100 Bài tập Hình + Đáp án Phần 2

Bài 26: Cho ∆ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K điểm dối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC.E;F giao điểm KI với AB AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI=AK 3. C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn. 4. C/m CE;BF đường cao ∆ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm đường phân giác ∆HFE trực tâm ∆ABC. I A F E M K B H C 1/C/m AICH nội tiếp: Do I đx với H qua AC⇒AC trung trực HI⇒AI=AH HC=IC;AC chung ⇒∆AHC=∆AIC(ccc) ⇒AHC=AIC mà AHC=1v(gt)⇒AIC=1v ⇒AIC+AHC=2v⇒ AICH nội tiếp. Hình 26 2/C/m AI=AK: Theo chứng minh ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB đường trung trực KH⇒AH=AK⇒ AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I nằm đường tròn: DoE∈ABvà ABlà trung trực KH⇒EK=EH;EA chung;AH=AK⇒∆AKE=∆AHE⇒AKE=EHA mà∆AKI cân A(theo c/m AK=AI) ⇒AKI=AIK.⇒EHA=AIE⇒ hai điểm I K cung làm với hai đầu đoạn AE…⇒A;E;H;I nằm đường tròn ký hiệu (C) Theo cmt A;I;CV;H nằm đường tròn(C’) ⇒ (C) (C’) trùng có chung điểm A;H;I không thẳng hàng) 4/C/m:CE;BF đường cao ∆ABC. Do AEHCI nằm đường tròn có AIC=1v⇒AC đường kính.⇒AEC=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE đường cao ∆ABC.Chứng minh tương tự ta có BF đường cao… 5/Gọi M giao điểmAH EC.Ta C/m M giao điểm đường phân giác ∆HFE. EBHM nt⇒ MHE=MBE(cùng chắn cungEM) ⇒EHM=MHF BEFC nt⇒ FBE=ECF (Cùng chắn cung EF) ⇒HA pg… HMFC nt⇒FCM=FMH(cùng chắn cung MF) C/m tương tự có EC phân giác ∆FHE⇒đpcm. Bài 27: Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp (O).Gọi M điểm cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC tia BA lấy AD=AC. 1. C/m: BAC=2BKC 2. C/m BCKD nội tiếp.,xác đònh tâm đường tròn này. 3. Gọi giao điểm DC với (O) I.C/m B;O;I thẳng hàng. 4. C/m DI=BI. 1/Chứng tỏ:BAC=BMC D (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ∆MKC) Mà MK=MC(gt)⇒∆MKC A cân M⇒MKC=MCK ⇒BMC=2BKC. I K ⇒BAC=2BKC. 2/C/mBCKD nội tiếp: M Ta có BAC=ADC+ACD(góc B C ∆ADC) mà Hình 27 AD=AC(gt)⇒∆ADC cân A⇒ADC=ACD⇒BAC=2BDC Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)⇒BDC=BKC ⇒BCKD nội tiếp. Xác đònh tâm:Do AB=AC=AD⇒A trung điểm BD⇒ trung tuyến CA= BD⇒∆BCD vuông C .Do BCKD nội tiếp ⇒DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1v⇒BKD=1v⇒∆BKD vuông K có trung tuyến KA⇒KA= BD ⇒AD=AB=AC=AK ⇒A tâm đường tròn… 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I∈(O) ⇒BI đường kính ⇒B;O;I thẳng hàng. 4/C/mBI=DI: Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AI⊥DB,có A trung điểm⇒AI đường trung trực BD⇒∆IBD cân I⇒ID=BI Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)∆ADC cân D⇒ACI=ADI⇒BDC=ACD⇒IDB=IBD⇒∆BID cân I⇒đpcm. Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I điểm cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC ID cắt AB M;N. 1. C/m D;M;N;C nằm đường tròn. 2. C/m NA.NB=NI.NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB. 4. C/m :IA2=IM.ID. E F I A 1/C/m D;M;N;C nằm đường tròn. B Sđ NCD= Sđ cungDI Sđ IMB= sđcung(IB+AD) M N  O D C Hình 28 Mà cung IB=IA⇒IMB=NCD ⇒IMB=NCD. Ta lại có IMN+DMN=2v ⇒NCD+DMN=2v⇒MNCD nộitiếp. 