tich phan có dâpn

Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân BÀI TẬP TÍCH PHÂN 1) Tính tích phân sau x π  d + ÷ π dx 2 6 =− a. I = π∫ + s inx-cosx = ∫ 8π π 2 x π cos  + ÷ 2 6 2x +  dx u = ln( x + x + 1) du = ⇒ x + x +1 Đặt  dv = xdx v = x /  b. I = ∫ x ln ( x + x + 1) dx x2 x3 + x I = ln( x + x + 1) − ∫ dx 2 x + x +1 1 2x + dx = ln − ∫ (2 x − 1) dx + ∫ dx − ∫ 2 20 x + x +1 x + x +1 ( 1 ln − x − x 2 ) 1 3 + ln(x + x + 1) − I = ln − I 4 4 dx I1 = ∫  π π tan t, t ∈  − ,   * Tính I1:    . Đặt x + = 2 x +  +   2     = π/3 π/3 (1 + tan t )dt 3π 3π I = = t = Suy . Vậy I = ln − ∫ π / + tan t π/6 12 2x −1 dx x +1 c. I = ∫ Đặt u = x + ⇒ x = u3 − 1; dx = 3u2du; u(0) = 1, u(7) = 2(u − 1) − .3u du = ⇒I= ∫ u π d. ∫ cos sin x x + cos x Ta có I = π /4 ∫  6u 9u  237 (6 u − u ) du − = ÷ = ∫1  10  dx sin x dx = 2 cos x − cos x π /4 . ∫ tan x dx − tan x cos x . Đặt t = − tan x , ta có t2 = − tan x , suy 2tdt = −4 tan x dx cos x Suy I = e. I = ∫ t.dt 2− ∫ t = 2t = . 2 2x2 + x −1 dx x +1 x + = t ⇔ x = t − dx=2tdt; x=0=>t=1,x=3=>t=2 ta có Đặt ( ) ( ) t −1 + t −1 −1  4t  2tdt = ∫ 2t − 3t dt =  − 2t ÷ 12 t   1 128 124 54 = − − 16 + = − 14 = 5 5 I =∫ Giáo viên Bùi Văn Nhạn ( Trang ) Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân π 3s inx − cos x f. I = dx ∫ s inx + cos x + ( sin x + cos x + ) − ( cos x − sin x ) − ( sin x + cos x + ) π I =∫ π π = ∫ dx − ∫ = ( cos x − sin x ) ( sin x + cos x + ) dx sin x + cos x + dx − ∫ π π − ln sin x + cos x + − ∫ dx π    cos( x − ) + 1÷   π π −  ln + − ln +  − ∫   20 ( ) dx π π = ( ) dx  x π cos  − ÷ 2 8 π π π x π2 π = − tan  − ÷ = − tan 2 0 e  ln x  g. I = ∫  + x ln x ÷dx   x + ln x e e ln x dx + 3∫ x ln xdx x + ln x I=∫ e +) TÝnh I1 = ∫ ln x dx . §Æt t = + ln x ⇒ t = + ln x; 2tdt = dx x x + ln x §æi cËn: x = ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = (t − 1) ( 2 2−  t3  I1 = ∫ .2tdt = ∫ ( t − 1) dt =  − t ÷ = t  1 1 dx  du = e  u = ln x  x +) TÝnh I = ∫ x ln xdx . §Æt  ⇒ dv = x dx v = x  I2 = e x3 e3 x . ln x 1e − ∫ x dx = − . 31 3 I = I1 + 3I = e − 2 + 2e 3  x+  I = ∫  x + − ÷e x dx h. x 1 Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang = e3 e3 2e3 + − + = 9 ) Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân KkplkI = . x+  x+ 1  x+   I = ∫  x + − ÷e x dx = ∫ e x dx + ∫  x − ÷e x dx = I1 + I ( *) x x 1 1 Tính I1 theo phương pháp phần I1 = xe x+ x  x+  − ∫  x − ÷e x dx = e − I x 1 Thế vào (*) ta ⇒ I = e . x − 2− x dx Đặt u = 2x + 2-x , ta có 4x + 4-x – = (2x + 2-x)2 - x −x + − 1 81 ln Suy I = phương pháp đổi biến số ln 25 i. I =∫ π j. I = ∫ sin x ( + cos x ) dx Đặt t = + cos x ⇒ cos x = t − ⇒ sin x.dx = − dt π Khi x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = . Ta