Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số

Tuy nhiên, việc mô tả triệt để các biểu diễn củanhóm tuyến tính tổng quát nói chung hay nhóm tuyến tính tổng quát trên trườnghữu hạn nói riêng là một bài toán khó, ngay cả việc tìm các l

Mục lục

0.1 T-nhóm 1

0.2 Vành biểu diễn 2

0.3 Biểu diễn cảm sinh 3

0.4 Các toán tử iU,θ và rU,θ 5

0.5 Biểu diễn của nhóm GL(2, Fq) 8

0.6 Đại số Hopf PSH-đại số Phần tử nguyên thủy 15

0.7 Phân hoạch, bảng Young, bảng lệch và móc-lệch 20

Chương 1 Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số 23 1.1 Định lí phân tích 23

1.2 PSH-đại số phổ dụng: Định lí duy nhất và cấu trúc đại số Hopf 27

1.3 PSH-đại số phổ dụng: Các phần tử bất khả quy 41

Chương 2 Biểu diễn của nhóm GL(n, Fq) 53 2.1 Phân loại các biểu diễn bất khả quy của GL(n, Fq) 53

2.2 Đại số P.Hall 56

2.3 Các giá trị đặc trưng của GL(n, Fq) tại các phần tử lũy đơn 67

2.4 Các môđun Gelfand-Graev suy biến 76

Lời nói đầu

Lí thuyết biểu diễn nhóm nói chung và lí thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nóiriêng đóng vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lí, Hoá học, Bởi vậy, việc tìmhiểu những tính chất hay mô tả các nhóm là rất cần thiết Nhóm tuyến tính tổngquát cũng như nhóm các tự đẳng cấu của không gian vectơ xuất hiện nhiều trongcác bài toán lí thuyết và ứng dụng Cho đến nay, việc nghiên cứu lí thuyết biểu diễncủa nhóm này vẫn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và cũng là đề tàithú vị cho những ai muốn đưa ứng dụng của nó vào các lí thuyết khác như: Tôpôđại số, lí thuyết nhóm lượng tử, Tuy nhiên, việc mô tả triệt để các biểu diễn củanhóm tuyến tính tổng quát nói chung hay nhóm tuyến tính tổng quát trên trườnghữu hạn nói riêng là một bài toán khó, ngay cả việc tìm các lớp liên hợp và xây dựngbảng đặc trưng của nhóm GL(2, Fq) đã là một công việc khá phức tạp (xem 0.5).Luận văn của chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các biểu diễn của nhómGL(n, Fq), nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn dựa vào lí thuyết đại sốHopf Để làm điều đó, ta xét dãy các nhóm Gn = GL(n, Fq), n ≥ 0, (q là cố định)

và tạo sự liên kết giữa các vành biểu diễn R(Gn) của các nhóm Gn với nhau thôngqua việc xét R(q) = ⊕n≥0R(Gn) Tiếp theo là xây dựng các toán tử iU,θ, rU,θ là tổngquát của các toán tử cảm sinh và hạn chế thông thường; trong đó các toán tử iU,θtrang bị cho R(q) một cấu trúc đại số trên Z, còn các toán tử rU,θ làm R(q) thànhmột đối đại số Các cấu trúc đại số và đối đại số như vậy tương thích với nhau, sựtương thích ấy dẫn đến R(q) là một đại số Hopf Định lí phân tích phiên dịch thànhphát biểu rằng R(q) là một PSH-đại số, tức là một đại số Hopf tự liên hợp, dương,liên thông trên Z Các đặc trưng bất khả quy của các nhóm Gn được xem như cácphần tử bất khả quy của R(q), Với những công việc đó, luận văn của chúng tôiđược chia làm 3 chương Cụ thể là:

Chương 0 là những kiến thức chuẩn bị Phần đầu của chương, chúng tôi trìnhbày sơ lược những kiến thức căn bản như: T −nhóm, vành biểu diễn, biểu diễn cảmsinh, trao đổi Frobenius, các toán tử iU,θ, rU,θ và biểu diễn của nhóm GL(2, Fq).Việc đưa vào biểu diễn của của nhóm GL(2, Fq), ngoài sự thể hiện việc áp dụng líthuyết biểu diễn thông thường, chúng tôi còn có ý so sánh những ví dụ ở phần sau

với nó Phần còn lại của chương, chúng tôi dành cho việc trình bày về khái niệmđại số Hopf, PSH-đại số và một số kết quả đầu tiên, cuối cùng là phân hoạch vàbảng Young.

Chương 1 trình bày lí thuyết sâu hơn và đầy đủ hơn về các PSH-đại số, trong

đó các vấn đề trọng tâm là: định lí phân tích, định lí duy nhất và cấu trúc đại sốHopf, sự tham số hóa các phần tử nguyên thủy, bất khả quy, cùng một số các kếtquả quan trọng về tích vô hướng của chúng nhằm phục vụ cho mục đích chính củaluận văn

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Ở chương này chúng tôi trình bày

về biểu diễn của nhóm GL(n, Fq) thông qua việc nghiên cứu PSH-đại số R(q) Cụthể là phân loại các biểu diễn của nhóm GL(n, Fq), đại số P.Hall, tính bậc của cácđặc trưng bất khả quy và giá trị của chúng tại các phần tử lũy đơn Cuối cùng làtrình bày về các môđun Gelfand-Graev suy biến, cái mà cho ta ý tưởng tính toáncác đặc trưng của nhóm GL(n, Fq) thông qua việc tính các đặc trưng cảm sinh củacác nhóm con của nó

Luận văn không có kết quả mới Công việc của người viết là tìm hiểu các kháiniệm và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan dựa vào một số gợi ý vắntắt trong các tài liệu Trong số đó, chúng tôi tự chứng minh được nhiều bổ đề,mệnh đề đã trình bày trong luận văn, chẳng hạn công thức J Green, các Mệnh

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tác giả còn nhậnđược rất nhiều sự động viên và giúp đỡ từ gia đình, bạn bè thân hữu, và các thầy

cô trong khoa Toán-Cơ-Tin của trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội Tác giả xin cảm ơn mọi người, đặc biệt là TS Lê Minh Hà, người thầyhướng dẫn đã tận tình chỉ bảo, giải đáp những thắc mắc và định hướng cho tác giảtrong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy lời cảm ơn sâusắc tận đáy lòng mình

Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả mong nhận được những góp ý chân thành của tất cả những

ai quan tâm Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Học viên

Phạm Xuân Thịnh

Hom(π, τ ) tập các đồng cấu từ không gian biểu diễn

của π vào không gian biểu diễn của τ

|CG(a)| số phần tử của nhóm tâm hóa của a trong nhóm G

nghịch với các phần tử trên trường Fq

diag(a1, a2, , an) ma trận đường chéo với các phần tử trên

đường chéo chính lần lượt là a1, a2, , an

Chương 0

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi nhắc lại về vành biểu diễn, biểu diễn cảm sinh, biểudiễn hạn chế, trao đổi Frobenius, các toán tử iU,θ, rU,θ là mở rộng của các toán tửbiểu diễn cảm sinh và hạn chế, biểu diễn của nhóm GL(2, Fq) Tiếp theo là nhắc lạiđại số Hopf, PSH-đại số và cùng một số kết quả liên quan Các kết quả này sẽ đượcdùng thường xuyên về sau Cuối cùng là sơ lược về phân hoạch, bảng Young, Toàn bộ chương này được trình bày theo J P Serre [5], N H V Hưng [1], Andrey

V Zelevinsky [7] và Gordon James and Martin Liebeck [4], có tham khảo trong J.L.Alperin with Rowen B Bell [2]

Trong suốt cả chương này cũng như trong toàn bộ luận văn, khi nói G là mộtnhóm, ta luôn hiểu G là một nhóm hữu hạn

0.1 T-nhóm

Một T −nhóm là một Z−môđun tự do R với một Z−cơ sở được đánh dấu Ω =Ω(R) Ta coi Z như là một T −nhóm với Ω(Z) = {1} Tổng trực tiếp của một họcác T −nhóm tùy ý và tích tenxơ của một họ hữu hạn các T −nhóm cũng là các