2/Xét 2∆NBC NAI có: IAB=ICB(cùng chắn cung BI) INA=BNC(đ đ)⇒∆NAI∽∆NCB⇒đpcm. 3/C/m EF//AB: Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung IA=IB) hay EDF=ECF ⇒hai điểm D C làm với hai đầu đoạn EF…⇒EDCF nội tiếp ⇒ EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt)⇒ EFD=FMN⇒ EF//AB. 4/C/m: IA2=IM.ID. ∆AIM∽∆DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung nhau) ⇒đpcm. ÐÏ( &(ÐÏ Bài 29: Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F.Kẻ trung tuyến AI ∆AEF,AI kéo dài cắt CD K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G. 1. C/m AECF nội tiếp. 2. C/m: AF2=KF.CF 3. C/m:EGFK hình thoi. 4. Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi ∆CKE có giá trò không đổi. 5. Gọi giao điểm EF với AD J.C/m:GJ⊥JK. Giải: F A J D I K G B E C 1/C/m AECF nội tiếp: FAE=DCE=1v(gt) ⇒ AECF nội tiếp 2/C/m: AF2=KF.CF. Do AECF nội tiếp⇒ DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o (Tính chất hình vuông) ⇒FEA=45o⇒∆FAE vuông cân A có FI=IE⇒AI⊥FE ⇒FAK=45o. ⇒FKA=ACF=45o.Và KFA chung ⇒∆FKA∽∆FCA FA FK = ⇒ ⇒đpcm. FC FA Hình 29 3/C/m: EGFK hình thoi. -Do AK đường trung trực FE⇒∆GFE cân G ⇒GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)⇒GEF=EFK(so le) ⇒GFI=IFK⇒FI đường trung trực GK⇒GI=IK,mà I F=IE⇒GFKE hình thoi. 4/C/m EK=BE+DK:∆ vuông ADF ABE có AD=AB;AF=AE.(∆AE F vuông cân)⇒∆ADF=∆ABE ⇒BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)⇒KE=BE+DK C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi. 5/C/m IJ⊥JK: Do JIK=JDK=1v⇒IJDK nội tiếp ⇒JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vuông)⇒ JIK=45o⇒∆JIK vuông vân I⇒JI=IK,mà IK=GI ⇒JI=IK=GI= GK⇒∆GJK vuông J hay GJ⊥JK. Bài 30: Cho ∆ABC.Gọi H trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I giao điểm HD BC. 1. C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O. 2. So sánh BAH OAC. 3. CH cắt OD E.C/m AB.AE=AH.AC 4.Gọi giao điểm AI OH G.C/m G trọng tâm ∆ABC. 1/c/m:ABDC nội tiếp: Gọi đường cao ∆ABC AN;BM;CN. Do AQH+HMA=2v⇒AQHM M Q nội tiếp⇒BAC+QHM=2v H G mà QHM=BHC(đ đ) B O C N I BHC=CDB(2 góc đối hình bình hành) D Hình 30 ⇒BAC+CDB=2V⇒ABDC nội tiếpnằ . m đường tròn ⇒AD Và BH⊥AC⇒CD⊥AC hay ACD=1v,mà A;D;Cè Cách xác đònh tâm O:do đường kính.Vậy O trung điểm AD. CD//BH(t/c hình bình hành) 2/So sánh BAH OAC: A BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD hình bình hành) ⇒QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)⇒BAH=OAC. 3/c/m: AB.AE=AH.AC: Xét hai tam giác ABH ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)⇒∆ABH∽∆ACE⇒đpcm 4/C/m G trọng tâm ∆ABC.ta phải cm G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= AI. Do IB=IC⇒OI⊥BC mà AH⊥BC⇒OI//AH.Theo đònh lý Ta Lét ∆AGH OI GI OI = = (T/c đường .Do I trung điểm HD⇒O trung điểm AD⇒ AH AG AH OI GI 1 = = ⇒GI= AG. Hay GI= AI⇒G trọng tâm trung bình)⇒ AH AG 2 ⇒ ∆ABC. ÐÏ( &(ÐÏ Bài 31: Cho (O0 cung AB=90o.C điểm tuỳ ý cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ ∆ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM AN gặp D. 1. C/m:B;K;C;J nằm đường tròn. 2. 3. 4. 5. c/m: BI.KC=HI.KB C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành. C/m:OC//DH. N D  O A M K B I C J H Hình 31 Bài có hai hình vẽ tuỳ vào vò trí C.Cách c/m tương tự 1/C/m B;K;C;J nằm đường tròn. -Sử dụng tổng hai góc đốùi. -Sử dụng hai góc làm với hai đầu đoạn thẳng góc vuông. 2/C/m: BI.KC=HI.KB. Xét hai tam giác vuông BIH BKC có IBH=KBC(đ đ) ⇒đpcm 3/ C/m MN đường kính (O). Do cung AB=90o.