Bài tập môn đun đhsp huế

Mơđun Bài 1.1 Cho R vành có đơn vị 1, X nhóm cộng giao hốn HomZ(X,X) vành tự đồng cấu nhóm X. Chứng minh X R-mơđun trái tồn đồng cấu  : R  HomZ ( X ; X ) cho  (1) =1 X với X đồng cấu đồng nhóm X. Giải ( ) Giả sử X R-modun trái, ta xây dựng  : R  Hom Z ( X ; X ) r  f r với r  R x1 , x  X ta có f r (x1+x2)=r(x1+x2)= rx1+rx2= f r (x1) + f r (x2) x  X , k  R ta có k. f r (x)= k(rx) = r(kx) = f r (kx)  f r đồng cấu f r  HomZ(X,X)   x  X; r,s R ta có f (x)=1.x=x  f =1X f r  s (x)=(r+s)x=rx+sx= f r (x)+ f s (x)  f r  s = f r + f s f rs (x)=(rs)x=rsx= f r (sx)= f r f s (x)  f rs = f r f s Xét ánh xạ: (1) (2) (3)  : R  HomZ ( X ; X ) r  f r với r  R (1)   (1) = f1 =1X (2)   (r  s ) = f r  s = f r + f s =  (r ) +  (s ) (3)   (rs ) = f rs = f r f s =  (r ) .  (s ) Vậy tồn  đồng cấu vành ( ) Giả sử tồn đồng cấu vành  :R  HomZ(X,X) thỏa mãn  (1) =1X. Ta chứng minh X R-mơđun Ta định nghĩa phép nhân ngồi từ R vào X sau: RX  X rx=  ( r)(x) x  X , r  R ta có : M1: 1.x=  ( 1)(x)=1X(x)=x M2: (rs)x=  (rs ) (x)=  (r ) .  (s ) (x)=r(sx) M3: (r+s)x=  (r  s ) (x)= (  (r ) +  (s ) )(x)=  (r ) (x)+  (s ) (x)=rx+sx M4: r(x+y)=  (r ) (x+y)=rx+ry  X R-mơđun trái. Bài 1.2 Chứng minh tám tiên đề định nghĩa R-mơđun trái, gồm bốn tiên đề nhóm cộng giao hốn tiên đề M1 – M4, ta bỏ tiên đề giao hốn phép cộng. Nói cách khác, tiên đề suy từ bảy tiên đề lại. Giải Chứng minh tiên đề giao hốn phép cộng y+x=x+y x, y  X ta có (x+y)+(x+y)=(1+1)(x+y)=(1+1)x+(1+1)y=x+x+y+y  x+y=y+x (vì R nhóm cộng) Bài 1.3 Cho X R-mơđun K iđêan hai phía R. Chứng minh với x  X Kx= {rx:r  K} mơđun X. -1- Mơđun Giải  s,t  K  s+t  K r  R sx+tx=(s+t)x  Kx r(sx)=(rs)(x)  Kx (vì K idean R) Từ (1) (2) ta suy Kx  X. (1) (2) Bài 1.4 Cho R miền ngun X R-mơđun. Phần tử x  X gọi phần tử xoắn tồn r  R\{0} cho rx = 0. Đặt  ( X ) tập hợp tất phần tử xoắn X. Nếu  ( X ) = X gọi mơdun khơng xoắn,  ( X ) = X X gọi mơđun xoắn. Chứng minh: a.  ( X ) mơđun X b. Mọi mơđun mơđun xoắn R mơ đun xoắn R. c. Mọi mơđun mơđun khơng xoắn R mơđun khơng xoắn R. d. Mơđun thương X /  ( X ) có phải mơđun khơng xoắn hay khơng? e. Z-mơđun Q/Z có phải mơđun xoắn hay khơng? Giải a. Cần chứng minh  ( X ) +  ( X )   ( X ) K ( X )   ( X )  x,y   ( X )    R,   :  x  0,   R,   :  y    ( x  y )   ( x)   ( y )   (x)   (y )   x+y  ( X )   (1)  r  R  r  R  rx  rx  (2)  rx   ( X )   Từ (1) (2) suy  ( X ) mơđun X b. X mơđun xoắn   ( X ) =X Lấy A  X, chứng minh A xoắn tức chứng minh r(A)=A *  ( A) ={ a  A :   R,   0,  a  0}  A *  x  A  x  X (vì A  X)  x   ( X )    R,   0, x   x   ( A) Vậy  ( A) =A Giả sử X mơđun khơng xoắn   ( X ) =0  A   ( A) c. Lấy A  X. Ta chứng minh A mơđun khơng xoắn tức cần chứng minh  ( X ) =0 Thật  x   ( X )     R,   0, x   x=0   (A)=0 d. Mơđun thương X mơđun khơng xoắn.  (X ) Thật vậy, lấy x  X  (X ) Với x = x +  (X) -2- Mơđun    R,   : x   x   ( X )    R,   : x   x  ( X ) x0 e. Mơđun Q mơđun xoắn. Z m    m  Thật  (Q )   x   Z :   R,   : x      Z    Q Z  Z n   n  m Lấy x  Q  x  ( m  Z , n  Z * ) Z n m  nx  nx  n  m  0(m  Z , n  Z * ) n Q  x  ( Z)  Q   (Q Z Z) Vậy  (Q  Q Z) Z Bài 1.5 Cho R miền ngun X R-mơđun. Phần tử x X gọi phần tử chia với   R\ {0}, tồn phần tử y  X cho x= y . Đặt  (X) tập hợp tất phần tử chia X. Nếu  (X) = X X gọi mơđun chia được. Chứng minh rằng: a.  (X) mơđun X. b. Mơđun thương mơđun chia mơđun chia được. c. Các Z mơđun Q Q/Z mơđun chia được. Giải  ( X )   ( X )   ( X ) a. Cần chứng minh   K ( X )   ( X ) Lấy x1,x2   (X)   R,   0, y1 , y  X : x1  y1 ; x2  y  x1  x2  y1  y   ( y1  y2 )  x1  x2   ( X ) y1+y2  X,   R\ {0} Lấy x   (X)   R,   0, y  X : x  y  rx  ry   (ry )  rx   ( X ) x  X,   R\ {0} Từ (1) (2) suy  (X) mơđun X. b. Giả sử X mơđun chia được, A  X. Ta chứng minh X Lấy x  X A (1) (2) mơđun chia với x  x  A A Vì x  X nên   R,   0, y  X : x  y  x  y  A  y  y  x chia Vậy X mơđun chia được. A m c. Q mơđun chia đuợc lấy x  Q  x  ( m  Z , n  Z * ) n -3- Mơđun m m m  Q; k  Z *  x  ky  k  nk nk n Z mơđun chia Z  Q Do Q mơđun chia Z Chọn y Bài 1.6 Chứng minh đồng cấu f : X  Y xác định giá trị f hệ sinh đó. Tuy nhiên khơng phải ánh xạ g: S  Y mở rộng thành đồng cấu từ X vào Y. Hãy tìm điều kiện cho g để g mở rộng thành đồng cấu X. Giải Giả sử S hệ sinh X x  X : x   ri si ; ri  R, si  S iI  f ( x)  f ( ri si )   ri f ( si ) i I iI f : tồn đồng cấu h cho h( x)  f ( x), x  S h( x)  h( ri f ( si )  f ( ri si )  f ( x), x  X iI iI * Tuy nhiên khơng phải ánh xạ g:S  Y mở rộng thành đồng cấu từ X vào Y. Hãy tìm điều kiện cho g để g mở rộng thành đồng cấu X. Xét Z mơđun Z Vì (2,3)=1 S={ 2,3} hệ sinh Z Xét ánh xạ g: S  Y g(2)=1 g(3)=0 Giả sử g thác triển thành đồng cấu f f / S  g Khi f (5)  f (2)  f (3)  g(2)+g(3)= - f (5)  f (1)  f (1.2  3)  5[ f (2)  f (3)] = Vậy f khơng thể thác triển thành đồng cấu . * Điều kiện để g thác triển thành đồng cấu : S sở X Thật Giả sử S= {xi }iI sở X x  X : x   xi  R, xi  S iI Định nghĩa f : X  Y f ( x )   a i g ( xi ) iI f xác định f đồng cấu f/ S  g Bài 1.7 Cho f , g :X  Y đồng cấu từ mơđun X vào mơđun Y. Gọi A  X tập x  X mà f ( x)  g ( x) Chứng minh A  X. Giải A  A  A A={x  X: f ( x)  g ( x) }. Ta cần chứng h   RA  A -4- Mơđun Lấy  x1,x2  A ta có x1,x2  X f ( x1 )  g ( x1 ), f ( x2 )  g ( x2 ) f ( x1+x2) = f ( x1) + f ( x2) = g(x1)+g (x2)=g (x1+x2) x1+x2  X nên x1+x2  A  A A A (1)    Lấy x A r R f ( rx) = r f ( x)= rg (x)=g(rx) x  X nên rx  A  RA  A (2) Từ (1) (2) suy A  X. Bài 1.8 Mơdun X gọi mơđun đơn X có hai mơđun X. Cho đồng cấu f : X  Y với X mơđun đơn. Chứng minh rằng: a. Im f mơđun đơn Y. b. Nếu Im f  f đơn cấu. Giải a. Ta có Im f  Y y1 , y2  Im f   x1, x2  X : f ( x1 )  y1; f ( x2 )  y2 f ( x1+x2)= f ( x1) + f ( x2)=y1+y2  y1  y2  Im f (1) y  Im f  x  X : f ( x)  y r  R f ( rx)=r f ( x)=ry  ry  Im f (2) Từ (1) (2) suy Im f  Y Lấy B  Im f Mà Im f  Y nên B  Y suy f 1 ( B )  X  f 1 ( B)  B  Do X mơđun đơn nên  1   B  Im f  f ( B)  X Vậy Im f mơđun đơn b.  ker f  ker f  X X mơđun đơn suy   ker f  X Mà Im f   ker f  X  ker f  Vậy f đơn cấu. Bài 1.9 Cho A B mơđun mơđun X. Chứng minh (A+B)/A  B/(A  B) Giải Xét ánh xạ f : B  ( A  B ) A bb A f ánh xạ f đồng cấu a, b  B,   R ta có -5- Mơđun f (a  b)  a  b  A  (a  A)  (b  A)  f (a)  f (b) f (a)  a  A   (a  A)  f (a) f tồn ánh Nếu (a  b)  A  ( A  B ) f (b)  b  A  (a  b)  A  ( A  B ) A A Do f cảm sinh đẳng cấu B  ( A  B) (theo định lý Noether) ker f A  Mặt khác ker f  {x  B : f ( x )  0} ={x B: x+A=0 }={x  B: x  A }=A  B Vậy (A+B)/A  B/(A  B) Bài 1.10  X/M. Cho mơđun X mơđun M,N mà N  M. Chứng minh (X/N) / (M/N) Giải Xét ánh xạ f : X X N M x N  xM x+N=y+N  x-y  N  x-y  M  x+M=y+M f ánh xạ f đồng cấu  ,   R; x  N , y  N  X N f [ ( x  N )   ( y  N )]  f (x  N  y  N )  f (x  y  N )   x   y  M  x  M   y  M    (x  M )   ( y  M )   f ( x  N )   f ( y  N ) f tồn ánh  x  M  X M ,  xNX Khi tồn đẳng cấu X N Mà ker f  {x  N  X = {x  N  X N N ker f N X cho f (x+N)=x+M M : f (x  N )   M } = : x  M   M } ={x  N  X N : x M}  M N Vậy (X/N) / (M/N)  X/M. Bài 1.11 Cho h : X  X tự đồng cấu mơđun X thỏa