Lý thuyết đồng dư
3.3 Vành Zm các lớp thặng dư môđu nm
Trước tiên ta định nghĩa vị nhóm, vị nhóm giao hoán, nhóm giao hoán (cộng hoặc nhân), vành, vành giao hoán, miền nguyên và trường. Xét tập thương Zm = {a | a ∈ Z} các lớp thặng dư môđun m. Để biến tập này thành một vành ta định nghĩa
a+b = a+b,
a.b = ab,∀a, b ∈ Z.
Mệnh đề 3.10. Xét tập thương Zm các lớp thặng dư môđun m. (i) Với phép cộng Zm trở thành một nhóm giao hoán.
(ii) Với phép nhân Zm trở thành một vị nhóm giao hoán.
(iii) Với phép cộng và nhân Zm là một vành giao hoán có đơn vị 1.
Định nghĩa 3.11. Zm được gọi là vành các lớp thặng dư theo môđun m. Lớp a ∈ Zm được gọi là lớp khả nghịch nếu có b ∈ Zm để a.b = 1.
Định lý3.12. Lớpa ∈ Zm là khả nghịch nếu và chỉ nếu ucln(a, m) = 1. Chứng minh: Giả thiết lớp a ∈ Zm là khả nghịch. Khi dó có b ∈ Zm
để a.b = 1 hay ab = 1. Như vậy ab ≡ 1(modm), tức là có x ∈ Z để ab+ mx = 1. Theo Hệ quả 1.14 ta có ucln(a, m) = ucln(a, m) = 1. Ngược lại, giả sử ucln(a, m) = ucln(a, m) = 1. Theo Hệ quả 1.14 có b, x ∈ Z để ab+ mx = 1. Vậy a.b = ab = 1 và ta có lớp a ∈ Zm là khả nghịch.
Ký hiệu Z∗m là tập tất cả các phần tử khả nghịch của Zm.
Định lý3.13. Z∗m là một nhóm giao hoán.
Chứng minh: Trước tiên ta chỉ ra Z∗m đóng kín đối với phép nhân. Giả sử lớp a, b ∈ Z∗m. Theo Định lý 3.12 có ucln(a, m) = 1,ucln(b, m) = 1. Do đóucln(ab, m) = 1.Điều này chứng tỏ a.b ∈ Z∗m hay Z∗m đóng kín đối với phép nhân. Hơn nữa, phép nhân các lớp thặng dư thoả mãn luật kết hợp và
1∈ Z∗m. Do đó Z∗m là một vị nhóm.
Ta chỉ ra, nếu lớpa ∈ Z∗m thì lớpacó nghịch đảo cũng thuộc Z∗m.Thật vậy, vì a ∈ Z∗m nên có b ∈ Zm để a.b = 1. Hiển nhiên b ∈ Z∗m và b là nghịch đảo của a. Tóm lại Z∗m là một nhóm giao hoán. Nhóm này giao hoán, vì phép nhân là giao hoán.
Chú ý3.14. Khim = plà số nguyên tố, thì mọi phần tử khác không đều khả nghịch. Do đó Zp là một trường và Z∗p có p−1phần tử hay ϕ(p) = p−1.