T −nhóm với các cơ sở tương ứng:

ω∈Ω

mω.ω | mω ≥ 0

)

Các phần tử của R+ được gọi là dương Ta viết x ≥ y nếu x − y ∈ R+ Một đồngcấu giữa hai T −nhóm được gọi là dương nếu nó biến một phần tử dương thành mộtphần tử dương

Với mỗi T −nhóm R, định nghĩa một dạng Z−song tuyến tính h, i trên R bởi

hω, ω0i = δω,ω0 với ω, ω0 ∈ Ω

Dạng h, i là đối xứng, không suy biến và xác định dương; ta gọi nó là tích vô hướngtrên R Các phần tử của Ω được gọi là các phần tử dương có độ dài bằng 1 và cũngđược gọi là các phần tử bất khả quy của T −nhóm R Nếu π = P

ω∈Ωmω.ω ∈ R+

thì các phần tử ω ∈ Ω sao cho mω > 0 được gọi là các thành phần bất khả quy của

π Rõ ràng, điều kiện mω > 0 có thể viết thành ω ≤ π hoặc là hω, πi > 0

0.2 Vành biểu diễn

Giả sử ρ1, , ρh là tập tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳngcấu của G Khi đó, mỗi biểu diễn ϕ của G có thể phân tích thành tổng

ϕ = m1ρ1⊕ · · · ⊕ mhρh,với các hệ số mi nguyên không âm Nếu

ψ = n1ρ1⊕ · · · ⊕ nhρhcũng là một biểu diễn của G, thì ta có

và ⊗

Định nghĩa 0.2.1 R(G) được gọi là vành biểu diễn của nhóm G

Giả sử χi là đặc trưng của các biểu diễn ρi Khi đó R(G) có thể đồng nhất vớitập các hàm là tổ hợp tuyến tính của χ1, , χh,

χ = m1χ1+ · · · + mhχh,

với các hệ số mi nguyên Mỗi hàm như thế được gọi là đặc trưng suy rộng của G.Hai phép toán được định nghĩa như sau:

Tóm lại, ta có kết quả sau:

Mệnh đề 0.2.2 ([1], Mệnh đề 7.1) Các đặc trưng suy rộng của G lập thành mộtvành giao hoán R(G) với đơn vị là đặc trưng χρ của biểu diễn đơn vị

0.3 Biểu diễn cảm sinh

0.3.1 Định nghĩa biểu diễn cảm sinh

Cho ρ : G → GL(V ) là một biểu diễn tuyến tính của G và H là một nhóm concủa G Gọi ρH là hạn chế của ρ xuống H Giả sử W là một biểu diễn con của ρH.Nói cách khác, W là một không gian vectơ con của V , ổn định dưới tác động củacác ρt, với mọi t ∈ H Kí hiệu biểu diễn này của H trong W là θ : H → GL(W ).Với mỗi s ∈ G, không gian vectơ ρsW chỉ phụ thuộc vào lớp kề trái sH của s Thậtvậy, nếu ta thay s bởi st với t ∈ H thì ρstW = ρsρtW = ρsW Như vậy, nếu σ làmột lớp kề trái của H, ta có thể xác định một không gian vectơ con Wσ của V là

ρsW , với một s ∈ σ nào đó Khi đó, các Wσ được hoán vị với nhau bởi ρs, s ∈ G

Do đó tổng của chúng, P

σ∈G/HWσ, là một biểu diễn con của V Định nghĩa 0.3.1 Ta nói rằng biểu diễn ρ của G trong V được cảm sinh bởi biểudiễn θ của H trong W nếu V là tổng trực tiếp của các Wσ, với σ ∈ G/H,

V = ⊕σ∈G/HWσ.Cũng có thể định nghĩa biểu diễn cảm sinh theo ngôn ngữ “môđun” như sau:Định nghĩa 0.3.2 Với H là một nhóm con của G, ta định nghĩa môđun cảm sinhcủa C[H]−môđun W là C[G]−môđun

Giả sử (V, ρ) được cảm sinh bởi (W, θ) với các đặc trưng tương ứng χρ và χθ.Khi đó χρ có thể tính được từ χθ nhờ định lí:

Định lí 0.3.4 ([5], Định lý 12) Giả sử R là một lớp các đại diện của G/H Vớimỗi u ∈ G, ta có

(i) IndGH(f ) là một hàm lớp trên G

(ii) Nếu f là đặc trưng của biểu diễn W của H thì IndGH(f ) là đặc trưng của biểudiễn cảm sinh IndGH(W ) của G

0.3.2 Công thức trao đổi Frobenius

Kí hiệu A(G) là tập hợp các biểu diễn phức hữu hạn chiều của nhóm G Rõràng, R(G) là một T −nhóm với cơ sở Ω = Ω(G) là tập các lớp tương đương của cácbiểu diễn bất khả quy của G Các phần tử dương của R(G) được đồng nhất với cáclớp tương đương của các biểu diễn trong A(G) Tích vô hướng trên A(G) được địnhnghĩa bởi công thức:

Định lí 0.3.6 ([2], Định lí 12) Nếu π, τ là các biểu diễn bất khả quy của G, thì

hπ, τ i = dimCHom(π, τ )

Đồng nhất mỗi phần tử của R(G) với ảnh của nó trong C(G) ta có thể mở rộngtích vô hướng h, i trên R(G) tới tích vô hướng Hecmit trên C(G), được cho bởi côngthức:

hψ, Res(ϕ)iH = hInd(ψ), ϕiG.Nhận xét 0.3.8 Từ Định lí 0.3.7, suy ra các ánh xạ Res và Ind là liên hợp vớinhau đối với tích vô hướng h, i

0.4 Các toán tử iU,θ và rU,θ

Trong mục này ta giới thiệu các toán tử iU,θ và rU,θ, tổng quát của toán tử cảmsinh và hạn chế ở trên, đồng thời phác thảo những tính chất chính của chúng.Giả sử G là một nhóm hữu hạn, M và U là các nhóm con của nó sao cho Mchuẩn hóa U (tức là M ≤ NG(U )) và M ∩ U = {e} Xét θ : U −→ C∗ là đặc trưngcủa U chuẩn hóa bởi M , tức là sao cho

θ(mum−1) = θ(u) với m ∈ M, u ∈ U Theo cách đặt này ta xác định các toán tử

iU,θ : A(M ) −→ A(G) (“θ-cảm sinh”), và

rU,θ : A(G) −→ A(M ) (“θ-hạn chế”)

như sau:

(a) Giả sử V là không gian biểu diễn của ρ ∈ A(M ) Ta mở rộng ρ tới biểu diễn

ρ của P = M U trong cùng không gian V , được xác định bởi ρ(mu) = θ(u).ρ(m),với mọi u ∈ U, m ∈ M Đặt

iU,θ(ρ) = IndGP(ρ)

(b) Nếu E là không gian biểu diễn của π ∈ A(G), ta đặt

EU,θ = {ξ ∈ E | π(u)ξ = θ(u).ξ; ∀u ∈ U }

Khi đó, với mọi ξ ∈ EU,θ, m ∈ M, u ∈ U , ta có

π(u)(π(m)ξ) = π(um)ξ = π(m)π(m−1um)ξ = π(m)θ(m−1um)ξ

= π(m)θ(u)ξ = θ(u)π(m)ξ

Vì thế, π(m)ξ ∈ EU,θ, tức là không gian con EU,θ ổn định dưới tác động củaπ(m), m ∈ M Theo đó, rU,θ(π) là biểu diễn con của πM = ResGM(π) trong EU,θ.Nhận xét 0.4.1 Khi U = {e} thì P = M , suy ra các toán tử iU,θ và rU,θ trở thànhcác toán tử cảm sinh và hạn chế thông thường

Mệnh đề 0.4.2 ([7], Mệnh đề 8.1) (a) Các toán tử iU,θ và rU,θ là cộng tính.(b) rU,θ liên hợp với iU,θ, tức là với mỗi ρ ∈ A(M ), π ∈ A(G) ta có đẳng cấu

Hom(rU,θ(π), ρ) ∼= Hom(π, iU,θ(ρ))

