Tài liệu Bài tập môn cơ sở đại số ppt

Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 1 BÀI TẬP MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ DÀNH CHO CAO HỌC TOÁN 16 Ngày 16 tháng 1 năm 2008 Câu 1. Cho f : M −→ N là đồng cấu R-môđun. a) Chứng minh rằng S là một hệ sinh của M thì đồng cấu f được xác định bởi giá trị của f trên S. b) Tìm ví dụ chứng tỏ nếu S không phải là hệ sinh của M thì có ánh xạ g : S −→ N không thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vào N. c) Chứng minh rằng nếu S là một cơ sở của M thì mỗi ánh xạ h : S −→ N đều có thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vàN. Câu 2. R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu mọi môđun con của M đều là một hạng tử trực tiếp. Cho M là một R-môđun khác 0. Chứng minh các phát biểu sau là tương đương: a) M là nửa đơn. b) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn của M. c) M là tổng các môđun con đơn của M. Câu 3. Chứng minh rằng mọi môđun tự do X trên miền nguyên R là không xoắn (tức là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0). Nếu X là R-môđun không xoắn với R là một miền nguyên thì có thể kết luận được X là R-môđun tự do không? Câu 4. Cho M là R-môđun tự do, R là miền nguyên chính. Chứng minh mọi môđun con của M đều là R-môđun tự do. Câu 5. Cho biểu đồ: Y β  X α // A α  // β   X  // 0 Y   0 trong đó các dòng và cột đều khớp. Chứng minh β  α là toàn cấu khi và chỉ khi α  β toàn cấu. Câu 6. Cho X 1 , X 2 là các môđun con của X. Chứng minh dãy sau là khớp: 0 −→ X 2 /(X 1 ∩ X 2 ) ϕ −→ X/X 1 ψ −→ X/(X 1 + X 2 ) −→ 0 L A T E X - http://esnips.com/web/chyputy Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 2 với ϕ(x + X 1 ∩ X 2 ) = x + X 1 và ψ(x + X 1 ) = x + (X 1 + X 2 ) . Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Chứng minh: a) U ⊗ K V là không gian vectơ trên trường K. b) dim(U ⊗ K V ) = dim K U . dim K V . Câu 8. Cho I, J là các iđêan của vành R. Chứng minh các đẳng cấu R-môđun sau: a) (R/I) ⊗ R M ∼ = M/(IM). b) (R/I) ⊗ R (R/J) ∼ = R/(I + J). Câu 9. Cho A là R-môđun. Chứng minh nếu đồng cấu λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A) f ⊗ c −→ λ(f ⊗ c) (λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A a −→ f(a) ⊗ c) là toàn cấu thì A hữu hạn sinh. Câu 10. Cho R là vành chia được, M là R-môđun. Đặt D = Hom R (M, M). Chứng minh: a)M là một D-môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: r.m = r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M. b)Tồn tại đẳng cấu vành từ R vào Hom D (M, M). Câu 11. Chứng minh mọi dãy khớp ngắn 0 // A // B // C // 0 các R-môđun đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán: 0  0  0  0 // U //  V //  W //  0 0 // X //  Y //  Z //  0 0 // A //  B //  C //  0 0 0 0 L A T E X - http://esnips.com/web/chyputy Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 3 trong đó các dòng và cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra, X, Y, Z là các môđun xạ ảnh, các dãy khớp ngắn 0 // U // X // A // 0 0 // W // Z // C // 0 có thể cho trước tùy ý. Câu 12. Chứng minh rằng mọi môđun xạ ảnh X trên miền nguyên R là không xoắn. —Hết— L A T E X - http://esnips.com/web/chyputy . Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 1 BÀI TẬP MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ DÀNH CHO CAO HỌC TOÁN 16 Ngày 16 tháng 1 năm 2008 Câu 1. Cho f. thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vào N. c) Chứng minh rằng nếu S là một cơ sở của M thì mỗi ánh xạ h : S −→ N đều có thể mở rộng thành đồng cấu môđun