⇒ACB=ANB=45o ⇒∆KBC;∆AKN Tam giác vuông cân⇒KBC=45o⇒IBH=KBC=45o⇒∆IBH tam giác vuông cân.Ta lại có: AMD=MAB+ABM(góc tam giác MAB).Mà sđMAB= sđMB SđABM= sđAM cung MA+AM=AB=90o.⇒AMD=45o AMD=BMH(đ đ) ⇒BMI=45o⇒∆BIM vuông cân⇒MBI=45o⇒MBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1v⇒MN đường kính (O). 5/C/m OH//DH. Do MN đường kính ⇒MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o. ⇒MAC=45o hay cung MC=90o⇒MNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung MC=90o⇒MOC=90o⇒OC⊥MN. Do DB⊥NH;HA⊥DN;AH DB cắt M⇒M trực tâm ∆DNH ⇒MN⊥DH⇒OC//DH. ÐÏ( Bài 32: &(ÐÏ Cho hình vuông ABCD.Gọi N điểm CD cho CN90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vuông góc với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2=EF.GF. 3. Gọi O giao điểm AC DB.Kẻ OI⊥CD.Cmr: OI qua trung điểm AG. 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp. A G B E F O D J I C Hình 39 1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F làm với hai đầu đoạn thẳng CD). 2/C/m: CF2=EF.GF: Xét ∆ECF CGF có: -Do DE FC nt⇒FCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)⇒FBC=FGC(cùng chắn cung FC)⇒FGC=FCE. -Do GBCF nt⇒GBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp ⇒FDC=FCE(cùng chắn cùngC)⇒FCG=FEC⇒∆ECF∽∆CGF⇒đpcm. 3/C/m Oi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường tròn tâm O đường kính AC J Do AG//CJ CG⊥AG⇒AGCJ hình chữ nhật ⇒AG=CJ Vì OI⊥CJ nên I trung điểm CJ(đường kính ⊥ với dây…)⇒đpcm. 16 4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1v⇒AGCE nt (O)⇒AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)⇒EOG=2.ADC(1) Do DEFC nt⇒EFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn ∆ vuông EDC)();Do GBCF nt⇒GFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90oGBC().Từ ()và()⇒EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2) Từ (1) (2)⇒EOG=EFG⇒EOFG nt. ÐÏ( &(ÐÏ 17 Bài 40: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F. 1. C/m:C;B;F thẳng hàng. 2. C/m CDEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ DA.FE=DC.EA 4. C/m A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. 5. Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’) D E A O I O’ C B F Hình 40 1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). ⇒ABC+ABF=2v⇒C;B;F thẳng hàng. 2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1v⇒E;D làm với hai đầu đoạn CF… ⇒đpcm 3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai ∆ vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ) ⇒∆ DAC ∽∆ø EAF⇒đpcm. 4/C/m A tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân giác ∆DBE. (Xem cách c/m 35 câu 3) 5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là: Nếu DE tiếp tuyến chung OD⊥DE O’E⊥DE.Vì OA=OD ⇒∆AOD cân O⇒ODA=OAD.Tương tự ∆O’AE cân O’⇒O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ) ⇒⇒ODO’=OEO’⇒D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhau⇒ODEO’ nt ⇒ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O) (O’)⇒ODE=O’ED=1v⇒EO’O=1v⇒ODEO’ hình chữ nhật ⇒DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A. Vậy để DE tt chung hai đường tròn hai đường tròn có bán kính nhau.