lý thuyết số của đàm văn nhỉ

ý tết số ột số ỹ tt tết s ỉ P ộ t ó trì ết ụ í ể t ệ t s ữ ố tì ể ề số ọ ữ ố tì ể s ợ ề số ọ trì ế ứ tể ợ ữ s ệ t ề r ọ ò s t r t ì ụ t trì ợ ết ủ rt ễ ể r ữ ỹ tt tết ể t số ọ trì ợ r P ột ể trì ế tứ ề số ọ ệ tố tể t P ể trì ỹ tt tết ột số s t t số ọ P ột s ột ợ ể trì ề ý tết t tr Z. r ú t ứ ỗ số ề tí ợ ột t t tí ỹ từ ủ số tố r ú t trì ề số ó ỗ số ữ tỉ ề ể ễ t ột số ữ ò số tỉ ợ ể ễ t số r ú t ó r số rộ ỉ r số ữ ỉ ữ trờ ợ ệt ết q t ợ ợ ụ ể trì t trì P ể trì ề ý tết r ú t ỉ r ột số ụ ết q ề ó ể ứ ị ý rt ẹ tr số ọ ị ý r ị ý rt r ố ú t trì ề số ọ tứ tổ tr ợ sử ụ ể r tứ ể ễ số ọ t t ị ú t ò ứ tứ ợ ề tổ s ợ ể trì trì ột ột ụ rt ẹ tr ệ ứ ị ý s P tr r ú t t tr ứ ề rộ ề t ệ ó ệ ể ệ trì ệ ợ ể tr ề ú t trì tt ề t r ự tứ ột ự ệ t ế ợ tr ý tết t ợ ú t ỉ r t số số ế ợ ể từ ó ỉ r ó tồ t số s ệt r ú t ó tệ ột số số s ệt ề số số ú t trì tr trì s ự tr ết q ó ợ ề t ợ ể r ột số ĩ tt tờ ợ sử ụ tr ệ t số ọ r ề số ọ ệ ụ ĩ tt tế tỳ t ụ í t r tr ệ ứ số ọ ỗ r ú t ó tể ọ ột số t t ợ ọ r q ó ũ q ễ t ề ó ợ ý ộ t ỉ ụ ụ ột ý tết ết tr Z ệ ết Pé t t t ộ ỏ t ố tố ị ý ủ số ọ ể ễ số t ột số số số ữ trì t rộ ột số ết q số P trì P ý tết ệ ệ t í t ủ tứ Zm t m ị ý r ị ý rt ố số ọ số ọ tứ tổ tr (n), (n) số ỉ r (n) tứ tí s t t ị P trì P trì ột ố ệ trì ax b(mod m) ax b(mod m) ệ trì ột P P trì ột P trì t tố s P trì ý ệ r ý ệ P trì ố số rộ ố số ột số số s ệt t í ụ t ột số ỹ tt tết ết tứ ệt tứ t ệ t ột ý tết ết tr Z ý ệ Z t tt số Z+ t tt số N t tt số tự N+ t tt số tự Q t tt số ữ tỉ ò R t tt số tự R+ t tt số tự ệ ết a, b Z, b = 0. a ợ ọ ết b b ết a ế ó c Z t a = bc. ị ĩ số r ề trờ ợ t ệ ó a ết b t ết a : b. ết b|a t ệ ó b ết a. a = bc tì b ợ ọ ột ủ a. q ệ ết ột số tí t s ể 1| a a Z, a| a a Z, a = 0, ế a|b, b|c tì a|c a, b, c Z, a, b = 0, ế a|b tì |a| |b| a, b Z, a, b = 0, n ế a|bi a, bi Z, i = 1, . . . , n, tì a| i=1 bi xi ọ xi Z. ế a|b b|a tì a = b a = b a, b Z, a, b = 0. ể q ệ b|a tr Z ó tí ó tí ố ứ 5| 5, 5|5, = 5. ó q ệ q ệ tứ tự tr Z. Pé a, b Z, b = 0, tồ t t ột số q, r Z s a = qb + r, tr ó r < |b|. ị ý ọ số ứ ự tồ t t T = {n|b| | n|b| a, n Z}. ì |b| |a||b| |a| a. ó |a||b| T. T = . ì T t ị tr T ó ột số t m|b|. m|b| a t s r r = am|b| r Z. ó (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b|. tí t ủ m|b| tr T (m + 1)|b| > a. |b| > a m|b| = r t ó a = qb + r r < |b|. í t sử ó ể ễ a = qb + r, r < |b|, a = q1 b + r1 , r1 < |b|. rừ ế ế t ó r r1 = b(q1 q). |r r1 | < |b| t s r |q1 q||b| < |b|. q = q1 ể r = r1 . ể ễ a = qb + r, r < |b|. ế r = tì q ợ ọ t a b. ế r = tì q ợ ọ t ụt r ợ ọ số tr é a b. í ụ ó 57 = 14.4 + 1, (a = 57, b = 14, q = 4, r = 1). 65 = (17).4 + 3, (a = 65, b = 4, q = 17, r = 3). 134 = 5.(32) + 26, (a = 134, b = 32, q = 5, r = 26). t a1 , . . . , an Z ú tờ ố d ợ ọ ột ủ ế d|ai ọ i = 1, . . . , n. ị ĩ số ể ọ t ữ số ý ệ t tt ủ a1 , . . . , an Z q uc(a1 , . . . , an ) t t rỗ í ụ uc(18, 15, 21) = {1, 1, 3, 3}. a1 , . . . , an Z ú tờ ố d ợ ọ t ủ ế d ột ủ d ết ọ ủ ị ĩ số ú số d t ủ a1 , . . . , an Z ỉ d|ai , i = 1, . . . , n, ế c|ai , i = 1, . . . , n, tì c|d. số d t ủ a1 , . . . , an tì d ũ t ủ a1 , . . . , an . t ý ệ t ủ a1 , . . . , an q ucln(a1 , . . . , an ) ọ ó |d|. ễ t r ucln(a1 , . . . , an ) số t tr t uc(a1 , . . . , an ). t ọ số ề ủ số 0, 0, . . . , 0. uc(0, . . . , 0) = Z. ó ó ucln(0, . . . , 0). ế ét trờ ợ ột số tí t s ủ t ể tết số a1 , . . . , an tờ ó ucln(0, a1 , . . . , an ) = ucln(a1 , . . . , an ). ucln(1, a1 , . . . , an ) = = ucln(1, a1 , . . . , an ). ucln(a1 , . . . , an ) = ucln(ucln(a1 , . . . , an1 ), an ). í t ỉ r tì t ủ ề số q ệ tì t ủ ột số số ố d = ucln(a1 , . . . , an ) ỉ d > 0, d tộ uc(a1 , . . . , an ), d ết ọ d uc(1, a1 , . . . , an ). ucln(ka1 , . . . , kan ) = |k| ucln(, a1 , ucln(a2 , . . . , an )), k Z \ {0}. ố d = ucln(a1 , . . . , an ) ỉ d > 0, d tộ uc(a1 , . . . , an ), tồ t x1 , . . . , xn Z ể d = ni=1 xi . ế a, b, c, d Z \ {0}, a = bc + d tì ucln(a, b) = ucln(b, d). ucln(0, a) = |a| ọ a Z, a = 0. a1 , . . . , a n Z tờ ó ucln(a1 , . . . , an ) tồ t ị ý số ú n I = {y = j=1 aj xj | xj Z}. = 1.ai + n i=j=1 aj t s r ề tộ I. I = {0}. ế y I tì y I. ó số tộ I. ọ d số ỏ t tộ I. ỉ r d = ucln(a1 , . . . , an ). rớ t t ỉ r d uc(a1 , . . . , an ) : sử = qi d + ri , ri < d n t ị ý ì d I, ó ể ễ d = j=1 aj xj , xj Z. ứ t n r i = q i d = q i aj xj j=1 = a1 (qi x1 ) + ã ã ã + (1 qi xi ) + ã ã ã + an (qi xn ) I. ri I ọ i t tộ I ri = 1, . . . , n. tết d số ỏ I, ri < d, t s r r1 = ã ã ã = rn = 0. ế t t ỉ r ế c uc(a1 , . . . , an ) tì c|d. t ế c uc(a1 , . . . , an ) tì ó bj Z ể aj = bj c j = 1, . . . , n. d = n n j=1 aj xj = c( j=1 bj xj ) c|d. ó d = ucln(a1 , . . . , an ). số a1 , . . . , an Z. ố d ợ ọ tế tí ủ ế ó số xj Z ị ĩ ể ột tổ ợ d= n j=1 aj xj . ị ý t s r ết q s a1 , . . . , an Z, tờ d = ucln(a1 , . . . , an ) ột tổ ợ tế tí ủ ệ q số ó . a1 , . . . , an Z, ế số d > tộ uc(a1 , . . . , an ) ột tổ tí ủ tì d = ucln(a1 , . . . , an ). ệ q số tờ ợ tế t t số a, b Z, b = 0. ể tì t ủ a b t sử ụ ị ý ể tự ệ tt t sa = q0 b + r1 r1 < |b|. ế r1 = tì ucln(a, b) = b. ế r1 = 0, t ể ễ b = q1 r1 + r2 r2 < r1 . ế r2 = tì t t ó r1 = ucln(b, r1 ) = ucln(a, b) t tí t ế r2 = 0, t t tụ tr ế tứ n t ó rn2 = qn1 rn1 + rn rn < rn1 , . ỗ t ó |b| > r1 > r2 > ã ã ã ri