mãn điều kiện h2=h. Chứng minh X= Imh  Kerh. Giải Im h  ker h  X  Ta cần chứng minh   Im h  ker h  {0}  Im h  X *   Im h  ker h  X  ker h  X Lấy x  X : x=h(x) + ( x – h(x) ) h( x)  Im h  x  Im h  ker h  h( x  h( x ))  h( x )  h(h( x))  h( x)  h( x)   x  h ( x)  ker h -6- Mơđun  X  Im h  ker h Vậy X=Imh+kerh  x  Im h x  X : h( x0 )  x * Lấy x  Im h  ker h     x  ker h h( x)  0 = h(x) = h(h(x0)) = hh(x0) = x Vậy Imh+kerh = {0} Bài 1.12 Chứng minh ba đặc trưng tổng trực tiếp hai mơđun p1j1 = 1A p2j2 = 1B (1), p1j2 = p2j1 = (2), j1 p +j2 p2 = 1A B (3) ta bỏ đẳng thức (2). Nói cách khác, ba mơđun A,B,C cần thỏa mãn hai đẳng thức (1) (3) C  A  B Giải Ta có (3) j1 p1 +j2 p2 = 1C p1 j1 p + p1j2 p2 = p 11C   1A p1 + p j2 p2 = p 11C p1 j2 p2 =   p j2 p2 j2= p j2 1B=   p1 j2 = Chứng minh tương tự ta có p2 j1 = Cho X tổng trực tiếp họ mơđun  X i  . Bài 1.13 iI a. Chứng minh  ( X )   ( X i ) . Từ suy iI b. Tổng trực tiếp mơđun xoắn mơđun xoắn. c. Tổng trực tiếp mơđun khơng xoắn mơđun khơng xoắn. Giải a. * x   ( X ) , x  ( xi ) iI Khi   R ,   :  x   xi  i  I  xi   ( X i ) i  I  x   ( X i ) iI Ngược lại lấy x  ( xi )iI   ( X i ) iI Khi với xi  0, i  R, i  : i xi  i  R Đặt    i  hồn tồn xác định hữu hạn xi  iI Khi xi  i  I  x   x  ( X ) b. Giả sử X i iI họ mơđun xoắn   ( X i )  X i i  I . Khi  X   ( X )   ( X ) i iI i i iI iI Vậy tổng trực tiếp mơđun xoắn mơđun xoắn c. Giả sử X i iI họ mơđun khơng xoắn mà tổng trực tiếp khơng phai mơđun khơng xoắn. Khi tồn ( xi )iI   ( X i ) ;0    R :  ( xi )  (xi )   j  I : x j  iI -7- Mơđun Điều mâu thuẩn với giả thiết Xi mơđun khơng xoắn Vậy ta có tổng trực tiếp họ mơđun khơng xoắn mơđun khơng xoắn. Bài 1.14 Cho X=  X i . Hãy chứng minh mơđun chia X  ( X )    ( X i ) .Từ suy iI Tích trực tiếp mơđun chia đựợc mơđun chia được. Tổng trực tiếp mơđun chia có mơđun chia khơng? Giải Chứng minh  ( X )   ( X i ) iI Lấy ( xi )   ( X ), 0    R . Khi có ( yi )  R :  ( yi )  (yi )  xi  xi   ( X i ) i  I  x   ( X i ) iI * Chứng minh  ( X )   ( X i ) iI Lấy ( xi )    ( X i ) iI Khi 0    R , với i  I có yi cho yi  xi  ( xi )  (yi )   ( yi )  ( xi )   ( X ) Vậy  ( X )   ( X i ) iI Giả sử {Xi} họ mơđun chia được. Khi  X   ( X i i I i )   ( X i ) i I iI mơđun chia Do tích trực tiếp họ mơđun chia mơđun chia được. Tổng trực tiếp họ mơđun chia mơđun chia được. Thật -8- Mơđun Giả sử X   Xi iI Lấy ( xi )   ( X ) Với 0    R, ( yi )  X cho  ( yi )  (yi )  ( xi ) Suy ( xi )   ( X ) , i  I Do ( xi )    ( X i )   ( X )    ( X i ) iI iI Ngược lại lấy ( xi )    ( X i )  xi   ( X i ), i  I iI Khi 0    R , yi  X i : xi  yi  ( xi )  (yi )   ( yi ) Suy ( xi )   ( X )   ( X i )   ( X ) iI Vậy  ( X )   ( X i ) iI Nếu xi iI họ mơđun chia  iI X   Xi iI X i    ( X i )   ( X )   ( X i ) iI iI Vậy tổng trực tiếp mơđun chia mơđun chia được. Bài 1.15 Mơđun X gọi hữu hạn sinh, X có hệ sinh hữu hạn. Cho X tổng trực tiếp học mơđun {Xi}. Chứng minh rằng: a. Mơđun thương mơđun hữu hạn sinhlà mơđun hữu hạn sinh. b. Mơđun tổng trực tiếp X hữu hạn sinh Xi hữu hạn sinh hầu hết Xi=0, trừ số hữu hạn. Giải a. Giả sử X mơđun hữu hạn sinh A mơđun X, gọi {x1,x2,…,xn} hệ n sinh X, x  X , x :  ri xi với x  X i 1 -9- Mơđun Vậy x+A  X n A n x+A=  ri xi  A   ri ( xi  A) tập { x1+A,x2+A,…,xn+A } i 1 i 1 hệ sinh X/A b. ( ) Giả sử X tổng trực tiếp họ  X i  iI   Gọi tập sinh X S=  x1i , x2i , . xni ,   iI iI iI  Với i  I xét ánh xạ  i :  X i  X i tồn ánh iI n n Mặt khác với x  X ta có x   rj  x ji   j 1 iI iI n  rj x ji   i ( x)   rj x ji j 1 j 1 Do với