có π I = 2∫ 3 t −2  dt = dt − dt  ∫ 3 ∫ t t t 2  sin x.cos x ( + cos x ) dx = ∫  13 3 = − +  = − =  t t  18 18 k. I = ∫ dx x + − 2x + +I= dx ∫ x +1− 2 x + Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = dx +§æi cËn : x= ⇒ t=2 x= t=3 tdt +Khi ®ã I= ∫ t − +1− t = 2ln t − − +VËy I= 2ln2+1 l. =2ln2+1 t −1 + x2 Đặt u = x+ + x u - x= + x ⇒ x − 2ux + u = + x u2 −1 1  ⇒x= ⇒ dx = 1 + ÷du 2u 2 u  Giáo viên Bùi Văn Nhạn t −1+1 dt ∫2 (t − 1) dt = 2∫2 (t − 1)dt + 2∫2 (t − 1) dx ∫ 1+ x + −1 tdt = ( t − ) = 2∫ Trang Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân Đổi cận x = - u = -1 x = u = +1 1   + ÷du u  ⇒I= ∫  = + u 2 −1 +1 +1 = du ∫ 1+ u + 2 −1 +1 du ∫ 1+ u + 2 −1 +1 du (1 + u )u 2 −1 ∫ +1   1  2− + ÷du = u u u +   −1 ∫ π dx π sin x.cos x m. I = ∫ Trước hết tìm nguyên hàm I = ∫ dx dx = 8∫ 3 sin x. cos x. cos x sin x. cos x Đặt tanx = t t + 1) ( dx 2t dt ⇒ dt = ; sin x = ⇒ I = 8∫ =∫ dt cos x 1+ t2 t3  2t   ÷ 1+ t  t + 3t + 3t + =∫ dt t3 3   = ∫  t + 3t + + t −3 ÷dt = tan x + tan x + 3ln tan x − +C t 2 tan x   π π dx 3 1 = tan x + tan x + 3ln tan x − Vậy I = ∫  ÷ 2 tan x  π 4 π sin x.cos x n. I = −8 dx . x − x −15 ∫ dx = −2tdt Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒   x = −15 ⇒ t =  x = −8 ⇒ t = x = 1− t Đổi cận :  2tdt dt  −2tdt   t +1  = 2∫ = ∫ − =∫ = ln Khi I = ∫ ÷dt = ln 2  1− t t +1 t −1  t (1 − t ) t (1 − t )  t − 3 3 o. I = ∫ e x +1 dx x = → t = x = → t = Đặt 3x + = t ; t ≥ → x + = t → dx = t.dt ;  t Vậy I = ∫ te dt 31 Giáo viên Bùi Văn Nhạn Đặt u = t → du = dt dv = et dt → v = et Trang . Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân  2 t I = te − et dt ÷ = e Khi ta có  ∫ 3  − x2 dx. x + x p. I = ∫ − x2 I =∫ dx. = x + x ( Hoặc I = ∫ ∫ 1  −1 2 dx+ ÷ x x dx = − ∫  ln − ln( x + ) = = …. = 1 x 1 +x +x x x 2x  − x2 1 dx . =  − ÷dx =……) ∫ x x +1  x+x 1 π q. I = cos x cos xdx ∫ I= π π 1 ( + cos x ) cos xdx = ∫ ( + cos x + cos x ) dx ∫ 20 40 π /2 1  =  x + sin x + sin x ÷ 4 0 = π π r. I = sin x.sin x.cos xdx ∫ π π π 1 1 4 I = ∫ sin x.sin xdx = − ∫ ( cos5x-cosx ) dx =  sinx- sin x ÷ = 20 40 4 20 0 π s. I = ∫ x.sin xdx π π − cos x x 1π x2 π2 I = ∫ x. dx = ∫ dx − ∫ x.cos xdx = − K= − K 20 4 0 π du = dx u = x  ⇒ Tính K = ∫ xcos2xdx Đặt  dv = cos2xdx v = sin x  π π π 1 K = x sin x − ∫ sin xdx = cos2x = . 20 0 π Vậy I = π2 t. I = x 1- xdx ∫ Đặt u = − x ⇒ x = − u ⇒ dx = − u du . Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trang Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân Đổi cận: Khi x=0 ⇒ u=1; x= ⇒ u = . I =∫ (   − u .u.  − u du ÷ = ∫ u − u du =   20 ) ( )  u4 u7   − ÷ =   56 π u. I = sin x dx ∫ + cos x π π ( − cos x ) s inxdx = ( + cosx ) s inxdx=  -cosx- cos2x  I =∫  ÷ ∫ 1+cosx  π 0 = v. I = ∫ x ln ( x + 1) dx dx  u = ln ( x + 1)  du = x + ⇒ Đặt  v = x3  dv = x dx  I= x3 1 56 x ln ( x + 1) − ∫ dx = ln − ∫ ( x − x + − ) dx = ln − 3 x +1 3 x +1 w. 2) Một số tập tính tích phân (Các bạn tự giải) 1. I = π sin x ∫0 cos2 x dx π π sin x 2. I = dx 3. I = ∫ cos3 xdx ∫ − cos x π π ∫ ( ) π 4. I = ( x + sin x ) cos xdx 5. I = x 2cos x − dx 6. I = sin x dx ∫ ∫ 7. I = − ∫ −2 π x2 +1 dx x x +1 10. J = sin x cos xdx ∫ π 13. J = sin x.tgxdx ∫ 8. Giáo viên Bùi Văn Nhạn −x π 3x 11. I = sin x.ln(cos x) dx 12. I = ∫ xe dx ∫ ∫ 14 . K = x ( x + e ) dx x 15. I = ∫ x ln xdx 16. I = esin x .sin x cos3 xdx ∫ I = ∫ ( 3x + ) e dx 9. I = ∫ x5 + x dx π π 17. I = + 4cos3 x sin xdx ∫ Trang Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân π 18. I = sin x cos xdx ∫ π 20. I =  sin x + cos x ÷dx ∫0   ln ( ln x ) ∫e x dx e x ( + 3ln x ) dx ∫ π ∫ 25. I = tan xdx + ln x dx x ln ∫ x e dx x (e + 1) π 30. I = ∫ (1 + 2sin x)3 cos xdx x ln( x + 1) + x dx 29. ∫ x + π 31. I = ( − x ) sin x cos xdx ∫ π  2 32. I = e2 x + sin x  dx ∫ ( + sin x )  0 π 1+ x dx x 1+ 33. I = ∫ e 34. I = ( 3x − ) cos xdx ∫ x + ln x dx 35. I = ∫ x π e ln x − ln x dx 36. I = ∫ x e −1 π ( ) 38. I = + sin x cos xdx ∫ e + ln x dx x 37. I = ( sin x + cos x ) cos xdx ∫ π 39. I = ( + cosx ) sin xdx ∫ e3 40. I = ∫ e 42. I = 3x − ∫0 x − x − 6dx 27. I = ∫ e x + 1dx ln 28. I = ∫ 21. I = cos x sin xdx e ln 26. π 23. I = 24. I = ∫ 19. I =  x + tan x ÷dx ∫0  cos2 x  e2 22. I = π ∫ e dx x ln x ex dx x e − 1 44. I = ∫ 41. I = ln 43. I = Giáo viên Bùi Văn Nhạn ∫ ln 45. I = ∫ π 46. I = ∫ (2 x − 1) x − x + 1dx ∫ 47. I = ∫ Trang + ln x dx x ex dx ex + x dx x2 + sin x + cos x dx Trường THPT Long Mỹ Bài tập Tích Phân π 48. I = (2 x + 1)sin xdx ∫ 50. I = ∫ (2 x − 1)e dx x e 52. I = ∫ (2 x − 1) ln xdx π 54. I = ( esin x + x ) cos x dx ∫ π 49. I = ( x − 1) cos xdx ∫ 3x − dx e2 x 51. I = ∫ 53. I = ∫ ln( x + 1)dx π 55. I = ( sin x − cos x ) cos x dx ∫ e 1  56. I = ∫  x − ÷ln xdx x 1 Giáo viên Bùi Văn Nhạn 57. ∫ x ln ( x Trang + 1) dx .  d. dx xx x ∫ + 4 0 2 2cos31cos sin π Ta có /4 /4 2 2 2 2 0 0 sin x tan x . . cos cos 6cos 2 4 2 tan x d x d I x x x x π π = = − − ∫ ∫ Đặt 2 4 2 tant x= − , ta có t 2 = 2 4 2 tan x− , suy ra 2 2. x I dx x + − = + ∫ Đặt 2 1 1x t x t+ = ⇔ = − dx=2tdt; khi x=0=>t=1,x=3=>t=2 khi đó ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 4 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 4 2 2 2 3 2 5 t t t I tdt t t dt t t − + − − . được 5 2 3 . 2 I e⇒ = i. 2 1 2 2 4 4 2 x x x x I dx − − − = + − ∫ Đặt u = 2 x + 2 -x , ta có 4 x + 4 -x – 2 = (2 x + 2 -x ) 2 - 4 Suy ra 1 81 ln 4ln 2 25 I = bằng phương pháp đổi