(c) Giả sử N và V là các nhóm con của M và θ0 là đặc trưng của V sao cho cáctoán tử

iV,θ0 : A(N ) −→ A(M ) và rV,θ0 : A(M ) −→ A(N ),

có ý nghĩa Xác định đặc trưng θ0 của U0 = U V bởi

Mệnh đề sau đây cho các công thức tường minh của iU,θ và rU,θ trên các hàmlớp

Mệnh đề 0.4.3 ([7], Mệnh đề 8.2) Đối với χ ∈ C(M ), g ∈ G, ta có

iU,θ(χ)(g) = 1

|M |.|U |

Xχ(m).θ(u)

(tổng lấy trên tập (g1, m, u) ∈ G × M × U | g = g1mug1−1 ) và với ϕ ∈ C(G), m ∈

M ;

rU,θ(ϕ)(m) = 1

|U |X

u∈U

θ(u)−1.ϕ(mu)

Chứng minh (a) Từ định nghĩa, ta có ρ(mu) = ρ(m).ρ(u) = θ(u).ρ(m) Gọi χ làđặc trưng của ρ, thì

iU,θ(χ)(g) = IndGP(χ)(g) = 1

|P |X

χ(m).θ(u)

(b) Giả sử π là một biểu diễn của G có đặc trưng ϕ Đặt

a = 1

|U |X

u∈U

θ(u)−1π(u),

thì π(u)a = θ(u)a, với mọi u ∈ U và do đó a2 = a Xét biến đổi tuyến tính

T : E −→ E, x 7−→ ax Rõ ràng, T thoả mãn phương trình X2− X = 0, do đó Tchỉ có giá trị riêng là 0 và 1 Gọi E1 ⊆ E là không gian con riêng ứng với giá trịriêng 1 Với mọi u ∈ U, x ∈ E1, thì

π(u)(x) = π(u)(ax) = θ(u)ax = θ(u)x,hay π(u)(x) = θ(u)x, tức là x ∈ EU,θ Ngược lại, nếu x ∈ EU,θ, thì

ax = 1

|U |X

(b) Kí hiệu ϕ, ψ lần lượt là đặc trưng của π và ρ Ta cần chứng minh

hrU,θ(ϕ), ψiM = hϕ, iU,θ(ψ)iG

Nhưng điều này là rõ ràng, vì

hrU,θ(ϕ), ψiM = 1

|M |X

m 1 ∈M m=m 1 nvm−11

θ0(uv)χ(n)

Từ giả thiết θ0(uv) = θ(u).θ0(v), ta suy ra điều phải chứng minh

Giả sử M, U, N và V là các nhóm con của nhóm G, θ là đặc trưng của U và ψ

là đặc trưng của V sao cho các toán tử

iU,θ : A(M ) −→ A(G) và rV,ψ : A(G) −→ A(N )

có ý nghĩa Bổ sung thêm một số giả thiết, ta có thể tính hợp thành

rV,ψ◦ iU,θ : A(M ) −→ A(N ), (xem [7, trang 167-169])

0.5 Biểu diễn của nhóm GL(2, Fq)

0.5.1 Các lớp liên hợp của nhóm GL(2, Fq)

Trong mục này, ta tìm tất cả các lớp liên hợp của nhóm G = GL(2, Fq) Để làmđiều đó ta cần kết quả sau:

0 s

!, us = s 1

0 s

!, ds,t = s 0

suy ra g.us = us.g khi và chỉ khi a = d và c = 0 Do đó nhóm tâm hóa của us là

CG(us) có q(q − 1) phần tử Vì vậy, số phần tử liên hợp với us là

|uG

|CG(us)| =

(q2− 1)(q2− q)q(q − 1) = q

Vì r /∈ Fq nên vr, r ∈ Fq 2 \ Fq không nằm trong các lớp liên hợp đã nêu ở trên.

Để ý rằng đa thức đặc trưng của vr là

det(xI − vr) = x[x − (r + rq)] + r1+q = (x − r)(x − rq);

do đó vr có các giá trị riêng là r và rq Bằng những lí luận tương tự như với us ởtrên, ta được |CG(vr)| = q2− 1 và |vG

r| = q(q − 1) Vì ma trận vtliên hợp với vr khi

và chỉ khi t = r hoặc t = rq nên ta suy ra có q

0.5.2 Các đặc trưng bất khả quy của GL(2, Fq)

Bây giờ ta đi tìm tất cả các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy của

G = GL(2, Fq) Ý tưởng của ta là tìm các đặc trưng của của các biểu diễn bất khảquy của các nhóm con của G rồi sử dụng đặc trưng cảm sinh để tìm các đặc trưngcủa các biểu diễn bất khả quy của G

Kí hiệu ε là một phần tử sinh của nhóm F∗q 2 và ω = e

2πi q2−1 Với r ∈ F∗q 2, ta có thểviết r = εm, với m nguyên nào đó và đặt r = ωm Khi đó r 7−→ r là một đặc trưngbất khả quy của F∗q 2 Hơn nữa, mọi đặc trưng của F∗q 2 đều có dạng r 7−→ rj, với jnguyên nào đó

Mệnh đề 0.5.3 ([4], Mệnh đề 28.7) G có q − 1 đặc trưng tuyến tính λi; i =

0, 1, , q − 2

Chứng minh Rõ ràng, ánh xạ det : g 7−→ det(g) là một đồng cấu từ G lên F∗q Do

đó ánh xạ λi : g 7−→ (det(g))i, g ∈ G, (i = 0, 1, , q − 2) là một đặc trưng tuyếntính Vì vậy, G có q − 1 đặc trưng tuyến tính phân biệt

Khi đó λi,j là các đặc trưng của B Đặt ψi,j = IndGB(λi,j), ta có

ψi,j(sI) = |CG(sI)|

CB(sI) λi,j(sI) =

q(q − 1)2(q + 1)q(q − 1)2 si+j = (q + 1)si+j;

1

q +

2(q − 2)

q − 1 = 2,và

(q − 1)s2i(s2i)q(q − 1) +

Bây giờ với 0 ≤ i < j ≤ q ư 2 ta hãy tính hψi,j, ψi,ji Ta có

1

q +

12(q ư 1)2

ta chỉ việc xét ψi,j, ψi0 ,j 0 với (i, j) 6= (i0, j0) không kể đến thứ tự Xảy ra hai trườnghợp sau:

Nếu i + j 6= i0 + j0 (mod q ư 1), thì si+j 6= si 0 +j 0

.Nếu i + j = i0 + j0 (mod q ư 1), thì i0 ư i = j ư j0 = u, 0 < u < q ư 1, hay

i0 = i + u, j0 = j ư u Khi đó

sitj[(stư1)uư 1] = sjti[1 ư (sư1t)u]; ∀s, t ∈ F∗q,tức là si+utjưu = sjti; ∀s, t ∈ F∗q Do đó j = i + u suy ra i = j0, j = i0, hay(i0, j0) = (i, j) Thành thử (i, j) 6= (i0, j0), thì ψi,j 6= ψi0 ,j 0 và vì vậy ta có

Mệnh đề 0.5.5 ([4], Mệnh đề 28.8) Cho 0 ≤ i < j ≤ q ư 2 Khi đó ψi,j là các đặctrưng bất khả quy của G và chúng là phân biệt

Mệnh đề 0.5.6 ([4], Mệnh đề 28.12) Đối với mỗi i nguyên, tồn tại đặc trưng φi

của G mà giá trị của nó mô tả như sau:

φi(g) q(q ư 1)si 0 0 ri+ riq

Chứng minh Xét K =< vε>, ở đó ε là phần tử sinh của F∗q2 và

−ε1+q ε + εq

!