N. q trì tr tể tế tụ ợ ế tứ m ị ó q trì tr ó t ó rm2 = qm1 rm1 ucln(a, b) = rm1 . í tt t ể t ủ số ố n > số sử ụ tí t tr ể ề ệ tì t ủ số a = 196, b = 38. ó 196 = 38.5+6, 38 = 6.6+2, = 3.2. ucln(196, 38) = 2. í ụ ụ tt t t tì ợ x, y Z ể ó ể ễ d = ax + by, ó d = ucln(a, b), tr tí t t t ó d = ucln(a, b) = rm1 . d = rm1 = rm3 qm2 rm2 = rm3 qm2 (rm4 qm3 rm3 ) = (qm2 qm3 + 1)rm3 qm2 rm4 . í ụ số ó n )ad . à( d|n d bn = {an }, {bn } t an = d|n bd , n 1. an bn , g(s) = n=1 s . ns n . é tết t ó f (s) = g(s)(s). g(s) = f (s) (s) n ỗ t ó bn = à( )ad . d|n d í ụ ỗ số n t ý ệ (n) tổ ì ị ủ n. ó ột 1 s ế n ó tí í t n = p p2 . . . ps tì (n) = d|n = d 2(i +1) 1 s pi . n2 i=1 p2i 1 ụ ứ : N+ Q, n , ột A n s tứ tổ tr tr ị ý t ó (n) = i=1 (1 + d|n = d 2( +1) s pi i i 2j . i=1 j=1 pi ) = n p2i ứ ét rt í ụ ứ n=1 f (s) = ó 1 = (n) n d|n à(d)2 . (d) í ụ ì tt ệ ủ trì x3 + y = z + 3. ứ ế trì ó ệ tr Z tì ó ũ ó ệ tr Z7 . ó ó x, y, z Z7 ể x + y = z + 3. r Z7 ó 3 3 3 = 0, = 1, = 1, = 1, = 1, = 1, = 1. x3 y ỉ ó tể 1. ể tr t ó x3 + y ỉ ó tể 0, 1, 2, 1, 2. z + ỉ ó tể + = + = 4. ề ứ tỏ trì ệ í ụ số tố số p j=1 (j + 1) p ứ ét trờ ết p > 3. ứ r ủ é Zp . rộ trờ t Zp [i] i2 = 1. j Zp q j tí p p (j + 1) = j=1 tr ó p j=1 p j=1 (j f (x) = (j i) = f (i).f (i), (j + i). j=1 + x). ể f (x) xp x tr Zp p (j + 1) = (ip i)((i)p + i) = i(i)[ip1 1][(i)p1 1] j=1 p1 = [(1) 1]2 . p1 p 2 1]2 p j=1 (j + 1) = [(1) ó í ụ số tố số p j=1 (j + 1) p ứ ét trờ ết p > 3. ứ r ủ é Zp . rộ trờ t Zp [i] i2 = 1. j Zp q j tí p p (j + 1) = j=1 tr ó p j=1 (j (j i) = f (i).f (i), (j + i). j=1 f (x) = p j=1 + x). ể f (x) xp x tr Zp p (j + 1) = (ip i)((i)p + i) = i(i)[ip1 1][(i)p1 1] j=1 p1 = [(1) 1]2 . ó p j=1 (j p1 + 1) = [(1) 1]2 p í ụ số tố p1 số tì p p > 3. ứ ết p. r ế ủ é Zp . rộ trờ t Zp () = 1. ó trờ Zp () ó số p = 8t + 1, t N . ó ứ ét trờ ( + )p = p + p = + . ế [( + ) ] + t ợ ệ tứ p+1 = ( + ) = + + ( + )2 = t s r p+1 + = 2. =2+ 2(mod p) p1 1(mod p). ế ổ í ụ p q số tự tố ù ó 2q (p 1)q p 2p (q 1)p (p 1)(q 1) q ]+[ ]+[ ]+ã ã ã+[ ]= . [ ]+[ ]+ã ã ã+[ p p p q q q ứ ố ể tr ì ữ t x p , q y , (p 1)(q 1) . ét số ể tr ì ữ t tr p í tr t y = x. ó t s r tứ tr q í ụ trì s số x = 1. x 2+ x 2+ x 2+ . 2+ x 1+ 1+x ứ ợ từ t ợ x = 3. í ụ ệ trì s x1 + x1 x2 = 1, x2 + x2 x3 = 1, x + x x = 1, 3 , x2004 + x2004 x2005 = 1, x 2005 + x2005 x1 = 1. ứ ó xi = , i = 1, . . . , 2005, x2006 = x1 . ó + xi+1 x1 = , (1). 1+ 1+ 1+ . 1+ ự số t ó ế ề 1 + x1 ax1 + b ax1 + b t ó x1 = . cx1 + d cx1 + d xi = + xi + ,i ế x1 = ã ã ã = x2005 tì xi = ế xi = xj i = j ó P trì x1 = = 1, . . . , 2005. ax1 + b ợ cx1 + d cx21 + (d a)x1 b = 0. ì trì ó q + ệ ệ ủ (1) x1 ột tr trị 1+ x1 = 1+ tì x = = x1 . tự x2004 , . . . , x2 . 