Lý thuyết sơ cấp của các số

       TÁC GIẢ: W. SIERPINSKI Biên tập: A. Schinzel Khánh Nguyễn dịch từ bản in lần hai năm 1988 cuốn Elementary theory of numbers của Sierpinski. Bản thảo hoàn thành lần thứ nhất tháng 10/2012 tại Sài Gòn Chợ Lớn. In thử nghiệm 300 cuốn trên giấy thường theo bản chỉnh sửa tháng 12/2012. Ngoài ra có in thêm 30 bản trên giấy trắng. In xong tháng 1/2013. Bản dịch (mang mã số 001) thuộc chương trình xây dựng tủ sách toán học trẻ thế kỷ 21 chủ trương bởi {K @ } và do dịch giả nắm bản quyền LƯU HÀNH NỘI BỘ 001 TỦ SÁCH TOÁN HỌC TRẺ THẾ KỶ 21        TÁC GIẢ: W. SIERPINSKI Biên tập: A. Schinzel Khánh Nguyễn dịch từ bản in lần hai năm 1988 cuốn Elementary theory of numbers của Sierpinski. Bản thảo hoàn thành lần thứ nhất tháng 10/2012 tại Sài Gòn Chợ Lớn. In thử nghiệm 300 cuốn trên giấy thường theo bản chỉnh sửa tháng 12/2012. Ngoài ra có in thêm 30 bản trên giấy trắng. In xong tháng 1/2013. Bản dịch (mang mã số 001) thuộc chương trình xây dựng tủ sách toán học trẻ thế kỷ 21 chủ trương bởi {K @ } và do dịch giả nắm bản quyền LƯU HÀNH NỘI BỘ 001 TỦ SÁCH TOÁN HỌC TRẺ THẾ KỶ 21 Lý thuyết sơ cấp của các số có lẽ là một trong những chủ đề tốt nhất để xây dựng những hiểu biết toán học đầu tiên. Nó yêu cầu rất ít các kiến thức mở đầu và các chủ đề của nó là rất quen thuộc và rõ ràng. Các lập luận được sử dụng cũng rất đơn giản và không quá nhiều. Hơn nữa nó là chủ đề duy nhất trong toán học được hình thành một cách tự nhiên bởi sự tò mò của con người. - G.H.Hardy LỜI GIỚI THIỆU CỦA TÁC GIẢ Waclaw Sierpinski Ngày nay các nhánh mới phát triển trong toán học thường được đặt tên theo những cách gọi truyền thống đã trở nên quen thuộc trước đó. Tuy nhiên những tên gọi như vậy nhiều khi không thực sự cho biết một cách chính xác sự phát triển cũng như các chủ đề mà nó đề cập tới. Điều này cũng xảy ra với lý thuyết của các số. Lý thuyết của các số (cùng với những sự liên hệ với các ngành khoa học khác của nó) là một lĩnh vực chứa đựng những chủ đề và phương pháp có vị trí đặc biệt trong rất nhiều nhánh toán học khác nhau. Tên gọi Lý thuyết của các số phù hợp với một lý thuyết đại cương nghiên cứu về các số và các dạng mở rộng của nó. Chẳng hạn bắt đầu từ số nguyên, ta có các số hữu tỷ, số thực và số phức. Từ các loại số khác nhau ta xây dựng những phép toán (các toán tử) trên các số đó. Tuy nhiên đây đúng ra là Số học cao cấp. Nguyên nhân là vì Lý thuyết của các số thường chỉ liên quan tới tính chất của các số nguyên trong khi Số học cao cấp sử dụng tới cả các lý thuyết đại số về các toán tử. Tất nhiên lý thuyết của các số sẽ không chỉ xoay quanh các số nguyên vì trên thực tế có rất nhiều tính chất của các số nguyên được phát hiện và chứng minh dựa trên sự tìm hiểu các số vô tỷ và các số phức. Hơn nữa đã có rất nhiều các định lý về các số nguyên có thể được chứng minh theo cách đơn giản nếu ta không chỉ sử dụng các số vô tỷ và các số phức mà còn sử dụng tới giải tích và lý thuyết về các hàm. Lý thuyết của các số với sự kết hợp với một số chủ đề của giải tích hình thành nên bộ môn Số học giải tích. Bộ môn này có sự khác biệt với Lý thuyết sơ cấp của các số ở điểm căn bản là nó sử dụng tới khái niệm giới hạn. Tuy vậy mặc dù chủ đề chính của cuốn sách này là Lý thuyết sơ cấp của các số nhưng vẫn sẽ có một số ứng dụng của Số học giải tích được xét tới. Cuốn sách được xây dựng dựa trên hai cuốn sách khác của tôi trong những năm 1914 và 1959 là 1. Teoria Liczb (Lý thuyết các số), Ấn bản lần thứ nhất, Warszawa 1914; ấn bản lần thứ hai, Warszawa 1925; ấn bản lần thứ ba, Warszawa-Wroclaw 1950 (544 trang) 2. Teoria Liczb, Phần II, Warszawa 1959 (487 trang). Để minh họa cho sự phát triển Lý thuyết của các số trong một thập kỷ vừa qua chỉ cần nhắc lại rằng số nguyên tố lớn nhất được tìm ra vào năm 1950 là số 127 21 (số này có 39 chữ số) trong khi ngày nay số nguyên tố lớn nhất đã tìm được là số 11213 21 (số này có 8376 chữ số). Vào năm 1950 ta mới chỉ biết 12 số hoàn hảo trong khi ngày nay ta đã tìm được 23 số như thế. Trong cuốn sách này tôi sẽ trình bày rất nhiều kết quả đặc biệt của Lý thuyết sơ cấp của các số đã được công bố trong những năm gần đây bởi các nhà toán học tới từ rất nhiều quốc gia khác nhau. Tiến sỹ A.Hulanicki là người đã dịch bản thảo cuốn sách sang tiếng Anh. Tiến sỹ A.Schinzel là người đã chuẩn bị phụ lục và thêm vào rất nhiều đề nghị và ghi chú liên quan tới các kết quả được công bố gần đây. Tiến sỹ A.Makowski là người đọc các chứng minh. Tôi đặc biệt cảm ơn các đồng nghiệp nói trên. Tôi cũng cảm ơn Biên tập viên L.Izertowa tới từ Nhà xuất bản khoa học Ba Lan, người đã chuẩn bị rất nhiều cho bản in của cuốn sách này. Ba Lan 1963 LỜI NÓI ĐẦU CỦA NGƯỜI BIÊN TẬP CHO BẢN IN LẦN THỨ HAI Andrzej Schinzel Trong quá trình biên tập cuốn sách “Elementary theory of numbers” của Sierpinski để chuẩn bị cho lần in thứ hai, tôi (Schinzel) đã giữ nguyên các chủ để và thứ tự trình bày mà tác giả đã lựa chọn. Trong khoảng 20 năm kể từ khi bản in lần đầu ra đời thì đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mới đã được thực hiện. Các công trình đó đã cho nhiều câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra trong bản in lần thứ nhất. Vì vậy tôi cho rằng nhiệm vụ của mình là bổ sung và hoàn chỉnh lại một số mục và làm đầy đủ hơn các trích dẫn, đồng thời sửa lại một số lỗi sai. Để thực hiện công việc này tôi đã nhận được sự hỗ trợ của các đồng nghiệp Jerzy Browkin và Andrzej Makowski. Tôi cảm ơn sự cộng tác của họ. Tôi cũng nhận được những gợi ý về những sự chỉnh sửa từ các nhà toán học khác là các Giáo sư John Brillhart, Eckford Cohen, Tiến sỹ Waldemar Gorzkowski, các Giáo sư Erich Michalup, M.V.Subbarao, Antoni Wakulicz và Giáo sư Gregory Wulczyn. Biên tập viên Krystyna Regulska tới từ Nhà xuất bản khoa học Ba Lan đã kiểm tra các yếu tố kĩ thuật của bản thảo, trong đó có bảng tra cứu danh sách các nhà toán học đã được trích dẫn. Ba Lan Tháng 2 năm 1985 LỜI GIỚI THIỆU CỦA NGƯỜI DỊCH Khánh Nguyễn Tôi còn nhớ những ngày học đầu tiên thời cấp 2 khi bắt đầu tìm hiểu về phương trình nghiệm nguyên thì một ai đó đã đố tôi cùng các bạn học giải phương