(hai đường tròn nhau) 18 ÐÏ( &(ÐÏ Bài 41: Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF. 1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn. 2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2. 3. Khi A di động xy I di động đường nào? 4. C/m KE KF hai tiếp tyuến (O) B O I F y H E A C 1/ C/m:A;B;C;H;O nằm đường tròn: Ta có ABO=ACO(tính chất tiếp tuyến).Vì H l;à trung điểm dây FE nên OH⊥FE (đường kính qua trung điểm dây) hay kính AO. Hình 41 K OHA=1v⇒5 điểm A;B;O;C;H nằm đường tròn đường kính AO. 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2 Do ∆ABO vuông B có BI đường cao.p dung hệ thức lượng tam giác vuông ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.⇒OI.OA=R2.(1) Xét hai ∆ vuông OHA OIK có IOH chung.⇒∆AHO∽∆KIO⇒ OA OH = OK OI ⇒OI.OA=OH.OK (2). Từ (1) (2)⇒đpcm. 4/C/m KE KF hai tt đøng tòn (O). 19 -Xét hai ∆EKO EHO.Do OH.OK=R2=OE2⇒ OH OE = EOH chung OE OK ⇒∆EOK∽∆HOE(cgc)⇒OEK=OHE mà OHE=1v⇒OEK=1v hay OE⊥EK điểm E nằm (O)⇒EK tt (O) -c/m ÐÏ( &(ÐÏ Bài 42: Cho ∆ABC (ABAC A N F E M D K B I C Hình 42 1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB Do D giao điểm đường phân giác BN CM ∆ABN ⇒ Do CD phân giác ∆ CBN⇒ Từ (1) (2) ⇒ BD AB = (1) DN AN BD BC = (2) DN CN BC AB = ⇒đpcm CN AN 20 3/c/M fe//bc: Do BE phân giác ABI BE⊥AI⇒BE đường trung trực AI.Tương tự CF phân giác ∆ACK CF⊥AK⇒CF đường trung trực AK⇒ E F trung điểm AI AK⇒ FE đường trung bình ∆AKI⇒FE//KI hay EF//BC. 4/C/m ADIC nt: Do AEDF nt⇒DAE=DFE(cùng chắn cung DE) DAI=DCI⇒ADIC nội tiếp Do FE//BC⇒EFD=DCI(so le) ÐÏ( &(ÐÏ Bài 43: Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vò đo độ dài).Dựng đường tròn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D. 1. Chứng tỏ D nằm BC. 2. Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N. C/m DE.AC=AE.MC 3. C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng. 4. Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o. 5. Tính diện tích tam giác AMC. 1/Chứng tỏ:D nằm đường thẳng BC:Do A ADB=1v;ADC=1v(gó O N O’ c nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADB+ADC=2v⇒D I ;B;C thẳng hàng. B D E C Hình 43 M -Tính DB: Theo PiTaGo ∆ vuông ABC có: BC= AC + AB = 15 + 20 = 25 .p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.AC⇒AD=20.15:25=12 2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE AMC.Có ADE=1v(cmt) AMC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau) ⇒∆DAE∽∆MAC⇒ DA DE AE = = (1)⇒Đpcm. MA MC AC 3/C/m:AN=NE: Do BA⊥AO’(∆ABC Vuông A)⇒BA tt (O’)⇒sđBAE= sđ AM 21 SđAED=sđ (MC+AD) mà cung MC=DM⇒cung MC+AD=AM ⇒ AED =BAC ⇒∆BAE cân B mà BM⊥AE⇒NA=NE. C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON đường TB ∆ABE⇒ON//BE OO’//BE ⇒O;N;O’ thẳng hàng. 4/Do OO’//BC cung MC=MD ⇒O’M⊥BC⇒O’M⊥OO’⇒∆NO’M vuông O’ có O’I trung tuyến ⇒∆INO’ cân I⇒IO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);∆OAN cân O⇒ONA=OAN⇒OAI=IO’O⇒OAO’I nt⇒OAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v ⇒OIO’=1v. AB = ⇒DC=16 5/ Tính diện tích ∆AMC.Ta có SAMC= AM.MC .Ta có BD= BC Ta lại có DA2=CD.BD=16.9⇒AD=12;BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= AD + DE = Từ(1) tính AM;MC tính S. ÐÏ( &(ÐÏ Bài 44: Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60 o, cung BC=90o cung CD=120o. 1. C/m ABCD hình thang cân. 2. Chứng tỏ AC⊥DB. 3. Tính cạnh đường chéo ABCD. 4. Gọi M;N trung điểm cạnh DC AB.Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q.C/m MN phân giác góc PMQ. P A J N K I O B Q D M C E 1/C/m:ABCD hình thang cân:Do cung BC=90o ⇒BAC=45o (góc nt nửa cung bò chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒ AD=90o ⇒ACD=45o ⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD. Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.⇒ BCD=CDA. ⇒ABCD thang cân. 2/C/mAC⊥DB: Gọi I giao điểm AC BD.sđAID= sđ cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB. 3/Do cung AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB tam giác đều⇒AB=R. o o Do cung BC=90 ⇒BOC=90 ⇒ ∆BOC vuông cân O⇒BC=AD=R Do cung CD=120o Hình 44 ⇒DOC=120o.Kẻ OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o= DK R ⇒DK= . ⇒CD=2DK=R OD 22 -Tính AC:Do ∆AIB vuông cân I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB DB=IA+IC = R R = Tương tự IC= ; AC = 2 R R (1 + 3) R + = 2 4/PN cắt CD E;MQ cắt AB I;PM cắt AB J. JN PN = ME PE AN PN = Do AN//DE ⇒ DE PE NI NQ = Do NI//ME ⇒ ME QE NB NQ = NB//ME ⇒ DE QE Do JN//ME ⇒ AN JN = DE ME Vì NB=NA ⇒ NI NB = ME DE JN NI = ME ME ⇒NI=NJ.Mà MN⊥AB(tc thang cân)⇒∆JMI cân ởp M⇒MN phân giác… ÐÏ( &(ÐÏ Bài45: Cho ∆ ABC có cạnh a.Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EF⊥BC. Gọi O trung điểm EB. 1. C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác đònh tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo a. 2. Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC thang cân.Tính diện tích. 3. c/m EC phân giác góc DAC. 4. C/m FD đường trung trực MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. 6. Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn. E A N 23 O  D B F C M 1/Do ∆ABC tam giác có D giao điểm đường phân giác góc A B⇒BD=DA=DC mà DB=DE⇒A;B;E;C cách D⇒AEBC nt (D). Tính DB.p dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác AB AB = = a o 180 sin 60 o ta có: DB= Sin n Do góc EDB=EFB=1v⇒EDFB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giác vuông EDB có:EB2=2ED2=2.( ⇒EB= a ). a a ⇒OE= 2/C/m EBMC thang cân: Góc EDB=90o góc tâm (D) chắn cung EB⇒Cung EB=90o⇒góc ECN=45o.⇒∆EFC vuông cân F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o) ⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta có ∆FBM vuông cân F⇒BC=EM ⇒EBMC thang cân. Do EBMC thang cân có hai đường chéo vuông góc⇒SEBMC= BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC= a2. 3/C/m EC phân giác góc DCA: Ta có ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o. Do BD;DC phân giác ∆đều ABC ⇒DCB=ACD=30o ECA=15o ⇒ECD=15o ⇒ECA=ECD⇒EC phân giác góc ECA. 4/C/m FD đường trung trực MB: Do BED=BEF+FED=45o FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chắn cung BF) NED=NBD(cùng chắn cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF mà BN⊥EC(góc nt chắn nửa đøng tròn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE hình thang cân)⇒DF⊥BM nhưmg ∆BFM vuông cân F⇒FD đường trung trực MB. 24 5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB) ENB=90o(cmt);ENA góc ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o ⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thẳng hàng. 6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S. Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB a S(O)=π.OE =π.