2005 2 ét trờ ợ x1 = tì x2004 , . . . , x2 . ó x1 = ã ã ã = x2005 = + x2005 = . í ụ số m = x1 t tự m, n. ứ r n ucln(22 + 1, 22 + 1) = 1. m am = 22 . ét a1 1, a2 1, a3 1, . . . . ó am+1 = a2m = (am 1)(am + 1). am+1 ết ứ t am 1, am + 1. t s r an + ủ am m > n sử ụ t tứ m m+1 x2 , m n, (x + 1) = x n=1 2n x = t ó m + 1) + = 22 + 1. ể ễ am n=1 (2 = q(am + 1) q ó am + = q(an + 1) + 2. ủ số am + 1, an + ủ ó m n ucln(22 + 1, 22 + 1) = 1. n m+1 í ụ số x1 , . . . , x n ; y1 , . . . , y n k 0, . í ệ N (k, ) số ệ ủ ệ trì = ni=1 yi2 + , |xi |, |yi | k, i = 1, . . . , n. n i=1 xi ó N (k, ) N (k, 0). ứ số s ý ệ As số ệ ủ ệ n i=1 xi = s, |xi | k, i = 1, . . . , n. ó As số ệ ủ ệ n i=1 yi =s , |yi | k, i = 1, . . . , n. ố ệ ủ ệ s As As . ì s As As s As , N (k, ) N (k, 0). í ụ ì ữ t ộ ữ số (a, b), 100 a b 1. ợ ọ ứ ợ tr (a, b) (c, d) ế ì ữ t ộ ì ữ t ộ c a, d b. ó ó t ì ữ t ợt ứ ợ ứ ì ữ t r {(100, b1 ) | 100 b1 1} {(a1 , 1) | 100 a1 1}, {(99, b2 ) | 99 b2 2} {(a2 , 2) | 99 a2 2}, {(98, b ) | 98 b 3} {(a , 3) | 98 a 3}, 3 3 , {(52, b49 ) | 52 b49 49} {(a49 , 49) | 52 a49 49}, {(51, b ) | 51 b 50} {(50, 50)}. 50 50 ì ữ t (a, b) tộ ột tr tr ì ữ t tộ ù ột tì ứ số ì ữ t ó t ột ứ ề ì ữ t p1 = 2, p2 3, pn+1 pn sn sn+1 ó tố tể ột số í ụ số tố t ỳ 2, n 1. t n i=1 pi . sn = í ọ ó ữ n ứ sử ó tồ t n ể ữ sn sn+1 ó ột số í ó ó k ể k sn < sn+1 (k + 1)2 , (). pn+1 = sn+1 sn (k + 1)2 k = 2k + t s r pn pn+1 2k 1. ó pn+1 2k + 1, pn 2k 1, p 2k 3, n1 pn2 2k 5, , p 2k + 2i := x. n+1i p1 = x x 3. ế x = tì tt t trì trở t trì ó sn+1 = + p2 + ã ã ã + pn+1 > + + ã ã ã + (2k + 1) = (k + 1)2 : t (). ế x tì x sn = + p2 + ã ã ã + pn < + + ã ã ã + (2k 1) = k : t (). ó x t tr t s r () tể r í ụ n = 2005 tí ứ ó 2005 k=0 2k + n . 2k+1 [x + ] = [2x] [x] ọ x. 2005 2k + n = 2k+1 k=0 2005 ( = k=0 2005 k=0 n 2k+1 + n n n ) = [n] . 2k 2k+1 22005 2k + n ì n = 2005 < , = 2005. 2k+1 í ụ P a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an , n 1. t từ x1 [0, 1) t ự x1 , x2 , x3 , . . . s ế xs = 0, xs+1 = 1 [ ] ế xs = 0. xs xs a1 a2 an ó x1 + x2 + ã ã ã + xn < + + ããã + . a2 a3 an+1 ứ x tộ [0, 1] t ét số f (x) = x+1 2005 2005 k=0 gn (x) = x + f (x) + f (f (x)) + ã ã ã + f (f ( .(f (x)) .)), tr ó số ố ù n f. ì f ế tr [0, 1], gn (x) ũ ế tr [0, 1]. ó a1 a2 a1 a2 a3 f ( ) = , f (f ( )) = f ( ) = . a2 a3 a2 a3 a4 a1 an a1 q t ó f (f ( .