trình n n n x y z với 2n  và nói rằng người nào giải được sẽ được coi là một nhà toán học thực thụ. Sự đơn giản của phương trình và danh hiệu nhà toán học thực thụ khiến chúng tôi cảm thấy vô cùng hào hứng. Chúng tôi trên thực tế đã sử dụng rất nhiều giấy nháp và nhiều buổi tính toán triền miên mà không dẫn tới kết quả. Sự hào hứng ban đầu đã nhanh chóng chuyển thành sự thất vọng nặng nề. Tình trạng này còn trở nên tệ hơn khi chúng tôi thậm chí còn không giải quyết được trường hợp riêng khi 3n  . Trong trường hợp đó dựa vào phân tích quen thuộc 3 3 2 2 3 ( )( )x y x y x xy y z      có thể suy ra mỗi nhân tử trong biểu thức ở giữa đều là lũy thừa bậc ba với các điều kiện bổ sung và chúng tôi cảm giác mình đã có thể xây dựng được một nghiệm mới nhỏ hơn nghiệm ban đầu (nếu có) và cứ như thế. Tuy nhiên cuối cùng thì các tính toán chi tiết vẫn không được hoàn thiện. Sự thất vọng khiến chúng tôi chán nản và thậm chí còn không trở lại nghiên cứu gì thêm về phương trình Pythagoras 2 2 2 x y z vì coi rằng đây là một trường hợp tầm thường không cần xét tới. Mặt khác các tài liệu về toán những năm đó trong trường học là không đủ phong phú do đó chúng tôi có cảm giác mình giống như vẫn đang chơi với những bài toán đơn lẻ và không có gì đặc biệt. Chỉ tới khi lên cấp 3 thì tôi mới được tiếp cận với thư viện thực sự của một trường Đại học (tôi học lớp 10 tại khối chuyên Toán – Tin Đại học Khoa học tự nhiên và do đó được sử dụng gần như toàn bộ hệ thống thư viện của trường Đại học Quốc Gia Hà Nội). Sau khi tra cứu trong hộp phích thì tôi đã chọn một cuốn sách tương đối dày và có tựa đề tiếng Việt tương đối dễ hiểu là Lý thuyết sơ cấp của các số. Cũng cần nói thêm là tôi đã cố chọn cuốn sách có tựa đề đơn giản vì ngày đó tôi chưa đọc thạo sách toán bằng tiếng Anh. Tuy nhiên rất bất ngờ là một cuốn sách có tựa đề có vẻ sơ cấp như vậy lại có riêng một mục để nói về phương trình 3 3 3 x y z mà chúng tôi đã loay hoay hết cả thời cấp 2. Theo đó thì phương trình này là không có nghiệm nào ngoài các nghiệm tầm thường và cuốn sách thậm chí đã cho tới hai chứng minh cho kết quả đó. Trong đó một chứng minh dựa trên tính toán và biến đổi sơ cấp cùng với phương pháp xuống thang, chứng minh kia dựa trên các số nguyên phức. Sự hào hứng những ngày cấp 2 đã thực sự trở lại vì hai chứng minh này rất gần gũi với những ý tưởng ban đầu mà chúng tôi đã cố gắng phát triển nhưng không đem lại kết quả. Tất nhiên ngay sau đó tôi đã nhận ra tuy ý tưởng ban đầu là giống nhau nhưng chúng tôi đã không có những phát triển mang tính quyết định. Khoảng cách giữa các tính toán không có kết quả và một chứng minh trọn vẹn trong trường hợp này nằm ở các ý niệm về các số nguyên phức, về các chuẩn của số nguyên phức, tính chia hết của số nguyên phức (những ý tưởng của Gauss) chứ không chỉ đơn thuần là một vài đẳng thức mang tính chất kỹ thuật nào đó. Một điểm thú vị là ngay sau đó thì tôi đã nhanh chóng bị cuốn hút bởi một vấn đề khác. Cuốn sách này thực sự là một tài liệu rất có giá trị với vô số các định lý, các kết quả, các chứng