Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số

Mục lục Lời nói đầu i Bảng ký hiệu iii Chương Kiến thức chuẩn bị 0.1 T-nhóm 0.2 Vành biểu diễn 0.3 Biểu diễn cảm sinh 0.4 Các toán tử iU,θ rU,θ 0.5 Biểu diễn nhóm GL(2, Fq ) 0.6 Đại số Hopf PSH-đại số Phần tử nguyên thủy 0.7 Phân hoạch, bảng Young, bảng lệch móc-lệch 20 Chương Lý thuyết cấu trúc PSH-đại số 15 23 1.1 Định lí phân tích 23 1.2 PSH-đại số phổ dụng: Định lí cấu trúc đại số Hopf 27 1.3 PSH-đại số phổ dụng: Các phần tử bất khả quy 41 Chương Biểu diễn nhóm GL(n, Fq ) 53 2.1 Phân loại biểu diễn bất khả quy GL(n, Fq ) 53 2.2 Đại số P.Hall 56 2.3 Các giá trị đặc trưng GL(n, Fq ) phần tử lũy đơn 67 2.4 Các môđun Gelfand-Graev suy biến 76 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 Lời nói đầu Lí thuyết biểu diễn nhóm nói chung lí thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nói riêng đóng vai trò quan trọng Toán học, Vật lí, Hoá học, Bởi vậy, việc tìm hiểu tính chất hay mô tả nhóm cần thiết Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ xuất nhiều toán lí thuyết ứng dụng Cho đến nay, việc nghiên cứu lí thuyết biểu diễn nhóm thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đề tài thú vị cho muốn đưa ứng dụng vào lí thuyết khác như: Tôpô đại số, lí thuyết nhóm lượng tử, Tuy nhiên, việc mô tả triệt để biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát nói chung hay nhóm tuyến tính tổng quát trường hữu hạn nói riêng toán khó, việc tìm lớp liên hợp xây dựng bảng đặc trưng nhóm GL(2, Fq ) công việc phức tạp (xem 0.5) Luận văn trình bày việc nghiên cứu biểu diễn nhóm GL(n, Fq ), nhóm tuyến tính tổng quát trường hữu hạn dựa vào lí thuyết đại số Hopf Để làm điều đó, ta xét dãy nhóm Gn = GL(n, Fq ), n ≥ 0, (q cố định) tạo liên kết vành biểu diễn R(Gn ) nhóm Gn với thông qua việc xét R(q) = ⊕n≥0 R(Gn ) Tiếp theo xây dựng toán tử iU,θ , rU,θ tổng quát toán tử cảm sinh hạn chế thông thường; toán tử iU,θ trang bị cho R(q) cấu trúc đại số Z, toán tử rU,θ làm R(q) thành đối đại số Các cấu trúc đại số đối đại số tương thích với nhau, tương thích dẫn đến R(q) đại số Hopf Định lí phân tích phiên dịch thành phát biểu R(q) PSH-đại số, tức đại số Hopf tự liên hợp, dương, liên thông Z Các đặc trưng bất khả quy nhóm Gn xem phần tử bất khả quy R(q), Với công việc đó, luận văn chia làm chương Cụ thể là: Chương kiến thức chuẩn bị Phần đầu chương, trình bày sơ lược kiến thức như: T −nhóm, vành biểu diễn, biểu diễn cảm sinh, trao đổi Frobenius, toán tử iU,θ , rU,θ biểu diễn nhóm GL(2, Fq ) Việc đưa vào biểu diễn của nhóm GL(2, Fq ), thể việc áp dụng lí thuyết biểu diễn thông thường, có ý so sánh ví dụ phần sau với Phần lại chương, dành cho việc trình bày khái niệm đại số Hopf, PSH-đại số số kết đầu tiên, cuối phân hoạch bảng Young Chương trình bày lí thuyết sâu đầy đủ PSH-đại số, vấn đề trọng tâm là: định lí phân tích, định lí cấu trúc đại số Hopf, tham số hóa phần tử nguyên thủy, bất khả quy, số kết quan trọng tích vô hướng chúng nhằm phục vụ cho mục đích luận văn Chương nội dung luận văn Ở chương trình bày biểu diễn nhóm GL(n, Fq ) thông qua việc nghiên cứu PSH-đại số R(q) Cụ thể phân loại biểu diễn nhóm GL(n, Fq ), đại số P.Hall, tính bậc đặc trưng bất khả quy giá trị chúng phần tử lũy đơn Cuối trình bày môđun Gelfand-Graev suy biến, mà cho ta ý tưởng tính toán đặc trưng nhóm GL(n, Fq ) thông qua việc tính đặc trưng cảm sinh nhóm Luận văn kết Công việc người viết tìm hiểu khái niệm chứng minh chi tiết kết liên quan dựa vào số gợi ý vắn tắt tài liệu Trong số đó, tự chứng minh nhiều bổ đề, mệnh đề trình bày luận văn, chẳng hạn công thức J Green, Mệnh đề 0.4.2, 0.4.3, 0.6.6, 1.2.8,2.2.1, Bổ đề 2.3.1, 2.4.3 tự đưa số ví dụ 2.2.7, 2.3.5, 2.3.8, 2.3.11 Việc mạnh dạn định nghĩa toán tử x∗ H giúp đưa chứng minh sáng sủa cho Mệnh đề 2.2.5 Ngoài ra, Chương 0, mục 0.5 đưa số chứng minh ngắn gọn tự nhiên tài liệu, chẳng hạn chứng minh ψi,j = ψi ,j , χi = χj công thức (∗) (∗∗) Để hoàn thành luận văn này, nỗ lực thân, tác giả nhận nhiều động viên giúp đỡ từ gia đình, bạn bè thân hữu, thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tác giả xin cảm ơn người, đặc biệt TS Lê Minh Hà, người thầy hướng dẫn tận tình bảo, giải đáp thắc mắc định hướng cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy lời cảm ơn sâu sắc tận đáy lòng Cuối cùng, cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý chân thành tất quan tâm Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Học viên Phạm Xuân Thịnh ii Bảng ký hiệu tập số tự nhiên tập số nguyên tập số hữu tỉ tập số thực tập số phức tập đồng cấu từ không gian biểu diễn π vào không gian biểu diễn τ |G| số phần tử nhóm G G/H tập lớp kề nhóm G theo nhóm H G |a | số phần tử lớp liên hợp a nhóm G |CG (a)| số phần tử nhóm tâm hóa a nhóm G U ×V tích trực tiếp U V U ⊗V tích tenxơ U V U ⊕V tổng trực tiếp U V U V hợp rời U V a|b a ước b a b a không ước b C[G] vành nhóm G Fq trường hữu hạn có q phần tử GL(n, Fq ) nhóm ma trận vuông cỡ n × n khả nghịch với phần tử trường Fq det(A) định thức ma trận vuông A diag(a1 , a2 , , an ) ma trận đường chéo với phần tử đường chéo a1 , a2 , , an N Z Q R C Hom(π, τ ) Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại vành biểu diễn, biểu diễn cảm sinh, biểu diễn hạn chế, trao đổi Frobenius, toán tử iU,θ , rU,θ mở rộng toán tử biểu diễn cảm sinh hạn chế, biểu diễn nhóm GL(2, Fq ) Tiếp theo nhắc lại đại số Hopf, PSH-đại số số kết liên quan Các kết dùng thường xuyên sau Cuối sơ lược phân hoạch, bảng Young, Toàn chương trình bày theo J P Serre [5], N H V Hưng [1], Andrey V Zelevinsky [7] Gordon James and Martin Liebeck [4], có tham khảo J.L Alperin with Rowen B Bell [2] Trong suốt chương toàn luận văn, nói G nhóm, ta hiểu G nhóm hữu hạn 0.1 T-nhóm Một T −nhóm Z−môđun tự R với Z−cơ sở đánh dấu Ω = Ω(R) Ta coi Z T −nhóm với Ω(Z) = {1} Tổng trực tiếp họ T −nhóm tùy ý tích tenxơ họ hữu hạn T −nhóm T −nhóm với sở tương ứng: n Ω(⊕α∈A Rα ) = Ω(Rα ), Ω(⊗ni=1 Ri ) = Ω(Ri ) i=1 α∈A Nói riêng, T −nhóm phân tích thành tổng trực tiếp T −nhóm Z.