( ) a 2π a 2π = ⇒S (O)= 12 a 2π π × BD .90 o π  a  = S quạt EBD= = ×   12 360 o a2 S∆EBD= DB2= a 2π a a (π − 2) Sviên phân=S quạt EBD - S∆EDB= - = 12 12 2 a π a (π − 2) a  S = 12 - 12 = . ÐÏ( &(ÐÏ Bài 46: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E. 1. C/m BD phân giác góc ABC OD//AB. 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB. 4. C/m góc AFD=AED F A D I E 1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung AD=DC(gt)⇒ABD= DBC(hai góc nt chắn hai cung nhau)⇒BD Fphân giác góc ABC. *Do cung AD=DC ⇒góc AOD=DOC(2 cung hai góc tâm nhau). 25 A B O C Hình 47 Hay OD phân giác ∆ cân AOC⇒OD⊥AC. OD//BA Vì BAC góc nt chắn nửa đường tròn ⇒BA⊥AC 2/C/m ADEF nội tiếp: Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB) ⇒ADB=AFE Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF nội tiếp. 3/C/m: *CI=CE: Ta có:sđ DCA= sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD= sđ cung DC (góc tt dây) Mà cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD phân giác ∆ICE.Nhưng CD⊥DB (góc nt chắn nửa đt)⇒CD vừa đường cao,vừa phân giác ∆ICE⇒∆ICE cân C⇒IC=CE. *C/m ∆IAD∽∆IBC(có DAC=DBC chắn cung DC) 4/Tự c/m: ÐÏ(&(ÐÏ Bài47: Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B C cho cung AB[...]... trăng cần tính là:S Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB a 6 S(O)=π.OE =π.( 6 2 ) 1 a 2 a 2 = 6 ⇒S 2 (O)= 12 2 2 a 2 π × BD 2 90 o π  a 6    = S quạt EBD= = × 4  6  12 360 o  1 a2 S∆EBD= DB2= 2 6 a 2 a 2 a 2 (π − 2) Sviên phân=S quạt EBD - S∆EDB= - = 12 6 12 2 2 2 a π a (π − 2) a  S = 12 - 12 = 6 ÐÏ( &(ÐÏ Bài 46: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa... AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB là tam giác đều⇒AB=R o o Do cung BC=90 ⇒BOC=90 ⇒ ∆BOC vuông cân ở O⇒BC=AD=R 2 Do cung CD= 120 o Hình 44 ⇒DOC= 120 o.Kẻ OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o= DK R 3 ⇒DK= ⇒CD=2DK=R 3 OD 2 22 -Tính AC:Do ∆AIB vuông cân ở I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB DB=IA+IC = 2 R 2 R 6 = Tương tự IC= ; AC = 2 2 2 R 2 R 6 (1 + 3) R 2 + = 2 2 2 4/PN cắt CD tại E;MQ cắt AB tại I;PM cắt AB tại J JN PN = ME PE AN PN = Do AN//DE ⇒ DE PE NI NQ =... c nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADB+ADC=2v⇒D I ;B;C thẳng hàng B D E C Hình 43 M -Tính DB: Theo PiTaGo trong ∆ vuông ABC có: BC= AC 2 + AB 2 = 15 2 + 20 2 = 25 p dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.AC⇒AD =20 .15 :25 = 12 2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE và AMC.Có ADE=1v(cmt) và AMC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC (2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau) ⇒∆DAE∽∆MAC⇒... O’OH+MOH=2v⇒MBH+MOH=2v⇒đpcm C/m NCHO’ nội tiếp: ∆HOO’∽∆HBA(cmt) và hai tam giác vuôngHBA và HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nên∆HBA∽∆HAC ⇒∆HOO’ ∽∆HAC⇒OO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v ⇒NCH+NO’H=2v ⇒đpcm 5/C/m ∆AMN vuông cân:Do OMBH nt⇒OMB+OHB=2v mà AMO+OMB=2v⇒AMO=OHB mà OHB=45o⇒AMO=45o.Do ∆AMN vuông ở A có AMO=45o.