olympic toán đại số sinh viên

Bài tập đại số tuyến tính 1. Bài tập không gian vector Bài 1.1 Giả sử A ma trận vuông cấp n, C(A) = {B | BA = AB} tập hợp tất ma trận vuông phức cấp n giao hoán đợc với A. Chứng minh rằng: C(A) không gian vector không gian vector Mnìn dim C(A) n. Bài 1.2 Cho S không gian không gian ma trận vuông phức cấp n Mnìn sinh tập tất ma trận có dạng AB BA. Chứng minh rằng: dim S = n2 1. Bài 1.3 Cho A, B không gian vector không gian vector hữu hạn chiều V cho A + B = V. Gọi n = dim V, a = dim A, b = dim B. Lấy S tập tất tự đồng cấu f V mà f (A) A, f (B) B. Chứng minh S không gian không gian tất tự đồng cấu V biểu thị số chiều S qua a, b, n. Bài 1.4 Cho T tự đồng cấu không gian vector V. Giả sử x V mà T m x = 0, T m1 x = với m số nguyên đó. Chứng minh rằng: x, T x, T x, . . . , T m1 x độc lập tuyến tính. Bài 1.5 Cho E không gian Euclide n chiều. Chúng ta nói hai sở (ai ) (bi ) hớng ma trận chuyển từ sở (ai ) sang sở (bi ) có định thức dơng. Giả sử (ai ) (bi ) hai sở trực chuẩn hớng. Chứng minh (ai + 2bi ) sở E hớng với (ai ). Bài 1.6 Cho ánh xạ tuyến tính từ V vào W , V W không gian vector hữu hạn chiều. Gọi L, Z không gian vector V W . Chứng minh rằng: a) dim (L) + dim(ker L) = dim L b) dim L dim ker dim (L) dim L c) dim Z dim Z dim Z + dim ker Bài 1.7 Cho đồng cấu IK-không gian vector hữu hạn chiều : V W, : W Z. Chứng minh rằng: a) dim ker(.) = dim ker + dim(Im ker ) b) dim ker(.) dim ker + dim ker c) rank(.) = rank dim(ker Im ) d) rank(.) rank + rank dim W Bài 1.8 Giả sử P, Q, R ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: rank(P Q) + rank(QR) rank Q + rank(P QR). Bài 1.9 Cho V W không gian vector hữu hạn chiều. T : V W ánh xạ tuyến tính, X không gian vector không gian vector W Chứng minh: dim(T X) dim V dim W + dim X. Hơn T toàn ánh ta có đẳng thức. Bài 1.10 Cho A B ma trận vuông cấp n. Chứng minh không gian nghiệm hai phơng trình AX = BX = tồn ma trận C khả nghịch cho A = CB. Bài 1.11 Cho A ma trận vuông phức cấp n cho trAk = với k = 1, . . . , n. Chứng minh A ma trận luỹ linh. Hint Giả sử A có dạng chéo hoá Jordan với khối Jordan tơng ứng với giá trị riêng , . . . , m phân biệt. Khi Ak ma trận có phần tử đờng chéo giá trị riêng ki . Từ giả thuyết tr(Ak ) = 0, k m ta có hệ phơng trình: m ki = 0, k = 1, ., n. i=1 Từ hệ ta suy i = 0, i m. Vậy A ma trận luỹ linh. Bài 1.12 Cho A ma trận phức cấp m cho dãy (An ) n=1 hội tụ đến ma trận B. Chứng minh B đồng dạng với ma trận đờng chéo mà phần tử đờng chéo 1. Hint: Do A2n = An .An suy B = B. Vậy ta có điều cần chứng minh. Bài 1.13 Cho W không gian vector n-chiều, U V không gian W cho U V = {0}. Giả sử u1 , u2 , . . . , uk U v1 , v2 , . . . , uk V với k > dim U + dim V . Chứng minh tồn số , , . . . , k không đồng thời cho k k i ui = i=1 i vi = 0. i=1 Khẳng định không k dim U + dim V. Hint Chú ý ta có đơn cấu U ì V W nên số chiều U ì V không n. 2. Dạng tắc Bài 2.1 Cho ma trận: A = 1 Chứng minh rằng: ma trận B cho AB = BA có dạng: B = aI + bA + cA2 , với a, b, c số thực đó. Bài 2.2 Cho A ma trận cấp n có n giá trị riêng phân biệt. Chứng minh rằng: ma trận B giao hoán đợc với ma trận A có dạng: B = f (A), với f đa thức hệ số thực, bậc không n 1. Bài 2.3 Cho A= . 1 Hãy biểu thị A1 nh đa thức A với hệ số thực. Bài 2.4 Với x R, đặt x Ax = 1 x 1 1 x 1 . x a) Chứng minh det Ax = (x 1)3 (x + 3). 1 b) Chứng minh x = 1, 3, A1 x = (x 1) (x + 3) Ax2 . Bài 2.5 Tính A10 với 1 . A= 1 Bài 2.6 Chứng minh đa phản ví dụ: Với ma trận vuông phức A cấp 2, tồn ma trận vuông phức B cấp cho A = B . Bài 2.7 Cho 0 A= 0 0 0 0 0 . 0 Với số nguyên n tồn ma trận vuông phức X cấp cho X n = A. Bài 2.8 Khẳng định sau hay không: Tồn ma trận vuông thực A cấp n cho A2 + 2A + 5I = 0, n số chẵn. Bài 2.9 Phơng trình có nghiệm ma thiết phải nghiệm): 0 X = 0 2X + X = 9 X + 2X + 10X = trận vuông thực (không 1 X = . 0 Bài 2.10 Cho x số thực dơng. Hỏi có tồn hay không ma trận vuông thực cấp cho A2004 = . x 3. Vector riêng giá trị riêng Bài 3.1 Cho M ma trận vuông thực cấp 3, M = I M = I. a) Tìm giá trị riêng M. b) Cho ma trận có tính chất nh thế. Bài 3.2 Cho F trờng, n m số nguyên A ma trận vuông cấp n với phần tử F cho Am = 0. Chứng minh rằng: An = 0. Bài 3.3 Cho V không gian vector hữu hạn chiều trờng số hữu tỉ Q, M tự đồng cấu V, M (x) = x, x V \ 0. Giả sử M p = IdV , với p số nguyên tố. Chứng minh số chiều V chia hết cho p 1. Bài 3.4 Chứng minh ma trận 1, 00001 1, 00001 1.00001 . 