Phương trình đồng dư
5.1 Phương trình đồng dư một ẩn
Cho m > 1là số nguyên dương. Xét đa thức với các hệ số nguyên f(x) = a0xn+ a1xn−1 + ã ã ã+ an−1x+an, ai ∈ Z.
Ký hiệu a cho phần tử thuộc Zm với a làm đại diện. Không làm mất tính chất tổng quát, ta chỉ cần chọna ∈ {−m+ 1,−m+ 2, . . . , m−2, m−1}
làm phần tử đại diện cho a và thay cho việc viết a ta viết đơn giản là a.
Định nghĩa 5.1. Phương trình dạng
a0xn+a1xn−1 +ã ã ã+an−1x+an ≡ 0(modm), a0 6= 0,(1)
được gọi là phương trình đồng dư bậcn. Việc tìm tất cả các giá trị nguyên của x thoả mãn (1) được gọi là giải phương trình.
Định nghĩa 5.2. Cho phương trình đồng dư f(x) ≡ 0(modm). Số α ∈ Z
được gọi là nghiệm đúng của phương trình nếu f(α) ≡ 0(modm).
Bổ đề5.3. Nếuf(x) =a0xn+a1xn−1+ã ã ã+an ≡ 0(modm), a0 6= 0,có nghiệmx0 thì nó cũng nhận tất cả các y thuộc lớp x0 làm nghiệm.
Chứng minh: Ta có y −x0 ≡ 0(modm),∀y ∈ x0. Vì f(x0) ≡ 0(modm)
nên f(y) ≡ f(y)−f(x0) ≡ (y −x0)h(y, x0) ≡ 0(modm).
Do Bổ đề này mà ta coi lớp x0 là một nghiệm của phương trình (1).
Định nghĩa5.4. Cho phương trình đồng dưf(x) ≡ 0(modm) và số α ∈ Z
là một nghiệm đúng của phương trình. Khi đó α được gọi là nghiệm của phương trình.
Do Zm chỉ có m lớp thặng dư nên số nghiệm của phương trình (1) là số các phần tử trong một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m hay trong hệ
{0,1, . . . , m−1} thoả mãn nó. Chú ý rằng, nếu m nhỏ ta chỉ cần thử lần lượt các phần tử thuộc{0,1, . . . , m−1}để tìm nghiệm; còn đối với mquá lớn thì số phép thử rất nhiều. Chẳng hạn, khi giải phương trình đồng dư
2x(2x+ 1)(2x+ 2) ≡ 0(mod 8), ta chỉ cần thử tất cả 0,1, . . . ,7. Tất cả đều thoả mãn phương trình. Vậy mọi α ∈ Z đều là nghiệm.
Định nghĩa 5.5. Hai phương trình đồng dư được gọi là tương đương nếu chúng có cùng những nghiệm.
Một số phếp biến đổi tương đương.
(i) f(x) ≡ 0(modm) ⇐⇒ f(x) +maxj ≡0(modm). (ii) Nếu d ∈ uc(a0, . . . , an) và ucln(d, m) = 1 thì
f(x) ≡0(modm) ⇔ a0
d x
n +. . .+ an
d ≡0(modm). (iii) Nếu d ∈ uc(a0, . . . , an, m) và d > 0 thì
f(x) ≡ 0(modm) ⇔ a0
d x
n +. . .+ an
d ≡ 0(modm
d).
Ta thấy mọi phương trình đồng dư bậc nhất đều có thể đưa được về dạng tương đương là ax ≡ b(modm), a 6≡0(modm).