⇒∆AMN vuông cân ở A ÐÏ( &(ÐÏ 12 13 Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi... đ)⇒NCM+NMC ⇒∆NMC cân ở N⇒NC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v và NCM=NMC ⇒NDM=NMD⇒∆NMD cân ở N⇒ND=NM⇒NC=ND(đpcm) 4/C/m C là tâm đường tròn nội tiếp ∆EMI.Ta phải c/m C là giao điểm 3 đường phân giác của ∆EMI (xem câu 3 bài 35) 5/Tính CD theo R: Do KI là trung trực của AO⇒∆AKO cân ở K⇒KA=KO mà KO=AO(bán kính) KI R 3 R 3 ⇒CI=KC= = p dụng PiTaGo trong tam 2 2 4 3R 2 R 2 R 7 + = giác vuông ACI có:CA= CI 2 + AI 2. .. nội tiếp 2 Chứng tỏ AD.BC=R2 3 Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E Chứng minh:AMFN là hình thang cân 4 Xác đònh vò trí của M trên nửa đường tròn để DE=EF F Hình 49 C E M D N A O B 1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối 2/ C/m: AD.BC=R2 C/m:DOC vuông ở O: Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có ADO=MDO ⇒MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v ⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v... nt⇒GFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90oGBC().Từ ()và()⇒EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC (2) Từ (1) và (2) ⇒EOG=EFG⇒EOFG nt ÐÏ( &(ÐÏ 17 Bài 40: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B.Các đường thẳng AO cắt (O) lần lượt ở C và D;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F 1 C/m:C;B;F thẳng hàng 2 C/m CDEF nội tiếp 3 Chứng tỏ DA.FE=DC.EA 4 C/m A là... trung trực của HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DB⇒HDP=2ABP(góc ngoài tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP ⇒ HDP=KEP(1) Mà ABP=ACD(gt) Do PEFD là hình bình hành(cmt)⇒PDF=PEF (2) Từ (1) và (2) ⇒HDF=KEF mà HD=FE;KE=DF⇒∆DHF∽∆EFK(cgc)⇒FK=FH ⇒đpcm ÐÏ( &(ÐÏ 15 Bài 39: Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG lần lượt vuông góc với AD;DB;AB 1 C/m DEFC nội tiếp 2 C/m:CF2=EF.GF 3 Gọi O là giao điểm AC và DB.Kẻ... kính AC là J Do AG//CJ và CG⊥AG⇒AGCJ là hình chữ nhật ⇒AG=CJ Vì OI⊥CJ nên I là trung điểm CJ(đường kính ⊥ với 1 dây…)⇒đpcm 16 4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1v⇒AGCE nt trong (O)⇒AOG=2GCE (góc nt bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối của tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối của hbh)⇒EOG =2. ADC(1) Do DEFC nt⇒EFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC (2 góc nhọn của ∆ vuông EDC)();Do GBCF... ⇒OIO’=1v 1 AB 2 = 9 ⇒DC=16 5/ Tính diện tích ∆AMC.Ta có SAMC= AM.MC Ta có BD= 2 BC Ta lại có DA2=CD.BD=16.9⇒AD= 12; BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= AD 2 + DE 2 = 6 5 Từ(1) tính AM;MC rồi tính S ÐÏ( &(ÐÏ Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều,kể từ điểm A một cung AB=60 o, rồi cung BC=90o và cung CD= 120 o 1 C/m ABCD là hình thang cân 2 Chứng tỏ AC⊥DB 3 Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD 4 Gọi M;N là . AN;BM;CN. Do AQH+HMA=2v⇒AQHM nội tiếp⇒BAC+QHM=2v mà QHM=BHC(đ đ) BHC=CDB (2 góc đối của hình bình hành) ⇒BAC+CDB=2V⇒ABDC nội tiếp. Cách xác đònh tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành) Hình 30  O 2. c/m:. S IAD = 2 1 S ABCD .S ABCD = 2 1 AB.CD (diện tích có 2 đường chéo vuông góc)⇒S ABCD = 2 1 2R.2R=2R 2 ⇒S IAD =R 2 . ÐÏ(&(ÐÏ 11 Hình 35 1/C/m:ACBD là hình vuông: Vì O là trung điểm của AB;CD nên ACBD là hình bình hành. Mà. GB);BCG=90 o - GBC().Từ ()và()⇒EFD+GFB=90 o -EDC+90 o -GBC=180 o -2ADC mà EFG=180 o -(EFD+GFB)=180 o -180 o +2 ADC=2ADC (2) Từ (1) và (2) ⇒EOG=EFG⇒EOFG nt. ÐÏ(&(ÐÏ 17 Bài 40: Cho hai đường tròn