1, 00001 có giá trị riêng dơng giá trị riêng âm. Bài 3.5 Cho a, b, c phần tử bất ma trận kì trờng F, tính đa thức tối tiểu a b . c Bài 3.6 Giả sử A, B tự đồng cấu không gian vector hữu hạn chiều V trờng F. Đúng hay sai khẳng định sau: a) Mỗi vector riêng AB vector riêng BA. b) Mỗi giá riêng AB giá riêng BA. Bài 3.7 Cho A= a b c d ma trận thực với a, b, c, d > 0. Chứng minh A có vector riêng x y R2 , với x, y > 0. Bài 3.8 Cho A ma trận vuông phức cấp n P (t) đa thức bậc m. Chứng minh , , . . . , n giá trị riêng ma trận A thì: 1) |P (A)| = P (1 ).P (2 ) . . . P (n ). 2) P (1 ), P (2 ), . . . , P (n ) giá trị riêng P (A). Bài 3.9 Cho A B ma trận đối xứng thực thoả mãn AB = BA. Chứng minh A B có chung1 vector riêng Rn . Bài 3.10 Gọi S tập không rỗng gồm ma trận phức cấp n giao hoán đợc với đôi một. Chứng minh phần tử S có chung vector riêng Bài 3.11 Gọi A B ma trận phức cấp n cho AB = BA2 . Giả sử A giá trị riêng có mođun 1, chứng minh A B có chung vectơ riêng. Bài 3.12 Cho tự đồng cấu tuyến tính chéo hoá đợc Rn . Chứng minh không gian W Rn bất biến W chọn đợc sở gồm vector riêng . Bài 3.13 Cho A B hai ma trận chéo hoá đợc giao hoán đợc với nhau. Chứng minh tồn sở Rn gồm toàn vector riêng A B. Bài 3.14 Cho A ma trận phức cấp n đa thức tối tiểu có bậc k. 1) Chứng minh không giá trị riêng A tồn đa thức p bậc k cho p (A) = (A E)1 . 2) Gọi , , . . . , k số phức phân biệt không giá trị riêng A. Chứng minh rằng: tồn số phức c1 , c2 , . . . , ck cho k ck (A k E)1 = E. i=1 Hint Xét đẳng thức p (A)(A E) = p(A) p()E = p()E suy đợc đa thức p . Với i tồn pi tơng ứng. Xét hệ pt theo ẩn ci ta thu đợc hệ Cramer tồn ci cần tìm. 4. Hạng định thức Bài 4.1 Cho A ma trận vuông thực cấp n At ma trận chuyển vị nó. Chứng minh At A A hạng. Bài 4.2 Giả sử P Q ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện sau: P = P, Q2 = Q I (P + Q) khả nghịch. Chứng minh P Q có hạng nhau. Bài 4.3 Cho a1 b 0 b a2 b b a3 b T = . . . . 0 0 0 0 . . . . . . . an1 . . . bn1 Giả sử bi = 0, với i. Chứng minh rằng: a) rank T n 1, 0 . 0 . . bn1 an b) T có n giá trị riêng phân biệt. Bài 4.4 Cho (aij ) ma trận vuông cấp n với aij số nguyên. a) Chứng minh số nguyên k giá trị riêng A định thức A chia hết cho k. b) Giả sử m số nguyên dòng A có tổng m n aij = m, i = 1, 2, . . . , n. j=1 Chứng minh định thức A chia hết cho m. Bài 4.5 Cho định thức Vandermonde a0 a1 A = . . an (phức) a20 . . . an0 a21 . . . an1 , . . . a2n . . . ann với số phức. a) Chứng minh A khả nghịch đôi khác nhau. b) Nếu đôi khác b1 , b2 , . . . , bn số phức tùy ý. Chứng minh tồn đa thức f bậc n với hệ số phức cho f (ai ) = bi , i = 1, 2, . . . , n. Bài 4.6 Cho ví dụ hàm liên tục f : R R3 với tính chất f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ) lập thành sở R3 , v1 , v2 , v3 số thực phân biệt. Bài 4.7 Cho f1 , f2 , . . . , fn hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b]. Chứng minh {f1 , f2 , . . . , fn } phụ thuộc tuyến tính det b a fi (x)fj (x)dx = 0. Bài 4.8 Ký hiệu M2ì2 không gian ma trận vuông thực cấp 2. Cho A= , B= . Xét phép biến đổi tuyến tính L : M2ì2 M2ì2 xác định L(X) = AXB. Hãy tính vết định thức L. Bài 4.9 Ký hiệu M3ì3 không gian ma trận vuông thực cấp 3. Cho 0 A = 0 Xét phép biến đổi tuyến tính L : M3ì3 M3ì3 xác định L(X) = (AX + XA). Hãy tính định thức L. Bài 4.10 Ký hiệu M3ì3 không gian ma trận vuông thực cấp 3. Giả sử A M3ì3 , det A = 32 đa thức tối tiểu A ( 4)( 2). Xét ánh xạ tuyến tính: LA : M3ì3 M3ì3 xác đinh LA (X) = AX. Hãy tính vết LA . Bài 4.11 Ký hiệu M7ì7 không gian ma trận vuông thực cấp 7. Giả sử A M7ì7 ma trận chéo với đờng chéo gồm hạng tử +1 hạng tử -1. Xét ánh xạ tuyến tính LA : M7ì7 M7ì7 xác định LA (X) = AX XA. Hãy tính dim LA . Bài 4.12 Cho F trờng, n m hai số nguyên, Mmìn không gian ma trận cấp m ì n trờng F . Giả sử A B hai ma trận cố định Mmìn . Xét ánh xạ tuyến tính L : Mmìn Mmìn xác định L(X) = AXB. Chứng minh m = n L suy biến. Bài 4.13 Giả sử A1 , A2 , . . . , An+1 ma trận cấp n. Chứng minh tìm đợc n + số x1 , x2 , . . . , xn+1 không đồng thời cho ma trận x1 A1 + x2 A2 ã ã ã + xn+1 An+1 suy biến. Bài 4.14 Giả sử A ma