Các giá trị riêng của vε là ε và εq Vì εq2−1 = 1 và (εq)q2−1 = 1 nên K có cấp là

q2− 1 Các giá trị riêng của viq

ε là εi và εiq.Nếu εi 6= εiq, thì εi ∈ F/ q và do đó vi

Giả sử g ∈ K và g liên hợp với vr trong G Khi đó g có các giá trị riêng là r và

rq Do vậy

αi(g) = ri hoặc αi(g) = riq,suy ra

αi(g) + αi(gq) = ri+ riq.Đặt φi = IndGK(αi) Theo lập luận ở trên thì φi bằng 0 trên các phần tử có dạng

us, ds,t, (s 6= t), (vì các phần tử này không liên hợp với bất kì phần tử nào thuộcK) Ngoài ra

Mệnh đề 0.5.7 ([4], Mệnh đề 28.14) Đối với mỗi i nguyên, giả sử χi là hàm lớp

có giá trị như sau:

χi(g) (q − 1)si −si 0 −(ri+ riq)Nếu (q + 1) - i, thì χi là một đặc trưng bất khả quy của G

Chứng minh Đặt χi = ψ0,−i.ψi− ψ0,i− φi Khi đó ta có bảng giá trị sau:

Vì χi là tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng bất khả quy của G với hệ số nguyên

và hχi, χii = 1, χi(1) > 0 nên χi là các đặc trưng bất khả quy của G

Ta còn phải xem các χi khác nhau khi nào Để làm điều đó ta xét các số nguyên

riq[1 − r−k(q−1)] = ri[rk(q−1)− 1]; ∀r ∈ Fq 2 \ Fq,suy ra hoặc rk(q−1) = 1 hoặc rj = riq, hay là hoặc k ≡ 0 (mod q + 1) hoặc j ≡ iq(mod q2− 1) Do đó hoặc j ≡ i (mod q2− 1) hoặc j ≡ iq (mod q2− 1)

Tóm lại, ta có χi 6= χj khi và chỉ khi (q + 1) - i, (q + 1) - j và (q2 − 1)

-j − i, (q2− 1) - j − iq

Tổng kết các kết quả trên, ta được

Định lí 0.5.8 ([4], Định lí 28.5) G có q2− 1 đặc trưng bất khả quy và chúng được

mô tả như sau:

(a) Có q − 1 đặc trưng λi, 0 ≤ i ≤ q − 2 và mỗi một trong chúng đều có bậc 1.(b) Có q − 1 đặc trưng ψi, 0 ≤ i ≤ q − 2 và mỗi một trong chúng đều có bậcbằng q

(U) (Đơn vị) Phần tử e(1) ∈ R0 là đơn vị của R

Các tiên đề (A∗) và (U∗) là kết hợp đối với phép đối nhân (= đối kết hợp) vàtính chất của đối đơn vị Nói chung, nếu (X) là tính chất thể hiện tính giao hoáncủa một biểu đồ D nào đó được xây dựng bởi các đồng cấu m và e, ta viết (X∗) đốivới tính chất đối giao hoán của biểu đồ đạt được bằng cách đảo ngược tất cả cácmũi tên của D và thay thế m bởi m∗, e bởi e∗ Ví dụ, tiên đề (U∗) có nghĩa là biểu

trong R ⊗ R được định nghĩa bởi (x ⊗ y)(x0 ⊗ y0) = xx0 ⊗ yy0).

Bỏ các tiên đề (A) và (A∗), ta được định nghĩa của tựa-đại số Hopf Một đại số Hopf R được gọi là liên thông nếu

(tựa)-(Con) Các phép toán e : K → R0 và e∗ : R0 → K là các đẳng cấu ngược nhau.Một đại số Hopf R được gọi là giao hoán nếu

(Com) Phép nhân m là giao hoán; nó được gọi là đối giao hoán (hay có phépđối nhân giao hoán) nếu tiên đề (Com∗) thỏa mãn, tức là nếu biểu đồ sau

0.6.2 Đại số Hopf tự liên hợp dương (PSH-đại số)

Một (tựa) đại số Hopf R trên Z được gọi là dương nếu nó thỏa mãn các tiên đề(T) và (P) sau đây:

(T) Mỗi Rn và do đó toàn bộ R là các T −nhóm; nói cách khác, R là Z− môđun

tự do với cơ sở cho trước Ω gồm các phần tử thuần nhất

(P) (Dương) Tất cả các đồng cấu m, m∗, e và e∗ là dương

Một (tựa) đại số Hopf dương được gọi là tự liên hợp nếu

(S) (Tự liên hợp) Các phép toán m và m∗ (tương ứng e và e∗) là liên hợp vớinhau đối với tích vô hướng h, i trên R và trên R ⊗ R và Z, cảm sinh bởi các cấu trúc

T −nhóm

Một PSH-đại số là một đại số Hopf tự liên hợp dương liên thông trên Z

Mệnh đề dưới đây nói về sự liên hợp của một đại số Hopf liên thông trên mộtvành giao hoán, cái mà sẽ được sử dụng về sau

Mệnh đề 0.6.1 ([7], Mệnh đề A1.6) Giả sử A là một đại số Hopf liên thông trênmột vành giao hoán có đơn vị K Khi đó

(a) Tồn tại duy nhất một đồng cấu K−môđun phân bậc T : A −→ A sao chobiểu đồ

e∗GG##G G G

là giao hoán T được gọi là phép liên hợp của A

(b) Nếu A có phép nhân và đối nhân giao hoán thì T là một tự đẳng cấu đại sốHopf đối hợp của A, tức là T2 = id

0.6.3 Phần tử nguyên thủy

Kí hiệu đơn vị của R, tức là phần tử e(1) ∈ R0 đơn giản bởi 1 Theo các tiên

đề (Con) và (P), thì 1 là phần tử bất khả quy của R, và R0 = Z.1 Ta viết xy thay

cho m(x ⊗ y) và kí hiệu I = ⊕n>0Rn Các tiên đề (G), (Con) và (U∗ ) suy ra đối với

Mệnh đề 0.6.3 ([7], Mệnh đề 1.6) Một tựa đại số Hopf tự liên hợp dương trên Z

là một PSH-đại số, tức là tính kết hợp của phép nhân và đối nhân suy ra từ các tiên

đề khác của PSH-đại số Hơn nữa, mỗi PSH-đại số bất kì đều là giao hoán và đốigiao hoán

Hiển nhiên, mỗi tính chất (A∗) và (Com∗) được suy ra từ (S) và các tính chấttương ứng mà không có dấu sao, tức là (A) và (Com) Các tính chất còn lại đượcsuy ra từ hai bổ đề sau đây

Bổ đề 0.6.4 ([7], Bổ đề 1.7) P là phần bù trực giao của I2 trong I đối với tích vôhướng h, i

Chứng minh Thật vậy, theo (T), tất cả các nhóm con Rk⊗ Rl trong R ⊗ R là trựcgiao với nhau Do đó, bởi (S):

Chứng minh Với x, y ∈ A ta đặt [x, y] = xy − yx Vì A liên thông nên không giancon A0 nằm trong tâm của A, vì vậy có thể giả sử x ∈ Ak, y ∈ Al với k, l > 0.Theo tiên đề (H) ta có

m∗([x, y]) = [m∗(x), m∗(y)] = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x + m∗+(x), y ⊗ 1 + 1 ⊗ y + m∗+(y)]

Sử dụng quy nạp theo k + l ta có thể giả sử rằng m∗+(x) giao hoán với các phần tử

y ⊗ 1, 1 ⊗ y và m∗+(y), còn m∗+(y) giao hoán với các phần tử x ⊗ 1 và 1 ⊗ x Khi đó

m∗([x, y]) = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + 1 ⊗ y] = [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y]

Vì vậy [x, y] ∈ P Mặt khác [x, y] ∈ I2, do đó [x, y] = 0 hay xy = yx

Chứng minh tính kết hợp hoàn toàn tương tự, chỉ việc xét x(yz) − (xy)z thay cho[x, y]

Cho R là một PSH-đại số Với mỗi x ∈ R tùy ý ta kí hiệu x∗ : R → R toán tửliên hợp với phép nhân bởi x, tức là x∗ được xác định bởi

hx∗(y), zi = hy, xzi; ∀y, z ∈ R(theo phần (b) của mệnh đề dưới đây, x∗ được xác định tốt) Toán tử x∗ sẽ là công

cụ chính của ta để nghiên cứu các PSH-đại số Bây giờ ta hãy tóm tắt những tínhchất chính của chúng

