Tài liệu ĐÊ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010 MÔN ĐẠI SỐ pptx

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010 M¤N: §¹I Sè (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1. Tính định thức của ma trận: 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x +     +     +   +   Trong đó 1 2 3 4 x ,x ,x ,x là các nghiệm của đa thức 4 2 6 1 f(x) x x = − + Câu2. Cho 2 ma trận A,B sao cho 5 11 11 25 AB   =     , 14 14 x BA y   =     . Hãy tìm x,y và A,B. Câu 3. Cho ma trận 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A     = −     −   Tim giá trị riêng của ma trận 5 A . Câu 4. Cho a, b R ∈ .Tìm các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện xP(x a) (x b)P(x) x R − = − ∀ ∈ Câu 5. Cho B là ma trận thực ,vuông cấp n có hạng bằng 1 .Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số thực k sao cho 2 B kB = . Câu 6. Cho A là ma trận cấp nx(n+1).A’ là ma trận chuyển vị của A.B là ma trận phụ hợp của ma trận A’A và 0 B ≠ .Xác định hạng của ma trận B. Câu 7. Cho A là ma trận vuông cấp n có r(A) = k.Tìm r(A*). Câu 8. Tìm ma trận vuông X cấp n sao cho AX = XA A ∀ vuông cấp n. ________________________________________ Chú ý: Sinh viên không được dùng tài liệu Cõu 1 . Cho { n a } l dóy s xỏc nh bi 0 1 a > v 1 1 n n n n a a ,n a + = + . Chng minh rng dóy n a n hi t v tỡm gii hn ca nú. Cõu 2.Cho cỏc hm f,g khụng l hm hng trờn khong (a,b), 0 f(x) g(x) + v f(x).g(x) f (x)g(x) = 0 x (a,b) .Chng minh rng 0 g(x) x (a,b) v f(x) g(x) l hng s trờn (a,b). Cõu 3 . Cho hm f(x) liờn tc trờn [0,a] ,kh vi trờn (0,a) sao cho f(a) = 0.Chng minh rng tn ti 0 c ( ,a) 1 cf '(c) f(c)(c ) = . Cõu 4 . Gi s f(x) l hm s cú o hm cp 2 liờn tc trờn R v tho món iu kin f(0) = f(1) = a .Chng minh rng x [0,1] max{f''(x)} 8(a-b) vi b = x [0,1] min {f(x)} Cõu 5 . Cho f : R R l hm liờn tc v 1 0 0 tf(t)dt = .Chng minh rng tn ti 0 1 c ( , ) sao cho 1 0 2010 cf(c) f(t)dt = Cõu 6 . Tỡm tt c cỏc hm s f : R R tho món f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) xy x, y R Thớ sinh khụng c s dng ti liu Bộ Giáo dục và Đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trờng ĐH Kinh tế quốc dân Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ========= ========== Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010 Môn : Giải tích (Thời gian làm bài: 120 phút) Cõu 1 . Tớnh gii hn 3 2 1 6 11 5 3 n n k k k k lim (k )! + = + + + + Cõu 2. Tớnh gii hn 2 0 1 n n n x A lim dx x + + + = + . Cõu 3. Cho hm s f(x) kh vi trờn [a,b] v tho món iu kin 0 2 2 [f(x)] [f'(x)] , x [a,b] + > Chng minh rng s cỏc nghim ca phng trỡnh f(x) = 0 trờn [a,b] l hu hn Cõu 4. Xột phng trỡnh 2 2 1 1 1 1 1 0 2 1 4 x x x x k x n + + + + + + = n nguyờn dng.Chng minh rng vi mi n thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht trong (0,1) ;kớ hiu nghim ú l n x .Chng minh dóy s ( n x ) cú gii hn hu hn . Cõu 5. Cho a,b l cỏc s thc 0 <a < b ; f :[a,b] R l hm liờn tc trờn [a,b] ,kh vi trờn (a,b).Chng minh rng tn ti c (a, b) sao cho 1 b a cf(c) f(t)dt ln b ln a = Cõu 6 . Tỡm t t c cỏc hm s n i u f : R R tho món f(x f(y)) f(x) y + = + x, y R Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Bộ Giáo dục và Đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trờng ĐH Kinh tế quốc dân Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ========= ========== Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010 Môn : Giải tích (Thời gian làm bài: 120 phút) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010 M¤N: §¹I Sè (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1. Cho ma trận: 2 2 4 A 2 2 0 1 0 2 −     = −     −   Tính ma trận: 2 2009 E A A A + + + + ⋯ Câu2. Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn A A ′ = − . Chứng minh rằng ( ) 2 det E xA + là một số không âm với mọi số thực x. Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn: Vết ( ) AA BB ′ ′ + = Vết ( ) AB A B ′ ′ + Chứng minh rằng A B ′ = . Câu 4. Cho 1 2 n x , x , , x … là các số thực bất kỳ, tính định thức cấp n sau: 2 3 n 1 1 1 2 3 n 2 2 2 2 3 n n n n 1 x x x 1 x x x 1 x x x ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Câu 5. Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất cả các phần tử trên mỗi dòng đều không vượt quá số k dương cho trước. Chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng thực của ma trận A (nếu có) đều nhỏ hơn k. Câu 6. Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho B A 0 ′ = , chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) r A B r A r B + = + ________________________________________ Chú ý: Sinh viên không được dùng tài liệu . Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010 Môn : Giải tích (Thời gian làm bài: 120 phút) ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN. Tự do - Hạnh phúc ========= ========== Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010 Môn : Giải tích (Thời gian làm bài: 120 phút)