trận cấp n hạng r. Tìm số nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình AX = với X ma trận cấp n. Bài 4.15 Cho A ma trận vuông cấp n. Chứng minh A2 = E tổng hạng ma trận A E A + E n (E ma trận đơn vị). Bài 4.16 Cho A ma trận vuông thực cấp n. Chứng minh rằng: det(A2 + E) 0. Khi đẳng thức xảy ra. Bài 4.17 Cho tam thức bậc hai p(x) = x2 + ax + b thoả mãn p(x) 0, x R A ma trận vuông thực cấp n. Chứng minh rằng: det p(A) 0. Bài 4.18 Cho f (x) đa thức hệ số thực có bậc dơng, hệ số dẫn đầu f (x) 0, x R, A ma trận vuông thực cấp n. Chứng minh det f (A) 0. Bài 4.19 Cho A ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: det(AAt + E) > 0, At ma trận chuyển vị ma trận A E ma trận đơn vị cấp với A. Bài 4.20 Cho A B ma trận thực cấp n. Chứng minh rằng: det(AAt + BB t ) 0. Các đề thi Olympic Đề Olympic đề nghị 2003 Bài 1: Cho 0 . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 A = . . . . . . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . Chứng minh giá trị riêng A số thực dơng. Bài 2: Cho A ma trận vuông thực cấp n At ma trận chuyển vị nó. Chứng minh At A A hạng. Đề thi chọn đội tuyển Olympic Trờng năm 2003 Đề số 1: Bài 1: Định thức ma trận vuông thay đổi nh thay phần tử phần tử đối xứng với qua đờng chéo thứ hai. Bài 2: Giả sử xi = 0, i = 1, 2, . . . , n. Hãy tính định thức sau: a1 a2 a3 x1 x2 0 x2 x3 . . . 0 . . . an . . . . . . . . . . xn Bài 3: Xác định số nguyên dơng m, n, p cho đa thức x3m +x3n+1 +x3p+2 chia hết cho đa thức x2 x + 1. Bài 4: Cho A= 21 2 . Hãy tính A100 A7 . Bài 5: Cho A ma trận vuông cấp 2. Chứng minh Ak = A2 = 0. Bài 6: Ký hiệu M3ì3 làkhông gian A = 0 ma trận vuông thực cấp 3. Cho 0 , Xét phép biến đổi tuyến tính L : M3ì3 M3ì3 xác định L(X) = 12 (AX XA). Hãy tính định thức L. Đề số 2: Bài 1: Tính định thức cấp n mà phần tử dòng i cột j |i j|. Bài 2: Giả sử P Q ma trận vuông cấp n thoả mãn điều kiện sau: P = P ; Q2 = Q I (P + Q) khả nghịch. Chứng minh P Q có hạng nhau. Bài 3: Ký hiệu M3ì3 không gian ma trận vuông thực cấp 3. Giả sử A M3ì3 , detA = 32 đa thức tối tiểu A ( 4)( 2). Xét ánh xạ tuyến tính LA : M3ì3 M3ì3 xác định LA (X) = AX. Hãy tính vết ma trận A. Bài 4: Ký hiệu M2ì2 không gian ma trận vuông thực cấp 2. Cho A= , B= . Xét phép biến đổi tuyến tính L : M2ì2 M2ì2 xác định L(X) = AXB. Hãy tính vết định thức L. Bài 5: Cho m1 , m2 , . . . , mr số nguyên đôi phân biệt, r 2. Chứng minh đa thức f (x) = (x m1 )(x m2 ) . . . (x mr ) nghiệm nguyên. Bài 6: Chứng minh với ma trận A cấp m ì n ta luôn có bất đẳng thức sau: m n |At A| a2ik . k=1 i=1 tập đại số đại cơng Bài Cho R vành có đơn vị 1. Giả sử A1 , A2 , . . . , An Ideal trái R cho R = A1 A2 ã ã ã An (xem nh nhóm cộng). 10 nên số chẳn. Vậy det(I + 2P ) > 0, hay (ai ) (ai + 2bi ) hớng với nhau. Bài 1.6 a) Xét ánh xạ tuyến tính hạn chế lên L ta có: |L : L L, ker |L = ker L. Do đó: dim (L) + dim(ker L) = dim L. b) Suy từ a) với ý dim(ker L) dim ker . c) Đặt L = Z ý rằng: L Z. Từ câu b) ta có: dim Z dim (1 Z) + dim ker dim Z + dim ker . Mặt khác: ker L nên từ a) ta có: dim (L) + dim ker = dim L (1). Ta có: (L) = Z (V ) nên dim (L) = dim(Z (V )) = dim Z + dim (V ) dim(Z + (V )) dim Z + dim (V ) dim W = dim Z dim ker . (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh. Bài 1.7 a) Đặt L = Im áp dụng tập 1.6.a ta có: dim (L) + dim(ker L) = dim L hay dim Im(.) + dim(ker L) = dim V dim ker dim ker + dim(ker L) = dim V dim Im(.) = dim ker(.. b) Suy từ câu a) với ý rằng: ker L ker c) Suy từ lập luận chứng minh câu a). d) Suy từ câu c) với ý rằng: ker Im ker . Bài 1.8 Sử dụng tập 1.7 câu c) ta có: rank(P QR) = rank(P Q) dim(ker(P Q) Im R) rank(QR) = rank Q dim(ker Q Im R) Suy ra: rank(P Q) + rank(QR) = rank(P QR) + rank Q + dim(ker Q Im R) dim(ker(P Q) Im R) rank(P QR) + rank Q 13 Bài 1.9 Xét ánh xạ tuyến tính: F : V /T X W/X đợc cho bởi: F (x) = T (x). Khi F đơn ánh. Thật vậy, F (y) = T (y) X y T X hay y = 0. Từ suy ra: dim(V /T X ) dim(W/X ) hay dim V dim T X dim W dim X. Vậy dim T X dim V dim W + dim X. 2. Dạng tắc Bài 2.2 Do A có n giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa đợc, tức tồn ma trận C khả nghịch cho C AC = P ma trận chéo. Khi đó, ma trận B giao hoán đợc với A ma trận Q = C BC giao hoán đợc với P . Giả sử: ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã P = ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã n i giá trị thực khác đôi một. Bằng cách thử trực tiếp ta có: Q giao hoán đợc với P Q có dạng: à1 ã ã ã à2 ã ã ã Q= ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã ã àn ài giá trị thực đó. , , ., n1 cho Bây ta cần tìm số thực Q = I + P + ã ã ã + n1 P n1 Điều thực đợc nhờ việc giải hệ phơng trình tuyến tính: x0 + x1 + ã ã ã + 1n1 xn1 = à1 x + x + ã ã ã + n1 x n1 = à2 ããããããããããããããããããããããããããã x0 + n x1 + ã ã ã + nn1 xn1 = àn 14 Từ ta suy ra: B = I + A + ã ã ã + n1 An1 (Đpcm). Bài 2.3 Ta có đa thức đặc trng A là: A () = . Do đó: A2 3I = hay A2 = 3I, suy A khả nghịch A1 = A. Bài 2.4 a) Tính toán trực tiếp ta có det Ax = (x 1)3 (x + 3). b) Nếu x = 1, Ax khả nghịch đa thức đặc trng Ax là: (t) = (x t 1)3 (x t + 3). Suy đa thức tối tiểu Ax là: m(t) = (x t 1)(x t + 3), đó: ((x 1)I Ax )((x + 3)I Ax ) = 0, khai triển ta có đợc: (x 1)(x + 3)I 2(x 1)Ax + A2x = 0. Nhân hai vế với A1 x biến đổi ta có A1 x = (x 1)1(x + 3) Ax2 . Bài 2.6 (Giải vắn tắt) Chọn A = ( 00 10 ) ma trận vuông phức B cấp mà A = B . Bài 2.8 Khẳng định đúng. Giả sử A tồn tại, suy A có đa thức tối tiểu chia hết t2 + 2t + đa thức bất khả qui R Vậy mA (t) = t2 + 2t + 5. Vì đa thức đặc trng đa thức tối tiểu có nhân tử bất khả qui nên A (t) = mA (t)k suy n = deg A (t) phải số chẵn. Ngợc lại, n chẵn, ta thấy A0 = nghiệm phơng trình n t2 + 2t + = 0. Do ma trận khối gồm khối A0 đờng chéo ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. hoa 3. Vector riêng giá trị riêng 15 Bài 3.1 a) Do M nghiệm đa thức x3 nên đa thức tối tiểu M phải ớc x3 1. Mặt khác, M có giá trị riêng thực, nên đa thức tối tiểu có nhân tử (x-1). Vì M = I nên đa thức tối tiểu M x 1. Do đa thức tối tiểu M m(x) = x3 1. Vậy M có giá trị riêng b) Một ma trận có tính chất nh là: 0 M = 2 23 12 Bài 3.2 Do An = nên đa thức tối tiểu p(x) A phải ớc xm . Suy p(x) = xk , với k n. Vậy An = 0. Bài 3.3 Do M p = I nên đa thức tối tiểu p(x) M phải ớc xp = (x 1)(xp1 + . . . + 1) Do M (x) = x với x = nên không giá trị riêng, suy p(x) ớc (xp1 + . . . + 1). Nhng (xp1 + . . . + 1) đa thức khả qui trờng Q nên p(x) = (xp1 + . . . + 1). Mặt khác, đa thức đặc trng M đa thức tối tiểu có chung nhân tử bất khả qui. Do M (x) = (p(x))k , k 1. Vậy dim V = rank M = deg M = k(p 1). (Đpcm) Bài 3.5 Đa thức đặt trng (t) = t3 ct2 bt a. Ta chứng tỏ đa thức tối tiểu. Thật vậy, chọn x0 = (1, 0, 0), x0 , Ax0 = (0, 1, 0), A2 x0 = (0, 0, 1) độc lập tuyến tính. Giả sử A nghiệm đa thức bậc 2, tức k1 A2 + k2 A + k3 I = 0, suy k1 A2 x0 + k2 Ax0 + k3 x0 = ta có k1 = k2 = k3 = 0, điều vô lý. Vậy đa thức tối tiểu phải có bậc 3, hay (t) = t3 ct2 bt a. Bài 3.6 a) Sai, chẳn hạn A = ( 11 11 ) , B = ( 10 11 ). b) Đúng. Giả sử = giá trị riêng ứng với vector riêng x AB. Khi BA(Bx) = B(ABx) = Bx nên giá trị riêng BA (vì B(x) = 0). Nếu = giá trị riêng AB BA suy biến, BA có giá trị riêng 0. Bài 3.7 Đa thức đặc trng A: A (t) = t2 (a + d)t + ad bc 16 có nghiệm 1 t1,2 = (a + d) = (a + d 2 (a d)2 + 4bc). Đặt = 21 (a+d+ (a d)2 + 4bc) v = (x, y) vector riêng ứng với x > 0. Biểu diễn hạng tử Av ta đợc: ax + by = (a + d + )x 2by = (d a + )x. Do b > d a + > nên y > 0. Đpcm Bài 3.8 1) Gọi () = |A E| đa thức đặt trng ma trận A. Gọi P (t) đa thức bậc m , , . . . m nghiệm (thực phức kể bội) P (t). Ta có: () = (1)n ( )( ) .( n ) P (t) = c(t )(t ) .(t m ). Do P (A) = c(A E)(A E) .(A m E), m |P (A)| = cn |A E|.|A E| .|A m E| = cn (i ). i=1 Mặt khác: n (i ) = (1)n (i )(i ) .(i n ) = (j i ) j=1 Vì m |P (A)| =c m n (i ) = c i=1 n = (j i ) i=1 j=1 n m (j i ) = c j=1 n n i=1 P (j ). j=1 2) Đặt p(t) = P (t) áp dụng kết ta có: |p(A)| = p(1 ).p(2 ) .p(n ) hay |P (A) E| = (1)n ( P (1 ))( P (2 )) .( P (n )). 17 Vậy giá trị riêng P (A) P (1 ), P (2 ), . . . , P (n ). 