(f ( )) .)) = . = t s r a2 an+1 a2 a1 a2 an gn (1) = + + ããã + . a2 a3 an+1 ế ó xi = tì xn = 0, n i. r trờ ợ tr t bs = [ ị ĩ t ó xs1 = xs1 ]. . í tổ T = xn + ã ã ã + x1 . ó bs + x s T = xn + + bn + xn 1 bn1 + bn + xn +ã ã ã+ . b2 + b3 + b4 + . bn1 + bn + x n t T (b2 , b3 , . . . , bn , xn ) = T. ì số b2 ụ tộ xn , an , . . . , a3 , T T (1, b3 , . . . , bn , xn ). q t ỉ r T T (1, 1, . . . , 1, xn ) = gn (xn ) < gn (1). ni=1 < ni=1 . ai+1 í ụ ì x, y, z, t Z t (x + y 2)2004 + (z + t 2)2004 = 15 + 11 2. ứ sử ó x, y, z, t Z t (x + y 2)2004 + (z + t 2)2004 = 15 + 11 2. ự ệ ột t ó (x y 2)2004 + (z t 2)2004 = 15 11 2. ề r ì ế tr > ế < 0). trì tr ệ {an } t an = a2n1 + a2n2 + ọ n 4. ứ r ế ak = 2005 tì k 4. í ụ ét số a2n3 + a2n4 ứ ỉ sử k > ak = 2005. ó ó số ak1 , ak2 , ak3 , ak4 , ak5 . t x = ak1 , y = ak2 , z = ak3 , t = ak4 , u = ak5 . ó trì 2005 = x2 + y + z + t2 . trì t s r x 2005 < 45. ì x 2 x 44. ó y + z + t 2005 442 = 69. 44 x = y + z + t2 + u2 69 t s r t k 4. í ụ ì số ệ ủ ệ x1 + ã ã ã + xn = m m, xi N+ , i = 1, . . . , n. ứ ý ệ số ệ ủ ệ Nn (m). ó N1 (m) = 1. í N2 (m), tứ tí số ệ ủ x1 + x2 = m. trì t ó ệ (1, m 1), (2, m 2), ., (m 1, 1). ó N2 (m) = m 1. í N3 (m). ét trì x1 + x2 + x3 = m. x3 = 1, 2, ., m 2, t ó N3 (m) = N2 (m 1) + N2 (m 2) + . + N2 (2) = (m 2) + ã ã ã + 1. m1 N3 (m) = m1 . ứ q q Nn (m) = n1 . ể Nn (m) = Nn1 (m 1) + Nn1 (m 2) + ã ã ã + Nn1 (n 1). m2 m3 n2 m1 ó Nn (m) = n2 + n2 + ã ã ã + n2 = n1 . í ụ k, m, n ữ số í số ệ ủ ệ x1 + ã ã ã + xn = y1 + ã ã ã + ym + 1, x1 + ã ã ã + xn nk, m < n. ứ ỗ số s, s nk, t í ệ số ệ ủ ệ x1 + x2 + ã ã ã + xn = s Nn (s). ó số ệ ủ ệ x1 + ã ã ã + xn = s, y1 + ã ã ã + ym = s 1, s1 s2 Nn (s)Nm (s 1) = n1 m1 t í ụ ể ế s < n tì Nn (s) = 0. số ệ ủ ệ trì nk nk s1 s2 s1 s2 S(m, n) = s=2 n1 m1 = s=n n1 m1 . í ụ ứ a1 , . . . , a n ữ số ố ị p > n số tố ý ệ T số ệ ủ ệ x1 + ã ã ã + xn a1 (mod p), 2 x1 + ã ã ã + xn a2 (mod p ), ., xn1 + ã ã ã + xnn an (mod pn ), xi pn 1, i = 1, . . . , n, s xi xj (mod p) ọ i, j, i = j. ó T n!p n(n1) . ết tứ ệt tứ ét tứ tộ Q[x] f (x) = a0 xm + a1 xm1 + ã ã ã + am , g(x) = b0 xn + b1 xn1 + ã ã ã + bn , a0 b0 = 0. f (x), g(x) ó số ỉ ó tứ tộ Q[x] ị ý tứ p(x) = c0 xm1 + c1 xm2 + ã ã ã + cm1 , q(x) = d0 xn1 + d1 xn2 + ã ã ã + dn1 , tờ 0, t q(x).f (x) = p(x).g(x). ứ sử t ó q ệ q(x).f (x) = p(x).g(x). ó ọ tử t q ủ f (x) tể ỉ tử ủ p(x), ì deg p(x) m < m, ọ tử t q ủ g(x) ũ tể ỉ tử ủ q(x), ì n > n deg h(x). f g ó t ột tử t q ợ sử f (x), g(x) ó tử d(x) số t f (x) = d(x).p(x), g(x) = d(x).q(x). ó q(x).f (x) = q(x).d(x).p(x) = p(x).g(x) m deg p(x), n deg q(x). ú ý r trì q(x).f (x) = p(x).g(x) t ệ trì s d0 a0 = c0 b0 , d0 a1 + d1 a0 = c0 b1 + c1 b0 , d a + d a + d a = c b + c b + c b , 1 0 1 ., dn2 am + dn1 an1 = cm2 bn + cm1 bn1 , d a = c n1 m m1 bn . ệ trì tế tí t t m + n trì