ω, ω ∈ Ω(R) Một T −nhóm T −nhóm R nhóm có dạng ⊕ω∈Ω Z.ω, Ω tập Ω(R) Đặt R+ = mω ω | mω ≥ ω∈Ω Các phần tử R+ gọi dương Ta viết x ≥ y x − y ∈ R+ Một đồng cấu hai T −nhóm gọi dương biến phần tử dương thành phần tử dương Với T −nhóm R, định nghĩa dạng Z−song tuyến tính , R ω, ω = δω,ω với ω, ω ∈ Ω Dạng , đối xứng, không suy biến xác định dương; ta gọi tích vô hướng R Các phần tử Ω gọi phần tử dương có độ dài gọi phần tử bất khả quy T −nhóm R Nếu π = ω∈Ω mω ω ∈ R+ phần tử ω ∈ Ω cho mω > gọi thành phần bất khả quy π Rõ ràng, điều kiện mω > viết thành ω ≤ π ω, π > 0.2 Vành biểu diễn Giả sử ρ1 , , ρh tập tất biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G Khi đó, biểu diễn ϕ G phân tích thành tổng ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh , với hệ số mi nguyên không âm Nếu ψ = n1 ρ ⊕ · · · ⊕ nh ρ h biểu diễn G, ta có ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ρ1 ⊕ · · · ⊕ (mh + nh )ρh , ϕ⊗ψ = mi nj (ρi ⊗ ρj ) i,j Mỗi biểu diễn ρi ⊗ ρj lại có phân tích qua ρ1 , , ρh Thế phân tích vào đẳng thức trên, ta thu phân tích ϕ ⊗ ψ Bây giờ, gọi R(G) tập hợp tổng hình thức ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh , hệ số mi số nguyên Mỗi phần tử R(G) gọi biểu diễn suy rộng G Tổng ϕ ⊕ ψ tích ϕ ⊗ ψ hai biểu diễn suy rộng ϕ ψ xác định công thức nêu cho trường hợp ϕ ψ biểu diễn Khi R(G) lập thành vành giao hoán phép toán ⊕ ⊗ Định nghĩa 0.2.1 R(G) gọi vành biểu diễn nhóm G Giả sử χi đặc trưng biểu diễn ρi Khi R(G) đồng với tập hàm tổ hợp tuyến tính χ1 , , χh , χ = m1 χ1 + · · · + mh χh , với hệ số mi nguyên Mỗi hàm gọi đặc trưng suy rộng G Hai phép toán định nghĩa sau: mi χi + mi χi ni χi = nj χj = (mi + ni )χi , mi nj (χi χj ) Vì R(G) gọi vành đặc trưng G Đối với phép cộng, R(G) nhóm abel tự tập hợp {χ1 , , χh } Nói cách khác, ta có phân tích R(G) = Zχ1 ⊕ · · · ⊕ Zχh Vì χi lập thành sở trực chuẩn không gian C(G) hàm lớp G, nên đồng C ⊗Z R(G) với C(G) Gọi ρ biểu diễn đơn vị G, tức biểu diễn cấp ρ : G → GL(C) = C∗ xác định ρ(s) = idC , với s ∈ G Khi đó, đặc trưng χρ xác định χρ (s) = với s ∈ G Ta có χρ đơn vị vành R(G) Tóm lại, ta có kết sau: Mệnh đề 0.2.2 ([1], Mệnh đề 7.1) Các đặc trưng suy rộng G lập thành vành giao hoán R(G) với đơn vị đặc trưng χρ biểu diễn đơn vị 0.3 0.3.1 Biểu diễn cảm sinh Định nghĩa biểu diễn cảm sinh Cho ρ : G → GL(V ) biểu diễn tuyến tính G H nhóm G Gọi ρH hạn chế ρ xuống H Giả sử W biểu diễn ρH Nói cách