4. Hạng định thức Bài 4.1 Trớc hết ta chứng minh: dim(ker At A) = dim ker A. Rõ ràng: ker A ker At A, ngợc lại giả sử v ker At A At Av = 0, suy At Av, v = Av, Av = hay Av = 0, tức v ker A. Do dim(ker At A) = dim ker A, từ ta có rank(At A) = rank A. Bài 4.2 Ta có: rank P = rank P (I P Q) = rank P Q rank Q = rank(I P Q)Q = rank P Q Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 4.3 a) Ma trận có đợc cách bỏ dòng 1, cột n có hạng (n1). b) Giả sử giá trị riêng A tức det(A I) = 0. Theo câu a) rank(A I) = n nên dim ker(A I) = 1, suy không gian riêng ứng với giá trị riêng chiều. Do A ma trận đối xứng nên A có đủ n giá trị riêng kể bội. Vậy A có n giá trị riêng khác nhau. Bài 4.4 a) Ta có det(A I) = (1)n n + . + ci (1)i i + . + cn cn = det A (aij nguyên nên ci nguyên). Nếu k giá trị riêng nên (1)n k n + . + ci (1)i k i + . + det A = suy k ớc det A. b) Lấy x = (1, ., 1) ta có Ax = mx nên m giá trị riêng A. Theo câu a) ta có m ớc det A. (ai aj ), A khả nghịch Bài 4.5 a) Ta có: det A = i>j khác đôi một. b) Giả sử f = c0 + c1 x + ã ã ã + cn xn đa thức bậc n hệ số phức cho f (ai ) = bi , ta có hệ phơng trình ẩn ci , i = 0, n c0 + c1 a1 + ã ã ã + cn an1 = b1 c + c a + ã ã ã + c an = b n 2 ããã c0 + c1 an + ã ã ã + cn ann = bn 18 hệ phơng trình có định thức Crame khác nên có nghiệm nhất. Vậy tồn đa thức f bậc n với hệ số phức cho f (ai ) = bi . Bài 4.6 Xét hàm f (t) = (1, t, t2 ) f hàm liên tục. Khi ti , i = 1, 2, khác đôi t1 t21 t2 t22 det t3 t23 = 0. t3 t21 Bài 4.8 Xét ánh xạ tuyến tính LA (X) = AX LB (X) = XB. Ma trận LA LB lần lợc là: =1 MA = M = B 0 0 0 0 . Suy det L = det LA . det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24 Bài 4.9 Lấy X = (xij ), ta có: x11 23 x12 L(X) = x21 2x22 x31 32 x32 x13 x . 23 x33 81 Dễ thấy ma trận Mij vector riêng L. Suy det L = 2.( )4 = . Bài 4.12 Trờng hợp m > n. Ta viết T = T1 T2 , T2 : Mnìm Mnìn đợc xác định bởi: T2 (X) = XB T1 : Mnìn Mmìn đợc cho bởi: T1 (Y ) = AY . Vì dim Mnìm = nm > n2 = dim Mnìn nên T2 không đơn ánh, suy T không đơn ánh hay T không khả nghịch. Trờng hợp m < n xét tơng tự. Bài 4.13 Gọi v1 , v2 , . . . , vn+1 vector có toạ độ cột ma trận A1 , A2 , . . . , An+1 tơng ứng. Khi n + vector phụ thuộc tuyến tính. Do tồn n + số thực x1 , x2 , . . . , xn+1 không đồng thời cho x1 v1 + x2 v2 + ã ã ã + vn+1 xn+1 = 0. 19 Lúc ma trận x1 A1 + x2 A2 + ã ã ã + xn+1 An+1 có cột nên ma trận x1 A1 + x2 A2 + ã ã ã + xn+1 An+1 suy biến. Bài 4.14 Do A ma trận cấp n có hạng r nên tồn ma trận khả nghịch P, Q cho A = P In,r Q với In,r ma trận có dạng: In,r = Ir , 0 (tức ma trận có r phần tử đờng chéo phần tử lại 0). Ta có nhận xét sau: k ma trận X1 , . . . , Xk độc lập ma trận QX1 , . . . , QXk độc lập tuyến tính (do Q ma trận khả nghịch). Phơng trình AX = tơng đơng với In,r QX = 0, nên từ nhận xét để tìm số nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình AX = ta cần tìm số nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình In,r Y = 0. Ma trận Y thoả phơng trình In,r Y = phải có dạng sau: Y = r Y1 r nr nr Y2 Suy số nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình AX = n(n r). Bài 4.15 Xem A tự đồng cấu tuyến tính Rn . Điều cần chứng minh rank(AE)+rank(A+E) = n tơng đơng với dim(ker(AE))+dim(ker(A+ E)) = n. Thật vậy, với x Rn ta có 1 x = (x + Ax) + (x Ax) 2 1 (x + Ax) ker(A E) (x Ax) ker(A + E). 2 Mặt khác ker(A + E) ker(A E) = {0} nên Rn = ker(A + E) ker(A E), suy dim(ker(A E)) + dim(ker(A + E)) = n (đpcm). Bài 4.16 Ta viết A2 + E = (A + iE)(A iE) = (A + iE)(A + iE). Suy det(A2 + E) = det(A + iE) det((A + iE)) = det(A + iE)det(A + iE) = | det(A + iE)|2 0. 20 Vậy det(A2 + E) đẳng thức xảy đa thức đặc trng A nhận i làm nghiệm. Bài 4.17 Từ giả thiết ta có p(x) có hai nghiệm phức liên hợp , p(x) = (x )(x ), p(A) = (A E)(A E) = (A E)(A E). Suy det p(A) = | det(A E)|2 0. Bài 4.18 Do f (x) x R hệ số dẫn đầu nên f (x) tích tam thức bậc hai có dạng x2 + ax + b không âm với x. Theo 4.17 ta có đpcm. Bài 4.19 Ta có (AAt + E) ma trận đối xứng nên ma trận dạng toàn phơng. Hơn nữa, dạng toàn phơng xác định dơng. Thật vậy, với x Rn ta có (AAt + E)x, x = AAt x, x + x, x = Ax, Ax + x, x > 0. Do giá trị riêng A dơng, định thức A tích giá trị riêng A dơng. Bài 4.20 Giải tơng tự nh 4.19 Bài tập bổ sung Bài Cho A ma trận vuông cấp n, gọi B C ma trận tạo k cột đầu n k cột cuối tơng ứng ma trận A. MCR, det(A)2 det(B t B) det(At A). Bài 4: Cho E không gian vector hữu hạn chiều A Aut(E). Chứng tỏ điều kiện sau tơng đơng: (i) A = I + N , N tự đồng cấu luỹ linh. (ii) Tồn sở E cho ma trận tự đồng cấu A sở có phần tử nằm đờng chéo phần tử nằm đờng chéo 0. (iii) Tất nghiệm đa thức đặc trng tự đồng cấu A (trong trờng đóng đại số) 1. 