c0 , c1 , ., cm1 , d0 , d1 , ., dn1 a0 d0 b0 co a1 d0 + a0 d1 b1 c0 b0 c1 a2 d0 + a1 d1 + a0 d2 b2 c0 b1 c1 b0 c2 am d0 + am1 d1 + ã ã ã + a0 bm c0 bm1 c1 ã ã ã b0 cm am dn1 bn cm1 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0. ệ ó ệ t tờ ỉ ị tứ a0 a1 a0 a2 a1 a2 a0 am a1 a2 am b0 b1 b0 b2 b1 b2 b0 bn b1 b2 bn = bn am a0 a1 ã ã ã am a0 a1 ã ã ã am Res(f, g) := m+n b0 b1 ã ã ã b0 a0 a1 ã ã ã am bn b1 ã ã ã bn b0 = 0, b1 ã ã ã bn tr ó trị ữ ị trí tr ề 0. ị tứ Res(f, g) ợ ọ ị tứ str ết tứ ủ f g. ệ q tứ f, g ó ệ tr Res(f, g) = 0. ứ ề ợ s r từ ị ý C ỉ ể ễ Res(f, g) q ệ ủ f g. a0 , ., am , b0 , ., bn ế tì Res(f, g) tứ t t n t ế a0 , a1 , ., am m t ế b0 , b1 , ., bn . Res(f, g) ột s s (n, m). ó tể ể ễ am b bn a1 , ., , , ., a0 a0 b b0 Res(f, g) = an0 bm F ã n C t ó ể ễ f = a0 m j=1 (x yj ), g = b0 i=1 (x am a1 ữ ố ứ ủ y1 , ., ym ; ò zi ). ó , ., a0 a0 bn b1 , ., ữ ố ứ ủ z1 , ., zn . Res(f, g) = b0 b0 ỉ f, g ó ệ ó yj = zi ó F tứ ủ y1 , ., ym , z1 , ., zn ó ết (yj zi ), i, j. ề ó ĩ F ết sử tr m n (yj zi ). j=1 i=1 t m S= n an0 bm m (yj zi ) = an0 j=1 i=1 n m.n g(yj ) = (1) bm j=1 f (zi ). i=1 S = an0 m j=1 g(yj ) tì S tứ t t m t ế n b0 , ., bn từ S = (1)m.n bm i=1 f (zi ) tì S tứ t t n t ế a0 , ., am . Res(f, g) S ỉ ột tử m số s ệ số an b0 ế t t số ề ế 1. m Res(f, g) = an0 n bm m (yj zi ) = j=1 i=1 ét tứ an0 n m.n g(yj ) = (1) j=1 m Res(f, f ) = f (yj ). i=1 ó ị ý s f (zi ). i=1 f = a0 xm + a1 xm1 + . + am = a0 am1 bm m j=1 (x yj ). ó ị ý f ( 2) ỉ Res(f, f ) = 0. ó ệ ộ Res(f, f ) = ỉ m j=1 f (yj ) = 0. ề t f (yj ) = 0, j = 1, . . . , m, f (x) f (x) ó ệ ề ó t f (x) ó ệ ộ ứ t f = a0 xm + a1 xm1 + . + am = a0 ệt tứ ủ f ể tứ sử D(f ) = a2m2 m i=1 (x xi ). t ọ (yi yj )2 . mj>i1 ị ý ó ứ ì Res(f, f ) = (1) m j=1;j=i (yi f (yi ) = a0 m(m1) .a0 .D(f ). yj ) m D(f ) = (1) m(m1) .am2 . f (yi ) = (1) m(m1) .a1 . Res(f, f ). i=1 Res(f, f ) = (1) m(m1) .a0 .D(f ). ễ ỉ r ị ý s f, g Q[x] t ó Q[x] deg < n, deg < m ể .f + .g = Res(f, g). ị ý ọ tứ í ụ tứ , f (x) = ax3 + bx2 + cx + d t ó D(f (x)) = b2 c2 4ac3 27a2 d2 4b3 d + 18abcd. t t ó f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, f (x) = 3ax2 + 2bx + c. a b Res(f, f ) = c d a b c d 3a 2b c 0 3a 2b c 0 3a 2b c t s r 3(31) D(f ) = (1) a1 Res(f, f ) = (1)3 a1 . Res(f, f ) = (1)a1 Res(f, f ) = b2 c2 4ac3 27a2 d2 4b3 d + 18abcd. f (x, y), g(x, y) Q[x, y] í ụ tứ tờ ó tử ó số ệ ữ tỉ ủ ệ s ữ f (x, y) = 0, g(x, y) = 0. ứ ì tứ f (x, y), g(x, y) ó tử tr Q[x, y] ú ũ ó tử tr Q(x)[y]. ì Q(x)[y] í (f (x, y), g(x, y)) = (1) tr Q(x)[y]. ó ó tứ , Q(x)[y] ể f (x, y)+g(x, y) = 1. q t ó tứ p, q Q[x, y] ể pf (x, y)+qg(x, y) = d(x) d(x) Q[x]. ế số ữ tỉ (a, b) ệ ủ ệ tì d(a) = 0. ề ứ tỏ ỉ ó ột số ữ ộ a a1 , . . . , as Q ể ó b Q t ệ ì ệ f (ai , y) = 0, g(ai , y) = ỉ ó ột số ữ ệ tr Q ỗ i = 1, . . . , s, ệ ỉ ó ột số ữ ệ ữ tỉ í ụ ứ ệ trì x3 + x2 y = 0, 5x2 y + 3xy + y 10 = ó q ệ ữ tỉ ứ trì t s r ế x = tì y = 0. x = 0, y = ệ ủ ệ x = 0. t y = tx t Q. trì t s r x = t2 1, y = t3 t. tt trì tứ t ó 5(t2 1)2 (t3 t) + 3(t2 1)(t3 t)2 + (t3 t)3 10 = 0. trì ủ t Q. ệ ó q ệ ữ tỉ í ụ ứ ệ trì (x2 + y )2 = 2005(x2 y ), 29x2 y y = ó q ệ ữ tỉ x y = tì x2 + y = 0. s r x = y = 0. ì ệ t ệ trì x y = 0. t x2 + y = t(x y), t Q, t trì t ó t2 (x y)2 = 2005(x2 y ). x = y, t2 (x y) = 2005(x + y). ó t2 20052 t2 20052 2 t2 20052 y= x. x + x = xt . ế t + 20052 t + 20052 t + 20052 x = 0, tì y = 0. ì x = 0, y = t ệ x = 20052 t(t2 + 20052 ) 20052 t(t2 20052 ) t ó x = ,y = . x, y t4 + 20054 t4 + 20054 trì tứ q t ợ trì t. ứ ế ệ ó q ệ ữ tỷ í ụ ứ tứ f (x, y), g(x, y) Q[x, y] tờ ó tử ó số ệ ữ tỉ ủ ệ trì f (x, y) = 0, g(x, y) = ợt q t deg f. deg g. ệ rr rs tr í tết số rrs t P ọ t ụ ọ số số ọ P s Pr P trs st str s ể ễ số í t số số ỉ ỗ ứ ụ ể ứ số í ọ ổ tr số số í ố số t ụ [...]... chúng 1.6 Số nguyên tố, định lý cơ bản của số học p > 1 không có một ước số dương nào khác 1 và bản thân nó được gọi là số nguyên tố Số tự nhiên q > 1 mà có những Định nghĩa 1.22 Số tự nhiên ước số dương nào khác 1 và chính nó được gọi là hợp số Từ định nghĩa ta suy ra 1 không phải là số nguyên tố và cũng không là hợp số Định lý sau đây chỉ ra tập các số nguyên tố là một tập vô hạn Định lý 1.23 Tập... (a0 a1 ã ã ã am1 am )k Số k được gọi là cơ số, còn a0 , a1 , , am được gọi là các chữ số của biểu diễn n theo cơ số k Thí dụ 1.28 Các số tự nhiên biểu diễn theo cơ số 7 và 3 là 160 = 3.72 + 1.71 + 6 = (316)7 , 95 = 1.34 + 0.33 + 1.32 + 1.31 + 2 = (10112)3 17 2 Chương hai Liên phân số 2.1 Liên phân số hữu hạn Cho hai số nguyên a, b Z, b > 0 Để tìm ước số chung lớn nhất của a và b ta thực hiện... , an ) cho bội chung nhỏ nhất của các số a1 , , an Khi m là bội chung nhỏ nhất của các số a1 , , an thì m cũng là bội chung nhỏ nhất của chúng Chính vì vậy, ta qui ước bcnn(a1 , , an ) là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc tập bc(a1 , , an ) Định lý sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất của một số hữu hạn các số đã cho Định lý 1.20 Nếu a, b Z \ {0}, thì... Như vậy định lý đúng cho |a1 a2 | theo Định ucln(a1 a2 ) n = 1, 2 Giả sử định lý đúng cho tập ít hơn n số Như vậy ta có a = bcnn(a1 , , an1 ) Đặt m = bcnn(a, an ) Do m là một bội chung của a và an , nên m là một bội chung của các số