minh, trích dẫn các nhà toán học và mối liên kết giữa các bài toán. Từ việc đọc về các phương trình Diophante có dạng quen thuộc một cách có hệ thống tôi chuyển qua đọc về các số nguyên phức và nhanh chóng tiếp xúc với chứng minh luật tương hỗ bậc hai. Sau đó là các mở đầu về lý thuyết đồng dư và các định lý cùng chứng minh đẹp đẽ của Jacobi về tổng bốn bình phương. Nhưng ấn tượng nhất có lẽ là các nghiên cứu về sự xuất hiện các số nguyên tố trong một cấp số cộng cho trước. Các ước lượng về số lượng các số nguyên tố đặc biệt ấn tượng. Sự phong phú trong các định lý cùng với bảng danh sách dày đặc các nhà toán học được trích dẫn đã khiến tôi lần đầu tiên có cảm giác rằng toán học là rất rộng lớn, xuyên suốt và có ý nghĩa hơn một phương trình riêng rẽ rất nhiều. Sau này trong quá trình tiếp tục đọc và học lên tôi đã biết rằng phương trình n n n x y z và định lý cuối cùng của Fermat mãi tới vài năm sau (kể từ khi chúng tôi nhận được câu đố) mới được giải bởi Andrew Wiles. Chứng minh hoàn thiện được Wiles công bố năm 1995 và tại Đại hội Toán học thế giới 1998 thì Wiles đã được trao huy chương danh dự cho chứng minh đó (huy chương Fields giới hạn độ tuổi nhận giải là 40). Hơn nữa giá trị của việc giải phương trình này không thực sự nằm ở kết quả mà lại chính là những lý thuyết đẹp đẽ mà trong quá trình tìm lời giải cho nó các nhà toán học đã xây dựng nên. Đó là các lý thuyết về các dạng modular, lý thuyết về phương trình elliptic và các ngành khoa học hiện đại mà chúng tôi thời đó chưa hề nghe nói tới và cũng không thể hình dung nổi, chẳng hạn là hình học đại số số học. Tôi đã cho rằng cuốn sách này là một tài liệu tốt mà ngay cả các bạn học sinh cấp 2 cũng có thể bắt đầu đọc mà không cần một sự chuẩn bị nào trước về mặt kiến thức. Hơn nữa tinh thần cốt lõi trong các phép chứng minh cũng chính là dấu vết của sự đẹp đẽ của toán học mà các bạn nên tiếp xúc càng sớm càng tốt. Theo đó, sau một thời giạ chuẩn bị thì cuối cùng thì tôi đã dịch toàn bộ cuốn sách này sang tiếng Việt. Và đây là bản dịch cuốn sách đó. Tức là cuốn “Elementary theory of numbers” của nhà toán học Wacław Sierpinski (1882-1969). Cuốn sách này được in lần thứ nhất vào năm 1964 (nghĩa là vài năm trước khi tác giả qua đời) và được in lần thứ hai năm vào năm 1988 với sự biên tập của nhà toán học Andrzej Schinzel. Bản dịch này dựa trên bản in lần thứ hai. Theo tôi các bạn học sinh cấp 2 và cấp 3 sẽ có thể đọc toàn bộ cuốn sách này một cách tương đối thoải mái. Hơn nữa trong cuốn sách này thì ngoài sự phong phú về các kết quả thì các kiến thức sơ cấp về lý thuyết số cũng được trình bày đầy đủ với trình tự rất hiện đại. Do đó cũng có thể sử dụng cuốn sách như là một giáo trình nâng cao về số học dành cho các bạn học sinh khá giỏi. Chương trình bày về các phương trình Diophante là một chương tuyệt hay vì trong đó các phương pháp và ý tưởng được chứa đựng ngay trong các lời giải và các đề bài thì được sắp xếp theo trình tự có tính gắn kết rất cao. Tuy nhiên trong cuốn sách này lại không đề cập tới chứng minh của Matijasevich về