ĐỀ THICHỌNĐỘITUYỂN OLYMPIC
TOÁN HỌC SINHVIÊNNĂM2010
M¤N: §¹I Sè
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1.
Tính định thức của ma trận:
1
2
3
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
x
x
+
+
+
+
Trong đó
1 2 3 4
x ,x ,x ,x
là các nghiệm của đa thức
4 2
6 1
f(x) x x
= − +
Câu2.
Cho 2 ma trận A,B sao cho
5 11
11 25
AB
=
,
14
14
x
BA
y
=
.
Hãy tìm x,y và A,B.
Câu 3.
Cho ma trận
3 2 0
2 4 2
0 2 5
A
= −
−
Tim giá trị riêng của ma trận
5
A
.
Câu 4.
Cho
a, b R
∈
.Tìm các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
xP(x a) (x b)P(x) x R
− = − ∀ ∈
Câu 5.
Cho B là ma trận thực ,vuông cấp n có hạng bằng 1 .Chứng minh rằng tồn tại duy
nhất số thực k sao cho
2
B kB
=
.
Câu 6.
Cho A là ma trận cấp nx(n+1).A’ là ma trận chuyển vị của A.B là ma trận phụ hợp
của ma trận A’A và
0
B
≠
.Xác định hạng của ma trận B.
Câu 7. Cho A là ma trận vuông cấp n có r(A) = k.Tìm r(A*).
Câu 8. Tìm ma trận vuông X cấp n sao cho AX = XA
A
∀
vuông cấp n.
________________________________________
Chú ý:
Sinh viên không được dùng tài liệu
Cõu 1
. Cho {
n
a
} l dóy s xỏc nh bi
0
1
a
>
v
1
1
n n
n
n
a a ,n
a
+
= +
.
Chng minh rng dóy
n
a
n
hi t v tỡm gii hn ca nú.
Cõu 2.Cho cỏc hm f,g khụng l hm hng trờn khong (a,b),
0
f(x) g(x)
+
v f(x).g(x) f (x)g(x) = 0
x (a,b)
.Chng minh rng
0
g(x) x (a,b)
v
f(x)
g(x)
l hng s trờn (a,b).
Cõu 3
. Cho hm f(x) liờn tc trờn [0,a] ,kh vi trờn (0,a) sao cho f(a) = 0.Chng minh rng tn ti
0
c ( ,a)
1
cf '(c) f(c)(c )
=
.
Cõu 4
. Gi s f(x) l hm s cú o hm cp 2 liờn tc trờn R v tho món iu kin
f(0) = f(1) = a .Chng minh rng
x [0,1]
max{f''(x)} 8(a-b)
vi b =
x [0,1]
min {f(x)}
Cõu 5
. Cho f :
R R
l hm liờn tc v
1
0
0
tf(t)dt
=
.Chng minh rng tn ti
0 1
c ( , )
sao cho
1
0
2010
cf(c) f(t)dt
=
Cõu 6
. Tỡm tt c cỏc hm s f :
R R
tho món
f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) xy
x, y R
Thớ sinh khụng c s dng ti liu
Bộ Giáo dục và Đào tạo
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Trờng ĐH Kinh tế quốc dân
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
========= ==========
Đề thichọnđộituyển olympic toán học sinhviênnăm2010
Môn : Giải tích
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Cõu 1
. Tớnh gii hn
3 2
1
6 11 5
3
n
n
k
k k k
lim
(k )!
+
=
+ + +
+
Cõu 2. Tớnh gii hn
2
0
1
n
n
n
x
A lim dx
x
+
+
+
=
+
.
Cõu 3. Cho hm s f(x) kh vi trờn [a,b] v tho món iu kin
0
2 2
[f(x)] [f'(x)] , x [a,b]
+ >
Chng minh rng s cỏc nghim ca phng trỡnh f(x) = 0 trờn [a,b] l hu hn
Cõu 4. Xột phng trỡnh
2 2
1 1 1 1 1
0
2 1 4
x x x x k x n
+ + + + + + =
n nguyờn dng.Chng minh rng vi mi n thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht trong (0,1) ;kớ
hiu nghim ú l
n
x
.Chng minh dóy s (
n
x
) cú gii hn hu hn .
Cõu 5. Cho a,b l cỏc s thc 0 <a < b ;
f :[a,b] R
l hm liờn tc trờn [a,b] ,kh vi trờn
(a,b).Chng minh rng tn ti
c (a, b)
sao cho
1
b
a
cf(c) f(t)dt
ln b ln a
=
Cõu 6
. Tỡm t
t c
cỏc hm s
n
i
u f :
R R
tho
món
f(x f(y)) f(x) y
+ = +
x, y R
Thớ sinh khụng
c s
d
ng ti li
u
Bộ Giáo dục và Đào tạo
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Trờng ĐH Kinh tế quốc dân
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
========= ==========
Đề thichọnđộituyển olympic toán học sinhviênnăm2010
Môn : Giải tích
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ THICHỌNĐỘITUYỂN OLYMPIC
TOÁN HỌC SINHVIÊNNĂM2010
M¤N: §¹I Sè
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1.
Cho ma trận:
2 2 4
A 2 2 0
1 0 2
−
= −
−
Tính ma trận:
2 2009
E A A A
+ + + +
⋯
Câu2.
Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn
A A
′
= −
. Chứng minh rằng
(
)
2
det E xA
+
là một số không âm với mọi số thực x.
Câu 3.
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn:
Vết
(
)
AA BB
′ ′
+
= Vết
(
)
AB A B
′ ′
+
Chứng minh rằng
A B
′
=
.
Câu 4.
Cho
1 2 n
x , x , , x
…
là các số thực bất kỳ, tính định thức cấp n sau:
2 3 n
1 1 1
2 3 n
2 2 2
2 3 n
n n n
1 x x x
1 x x x
1 x x x
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
Câu 5.
Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất
cả các phần tử trên mỗi dòng đều không vượt quá số k dương cho trước. Chứng minh rằng
tất cả các giá trị riêng thực của ma trận A (nếu có) đều nhỏ hơn k.
Câu 6.
Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho
B A 0
′
=
, chứng minh rằng:
(
)
(
)
(
)
r A B r A r B
+ = +
________________________________________
Chú ý:
Sinh viên không được dùng tài liệu
.
Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010
Môn : Giải tích
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC
TOÁN. Tự do - Hạnh phúc
========= ==========
Đề thi chọn đội tuyển olympic toán học sinh viên năm 2010
Môn : Giải tích
(Thời gian làm bài: 120 phút)