Mệnh đề 0.6.6 ([7], Mệnh đề 1.9) (a) Giả sử x ∈ Rk Khi đó x∗(Rn) ⊆ Rn−k với

n ≥ 0 Đặc biệt, x∗(Rn) = 0 với n < k Đồng nhất R0 với Z thì dạng tuyến tính

x∗ : Rk−→ R0 = Z là tích vô hướng với x, kí hiệu bởi hx|

(b) Toán tử x∗ : R −→ R bằng hợp thành

R −→ R ⊗ Rm∗ −−−→ R ⊗ Zid⊗hx| −→ R.∼(c) Với x, y ∈ R tùy ý

(xy)∗ = y∗◦ x∗.Nói riêng, vì R là giao hoán nên tất cả các toán tử x∗ đều giao hoán với nhau.(d) Nếu x ∈ R+, thì toán tử x∗ là dương

(f) Nếu ρ ∈ R là nguyên thủy, thì ρ∗ : R → R là đạo hàm của vành R, tức là

ρ∗(yz) = ρ∗(y).z + y.ρ∗(z)

(g) Nếu ρ ∈ Rn là nguyên thủy, 0 < k < n và x ∈ Rk, thì x∗(ρ) = 0

Chứng minh (a) ∀y ∈ Rn, z ∈ Rm, ở đó m 6= n − k, thì do xz ∈ Rm+k 6= Rn nên

hx∗(y), zi = hy, xzi = 0

Vì thế x∗(y) ∈ Rn−k hay x∗(Rn) ⊆ Rn−k Hơn nữa, với y ∈ Rk thì x∗(y) ∈ R0 = Z,tức là x∗(y) = hx, yi

(b) Không mất tính tổng quát có thể giả sử x ∈ Rk Ta gọi ϕ là đẳng cấu

R ⊗ Z −→ Z trong hợp thành Khi đó sử dụng tính chất giao hoán của R thì vớimọi y ∈ Rn, z ∈ Rn−k, n ≥ k, ta có

hx∗(y), zi = hy, xzi = hm∗(y), x ⊗ zi

= hy ⊗ 1 + 1 ⊗ y +Xy0⊗ y00, x ⊗ zi

=Xhy0⊗ y00, x ⊗ zi = Xhy0, xihy00, zi

hϕ ◦ (id ⊗ hx|) ◦ m∗(y), zi = hy00.hy0, xi, zi

h(xy)∗(u), vi = hu, xyvi = hx∗(u), yvi = hy∗◦ x∗(u), vi

Điều này kéo theo (xy)∗ = y∗◦ x∗

(d) Do tính chất tuyến tính nên có thể giả sử x ∈ R+k Thế thì

(f) Vì ρ là phần tử nguyên thủy nên m∗(ρ) = ρ ⊗ 1 + 1 ⊗ ρ Do đó

ρ∗(yz) = ρ∗(y).1∗(z) + 1∗(y).ρ∗(z) = ρ∗(y).z + y.ρ∗(z)

(g) Từ sự kiện

hx∗(ρ), zi = hρ, xzi = hρ, m(x ⊗ z)i = hm∗(ρ), x ⊗ zi

= hρ ⊗ 1 + 1 ⊗ ρ, x ⊗ zi = 0,với mọi z ∈ R nên x∗(ρ) = 0

0.7 Phân hoạch, bảng Young, bảng lệch và móc-lệch

0.7.1 Phân hoạch

Kí hiệu P là tập các họ (l1, l2, , lr), ở đó li là các số nguyên không âm; hai

họ khác nhau bởi thứ tự hoặc số các phần tử 0 được đồng nhất với nhau, tức làxác định cùng một phần tử của P Các phần tử của P được gọi là các phân hoạch.Chúng sẽ được kí hiệu bởi các chữ cái Hi Lạp, chẳng hạn λ, µ, ν, còn các thànhphần của chúng được kí hiệu bởi các chữ cái Latinh, ví dụ λ = (l1, l2, , lr) Với

k ≥ 1, kí hiệu rk = rk(λ) là số các thành phần của λ bằng k; đôi khi ta cũng viết λthành (1r 1, 2r 2, ) Đặt

r(λ) =X

k≥1

rk(λ),tức r(λ) là số các thành phần khác 0 của λ Với mỗi λ = (l1, l2, , lr), đặt

|λ| = l1+ l2+ · · · + lr;và

Pn = {λ ∈ P | |λ| = n} với n ≥ 0

Mỗi λ ∈ P đều có thể viết thành (l1, l2, , lr), ở đó l1 ≥ l2 ≥ · · · ≥ lr; và đặt

ls = 0 với s > r Dãy (l1, l2, ) cũng như (l1, l2, , lN) với N ≥ r(λ), sẽ được gọi

là dạng chính tắc của λ, kí hiệu bởi c.f.(λ) = (l1, l2, )

0.7.2 Bảng Young, bảng lệch và móc lệch

Định nghĩa 0.7.1 Bảng Young là một tập con hữu hạn của N × N mà với mỗiđiểm (i, j) thuộc tập đó, thì tất cả các điểm (i0, j0) sao cho i0 ≤ i, j0 ≤ j cũng thuộcnó

Gán mỗi phân hoạch λ ∈ P mà c.f.(λ) = (l1, l2, ) với một bảng Young

{(i, j) ∈ N × N | j ≤ li} ,thì rõ ràng ta được một song ánh giữa P và tập tất cả các bảng Young Ta sẽ đồngnhất tập này với P thông qua song ánh trên và sử dụng cùng kí hiệu đối với phânhoạch và bảng Young tương ứng Ví dụ, ta viết ∅ đối với phân hoạch (0) ∈ P

Để mô tả các bảng Young, ta giả sử i−trục viết đi xuống trong khi j−trục viếtsang phải (như thể (i, j) là chỉ số ma trận)

Phép biến đổi t : N × N −→ N × N tác động bởi (i, j)t= (j, i) rõ ràng biến mộtbảng Young thành một bảng Young, tức là t tác động trên P Hơn nữa, t2 = id,nghĩa là (λt)t= λ; ∀λ ∈ P

Nếu λ = (l1, l2, , lr) ∈ P và li 6= 0, i = 1, 2, , r, thì ta định nghĩa phânhoạch λ←∈ P bởi

λ←= (l1− 1, l2− 1, , lr− 1);

và quy ước ∅←= ∅ Theo ngôn ngữ của bảng Young, λ← nhận được từ λ bằng cách

bỏ đi cột đầu tiên và dịch chuyển các cột còn lại về bên trái bởi 1 Cũng vậy, đặt

λ↑ = ((λt)←)t;điều này có nghĩa là λ↑ đạt được từ λ bằng cách bỏ đi hàng đầu tiên và dịch chuyểncác hàng còn lại lên phía trên bởi 1 Hai khẳng định sau đây suy ra ngay từ địnhnghĩa

µ⊥λthay cho µt a λt; rõ ràng, quan hệ “µ⊥λ” tương đương với “λ↑ ⊆ µ ⊆ λ”, và có ýnghĩa hình học là µ có được bằng cách bỏ đi nhiều nhất một điểm từ mỗi cột của λ.Định nghĩa thứ tự bộ phận “≤p” trên N × N bởi

(i, j) ≤p (i0, j0) ⇐⇒ i ≤ i0, j ≤ j0.Định nghĩa 0.7.3 Một bảng lệch là một tập con hữu hạn æ ⊂ N × N sao cho

a, b ∈ æ, a ≤p c ≤p b =⇒ c ∈ æ

Rõ ràng, một bảng Young (không rỗng) có thể được xác định như một bảng lệch,chứa điểm (1, 1) Dễ thấy hiệu λ\µ, ở đó λ ⊃ µ là hai bảng Young, cũng là mộtbảng lệch Ngược lại, mỗi bảng lệch đều có dạng như vậy Ta cũng viết |æ| là số cácđiểm của æ, và æt là bảng chuyển vị

Định nghĩa 0.7.4 Giả sử æ là một bảng lệch Một tập con æ0 ⊂ æ là chính quynếu

a ∈ æ0, b ∈ æ; a <p b =⇒ b ∈ æ0

Định nghĩa 0.7.6 Giả sử æ là một bảng lệch Một phép đánh số của æ là một ánh

xạ tùy ý ϕ : æ −→ N thỏa mãn

a, b ∈ æ; a ≤p b =⇒ ϕ(a) ≤ ϕ(b)