việc không tồn tại phương pháp tổng quát để giải các phương trình Diophante tổng quát (bài toán Hilbert số 10). Điều này cũng dễ hiểu vì định lý này được trình bày năm 1970, nghĩa là một năm sau khi Sierpinski qua đời. Sierpinski được biết tới với những cống hiến xuất sắc trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là về tiên đề chọn và giả thuyết continuum. Cụ thể ông đã chứng minh được trong hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel thì từ giả thuyết continuum dạng mở rộng có thể suy ra tính đúng đắn của tiên đề chọn. Bên cạnh đó mặc dù Cantor là cha đẻ của lý thuyết tập hợp nhưng Sierpinski lại là người đầu tiên giảng dạy về lý thuyết tập hợp ở bậc đại học (1909). Ông đã công bố 724 bài báo và 50 cuốn sách. Có ba hình fractal được đặt theo tên ông là tam giác Sierpinski, thảm Sierpinski và đường cong Sierpinski. Đường cong Sierpinski có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết bài toán người đưa thư và là cơ sở xây dựng đường cong liên tục phủ kín hình vuông đơn vị. Sierpinski đã giảng dạy tại Lwów từ năm 1908 tới 1914. Lwów là nơi (sau đó vài năm) trường phái Banach nổi tiếng ra đời. Trường phái Banach ra đời năm 1920 là một trong một số trường phái quan trọng đối với việc phát triển và hoàn thiện giải tích hàm hiện đại vào năm 1932. Sài Gòn Tháng 12 năm 2012 [...]... ước số b của a là khác 0 và b cũng là ước số của a Vì vậy với mọi số nguyên a  0 thì các ước số b của a có thể sắp xếp thành các cặp  b, b  Do đó để tìm tất cả các ước số của một số nguyên ta chỉ cần tìm các ước số tự nhiên của số đó và bổ sung thêm các số đối của các số vừa tìm được Như vậy tập hợp các ước số và các bội số của một số là các tập hợp đối xứng Mặt khác việc tìm các ước số của. .. gọi là bội số chung của các số a1 , , an Một bội số như vậy là tích của tất cả các số a1 , a2 , , an Nếu ít nhất một trong các số đó bằng 0 thì 0 là bội số chung duy nhất của chúng Nếu tất cả các số ai  i  1, 2, , n  đều khác 0 thì tồn tại vô hạn các bội số chung của các số đó chẳng hạn các số nguyên có dạng k a1 a2 an , k là số nguyên Trong trường hợp này các số đó có bội số chung là số tự nhiên... Mọi ước số chung d của các số nguyên thuộc S đều là ước số của số tự nhiên a0 và do đó nó không lớn hơn a0 Từ đây suy ra số các ước số chung của các số nguyên thuộc S là hữu hạn và do đó trong các ước số chung đó tồn tại số lớn nhất Số này được gọi là ước số chung lớn nhất của các số nguyên thuộc S và ký hiệu là d S Rõ ràng d S là số tự nhiên Bây giờ ký hiệu d là ước số chung tùy ý của các số nguyên... giá trị tuyệt đối của x Vì trong mọi tập hợp các số tự nhiên đều tồn tại số nhỏ nhất nên trong các bội số chung tự nhiên của các số a1 , a2 , , an tồn tại số nhỏ nhất, số này được gọi là bội số chung nhỏ nhất của các số a1 , a2 , , an và được ký hiệu là  a1 , a2 , , an  Định lý 1 Mọi bội số chung của các số tự nhiên a1 , a2 , , an đều chia hết cho bội số chung nhỏ nhất của các số đó Chứng minh Sử... hợp các bội số của số nguyên đó là vô hạn Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên d thì d  a Vì vậy để tìm tất cả các ước số dương của số nguyên a thì ta chỉ cần chia a lần lượt cho các số tự nhiên 1, 2, , a và chọn ra các số mà thương số là số nguyên (phép chia không có dư) Do các phép tính toán theo cách này là hữu hạn nên về lý thuyết ta có một phương pháp để tìm tất cả các ước số của một số. .. ước số chung lớn nhất của các số tự nhiên tùy ý quy về các phép tính liên tiếp các ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên Định lý 10 Với các số tự nhiên n  2 và a1 , a2 , , an1 thì công thức (3) đúng Chứng minh Đặt N   a1 , a2 , , an  , an1  thì N là bội số chung của các số  a1 , a2 , , an  và an 1   Vì  a1 , a2 , , an  là bội số của các số a1 , a2 , , an nên N là bội số của các số. .. với p nguyên tố 273 274 274 277 281 CHƯƠNG 13 SỐ NGUYÊN PHỨC 1 Chuẩn của số nguyên phức Các số liên kết 2 Thuật toán Euclid và ước số chung lớn nhất của các số nguyên phức 3 Bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên phức 4 Các số nguyên tố phức 5 Phân tích của số nguyên phức thành các ước số nguyên tố phức 6 Số các số nguyên phức với chuẩn cho trước 7 Định lý Jacobi về tổng bốn bình phương 285 287 290... hạn các số nguyên tố trong cấp số cộng nk  1 Sự tồn tại căn nguyên thủy của số nguyên tố Thặng dư bậc n của một số nguyên tố theo modulo p Các tính chất và ứng dụng của hàm chỉ số 151 160 161 164 165 170 174 175 CHƯƠNG 7 BIỂU DIỄN HỆ CƠ SỐ TÙY Ý 1 2 3 4 5 6 Biểu diễn của số tự nhiên trong cơ số tùy ý Biểu diễn trong hệ cơ số âm Phân số vô hạn trong hệ cơ số cho trước Biểu diễn của các số hữu tỷ Số. .. tố trong một cấp số cộng cho trước Tam thức Euler x 2  x  41 Giả thuyết H Hàm số   x  76 78 79 80 82 84 10 Chứng minh định đề Bertrand (Định lý Tchebycheff) 11 Định lý H.F.Scherk 12 Định lý H.E.Richert 13 Giả thuyết về các số nguyên tố 14 Bất đẳng thức của hàm   x  85 91 93 94 96 20 Định lý số nguyên tố và các hệ quả 99 CHƯƠNG 4 SỐ CÁC ƯỚC SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG 1 Số các ước số 2 Các tổng d (1)... CỨU CÁC NHÀ TOÁN HỌC 323 TRA CỨU NHANH CÁC CHỦ ĐỀ 327 CHƯƠNG 1 TÍNH CHIA HẾT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẤT ĐỊNH BẬC MỘT 1 Tính chia hết Các số tự nhiên là các số 1, 2, Các số nguyên là các số tự nhiên, số 0 và các số âm 1, 2, 3, Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu tồn tại số nguyên c mà a  bc Khi đó ta viết b a và nói b là ước số của a , a là bội số của b Ta viết b | a nếu b không là ước số của . đúng ra là Số học cao cấp. Nguyên nhân là vì Lý thuyết của các số thường chỉ liên quan tới tính chất của các số nguyên trong khi Số học cao cấp sử dụng tới cả các lý thuyết đại số về các toán. 4 SỐ CÁC ƯỚC SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG 1. Số các ước số 101 2. Các tổng (1) (2) ( )d d d n   103 3. Các chuỗi với các hệ số 105 4. Tổng các ước số 106 5. Các số hoàn hảo 111 6. Các số. đối của các số vừa tìm được. Như vậy tập hợp các ước số và các bội số của một số là các tập hợp đối xứng. Mặt khác việc tìm các ước số của một số cho trước là khó hơn việc tìm tất cả các bội số