a1 , , an Mặt khác, nếu c là một bội chung của các ai thì c là một bội chung của a1 , , an1 và như vậy c là một bội của a Từ đó suy ra c là một bội của m Điều này... 1.5 Bội chung nhỏ nhất a1 , , an Z \ {0} Số nguyên m được gọi là một bội chung của a1 , , an nếu m chia hết cho tất cả các số ai Định nghĩa 1.18 Cho các số nguyên a1 , , an Z \ {0} Số nguyên m được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1 , , an nếu m là một bội chung của các số ai và m chia hết mọi bội chung khác của chúng Định nghĩa 1.19 Cho các số nguyên Ta sử dụng ký hiệu bc(a1 , , an... tất cả các số nguyên tố là một tập vô hạn 14 Chứng minh: Ký hiệu p là tập tất cả các số nguyên tố Giả sử p là một tập s hữu hạn, chẳng hạn p = {p1 , , ps } Xét số nguyên dương q = i=1 pi + 1 > 1 Một ước nguyên tố q1 của q đều khác các pi , vì 1 không chia hết cho pi Vậy có một số nguyên tố mới không thuộc p Điều đó chứng tỏ p là một tập vô hạn Định lý 1.24 [Định lý cơ bản của số học] Mọi số tự nhiên... nhất của a và b và ta suy ra hệ thức 13 Định lý sau đây chỉ ra bội chung nhỏ nhất của một số hữu hạn các số đã cho luôn luôn tồn tại a1 , , an Z \ {0} luôn tồn tại Hơn nữa, bcnn(a1 , , an ) = bcnn(bcnn(a1 , , an1 ), an ) Định lý 1.21 Bội chung nhỏ nhất của các số Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phương pháp qui nạp theo n Với n = 1, bcnn(a1 ) = a1 Với n = 2, bcnn(a1 , a2 ) = lý 1.21... Mệnh đề 3.4 Số các lớp thặng dư theo môđun m bằng m Chứng minh: Mỗi lớp thặng dư theo môđun m chứa một và chỉ một trong các số dư 0, 1, , m 1 thu được khi chia các số nguyên cho m Vậy số các lớp thặng dư theo môđun m bằng m Ký hiệu lớp thặng dư chứa số nguyên a là a Đó là tập a = {a + mt | t Z} Mỗi số của một lớp thặng dư gọi là một thặng dư Số được gọi là một thặng dư không âm bé nhất của lớp a... không chia hết cho 5 qua qui nạp Do a0 , a1 là số chẵn, nên an cũng là số chẵn qua qui nạp Từ an+2 = 6an+1 an và các số am đều chẵn, nên an+2 và an chia cho 4 cho cùng số dư Vì a0 , a1 , a2 không chia hết cho 4 nên an không chia hết cho 4 qua qui nạp Tương tự an không chia hết cho 3 1.7 Biểu diễn số theo một cơ số Cho số nguyên dương k > 1 Ta chỉ ra, mỗi số nguyên không âm n đều có thể biểu diễn một... định lý đúng Một số tính chất sau đây của bội chung nhỏ nhất là hiển nhiên Giả thiết các số nguyên a1 , , an đều khác 0 và m, d là những số nguyên dương Ta có: m m , , ) = 1 a1 an a1 an bcnn(a1 , , an ) = bcnn( , , , ) (ii) d d d (iii) d bcnn(a1 , , an ) = bcnn(da1 , , dan ) (i) m = bcnn(a1 , , an ) ucln( (iv) Bội chung nhỏ nhất của nhiều số nguyên tố sánh đôi bằng tích của chúng