Rõ ràng ϕ : æ → N là một phép đánh số nếu và chỉ nếu đối với mỗi k ∈ N tập

ϕ−1({1, 2, , k}) là một bảng lệch, và ϕ−1(k) là tập con chính quy của nó Ta nóirằng ϕ có kiểu (n1, n2, ) nếu nk = |ϕ−1(k)| với k ∈ N

Về mặt hình học, một phép đánh số ϕ : æ −→ N được xem như một bảng các

số nguyên nhận được bằng cách thay thế mỗi điểm x của æ bởi số ϕ(x) Một bảngnhư vậy biểu diễn một phép đánh số nếu và chỉ nếu các số của nó là không giảmhướng theo các hàng và dọc theo các cột của æ; nó có kiểu (n1, n2, ) nếu mỗi sốbất kì k ∈ N xảy ra nk lần Ta nói rằng một phép đánh số là hàng-ngặt (cột-ngặt)nếu các số là tăng hướng theo hàng (dọc theo cột) của æ

Định nghĩa 0.7.7 Một móc-lệch (skew-hook) là một tập con hữu hạn khác rỗngcủa N × N có dạng {(i1, j1), (i2, j2), , (in, jn)}, ở đó với k = 1, 2, , n − 1, điểm(ik+1, jk+1) là (ik+ 1, jk) hoặc (ik, jk− 1)

nó, hay nói khác đi:

(1) Đại số Hopf H phân tích thành tích tenxơ

H = ⊗α∈AHα,

ở đó mỗi đại số Hopf Hα chỉ có đúng một phần tử nguyên thủy

(2) Đại số Hopf H chỉ có một phần tử nguyên thủy đẳng cấu với đại số K[x] các

đa thức một biến x, ở đó deg x = k và x là nguyên thủy Kết quả chính của chươngnày là hai định lí: Định lí 1.1.1 (Định lí phân tích) và Định lí 1.2.1 Nội dung củachương này được trình bày theo Andrey V Zelevinsky [7]

1.1 Định lí phân tích

Trong phần này ta sẽ chứng minh điều tương tự (1) đối với PSH-đại số Vai tròcủa các đại số Hα sẽ được coi như các PSH-đại số có đúng một phần tử nguyên thủybất khả quy

Giả sử (Rα | α ∈ A) là một họ các PSH-đại số Định nghĩa tích tenxơ

là như sau:

Định lí 1.1.1 ([7], Định lí phân tích) Mỗi PSH-đại số R bất kì đều phân tích đượcthành tích tenxơ của các PSH-đại số chỉ có một phần tử nguyên thủy bất khả quy.Chính xác hơn, giả sử C = Ω ∩ P là tập các phần tử nguyên thủy bất khả quy trong

R Với ρ ∈ C tùy ý, ta đặt

Ω(ρ) =ω ∈ Ω | hω, ρni 6= 0, với n ≥ 0 nào đó, , vàR(ρ) = ⊕ω∈Ω(ρ)Z.ω.

Khi đó R(ρ) là PSH-đại số con trong R có tập các phần tử bất khả quy là Ω(ρ), ρ

là phần tử nguyên thủy bất khả quy duy nhất của R(ρ), và R như một PSH-đại số

là tích tenxơ ⊗ρ∈CR(ρ)

Để chứng minh định lí này ta cần một số mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.1.2 ([7], Mệnh đề 2.3) Giả sử ρ1, , ρr, ρ01, , ρ0s ∈ C, và

π = ρ1.ρ2 ρr, π0 = ρ01.ρ02 ρ0s.Khi đó hπ, π0i = 0 trừ khi r = s và các dãy (ρ1, , ρr) và (ρ01, , ρ0s) bằng nhau,sai khác một phép hoán vị

Theo 0.6.6(a), (g), nếu ρ1 6= ρ0

j đối với tất cả j thì hπ, π0i = 0 Do đó nếu ρ0

j nào đó,chẳng hạn ρ01, bằng ρ1, và có đúng k phần tử ρ01 bằng ρ1, thì

hπ, π0i = k.hρ1, ρ1i.hρ2 ρr, ρ02 ρ0si

= k.hρ1, ρ1i.hρ2 ρr, ρ02 ρ0si

Chứng minh được hoàn thành bởi quy nạp theo r

Chú ý 1.1.3 Chứng minh của Mệnh đề 1.1.2 thực tế không cần sử dụng đến tínhchất bất khả quy của các phần tử ρi và ρ0j mà chỉ dựa vào sự kiện các phần tử đó làphân biệt, nguyên thủy và trực giao với nhau

Kí hiệu bởi S(C; Z+) là nửa nhóm các hàm ϕ : C → Z+ có giá hữu hạn Với mỗi

Mệnh đề 1.1.4 ([7], Mệnh đề 2.5) (a) Tập Ω = Ω(R) =F Ω(ϕ), ϕ ∈ S(C; Z+).(b) Nhóm R được phân bậc bởi nửa nhóm S(C; Z+), tức là R = ⊕R(ϕ), ϕ ∈S(C; Z+) Sự phân bậc này tương thích với cấu trúc đại số Hopf, nghĩa là

Theo 1.1.2 điều này xảy khi và chỉ khi ϕ(ρ) = ϕ0(ρ) với mọi ρ ∈ C, tức là ϕ = ϕ0

Ta còn phải kiểm tra rằng đối với mỗi ω ∈ Ω bất kì tồn tại πϕ ≥ ω Phát biểu làtầm thường nếu ω ∈ C hoặc ω = 1 Vậy ta giả sử rằng ω ∈ I và ω không là nguyênthủy Bổ đề 0.6.4 suy ra rằng tồn tại hai phần tử ω0, ω00 ∈ Ω có bậc dương sao cho

ω ≤ ω0.ω00

Bằng quy nạp theo deg ω, ta có thể giả sử rằng tồn tại πϕ0 ≥ ω0 và πϕ00 ≥ ω00

Do đó

ω ≤ ω0.ω00≤ πϕ0.πϕ00 = πϕ0 +ϕ 00.(b) Đẳng thức R = ⊕R(ϕ) suy ra ngay từ (a), còn bao hàm

m(R(ϕ0) ⊗ R(ϕ00)) ⊂ R(ϕ0+ ϕ00)suy ra từ chứng minh của (a) Tính chất tương ứng của đối nhân suy ra từ tính tựliên hợp của R

Mệnh đề 1.1.5 ([7], Mệnh đề 2.6) Giả sử ϕ, ϕ0 ∈ S(C; Z+) có giá rời nhau Khi

đó phép nhân

m : R(ϕ) ⊗ R(ϕ0) −→ R(ϕ + ϕ0),thiết lập một đẳng cấu của các T −nhóm; nói khác đi, các phần tử ω.ω0, ở đó ω ∈Ω(ϕ), ω0 ∈ Ω(ϕ0) là bất khả quy, phân biệt, và phần tử bất khả quy bất kì nằm trongΩ(ϕ + ϕ0) đều có dạng như vậy

nó trực giao với ω ⊗ ω0 ∈ R(ϕ) ⊗ R(ϕ0) trừ khi ϕ0 + ϕ00 = ϕ, ϕ1 + ϕ01 = ϕ0 Vìsuppϕ ∩ suppϕ0 = ∅, nên hệ phương trình

Theo 1.1.4(b), R(ρ) là PSH-đại số con của R Rõ ràng, mỗi ϕ ∈ S(C; Z+) đều códạng

PSH-Cố định tới cuối chương 1 một PSH-đại số R có duy nhất một phần tử nguyênthủy bất khả quy ρ Theo Định lí 1.1.1, một phần tử bất khả quy ω ∈ R phải làthành phần bất khả quy của ρn với n ∈ Z+ nào đó Nói riêng, nếu Rn 6= 0 thì nphải chia hết cho deg ρ Điều này suy ra từ sự kiện: nếu ω ∈ Rn là bất khả quy, thìtồn tại k > 0 sao cho hω, ρki 6= 0, vì vậy n = deg ρk = k deg ρ Do đó, ta có thể thayđổi sự phân bậc trên R, bằng cách chia tất cả các bậc cho deg ρ, và không làm mấttổng quát có thể giả sử rằng deg ρ = 1 Theo đó R1 = Z.ρ