21 Bài 6: Cho E không gian vector hữu hạn chiều trờng phức. A Aut(E). Chứng tỏ tự đồng cấu A phân tích dới dạng tổng: A = S + N, S chéo hoá đợc, N luỹ linh SN = N S. Chứng tỏ S N biểu diễn dới dạng đa thức theo A. s (t ti )mi , Ei hạt nhân Hớng dẫn: Giả sử PA (t) = i=1 (A ti I)mi . Thế E tổng trực tiếp Ei . Xác định S E cho Sv = ti vi , đặt N = A S. Xét đa thức g(t) = ti gi (t), gi (t) đợc chọn cho thành phần Av Ei gi (t)vi . Khi S = g(A). Bài Cho A, B ma trận vuông cấp n, thoả mãn điều kiện: AB = BA = Im A ker A = {0}, Im B ker B = {0}. Chứng minh rằng: rank(A + B) = rank(A) + rank(B). Hớng dẫn Ta có rank(A + B) rank(A) + rank(B). Giả sử e1 , e2 , . . . , ek u1 , u2 , . . . , us sở Im(A) Im(B) tơng ứng. Ta chứng minh hệ vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us độc lập tuyến tính Im(A + B). Thật vậy, giả sử i ei + àj uj = 0, ta suy i Aei + àj Auj = 0. Từ giảt thuyết AB = ta có Im(B) ker(A), ta suy i Aei = 0, hay A( i ei ) = 0. Từ ta có i ei = 0. Vậy i = 0. Tơng tự ta có àj = 0. Tóm lại ta có hệ vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us sở Im(A + B). Vậy rank(A + B) = rank(A) + rank(B). Bài 8: Cho A1 , A2 , . . . , Am ma trận vuông đối xứng cấp n thoả mãn điều kiện Ai Aj = 0, i = j. Chứng minh rằng: rank(A1 ) + rank(A2 ) + ã ã ã + rank(Am ) n. Bài Cho f, g tự đồng cấu tuyến tính không gian vector V n-chiều thoả mãn điều kiện f g = g f , f luỹ linh rank(f g) = rank(f ). Chứng minh khẳng định sau: a) Im(f ) ker(g f ) = {0}, b) Im(f ) ker(g f ) = {0}, c) Từ suy f = 0. Bài Cho f đẳng cấu tuyến tính không gian vector V n-chiều. Giả sử V = L N , dim(N ) = m, < m < n. Chứng minh tồn số nguyên k, (k n2m ) cho V = f k (L) N. 22 Bài 10 Cho tự đồng cấu tuyến tính không gian vector hữu hạn chiều V . a) Giả sử đa thức tối tiểu có phân tích p(t) = h(t)g(t), h, g đa thức nguyên tố nhau. Chứng minh rằng: V = L1 L2 , với L1 = ker(h()), L2 = ker(g()). b) Giả sử đa thức tối tiểu có phân tích p(t) = h1 (t) . . . hk (t), hi (t), i k đa thức đôi nguyên tố nhau. Chứng minh rằng: k V = Li , i=1 với Li = ker(hi ()), i k. Hớng dẫn a) Do h(t) g(t) hai đa thức nguyên tố nên tồn đa thức u(t) v(t) cho = h(t)u(t) + g(t)v(t). Khi vector x có phân tích thành x = h()u()(x) + g()v()(x) h()u()(x) L2 g()v()(x) L1 . Bài 11 Chứng minh phép biến đổi đối xứng, xác định dơng, giá trị riêng thực chéo hoá đợc. Hint Do xác định dơng nên tồn phép biến đổi toạ độ đa dạng chéo. Từ ta có kết luận. Bài 12 (Problem in net) I have the following PROBLEM IN LINEAR ALGEBRA, I not know the answer. Assume that d and n are natural numbers and define f : Rd R by d cos2 (xl )) 1/n, f (x) = ( l=1 where x = (x1 , ., xd ). Hence xl is the lth component of the vector x. Prove or disprove the following CONJECTURE: For any given x1 , ., xn Rd the (n, n)-matrix A given by aij = f (xi xj ) is positive semidefinite, i.e., the eigenvalues are nonnegative. (Comment: I know that this is true for n 2d . So the interesting case would be n < 2d .) Bài 13 Cho A, B hai ma trận có tính chất A2 = A, B = B. Chứng minh A đồng dạng với B rank(A) = rank(B). 23 Bài 14 Cho A B hai ma trận thực cấp n thoả mãn điều kiện tồn ma trận phức V cho A = V BV . Chứng minh tồn ma trận thực U cho A = U BU . Bài 15 Cho A ma trận vuông cấp n thoả mãn điều kiện A2 = A. Hãy tính đa thức đặc trng A. Bài 16 Cho A, B ma trận vuông thực cấp n, giả sử det(A+B) det(AB) khác không. Chứng minh ma trận M= A B B A khả nghịch. Bài 17 Cho A ma trận thực cấp n ì m. Chứng minh tồn ma trận thực B cấp n cho AAt = B 2004 Bài 18 Cho phơng trình AX = B, A hai ma trận cho trớc cấp n, X ẩn (X ma trận cấp n). Chứng minh phơng trình có nghiệm rank(A) = rank(A|B), (A|B) ma trận cấp n ì 2n có đợc cách ghép ma trận B vào bên phải ma trận A. Bài 19 Cho A ma trận cấp n thoả A2 = A. Chứng minh phơng trình AX XA = có nghiệm, cần đủ là: tồn ma trận X0 cho X = AX0 + X0 A X0 . Bài 20 Cho f đa thức hệ số thực có bậc n > p0 , p1 , p2 , . . . , pn đa thức hệ số thực có bậc dơng. CMR, tồn số thực a0 , a1 , a2 , . . . , an n (pi (x))i chia hết không đồng thời không cho đa thức Q(x) = i=0 cho f . Bài 21 Cho A B hai ma trận luỹ linh, AB = BA. CMR a) I A khả nghịch A + B ma trận luỹ linh. b) det(I + A) = 1. c) I + A + B khả nghịch. Bài 22 Cho N ma trận (phức) luỹ linh r số nguyên dơng. Chứng minh tồn ma trận phức A cho Ar = I + N. Bài 23 Cho A, B, C, D ma trận cấp n, AC = CA. Đặt M = Chứng minh det(M ) = det(AD BC). 