇒HCB=HCA 2 sđ BCE= sdcung... thang cân 2 Chứng tỏ FD.FA=FB.FC 3 C/m:Góc AED=AOD 4 C/m AOCF nội tiếp F Hình 76 A B E D C O 1/ C/m ABCD là hình thang cân: Do ABCD là hình thang ⇒AB//CD⇒BAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)⇒BDC=ACD Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)⇒ADC=BCD Vậy ABCD là hình thang cân 2/c/m FD.FA=FB.FC C/m Hai tam giác FDB và ∆FCA đồng dạng vì Góc F chung và FDB=FCA(cmt) 3/ C/m AED=AOD: •C/m F;O;E thẳng hàng:... giác của ACB(cmt)⇒∆ABC cân ở C ÐÏ(&(ÐÏ Bài 73: Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E 1 C/m góc DA’C=DA’E 2 C/m ∆A’DC=∆A’DE 3 Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? 4 C/m BAC=2.CEB 1/C/m DA’C=DA’E Ta có DA’E=AA’B (đđ A Hình 73 1 Và sđAA’B=sđ AB 2 E O A’ D B CA’D=A’AC+A’CA (góc ngoài ∆AA’C) 1 2 Mà sđ A’AC=... AC ở N 1 C/m OBAD nội tiếp 2 Cmr: AB.EN=AF.EC 3 So sánh góc AOD và COM 4 Chứng tỏ A là trung điểm DE x M E C N O B A F Hình 77 D 1/C/m OBAD nt: -Do DB là tt⇒OBD=1v;OA⊥xy(gt)⇒OAD=1v⇒đpcm 2/Xét hai tam giác:ABF và ECN có: -ABF=NBM(đ đ);Vì BM và CM là hai tt cắt nhau⇒NBM=ECB⇒FBA=ECN -Do OCE+OAE=2v⇒OCEA nội tiếp⇒CEO=CAO(cùng chắn cung OC) ⇒∆ABF~∆ECN⇒đpcm 3/ So sánh;AOD với COM:Ta có: -DĐoABO nt⇒DOA=DBA(cùng... Hình 78 C O J A M I B 1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CE⊥BC.Mà OA là phân giác của ∆cân ABC⇒OA⊥BC⇒OA//EC 2/xét hai tam giác vuông AOB và ECB có: -Do OCA+OBA=2v⇒ABOC nt⇒OBC=OAC(cùng chắn cung OC) mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)⇒EBC=BAO⇒∆BAO~∆CBE ⇒.Ta lại có BE=2R⇒đpcm 3/ Chứng minh chu vi ∆AIJ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC Gọi P là chu vi ∆ AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA... tròn tại D cắt CA tại E 1 Chứng minh ∆BEC cân 2 Gọi I là hình chiếu của A trên BE.C/m:AI=AH 3 C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 4 C/m:BE=BH+DE 5 Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K.Và AH=2R.Tính diện tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K D E I Hình 70 A K C H B 1/C/m:∆BEC cân:.Xét hai tam giác vuông ACH và AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE là tiếp tuyến của (A)⇒HD⊥DE và . DOA⇒O 1 =O 2 .Tương tự O 3 =O 4 .⇒O 1 +O 4 =O 2 +O 3 . Ta lại có O 1 +O 2 +O 3 +O 4 =2v⇒ O 1 +O 4 =O 2 +O 3 =1v hay DOC=90 o . 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) và DE=DA+AE ⇒DE=DB+CE. 3/ Do ∆DE vuông. MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 2: 50 bài tập cơ bản. Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và. đều⇒góc OMA =30 o ⇒OM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính là S.Ta có S=S OAMB -S quạt AOB Ta có AB=AM= 22 OAOM − =R 3 ⇒S AMBO= 2 1 BA.OM= 2 1 .2R. R 3 = R 2 3 ⇒ S quạt = 36 0 120. 2 R π = 3 2 R π ⇒S=