i  I tập {x1i,x2i,…,xni} hệ sinh Xi Hơn xji xuất S có hữu hạn khác khơng nên hầu hết tập sinh Xi chứa tồn phần tử 0, hay hầu hết Xi=0 ( ) Giả sử Xi hữu hạn sinh hầu hết Xi 0; giả thiết Xi khác {0} X1, X2,…,Xn Với i=1,2,…,n đặt Si={x1i,x2i,…,xmi} tập sinh X n n m (i ) Khi x   X i   X i phân tích dạng x   xi   rk xki iI i 1 i 1 k 1 n Điều chứng tỏ S   Si hệ sinh tổng trực tiếp Xi.Do S hữu hạn sinh nên i 1 n tổng trực tiếp  X i hữu hạn sinh i 1 Bài 1.16 Chứng minh tổng trực tiếp họ đơn cấu ( tồn cấu, đẳng cấu) đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu). Kết luận tương tự có cho tích trực tiếp họ đồng cấu khơng? Giải Chứng minh: 1/ . Giả sử họ  fi : X i  Yi iI đơn cấu Đặt f   fi . Chứng minh f đơn cấu     Kerf   J ix  xi   X i : f  J ix xi    iI  iI   iI      J ix  xi   X i :  fJ ix  xi    iI iI  iI      J ix  xi   X i :  J ix f i  xi    iI  iI iI      J ix  xi   X i : f i  xi   , i  I  iI  iI  -10- Mơđun Chứng minh dãy khớp ngắn đồng cấu A f g B C nhúng vào biểu đồ giao hốn sau: (2.10) A B C N1 N2 N3 X Y K (2.10 ) Giả sử cột (1) cột (2) khớp và: Là dãy khớp ngắn. Gọi M : = X  N1  K N = { (x, u, 0)  M ) : x =  1(u)} Khi N mơ đun M. Bây ta đặt: Y := M / N , N2 := N1 x N3. Từ N1 N3 nội xạ ta có N2 nội xạ, đồng cấu f, g, 1, 1, 3, 3 xác định, đồng cấu lại định nghĩa sau: -22- Mơđun A f  1 N1 g B C 2 i1 1 3 1 N2 N3 2 X i2 3 2 Y K (2.10 )N  i1 phép nhúng từ N1 vào 1 phép nhúng từ N2 xuống N3 x  X, i2(x) = (x, 0, 0) + N. Nếu i2(x) = (x, 0, 0)  N tồn u  N1 cho (x, 0, 0) = (1(u), u, 0) suy u = x = 1(0) = 0. Vậy i2 đơn cấu. (x, u, v) + N  Y, [(x, u, k) + N] = k. Nếu (x, u, k) + N = (x’, u’, k’) + N (xx’, uu’, kk’)  N, có x  N1 cho (xx’, uu’, kk’) = (1(x), x, 0) suy k = k’ Vậy 2 xác định, 2 tồn cấu. Từ f : A  B đơn cấu N1 nội xạ tồn đồng cấu  : B  Im1 cho f = 1. 2 xác định sau b  B, 2(b) = [(b), 3g(b)] (u, v)  N2, 2 (u, v) = (0, u, 3(v)).  Từ định nghĩa dễ thấy dòng (1), dòng (2) khớp.  Bây ta kiểm tra dòng (3), cột (2) khớp biểu đồ giao hốn      vng.  x  X, 2i2(x) = 2[(x, 0, 0) + N] = 0, Imi2  Ker 2. Mặt khác, (x, u, 0) + N = (x + 1(u), 0, 0) + N = (x + 1(u), 0, 0) + N = i2[x + 1(u)]. Vậy Ker 2  Imi2. Do dòng (3) khớp. Giải -23- Bài 2.10: Chứng minh dãy khớp ngắn đồng cấu: Mơđun  A  B  C  nhúng vào biểu đồ giao hốn    0 A B C      N1  N  N     0 X  Y  Z     Trong ba dòng, ba cột khớp, dòng chẻ gồm mơ đun nội xạ; cột biên trái biên phải tùy ý chọn trước. Giả sử (1) cột (2) khớp f g   A   B   C  0 dãy khớp ngắn. Gọi: M : X  N1  Z N   x, u, 0  M : x   u  Khi N mơ đun M. Đặt Y : M N , N  N1  N . Ta có N1 , N nội xạ nên N nội xạ, đồng cấu f , g , 1 , 1 , 3 , 3 xác định, đồng cấu lại xác định sau: f   A   g B   C   2 3 1 i1 1   N1   N1  N   N  0 1 i2   X  M 2 N 3 2   Z   0 i1 phép nhúng từ N1 vào N1  N . 1 phép chiếu từ N1  N vào N .  Chứng minh i2 đơn cấu x  X : i2  x   x, 0, 0  N . Nếu  x, 0, 0  N tồn u  N1 cho  x, 0, 0  1 u  , u, 0  u  0, x   0  . Vậy i2 đơn cấu. -24- Mơđun  Xác định 2 :   x, u , z  , N  Y , 2  x, u , z   N   z .Nếu  x, u, z   N   x ', u ', z '  N   x  x ', u  u ', z  z '  N nên z  z '   z  z ' . Vậy 2 xác định tồn cấu. Xác định 2 : Ta có: f : A  B đơn cấu N1 mơ đun nội xạ. Nên theo định nghĩa mơđun nội xạ tồn đồng cấu  : B  Im 1 cho 1   f . b  B : 2 b   b , 3 g b  . Xác định  :  u , v   N1  N , 2 u , v  0, u , 3 v Kiểm tra biểu đồ giao hốn: Kiểm tra 2 f  i11 . a  A : 2 f a   2  f a     f a  , 3 g  f a  =  f  a  , 0 = 1 a , 0  i21 a . Vậy 2 f  i12 . Kiểm tra 3 g  22 . b  B, 12 b  1 2 b  = 1  b  , 3 g b  3 g b  Vậy 12  3 g Kiểm tra  2i1  i2 1 u  N1 , 2i1 u   2 u , 0  0, u ,0  N = 1 u  , 0, 0  N = i2 1 u . Vậy 2i1  i21 Kiểm tra 31  2 2 .  