khác, W không gian vectơ V , ổn định tác động ρt , với t ∈ H Kí hiệu biểu diễn H W θ : H → GL(W ) Với s ∈ G, không gian vectơ ρs W phụ thuộc vào lớp kề trái sH s Thật vậy, ta thay s st với t ∈ H ρst W = ρs ρt W = ρs W Như vậy, σ lớp kề trái H, ta xác định không gian vectơ Wσ V ρs W , với s ∈ σ Khi đó, Wσ hoán vị với ρs , s ∈ G Do tổng chúng, σ∈G/H Wσ , biểu diễn V Định nghĩa 0.3.1 Ta nói biểu diễn ρ G V cảm sinh biểu diễn θ H W V tổng trực tiếp Wσ , với σ ∈ G/H, V = ⊕σ∈G/H Wσ Cũng định nghĩa biểu diễn cảm sinh theo ngôn ngữ “môđun” sau: Định nghĩa 0.3.2 Với H nhóm G, ta định nghĩa môđun cảm sinh C[H]−môđun W C[G]−môđun V = C[G] ⊗C[H] W Sự tồn tính biểu diễn cảm sinh thể định lí sau: Định lí 0.3.3 ([5], Định lý 11) Giả sử H nhóm G (W, θ) biểu diễn tuyến tính H Khi đó, tồn biểu diễn tuyến tính (V, ρ) G, cảm sinh (W, θ) Hơn nữa, (V, ρ) nhất, sai khác đẳng cấu Giả sử (V, ρ) cảm sinh (W, θ) với đặc trưng tương ứng χρ χθ Khi χρ tính từ χθ nhờ định lí: Định lí 0.3.4 ([5], Định lý 12) Giả sử R lớp đại diện G/H Với u ∈ G, ta có χθ (r−1 ur) = χρ (u) = r∈R r−1 ur∈H |H| χθ (s−1 us) s∈G s−1 us∈H Nếu f hàm lớp H, xét hàm f G định nghĩa công thức f (s) = |H| f (t−1 st) t∈G t−1 st∈H Ta nói f cảm sinh từ f kí hiệu IndG H (f ) hay Ind(f ) Mệnh đề 0.3.5 ([5], Mệnh đề 20) (i) IndG H (f ) hàm lớp G (ii) Nếu f đặc trưng biểu diễn W H IndG H (f ) đặc trưng biểu G diễn cảm sinh IndH (W ) G 0.3.2 Công thức trao đổi Frobenius Kí hiệu A(G) tập hợp biểu diễn phức hữu hạn chiều nhóm G Rõ ràng, R(G) T −nhóm với sở Ω = Ω(G) tập lớp tương đương biểu diễn bất khả quy G Các phần tử dương R(G) đồng với lớp tương đương biểu diễn A(G) Tích vô hướng A(G) định nghĩa công thức: π, τ = π(g)τ (g −1 ); π, τ ∈ A(G), |G| g∈G mở rộng tuyến tính để tích vô hướng R(G) Theo đó, từ Bổ đề Schur, ta có Định lí 0.3.6 ([2], Định lí 12) Nếu π, τ biểu diễn bất khả quy G, π, τ = dimC Hom(π, τ ) Đồng phần tử R(G) với ảnh C(G) ta mở rộng tích vô hướng , R(G) tới tích vô hướng Hecmit C(G), cho công thức: f1 (g).f2 (g) f1 , f2 = |G| g∈G Nếu ϕ hàm lớp G, ta kí hiệu ResG H (ϕ) hay Res(ϕ) hạn chế xuống nhóm H Định lí quan trọng nói trao đổi Frobenius Định lí 0.3.7 ([5], Định lý 13) Nếu ψ hàm lớp H ϕ hàm lớp G, ta có ψ, Res(ϕ) H = Ind(ψ), ϕ G Nhận xét 0.3.8 Từ Định lí 0.3.7, suy ánh xạ Res Ind liên hợp với tích vô hướng , 0.4 Các toán tử iU,θ rU,θ Trong mục ta giới thiệu toán tử iU,θ rU,θ , tổng quát toán tử cảm sinh hạn chế trên, đồng thời phác thảo tính chất chúng Giả sử G nhóm hữu hạn, M U nhóm cho M chuẩn hóa U (tức M ≤ NG (U )) M ∩ U = {e} Xét θ : U −→ C∗ đặc trưng U chuẩn hóa M , tức cho θ(mum−1 ) = θ(u) với m ∈ M, u ∈ U Theo cách đặt ta xác định toán tử iU,θ : A(M ) −→ A(G) (“θ-cảm sinh”), rU,θ : A(G) −→ A(M ) (“θ-hạn chế”) sau: (a) Giả sử V không gian biểu diễn ρ ∈ A(M ) Ta mở rộng ρ tới biểu diễn ρ P = M U không gian V , xác định ρ(mu) = θ(u).