1 BÀI TẬP ĐẠI SỐ LIE Bài toán 1. 1) Cho g đại số kết hợp trường K. Chứng minh g đại số Lie với tích Lie xác định sau: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g. 2) Xét g = End(V ) đại số Lie kết hợp gồm tất tự đồng cấu tuyến tính không gian vector V trường K định nghĩa tích Lie sau: [f, g] = f ◦ g − g ◦ f, ∀f, g ∈ g. Chứng minh g đại số Lie, kí hiệu gl(V ). 3) Xét g = gl(n, K) đại số kết hợp tất ma trận vuông cấp n trường K với tích Lie định nghĩa sau: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g. Chứng minh g đại số Lie. 4) Chứng minh sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} đại số Lie với tích Lie: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g. 5) Ký hiệu J ∈ gl(n, 2R) ma trận I −I , I khối ma trận đơn vị thực cấp n. Chứng minh sp(n, R) = {X ∈ gl(n, 2R) | X t J + JX = 0} đại số Lie với tích Lie [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g. Bài toán 2. 1) Chứng minh đại số Lie sau: a) h = sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} b) k = so(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | X + X t = 0} c) t = b(n, K) = {X ∈ gl(n, K) |X ma trận tam giác trên} đại số Lie đại số Lie g = gl(n, K). 2) Xét đại số Lie g = gl(3, K). Chứng minh a b 0 c | a, b, c ∈ K đại số Lie 3-chiều g h= 0 gọi đại số Lie Heisenberg 3-chiều. Bài toán 3. Chứng minh sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} Ideal gln (K). Bài toán 4. 1) Chứng ninh ánh xạ đồng idg đại số Lie g đẳng cấu đại số Lie. 2) Cho g đại số Lie h Ideal đại số Lie g. Chứng minh p : g −→ g/h X −→ X + h toàn cấu đại số Lie, gọi toàn cấu tắc. Suy Ideal nhân toàn cấu tắc. Bài toán 5. Cho g đại số Lie trường k. Chứng minh ad : g −→ gl(g) X −→ adX : g −→ g Y −→ adX(Y ) = [X, Y ]. đồng cấu đại số Lie. Bài toán 6. Chứng minh đại số Lie sau giải được: 1) Đại số Lie g = b(n, K) = { A ∈ gl(n, K) | A ma trận tam giác }. 2) Đại số Lie g = 3) Đại số Lie g = Bài toán 7. a b a c | a, b, c ∈ R . 0 0 a b −a c | a, b, c ∈ R . 0 Chứng minh 1) Mọi đại số Lie g giao hoán lũy linh. 2) Đại số Lie Heisenberg (3-chiều) g = a b 0 c 0 | a, b, c ∈ R lũy linh. Tổng quát, đại số Lie Heisenberg 2n + 1-chiều a a2 · · · an c 0 0 · · · b1 . . | , bi , c ∈ R i = 1, n g = . 0 · · · bn 0 ··· 0 đại số Lie lũy linh. 3) Đại số Lie n(k, K) gl(k, K) bao gồm ma trận tam giác ngặt đại số Lie lũy linh. Bài toán 8. a) Xét đại số Lie g = sl(n, F) = {X ∈ gln (K) | T r(X) = 0}. Chứng minh g = sl(n, F) đại số Lie lũy linh. b) Xét đại số Lie lũy linh Heisenberg (2n + 1)-chiều 0 g = . 0 a1 a2 · · · 0 ··· . 0 ··· 0 ··· Hãy tìm tâm g. an c b1 | a , b , c ∈ R i = 1, n . . i i bn 0 Bài toán 9. Tìm dạng Killing đại số Lie sau: 1) g= t x t y t, x, y ∈ R . 0 2) g= t x −t y t, x, y ∈ R . 0 Bài toán 10. Sử dụng tiêu chuẩn Cartan kiểm tra tính giải đại số Lie sau: 1) g= t x t y t, x, y ∈ R . 0 2) g= t x −t y t, x, y ∈ R . 0 g= a c b d a, b, c, d ∈ R . 0 3) Bài toán 11. Sử dụng tiêu chuẩn Cartan kiểm tra tính nửa đơn đại số Lie sau: 1) g = sl3 (R) = a b c d −a + e f g h −e a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R . 2) a b g = sp2 (R) = a, b, c ∈ R . c −a a b c d e −a 3) g = so4 (R) = −b −d f ∈ M at4 (R) . −c −e −f Bài toán 12. Chứng minh đại số Lie sau đơn: 1) Đại số Lie g = R3 với tích Lie tích vector có sở i, j, k thỏa mãn: [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j. a b −a c | a, b, c ∈ R 2) Đại số Lie g = so(3, R) = −b −c có sở 0 0 1 E1 = 0 E2 = 0 E3 = −1 0 . −1 −1 0 0 Tổng quát, a12 a13 a23 −a12 −a13 −a 23 so(2n+1, R) = . . . −a1,2n+1 −a2,2n+1 −a3,2n+1 · · · a1,2n+1 · · · a2,2n+1 · · · a3,2n+1 | aij ∈ C . ··· ··· đại số Lie đơn với n ≥ 1. 3) Đại số Lie g = sl(2, R) = E1 = 0 a b c −a 0 E2 = | a, b ∈ R có sở E3 = −1 . Tổng quát, g = sl(n, R) đại số Lie đơn với n ≥ 2. . số Lie con của đại số Lie g = gl(n, K). 2) Xét đại số Lie g = gl(3, K). Chứng minh rằng h = 0 a b 0 0 c 0 0 0 | a, b, c ∈ K là một đại số Lie con 3-chiều của g và được gọi là đại số Lie. id g của đại số Lie g là một đẳng cấu đại số Lie. 2) Cho g là một đại số Lie và h là một Ideal của đại số Lie g. Chứng minh rằng p : g −→ g/h X −→ X + h là một toàn cấu của đại số Lie, gọi là toàn. với tích Lie được định nghĩa như sau: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g. Chứng minh g là một đại số Lie. 4) Chứng minh sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} là một đại số Lie với tích Lie: [X, Y