u , v   N1  N , 2 2 u , v  2  2 u , v = 2 0, u , 3 v  = 3 v = 3 1 u, v   3 1 u , v Vậy  2  31 Chứng minh dòng (2), dòng (3), cột (2) khớp. Từ việc xây dựng xác đinh i1 , 1 nên dòng (2) khớp. Chứng minh dòng (3) khớp: Im i2  ker2 -25- Mơđun Lấy x  X : 2i2  x  2  x, 0, 0  N   Vậy Im i2  ker2 ker2  Im i2 :  x, u, 0  N  M N ,  x, u, 0  N   x  1 u , 0, 0 = i2  x  2 u  Vậy ker2  Im i2 Vậy ker2  Im i2 nên dòng khớp Chứng minh cột (2) khớp. Áp dụng bổ đề năm ngắn: ta có 1 , 3 đơn cấu nên 2 đơn cấu. 1 , 3 tồn cấu suy  tồn cấu. Chứng minh Im 2  ker2 : Ta có Im   Im 1  ker1 (do cột khớp). b  B : 22 b   2 2 b  = 2  b , 3 g b = 0,  b  , 3 3 g b  N = 1 b  ,  b , 0  N =0 Suy Im 2  ker2 (1). Mặt khác: Lấy u , v  ker2  0, u , 3 v  N u  ker1  Im 1   v  ker3  Im 3 1  a   u Do đó, a  A, b  B :  3 g a   v  Mặt khác: Im   Im 1  a '  A : 1 a '   b  Xét f  a  a '  b  B , ta có: 2  f a  a '  b     f a  a '  b , 3 g  f a  a '  b   =  f a  a '   b  , 3 gf  a  a '  3 gf b  = 1 a  1 a '   b , 0 = u, v  u , v  Im 2  ker2  Im 2 (2) (1)(2)  Im 2  ker2 Vậy cột (2) khớp. Bài 2.12:Chứng minh mơđun J nội xạ khi, với tồn cấu f : A  J đơn cấu j : A  P P mơđun xạ ảnh, tồn đồng cấu f : P  J cho fj  f -26- Mơđun  J mơđun nội xạ nên theo định nghĩa mơ đun nội xạ ta nhận kết quả.  Ta cần chứng minh J mơ đun nội xạ  dãy khớp  J  B  C  chẻ.  f có nghịch đảo trái.   : B  J sc: f  1J Gọi F(J), F(B) mơ đun tự sinh sở tương ứng J, B.  Xét ánh xạ 1J : J  J , 1J cảm sinh đồng cấu  J : F  J   J với  J J  1J  Xét ánh xạ 1B : B  B , 1B cảm sinh đồng cấu B : F  B   B với B B  1B Xét sơ đồ sau: F(J) J F(B) B f g   J   B   C  0 Do F(J) mơ đun tự nên tồn đồng cấu h : F  J   F  B  cho f  x  h  x , x  J  Chứng minh h đơn cấu: ker   x  F  J  / h  x  0 n  n    =  x   ri xi , r1  , xi  J / h  ri xi   0    i 1  i 1 n n   =  x   ri xi , r1  , xi  J /  ri h  xi   0   i1 i 1 Do h  xi  nằm sở F(B) nên ta có ri  suy ker h   h đơn cấu. Ta có F(B) mơđun tự nên F(B) mơ đun xạ ảnh.h đơn cấu nên áp dụng giả thiết  : F  B  J thỏa  J  h . Đinh nghĩa:  : B  J nghịch đảo trái f với  b    b   Kiểm tra  đồng cấu: -27- Mơđun b, b '  B, r , r '     rb  r ' b '   rb  r ' b ' = rb    r ' b ' = r b   r '  b ' Vậy  đồng cấu  Chứng  nghịch đảo trái f x  J :  f  x    h  x    h  x    J  x   x   f  1J   nghịch đảo trái f f g  Dãy khớp   J   B   C   chẻ  J mơ đun nội xạ. Bài 2.13: chứng minh phạm trù  - mơđun ánh xạ  : X Y  C song tuyến tính  song cộng tính.  song tuyến tính   song cộng tính (hiển nhiên suy từ định nghĩa song tuyến tính).  Giả sử  song cộng tính. Ta chứng minh  song tuyến tính, nghĩa cần kiểm tra phép nhân ngồi   xk , y     x, ky   k    ,   xk , y     x  x  .  x, y  =   x, y     x, y   .    x, y  =   x, y  y  .  y  =  x, ky   k 0 Ta có   x.0, y    0, y    x,0. y     x, 0 Mà   x, 0    x,  0 =   x, 0    x, 0    x,   Tương tự:  0, y    0  0, y    0, y    0, y    0, y   -28- Mơđun Vậy   x.0, y      x, 0. y  k  0:    x, 0     x, y   y      x, y     x,  y      x,  y     x, y 1  0, y      x  x , y     x, y    x, y      x, y     x, y  2 Từ (1)&(2) suy   x,  y     x, y    xk , y     x k  ,  y  =  x, k  y     x, ky  Vậy trường hợp  song tuyến tính. Bài 2.17:xét nhóm cộng số ngun  nhóm 2 gồm số chẵn. Khi đó, đồng cấu bao hàm j: j : 2   đơn cấu. Gọi A nhóm cyclic cấp 2, với phần tử sinh a, tức A  a  . Chứng minh rằng: 2  A nhóm cyclic cấp hai vói phần tử sinh  a , nhiên tích tenxơ j 1A đồng cấu khơng đơn cấu.  