24 A B . C D I A B , với Y = X I Y D CA1 B. Nếu A tuỳ ý thay A A I áp dụng lập luận trên. Hint Giả sử A khả nghịch, ta phân tích: M = Bài 24 Cho không gian vector E E = M N , gọi p phép chiếu lên M theo phơng N . Cho u toán tử tuyến tính E. Chứng minh rằng: a) M không gian bất biến u pup = up. b) M N bất biến qua u pu = up. Bài 25 Nếu u toán tử tuyến tính với không gian vector hữu hạn chiều u giao hoán với phép chiếu có hạng 1, u = I. Bài 26 Cho u toán tử tuyến tính không gian vector hữu hạn chiều. CMR a) Nếu u chéo hoá đợc tồn n N cho um+1 = um , u phép chiếu. b) Nếu u chéo hoá đợc um = I với giá trị m N , u2 = I. Bài 27 Cho u toán tử không gian vector phức n-chiều. Ma trận u sở có dạng: 0 . . 0 . . . . . . . . M = . . . . . . n1 . . 0 n . . 0 CMR, u chéo hoá đợc với k {1, 2, . . . , n}, k = 0, n+1k = 0. Tìm đa thức tối tiểu u2 . Bài 28 Cho u v toán tử chéo hoá đợc không gian vector hữu hạn chiều E. CMR, tồn đẳng cấu tuyến tính f E cho f u = v f chi u v có tập giá trị riêng trùng không gian riêng ứng với giá trị riêng u v có số chiều. Bài 29 Cho u v toán tử chéo hoá đợc không gian vector E n-chiều. CMR, khẳng định sau tơng đơng. a) uv = vu. b) Tồn sở E gồm toàn vector riêng u v. c) Tồn toán tử w chéo hoá đợc E đa thức f, g R[x], h R[x, y] cho u = f (w), v = g(w), w = h(u, v). Từ suy ra, toán tử E giao hoán đợc với u v giao hoán đợc với w. 25 Bài 30 Cho u1 , u2 , . . . , um toán tử chéo hoá đợc không gian vector E n-chiều. CMR, khẳng định sau tơng đơng: a) ui uj = uj ui với i, j [1, m]. b) Tồn sở E gồm toàn vector riêng ui . c) Tồn toán tử w chéo hoá đợc E đa thức f1 , f2 , . . . , fm R[X], h R[X1 , X2 , . . . , Xm ] cho fi (w) = ui , i m h(u1 , u2 , . . . , um ) = w. Bài 31 Chứng minh tính chất sau định thức Gram G(a1 , a2 , . . . , ak , b1 , . . . , bk ) G(a1 , . . . , ak )G(b1 , . . . , bl ). Đẳng thức xảy , bj = (i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , l) hai hệ vector {a1 , . . . , ak }; {b1 , . . . , bl } phụ thuộc tuyến tính. Hớng dẫn Trực giao hóa hệ vector {a1 , ., ak , b1 , ., kl } thành hệ vector trực giao {1 , ., k , , ., l } {b1 , ., bl } thành {1 , ., l }. Gọi Li = a1 , ., ak , b1 , ., bk1 Ni phần bù trực giao Li V. Ta có V = Li Ni . Quá trình trực giao hóa ta có b i = y i + i , i1 j b1 , ., bi1 yi i . với yi = j=1 Mặt khác, ta có phân tích i = yi + zi , với yi Li , xi Ni . Hơn nữa, ta có bi = i + xi , với xi Li i trực giao với Li nên i Ni . Vậy ta có biểu diễn bi = xi + i bi = (yi + yi ) + zi . Suy i = zi i = zi i . Ta lại có Gr(a1 , ., ak , b1 , ., bl ) = , . k , k , . l , l =Gr(a1 , ., ak ). , . l , l Gr(a1 , ., ak ). , . l , l =Gr(a1 , ., ak ).Gr(1 , ., l ) = Gr(a1 , ., ak ).Gr(b1 , ., bl ) 26 Bài 32 Cho A ma trận đối xứng thực cấp n với định thức không âm, A1 ma trận cấp k (k < n) góc trái ma trận A A2 ma trận cấp k n góc dới phải ma trận A. CMR, det(A) det(A1 ) det(A2 ). Bài 33 Cho V không gian vector n chiều W không gian m chiều V , (m < n). CMR, tồn sở V không chứa vector W. Hint Gọi {v1 , . . . , vm } sở W {u1 , . . . , unm } sở phần bù tuyến tính W V. Khi sở {v1 + u1 , . . . , vm + u1 , u1 , . . . , unm } sở cần tìm. 27 11th Vietnamese Mathematics Olympiad for College Students 2003 A1. A is the ì matrix a11 = a22 = a33 = a44 = a, a12 = a21 = a34 = a43 = b, a23 = a32 = 1, other entries 0, where a, b are real with a > |b| . Show that the eigenvalues of A are positive reals. A2. B is the ì matrix with b11 = a, b22 = d, b33 = q, b12 = b , b13 = c , b21 = b , b23 = p , b31 = c , b32 = p , where a, b, c, d, p, q are reals and , , are non-zero reals. Show that B has real eigenvalues. A3. Dk is the k ì k matrix with 0s down the main diagonal, 1s for all other entries in the first row and first column, and x for all other entries. Find det D2 + det D3 + ã ã ã + det Dn . A4. In denotes the n ì n unit matrix (so I11 = I22 = . . . = Inn = 1, other entries 0). P and Q are n ì n matrices such that P Q = QP and P r = Qs = for some positive integers r, s. Show that In + (P + Q) and In (P + Q) are inverses. A5. A is a square matrix such that A2003 = 0. Show that rank(A) = rank(A + A2 + ã ã ã + An ) for all n. A6. A is the 4ì4 matrix with a11 = 1+x1 , a22 = 1+x2 , a33 = 1+x3 , a4 = 1+x4 , and all other entries 1, where xi are the roots of x4 x + 1. Find det(A). A7. p(x) is a polynomial of order n > with real coefficients and m real roots. Show that (x2 + 1)p(x) + p (x) has at least m real roots. 