Kết quả chính của ta trên R được tổng kết trong định lí sau:

Định lí 1.2.1 ([7], Định lí 3.1) (a) Phần tử ρ2 là tổng của hai phần tử bất khả quyphân biệt x2 và y2

(b) Với mỗi n ≥ 0 tồn tại duy nhất các phần tử bất khả quy xn và yn trong Rnsao cho

x∗2(yn) = 0, y2∗(xn) = 0

(c) Nếu 0 ≤ k ≤ n, thì

x∗k(xn) = xn−k, yk∗(yn) = yn−k.Nếu ω ∈ Ω là phân biệt với x0, x1, , xn, thì ω∗(xn) = 0; điều tương tự cũng đúngđối với yn Nói riêng,

yk∗(xn) = x∗k(yn) = 0 với k ≥ 2

(e) Vành R là vành Z[x1, x2, ] các đa thức với các biến (xn| n ≥ 1); tương tự,

R = Z[y1, y2, ] Các phần tử (xn) và (yn) thỏa mãn quan hệ

Định lí được chứng minh trong 1.2.1- 1.2.7 dưới đây:

Thật vậy, hm∗+(x2), ρ ⊗ ρi = hx2, ρ2i = 1 (tương tự với y2)

1.2.2 Chứng minh Định lí 1.2.1(b)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 0, n = 1 khẳng định là đúnghiển nhiên và x0 = y0 = 1, x1 = y1 = ρ, còn với n = 2 thì đúng theo 1.2.1(a).Giả sử điều cần chứng minh đã đúng đến n ≥ 2 Ta sẽ xây dựng xn+1 và yn+1trong Rn+1 thỏa mãn yêu cầu Trước hết ta nhận xét rằng nếu xn+1 và yn+1 tồn tại,

thì chúng phải là thành phần bất khả quy của ρ.xnvà ρ.yn tương ứng Thật vậy, sựkiện y2∗(xn+1) = 0 suy ra

y2∗(ρ∗(xn+1)) = ρ∗(y2∗(xn+1)) = 0

Mặt khác, do ρ∗(xn+1) ∈ R+ và ρ∗(xn+1) ∈ Rn nên theo tính duy nhất của xn∈ Rn

ta suy ra ρ∗(xn+1) = c.xn với c > 0 Từ đó ta có

hxn+1, ρ.xni = hρ∗(xn+1), xni = hc.xn, xni = c > 0,hay xn+1 là thành phần bất khả quy của ρ.xn Hoàn toàn tương tự ta cũng suy rakhẳng định đối với yn+1

Nhận xét trên dẫn ta tới việc tìm tất cả các thành phần bất khả quy của ρ.xn

và ρ.yn Vì

hρ.xn, ρ.xni = hρ∗(ρ.xn), xni = hxn+ ρ.ρ∗(xn), xni

= 1 + hρ∗(xn), ρ∗(xn)i = 1 + hxn−1, xn−1i = 2nên ρ.xn là tổng của hai phần tử bất khả quy trong Rn+1 Hơn nữa, do

m∗(y2) = y2 ⊗ 1 + 1 ⊗ y2+ ρ ⊗ ρnên ta có

y2∗(ρ.xn) = y2∗(ρ).xn+ ρ.y2∗(xn) + ρ∗(ρ).ρ∗(xn) = xn−1

Từ đó suy ra y2∗ phải chuyển một phần tử bất khả quy của ρ.xn vào xn−1 và chuyểnphần tử bất khả quy còn lại vào 0, ta gọi phần tử này là xn+1 Rõ ràng, xn+1 là duynhất Chứng minh hoàn toàn tương tự cho yn+1

1.2.3 Chứng minh Định lí 1.2.1(c)

Ta có x∗k(xn) ∈ Rn−k và y2∗(x∗k(xn)) = x∗k(y∗2(xn)) = 0 Do x∗k là toán tử dươngnên từ tính duy nhất của xn−k, ta suy ra

x∗k(xn) = c.xn−k, c ≥ 0

Mặt khác, vì (ρn−k)∗(xn) = (ρ∗)n−k(xn) = xk nên

c = (ρn−k)∗(c.xn−k) = (ρn−k)∗(x∗k(xn)) = x∗k((ρn−k)∗(xn)) = x∗k(xk) = 1.Bởi thế x∗k(xn) = xn−k với mọi 0 ≤ k ≤ n Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được

yk∗(yn) = yn−k.Bây giờ với ω ∈ Ω(Rk) Rõ ràng nếu k > n, thì ω∗(xn) = 0, còn nếu 0 ≤ k ≤ n,thì do y2∗(ω∗(xn)) = ω∗(y2∗(xn)) = 0 nên cùng với sự kiện ω∗(xn) ∈ R+ và tính duynhất của xn−k ta suy ra ω∗(xn) = a.xn−k, a ≥ 0 Thêm nữa a = x∗n−k(ω∗(xn)) =

ω∗(x∗n−k(xn)) = ω∗(xk) = hxk, ωi = 0 Do đó ω∗(xn) = 0

Phần còn lại là ta phải chứng minh yk∗(xn) = 0 Để làm điều đó ta chỉ cần chứngminh yk khác xk với mọi k ≥ 2 Nhưng điều này có ngay, vì y∗2(yk) = yk−2 6= 0 và

y2∗(xk) = 0

1.2.4 Chứng minh Định lí 1.2.1(d)

Với mọi phần tử bất khả quy ω, σ ∈ R, ta có

hm∗(xn), ω ⊗ σi = hxn, ω.σi = hω∗(xn), σi 6= 0khi và chỉ khi ω = xk và σ = xn−k, 0 ≤ k ≤ n Hơn nữa hm∗(xn), xk⊗ xn−ki = 1

Kí hiệu xk = yk = 0, với k < 0 Theo 1.2.1(d) và 0.6.6(e), ta có

Rõ ràng, chúng được xác định tốt và ánh xạ Rn vào ⊕0≤k≤nRk Theo (∗), thì

X∗, Y∗ là các đồng cấu vành Chúng sẽ đóng vai trò quan trọng trong các phần tiếptheo

Ta xác định các dạng tuyến tính δx và δy từ R vào Z, bằng cách đặt mỗi a ∈ Rn

δx(a) = x∗n(a), δy(a) = y∗n(a)

Hiển nhiên, mỗi δx và δy là dương; theo (∗) chúng là nhân tính, tức là các đồng cấuvành Hơn nữa, δx và δy thỏa mãn “điều kiện chuẩn hóa”, nghĩa là

δx(ρ) = δy(ρ) = 1

Mệnh đề sau đây sẽ có ích trong ứng dụng

Mệnh đề 1.2.3 ([7], Mệnh đề 3.6) Giả sử δ : R −→ Z là một dạng dương, nhântính và chuẩn hóa (tức là δ(ρ) = 1) Khi đó hoặc δ = δx hoặc δ = δy

Chứng minh Vì δ là nhân tính và chuẩn hóa nên ta có δ(ρ2) = 1 Từ tính dươngcủa δ suy ra hoặc δ(x2) = 0 hoặc δ(y2) = 0 Giả sử δ(y2) = 0 Nếu ω ∈ Ω(Rn), ω 6=

xn thì do tính duy nhất của xn nên y2∗(ω) 6= 0 Do đó ω ≤ y2.ρn−2 Thành thử

0 ≤ δ(ω) ≤ δ(y2.ρn−2) = δ(y2).δ(ρn−2) = 0, tức là δ(ω) = 0 Như vậy, δ(ρn) = 1 vàδ(ω) = 0 đối với tất cả các thành phần bất khả quy của ρn ngoại trừ xn nên suy raδ(xn) = 1 Khi đó, δ = δx Tương tự, nếu δ(x2) = 0 thì δ = δy