Ta chứng minh 2  A   a  Ta có A nhóm cyclic cấp A  a  Với k   , Ta có 2  A  2k  a  Mà 2k  a   a k lẽ 2k  a  k chẳn. Vậy 2  A   a  , suy 2  A nhóm cyclic  Ta chứng minh 2  A nhóm cyclic cấp Ta có: 2  a    2a  Vậy 2  A nhóm cyclic cấp  Ta chứng minh j  1A khơng đơn cấu: j 1A : 2  A    A -29- Mơđun Với phần tử sinh  a ta j  1A (2  a )  j 2  1A a  = 2a =1  2a=0 Vậy j  1A khơng đơn cấu. Bài 2.18: Cho A hạng tử trực tiếp R- mơđun phải X, B hạng tử trực tiếp R- mơđun trái Y i: A  X , j : B  Y phép nhúng. Chứng minh rằng: i  j : A  B  X  Y phép nhúng. i: A  X phép nhúng j : B  Y phép nhúng i  j : A B  X Y  Ta chứng minh i  j đồng Thật vậy, a  b  A  B Ta có: i  j a  b  i a   j b   a  b Vậy i  j đồng A  B (1)  Ta chứng minh i  j đơn cấu Với A '  X , A hạng tử trực tiếp R- mơ đun phải X nên X  A  A ' Với B '  Y , B hạng tử trực tiếp R- mơ đun trái Y nên Y  B  B ' X  Y   A  A '   B  B ' Đặt C :  A  B   A  B '   A ' B    A ' B ' Theo định lý tổng trực tiếp tích ten xơ tồn đẳng cấu g từ C vào X  Y Gọi  phép nhúng từ A  B vào C Xét dãy đồng cấu sau:  g A  B   C   X Y Suy g đơn cấu. Xét phần tử sinh , a  b  A  B , ta có: -30- Mơđun g   a  b   g  a  b =g a  b, 0, 0, 0 = a,0  b, 0 = i a   j b  = i  j a  b  Vậy g i  j đồng hệ sinh Suy g i  j đồng A  B Mặt khác g đơn cấu  i  j đơn cấu (2) Từ (1)&(2) suy i  j phép nhúng. Bài 2.19: Chứng minh tích tenxơ hai đẳng cấu đẳng cấu. Giải Giả sử f : A  A' hai đẳng cấu. Ta chứng minh f  g đẳng cấu. g : B  B' Ta có f , g đẳng cấu  f , g tồn cấu. Theo định lí tích ten xơ, ta f  g tồn cấu.(1) Ta cần chứng minh f  g đơn cấu. Thật vậy, Vậy f  g đơn cấu(2) Từ (1)&(2) suy f  g đẳng cấu. Bài 2.20: Chứng minh tổng trực tiếp mơđun dẹt mơđun dẹt ngược lại tổng trực tiếp mơđun dẹt thành phần dẹt. Giải  Giả sử  Ai iI họ mơ đun dẹt. Ta cần chứng minh  Ai mơ đun dẹt. f g Xét dãy khớp ngắn:   X   Y  0 Ta cần chứng minh dãy: f g  Ai  Ai   Ai  X   Ai  Y   Ai  Z   dãy khớp. -31- Mơđun Nhưng theo định nghĩa mơ đun dẹt định lý tính khớp tích ten xơ ta chứng minh 1 A  f đơn cấu. i Do Ai mơ đun dẹt nên ta dãy f g Ai Ai   Ai  X   Ai  Y   Ai  Z  0 i  I ,1Ai  f đơn cấu. Gọi  đẳng cấu từ   Ai  Y  vào  Ai  Y ji phép nhúng từ  Ai  Y vào   Ai  Y  . Với i  I , xét dãy đồng cấu f ji  Ai Ai  X   Ai  Y     Ai  Y     Ai  Y Đặt hi :  ji 1A  f . Ta đươc hi đơn cấu. i -32- dãy khớp với Mơđun Xét họ đơn cấu hi : Ai  X   Ai  Y , i  I  Gọi ii : Ai  X    Ai  X  phép nhúng. Do tính phổ dụng tổng trực tiếp tồn  :   Ai  X     Ai  Y  ii Ai  X     Ai  X   hi   Ai  Y   Ta chứng minh  đơn cấu: x  ker , x    xi  i I      x     xi   iI    =   ii  xi   iI  =  i  x    h  x  i i i i I i i I Suy hi  xi   Do hi đơn cấu  xi  0, i  I  x  . Vậy  đơn cấu Hơn nữa, x    Ai  X  , x   at  xk      at  xk     ii at  xk   iI  =  i  a  x  i t k iI =  h a  x  i t k iI =   ji 1Ai  f at  xk  i I =   ji at  f  xk  i I =  at  f  xk  = a t  f  xk  =1 Ai  f at  xk  Suy   1 A  f nên 1 A  f đơn cấu. Vậy  Ai mơ đun dẹt  Giả sử  Ai mơ đun dẹt, nghĩa có dãy khớp ngắn: i i f g   X   Y   Z  0 1 Ai  f 1 Ai  g Ta có dãy   Ai  X    Ai  Y   Ai  Z   dãy khớp 1 Ai  f đơn cấu. Gọi ji phép nhúng từ Ai vào  Ai i phép chiếu từ  Ai vào Ai -33- Mơđun Ta ji 1X đơn cấu ker i  1Y   ai  y : i  1Y ai  y   0  =  ai  y : i    y  0  =  ai  y :  keri  y  0  Xét dãy đồng cấu sau: f ji 1X i 1Y  Ai Ai  X   Ai  X   Ai  Y   Ai  Y Đặt h : i  1Y .1Ai  f .1Ai  1X . Ta chứng minh h đơn cấu x :    xk   ker h h  x  i  1Y .1Ai  f . ji  1X   