28 [...]... giá trị riêng của u và v có cùng số chiều Bài 29 Cho u và v là các toán tử chéo hoá đợc trên không gian vector E n-chiều CMR, các khẳng định sau là tơng đơng a) uv = vu b) Tồn tại một cơ sở của E gồm toàn các vector riêng của u và v c) Tồn tại một toán tử w chéo hoá đợc của E và các đa thức f, g R[x], h R[x, y] sao cho u = f (w), v = g(w), w = h(u, v) Từ đó suy ra, một toán tử trên E giao hoán đợc với... thoả A2 = A Chứng minh rằng phơng trình AX XA = 0 có nghiệm, cần và đủ là: tồn tại ma trận X0 sao cho X = AX0 + X0 A X0 Bài 20 Cho f là đa thức hệ số thực có bậc n > 0 và p0 , p1 , p2 , , pn là các đa thức hệ số thực và có bậc dơng CMR, tồn tại các số thực a0 , a1 , a2 , , an n ai (pi (x))i chia hết không đồng thời bằng không sao cho đa thức Q(x) = i=0 cho f Bài 21 Cho A và B là hai ma trận... gọi p là phép chiếu lên M theo phơng N Cho u là toán tử tuyến tính của E Chứng minh rằng: a) M là không gian con bất biến của u nếu và chỉ nếu pup = up b) M và N đều bất biến qua u khi và chỉ khi pu = up Bài 25 Nếu u là toán tử tuyến tính với trên không gian vector hữu hạn chiều và nếu u giao hoán với mọi phép chiếu có hạng 1, thì u = I Bài 26 Cho u là toán tử tuyến tính trên không gian vector hữu hạn... ma trận khả nghịch) Phơng trình AX = 0 tơng đơng với In,r QX = 0, nên từ nhận xét trên để tìm số nghiệm độc lập tuyến tính của phơng trình AX = 0 ta chỉ cần đi tìm số nghiệm độc lập tuyến tính của phơng trình In,r Y = 0 Ma trận Y thoả phơng trình In,r Y = 0 phải có dạng sau: Y = r 0 Y1 r nr nr 0 Y2 Suy ra số nghiệm độc lập tuyến tính của phơng trình AX = 0 là n(n r) Bài 4.15 Xem A là tự đồng cấu tuyến... x + ã ã ã + cn xn là một đa thức bậc n hệ số phức sao cho f (ai ) = bi , ta có hệ phơng trình ẩn là ci , i = 0, n n c 0 + c 1 a1 + ã ã ã + c n a1 = b 1 c + c a + ã ã ã + c an = b 0 1 2 n 2 2 ããã c 0 + c 1 an + ã ã ã + c n an = b n n 18 hệ phơng trình trên có định thức Crame khác 0 nên có nghiệm duy nhất Vậy tồn tại duy nhất đa thức f bậc n với hệ số phức sao cho f (ai ) = bi Bài 4.6 Xét hàm... sg)(v) = f (rv) + g(sv) A vì f, g bất biến đối với A Tơng tự ta cũng có (rf + sg)(v) B Vậy rf + sg S, hay S là không gian vector con của không gian vector các tự đồng cấu của V Để tính số chiều của S ta chỉ cần tính số chiều của không gian các ma trận bất biến với A và B Gọi A1 , B1 là không gian vector con của V sao cho A = A B A1 , B = A B B1 Khi đó dim(A B) = r = a + b n, dim A1 = a r, dim... với một giá trị m N , thì u2 = I Bài 27 Cho u là toán tử trên không gian vector phức n-chiều Ma trận của u đối với một cơ sở nào đó có dạng: 0 0 0 1 0 0 2 0 . M = . 0 n1 0 0 n 0 0 0 CMR, u chéo hoá đợc khi và chỉ khi với mỗi k {1, 2, , n}, nếu k = 0, thì n+1k = 0 Tìm đa thức tối tiểu của u2 Bài 28 Cho u và v là các toán tử chéo hoá đợc của không gian vector hữu hạn... đối với cơ sở đó có mọi phần tử nằm trên đờng chéo chính bằng 1 còn mọi phần tử nằm ngoài đờng chéo chính đều bằng 0 (iii) Tất cả các nghiệm của đa thức đặc trng của tự đồng cấu A (trong trờng đóng đại số) đều bằng 1 21 Bài 6: Cho E là không gian vector hữu hạn chiều trên trờng phức A Aut(E) Chứng tỏ rằng tự đồng cấu A có thể phân tích dới dạng tổng: A = S + N, trong đó S chéo hoá đợc, N luỹ linh... giao hoán đợc với u và v khi và chỉ khi nó giao hoán đợc với w 25 Bài 30 Cho u1 , u2 , , um là các toán tử chéo hoá đợc của không gian vector E n-chiều CMR, các khẳng định sau là tơng đơng: a) ui uj = uj ui với mọi i, j [1, m] b) Tồn tại một cơ sở của E gồm toàn các vector riêng của ui c) Tồn tại toán tử w chéo hoá đợc của E và các đa thức f1 , f2 , , fm R[X], h R[X1 , X2 , , Xm ] sao cho... (vi ) chỉ có thể biểu diễn tuyến tính qua {v1 , , vr }, f (wi ) đợc biểu diễn tuyến tính qua {v1 , , vr , w1 , , wbr } Suy ra ma trận của f có dạng: ar ar M1 M2 r br 0 r 0 M3 0 br 0 M4 M5 trong đó số phần tử khác 0 nhiều nhất là (a r)2 + rn + (b r)2 = a2 + b2 + n2 (a + b)n Vậy dim S = a2 + b2 + n2 (a + b)n Bài 1.4 Giả sử rằng có: a0 x + a1 T x + ã ã ã + ak T k x + ã ã ã + am1 T m1 x = 0 Tác