Ta trở lại với chứng minh của Định lí 1.2.1 Với λ = (l1, l2, , lr), đặt

R tùy ý Khi đó {e1, e2, , ep} là cơ sở của một T −nhóm con nào đó của R nếu

và chỉ nếu định thức Gram det(hei, eji) bằng 1

Chứng minh Giả sử {e1, e2, , ep} là cơ sở của một T −nhóm con R0 ⊂ R Điềunày có nghĩa là e1, e2, , ep độc lập tuyến tính và

R0 = Z.ω1+ Z.ω2 + · · · + Z.ωp,

ở đó ω1, ω2, , ωp là các phần tử bất khả quy phân biệt của R Khi đó ma trậnchuyển A giữa các cơ sở {ω1, ω2, , ωp} và {e1, e2, , ep} của R0 là khả nghịch

và A, A−1 gồm toàn các phần tử nguyên Do đó det A = ±1, suy ra

det(hei, eji) = det(A.At) = (det A)2 = 1

Ngược lại, giả sử det(hei, eji) = 1 Thế thì rõ ràng e1, e2, , ep độc lập tuyếntính Gọi R0 là nhóm con sinh bởi {e1, e2, , ep} và R0⊥ là phần bù trực giao của

R0 trong R Với mỗi x ∈ R, xét hệ phương trình tuyến tính

ω0 ∈ R0, ω0⊥ ∈ R0⊥ Vì

1 = hω, ωi = hω0, ω0i + hω0⊥, ω0⊥inên suy ra một trong hai phần tử ω0 và ω0⊥ bằng 0, tức là ω nằm trong R0 hoặc nằmtrong R0⊥ Do đó R0 và R0⊥ là các T −nhóm con của R

Cố định n ≥ 0 Ta áp dụng Bổ đề 1.2.4 vào {e1, e2, , ep} = {xλ | λ ∈ Pn}.Chính xác hơn, giả sử λ1, λ2, , λp là tất cả các phần tử của Pn sắp theo thứ thựvới i < j thì c.f.(λt

i) <lex c.f.(λt

j) (nhỏ hơn theo thứ tự từ điển) Đặt ei = xλi Taphải chứng minh e1, e2, , ep lập thành một Z−cơ sở trong Rn Muốn vậy, ta chỉcần chứng minh

(∗) det(hei, eji) = 1

Vì theo Bổ đề 1.2.4 thì (∗) suy ra {e1, e2, , ep} là cơ sở của một T −nhóm con

R0 ⊂ Rn nào đó Để chứng minh R0 = Rn chỉ cần kiểm tra rằng không có phần tửbất khả quy ω ∈ Rn nào trực giao với tất cả các ei Nhưng điều này là rõ ràng, vì

hω, epi = hω, x(1n )i = hω, ρni 6= 0

Đặt e0i = yλt, (i = 1, 2, , p) Ta sẽ suy ra (∗) từ bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.2.5 (a) Ma trận (hei, e0ji) là ma trận tam giác có các phần tử trên đườngchéo chính bằng 1; nói riêng, định thức của nó bằng 1

(b) Tất cả các phần tử e0j là tổ hợp tuyến tính nguyên của các phần tử (ei).Thật vậy, do (b):

1 = det(hei, e0ji) = det(hei, eji) det(aij)

Vì các nhân tử ở vế phải đều nguyên nên mỗi một trong chúng phải bằng ±1 Hơnnữa, vì định thức Gram luôn không âm nên det(hei, eji) = 1

Tóm lại, ta thấy đẳng thức

R = Z[x1, x2, ]nhận được từ Bổ đề 1.2.5 Công việc bây giờ là đi chứng minh bổ đề này Phần (b)được suy ra từ quan hệ 1.2.1(e) giữa (xn) và (yn) Thật vậy, các công thức này cóthể viết lại thành

Mệnh đề 1.2.6 ([7], Mệnh đề 3.10) Nếu λ, µ ∈ P và c.f.(µ) là lớn hơn c.f.(λt)theo thứ tự từ điển, thì

y∗µ(xλ) = 0 và y∗λt(xλ) = 1

Chứng minh (a) Rõ ràng t xác định tốt và như T , nó là một tự đẳng cấu đối hợp củađại số Hopf R, vì với mọi n ∈ Z, a ∈ Rn thì t2(a) = (−1)nt(T (a)) = (−1)2nT2(a) =

a Phần còn lại là kiểm tra tính dương của t, tức là nó phải biến một phần tử bấtkhả quy thành phần tử bất khả quy Trước hết ta chứng minh rằng T (và do đó t)

là một phép đẳng cự của R Chú ý là T được xác định duy nhất bởi tính giáo hoáncủa biểu đồ

e∗ GG##G G G

Xét biểu đồ (D∗) đạt được từ (D) bằng cách chuyển qua các toán tử liên hợp trong(D)

Tiên đề (S) suy ra (D∗) đạt được từ (D) bằng cách thay T bởi toán tử liên hợp T∗(T∗ tồn tại vì mỗi Rn có hạng hữu hạn) Do tính duy nhất của T nên T = T∗ Vì

h(t(a))∗(u), vi = hu, t(a)vi = ht−1(u), at−1(v)i

= h(a∗◦ t−1)(u), vi = h(t ◦ a∗◦ t−1)(u), vi,

suy ra

(t(a))∗ = t ◦ a∗◦ t−1

Vì thế

(x∗2 ◦ t)(xn) = ((t(y))∗◦ t)(xn) = (t ◦ y∗2)(xn) = 0, (n ≥ 0)

Từ tính duy nhất của yn suy ra t(xn) = yn với mọi n ≥ 0 Tương tự, t(yn) = xn

Bây giờ với mọi n ≥ 1, thì

k=0(−1)kxk.yn−k = 0 và theo đó ta thu được các khẳng định R = Z[x1, x2, ]

từ các công thức này, còn khẳng định R = Z[y1, y2, ] được chứng minh hoàn toàntương tự

1.2.6 Chứng minh Định lí 1.2.1(f)

Sự tồn tại của t đã được chứng minh trong 1.2.7; phần còn lại là chứng minh tínhduy nhất Giả sử τ : R → R là một tự đẳng cấu của PSH-đại số R Theo 1.2.1(e)chỉ cần chứng minh hoặc τ (xn) = xn, ∀n hoặc τ (xn) = yn, ∀n Đặt δ = δx◦ τ thì δ

là dạng dương, nhân tính và chuẩn hóa Vì thế, δ = δx hoặc δ = δy

suy ra j là một đồng cấu đại số Hopf Vì 0λ, x0µ = hxλ, xµi nên hj(xλ), j(µ)i =

hxλ, xµi Điều này suy ra j là phép đẳng cự và do đó nó là một đẳng cấu PSH-đạisố

1.2.8 Các phần tử nguyên thủy của R

Trong mục này ta đi tìm tất cả các phần tử nguyên thủy của R Theo 0.6.4

và 1.2.1(e), một phần tử z ∈ Rn là nguyên thủy nếu và chỉ nếu nó trực giao với

tất cả xλ ngoại trừ xn Hơn nữa, nếu z là phần tử nguyên thủy của R, thì phần tử

kz, k ∈ Z cũng vậy Những nhận xét ấy dẫn ta tới mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.8 ([7], Mệnh đề 3.15) (a) Với mỗi n ≥ 0, tồn tại duy nhất một phần

tử nguyên thủy zn∈ Rn sao cho

hzn, xni = 1

Nhóm con gồm tất cả các phần tử nguyên thủy trong Rn bằng Z.zn

(b) Đối với mỗi trường K có đặc số 0 đại số Hopf RK = R ⊗ K bằng

i=1α∗ixλi, thì zn là phần tử nguyên thủy duy nhất trong Rn sao cho

và quy ước z∅ = 1 Theo 1.2.8(b), các phần tử zλ lập thành một Q−cơ sở trong

RQ = R ⊗ Q Ta sẽ mô tả quan hệ giữa cơ sở này và các cơ sở (xλ) và (yλ)

Mệnh đề 1.2.9 ([7], Mệnh đề 3.16) Giả sử R[[ξ]] là vành các chuỗi lũy thừa hìnhthức một biến ξ trên R Định nghĩa các phần tử X(ξ), Y (ξ) và Z(ξ) của R[[ξ]] bởi