xk   i  1Y .1 Ai  f . ji ai   xk  =i  1Y  ji    f  xk  =  i  1Y  ji ai   f  xk  Theo tính chất ker i  1Y  ta ji ai   ker i f  xk   Do ji , f đơn cấu nên  xk  Suy x :   xk  Vậy h đơn cấu. Mặt khác x : at  xk  Ai  X h  x  h at  xk  =i  1Y1 Ai  f . ji  1x at  xk  = i  1Y1 Ai  f  ji ( at )  xk  = i  1Y  ji ( at )  f  xk  = a t  f  xk  =1Ai at   f  xk  =1Ai  f at  xk  =1Ai  f  x Vậy h  1A  f Suy 1A  f đơn cấu i i Vậy  Ai iI mơ đun dẹt. Bài 2.21: Chứng minh mơđun tự mơđun dẹt. Giải Giả sử F mơ đun tự do, I tập số ta có F  Ri Ri  R, i  I Theo định lý 6(tr102 sgk) ta có R mơ đun dẹt nên theo 2.20 ta F mơ đun dẹt. -34- Mơđun Vậy mơ đun tự mơ đun dẹt. Bài 2.22: Chứng minh mơđun xạ ảnh mơđun dẹt, nhiên có mơđun dẹt mà khơng mơđun xạ ảnh, chẳng hạn nhóm số hửu tỉ  Giải  Gọi P mơ đun xạ ảnh. Suy P đẳng cấu vói hạng tử trực tiếp mơ đun tự X  P  A, X  A  B Vì X mơ đun tự  X mơ đun dẹt ( theo 2.21).  A mơ đun dẹt (theo 2.20)  P mơ đun dẹt.  khơng đúng. Phản ví dụ: Nhóm ,  mơ đun dẹt khơng mơ đun xạ ảnh.  khơng mơ đun xạ ảnh , xem Z- mơ đun  Ta có  mơ đun  khơng mơ đun tự (bt 2.17) Mà  vành chính. Vậy  khơng mơ đun xạ ảnh. Bài tập Tổng mơđun xạ ảnh mơđun xạ ảnh. Chứng minh. Giả sử ( Ai )I họ mơđun xạ ảnh mơđun X. Ta chứng minh A i mơđun xạ ảnh. Ta biết rằng: I A i I  { :  Ai , i  I (ai )I có giá hữu hạn} I với t  I , jt : At   Ai , jt (at )  at , at  At phép nhúng. I -35- Mơđun Để chứng minh A mơđun xạ ảnh ta chứng minh: với tồn cấu i I g : A  B đồng cấu f :  Ai  B , tồn đồng cấu  :  Ai  A I I cho g  f . Với t  I , xét biểu đồ sau: At  jt t A i I  f  A   B g Do Ai mơđun xạ ảnh nên có đồng cấu  t : At  A cho g  fjt . Xét tương ứng  :  Ai  A I  a i  ( )    i (ai ) I (tổng I I  (a ) có nghĩa  a i i i I tổng hữu hạn) I Khi  ánh xạ. Thật vậy, x   , y   ai'   Ai giả sử x = y I I I ' i x  y    (ai  a )    ( x  y )   [ (ai  ai' )]  I I ' i ' i    (  a )    [ (ai )   (a )]     (ai )    ( ai' ) I I I I  ( x)   (y) . Hơn nữa,  i đồng cấu nên  đồng cấu. Cuối ta phải chứng minh g  f . Với x     Ai  x   ji (ai ) , ta có: I I I g ( x )  g[ i (ai )]   g[i (ai )]   gi (ai ) I I I   fji (ai )  f [ ji (ai )] (do I I  f ( x)  g  f -36- a i I tổng hữu hạn) Mơđun DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đại số đồng điều Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun NXB ĐHQG TPHCM 2. Bài tập đại số đồng điều Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun NXB ĐHQG TPHCM 3. Giáo trình Đại số Ngơ Trúc Lanh NXB QG Hà Nội -37- [...]... mơ đun dẹt Bài 2.21: Chứng minh rằng mọi m đun tự do đều là m đun dẹt Giải Giả sử F là mơ đun tự do, I là tập chỉ số khi đó ta có F  Ri trong đó Ri  R, i  I Theo định lý 6(tr102 sgk) ta có R là mơ đun dẹt nên theo bài 2.20 ta được F là mơ đun dẹt -34- M đun Vậy mỗi mơ đun tự do đều là mơ đun dẹt Bài 2.22: Chứng minh rằng mỗi m đun xạ ảnh là m đun dẹt, tuy nhiên có những m đun dẹt mà khơng là m đun. ..  Gọi P là mơ đun xạ ảnh Suy ra P đẳng cấu vói hạng tử trực tiếp của mơ đun tự do X  P  A, X  A  B Vì X là mơ đun tự do  X là mơ đun dẹt ( theo bài 2.21)  A là mơ đun dẹt (theo bài 2.20)  P là mơ đun dẹt  là khơng đúng Phản ví dụ: Nhóm ,  là mơ đun dẹt nhưng khơng là mơ đun xạ ảnh  khơng là mơ đun xạ ảnh vì , được xem là Z- mơ đun  Ta có  mơ đun  khơng là mơ đun tự do (bt 2.17)... đẳng cấu, ta có  là đẳng cấu, hơn nữa do X là mơ đun tự do nên Y cũng là mơ đun tự do Áp dụng bài tập 1.27 ta nhận được Y là mơ đun khơng xoắn Bởi P là mơ đun con của Y nên theo bài tập 1.4 thì P là mơ đun khơng xoắn Chiều ngược lại khơng hồn tồn đúng Xét Q là Z_mơ đun khơng xoắn nhưng khơng là mơ đun tự do, mặt khác Z là vành chính nên khơng xạ ảnh Bài 2.6 Chứng minh rằng mỗi dãy khớp ngắn các đồng... vành chính Vậy  khơng là mơ đun xạ ảnh Bài tập Tổng của các m đun xạ ảnh là m đun xạ ảnh Chứng minh Giả sử ( Ai )I là họ các m đun con xạ ảnh của m đun X Ta sẽ chứng minh A i là m đun xạ ảnh Ta biết rằng: I A i I  { ai : ai  Ai , i  I và (ai )I có giá hữu hạn} I và với mỗi t  I , jt : At   Ai , jt (at )  at , at  At là phép nhúng I -35- M đun Để chứng minh A là m đun xạ ảnh ta sẽ chứng minh:... A f  g B (2.4) -18- C M đun Trong biểu đồ trên, ta có g  = 0 và dòng là khớp Áp dụng bài tập 2.3, tồn tại đồng cấu : P  A sao cho f  =  =  h Đồng cấu  chính là đồng cấu cần tìm Bài 2.5 Chứng minh rằng mơ đun xạ ảnh trên miền ngun là mơ đun khơng xoắn Điều ngược lại: mỗi mơ đun khơng xoắn trên miền ngun có phải là mơ đun xạ ảnh khơng? Giải Do P xạ ảnh nên tồn tại mơ đun tự do X = A  B, trong... do đó X là mơ đun khơng xoắn iI Điều ngược lại khơng hồn tồn đúng Xét nhóm cộng  như là  -mơ đun, khi đó  là mơ đun khơng xoắn nhưng khơng là mơ đun tự do Bài 2.1 Cho các họ mơ đun {Xi}i I và {Yj}j J Hãy chứng minh tồn tại đẳng cấu các   nhóm aben: Hom   X i ,  Y j    Hom  X i , Y j  I   J IxJ Giải Trước hết ta chứng minh 2 bổ đề sau: - Bổ đề 1: Cho mơ đun Y và họ mơ đun {Xi}i I,... Ker  Im  Suy ra Im   Ker hay dãy đã cho là khớp Bài 1.25 Chứng minh rằng mơ đun con A của mơ đun con X là hạng tử trực tiếp của X nếu mơ đun thương X/A là mơ đun tự do Giải Mơ đun con A của mơ đun X là hạng tử trực tiếp của X  dãy khớp chẻ ra 0 A i X p X/A 0 (1.25)  tồn cấu p: X  X/A có nghịch đảo phải  : X/A  X Tuy nhiên vì X/A là mơ đun tự do với cơ sở S = {yi + A : i  I} nên đồng cấu... đảo phải của p Bài 1.26 Cho X, Y là các mơ đun trên vành chính, hơn nữa Y là mơ đun tự do Chứng minh rằng: X  Kerf  Imf, với mọi đồng cấu f : X  Y Giải Ta có Imf là mơ đun con của Y mà Y lại là mơ đun tự do trên vành chính nên Imf là mơ đun tự do Mặt khác X/Kerf  Imf do đó X/Kerf cũng là mơ đun tự do Suy ra Kerf là hạng tử trực tiếp của X Vì vậy dãy khớp ngắn sau chẻ ra: -15- M đun Kerf i 0  X... đẳng cấu Bài 2.20: Chứng minh rằng tổng trực tiếp các m đun dẹt là m đun dẹt và ngược lại nếu tổng trực tiếp các m đun dẹt thì mỗi thành phần đều là dẹt Giải  Giả sử  Ai iI là họ các mơ đun dẹt Ta cần chứng minh  Ai là mơ đun dẹt f g Xét dãy khớp ngắn: 0  X  Y  0    Ta cần chứng minh dãy: 1 f 1 g  Ai  Ai 0  Ai  X    Ai  Y   Ai  Z  0 là dãy khớp  -31- M đun Nhưng... (2) (1)(2)  Im 2  ker2 Vậy cột (2) là khớp Bài 2.12:Chứng minh rằng m đun J là nội xạ khi và chỉ khi, với mọi tồn cấu f : A  J và mọi đơn cấu j : A  P trong đó P là m đun xạ ảnh, tồn tại đồng cấu   f : P  J sao cho fj  f -26- M đun  J là m đun nội xạ nên theo định nghĩa của mơ đun nội xạ ta nhận được kết quả  Ta cần chứng minh J là mơ đun nội xạ  dãy khớp 0  J  B  C  0 là chẻ  . hơn nữa do X là mô đun tự do nên Y cũng là mô đun tự do. Áp dụng bài tập 1.27 ta nhận được Y là mô đun không xoắn. Bởi P là mô đun con của Y nên theo bài tập 1.4 thì P là mô đun không xoắn. . gọi là m đun xoắn. Chứng minh: a. ( ) X  là m đun con của X b. Mọi m đun con của m đun xoắn trên R đều là mô đun xoắn trên R. c. Mọi m đun con của m đun không xoắn trên R cũng là m đun không. đã cho là khớp Bài 1 . 25 Chứng minh rằng mô đun con A của mô đun con X là hạng tử trực tiếp của X nếu mô đun thương X/A là mô đun tự do. Giải Mô đun con A của mô đun X là hạng tử