ρ(m), với u ∈ U, m ∈ M Đặt iU,θ (ρ) = IndG P (ρ) (b) Nếu E không gian biểu diễn π ∈ A(G), ta đặt E U,θ = {ξ ∈ E | π(u)ξ = θ(u).ξ; ∀u ∈ U } Khi đó, với ξ ∈ E U,θ , m ∈ M, u ∈ U , ta có π(u)(π(m)ξ) = π(um)ξ = π(m)π(m−1 um)ξ = π(m)θ(m−1 um)ξ = π(m)θ(u)ξ = θ(u)π(m)ξ Vì thế, π(m)ξ ∈ E U,θ , tức không gian E U,θ ổn định tác động U,θ π(m), m ∈ M Theo đó, rU,θ (π) biểu diễn πM = ResG M (π) E Nhận xét 0.4.1 Khi U = {e} P = M , suy toán tử iU,θ rU,θ trở thành toán tử cảm sinh hạn chế thông thường Mệnh đề 0.4.2 ([7], Mệnh đề 8.1) (a) Các toán tử iU,θ rU,θ cộng tính (b) rU,θ liên hợp với iU,θ , tức với ρ ∈ A(M ), π ∈ A(G) ta có đẳng cấu Hom(rU,θ (π), ρ) ∼ = Hom(π, iU,θ (ρ)) (c) Giả sử N V nhóm M θ đặc trưng V cho toán tử iV,θ : A(N ) −→ A(M ) rV,θ : A(M ) −→ A(N ), có ý nghĩa Xác định đặc trưng θ0 U = U V θ0 (uv) = θ(u).θ (v); u ∈ U, v ∈ V Khi iU,θ ◦ iV,θ = iU ,θ0 , rU,θ ◦ rV,θ = rU ,θ0 Vì toán tử iU,θ : A(M ) −→ A(G) cộng tính nên cảm sinh đồng cấu dương iU,θ : R(M ) −→ R(G), toán tử C−tuyến tính iU,θ : C(M ) −→ C(G), (tương tự rU,θ ) Mệnh đề sau cho công thức tường minh iU,θ rU,θ hàm lớp Mệnh đề 0.4.3 ([7], Mệnh đề 8.2) Đối với χ ∈ C(M ), g ∈ G, ta có iU,θ (χ)(g) = |M |.|U | χ(m).θ(u) (tổng lấy tập (g1 , m, u) ∈ G × M × U | g = g1 mug1−1 ) với ϕ ∈ C(G), m ∈ M; rU,θ (ϕ)(m) = θ(u)−1 ϕ(mu) |U | u∈U Sử dụng thông tin H ta nhận nhiều đồng thú vị, chẳng hạn theo 1.2.9, ta có d ln Y (ξ) Z(−ξ) = dξ Áp dụng đồng vào dạng nhân tính dq : R −→ Q hệ số sử dụng 2.2.5(b), ta đồng Q[[ξ]] mà viết thành exp( k≥1 ξk )= k(q k − 1) n(n−1) n≥0 q ξ n Υq (n) Bây ta xét quan hệ sở {χλ } H sở khác R (xem 1.2, 1.3) Giả sử (Q(λ, µ)) ma trận chuyển sở (χλ ) (zµ ), tức (∗) zµ = Q(λ, µ).χλ , (λ, µ ∈ P) λ Các hệ số Q(λ, µ) gọi đa thức Green, chúng đa thức biến q đóng vai trò quan trọng lí thuyết đặc trưng nhóm Gn Bởi 2.2.3(b), với λ ∈ Pn ta có Q(λ, (n)) = (1 − q)(1 − q ) (1 − q r(λ)−1 ) Rõ ràng, tất Q(λ, µ) biểu diễn theo giá trị cấu trúc λ gµ.ν Nói riêng, Q(λ, µ) ∈ Z Mỗi sở (χλ ) (zλ ) trực giao , q , ta có χλ , χλ q = , |Z(Kλ )| zλ , zλ q = cλ Πq (λ) (xem 2.2.1, 2.2.5(c), 1.2.11) Vì ta có nghịch đảo (∗): (∗∗) χλ = µ Πq (µ) Q(λ, µ).zµ cµ |Z(Kλ )| So sánh (∗) (∗∗) với kết 1.2, 1.3, ta nhận ma trận chuyển (χλ ) tất sở từ 1.2, 1.3 theo đa thức Green Ta đưa vài tính chất Q(λ, µ) Ví dụ, so sánh (∗) (∗∗), ta quan hệ trực giao λ µ cν Q(λ, µ).Q(λ, ν) = δµ,ν ; |Z(Kλ )| Πq (ν) Πq (µ) Q(λ, µ).Q(ν, µ) = |Z(Kλ )|δλ,ν cµ Ta đưa vài đồng Q(λ, µ) Để có điều cần phân tích xn sở (χλ ) hai cách khác Theo 2.2.3(b), xn = χλ λ∈Pn 66 Mặt khác, từ 1.2.10(b), 1.2.11 (∗), ta có zµ⊥ = xn = µ∈Pn c−1 µ zµ = µ∈Pn c−1 µ Q(λ, µ) χλ λ∈Pn µ∈Pn So sánh biểu thức này, ta nhận đồng c−1 µ Q(λ, µ) = với λ ∈ P µ Tương tự, sử dụng yn thay cho xn , ta nhận đồng thức (−1)n−r(µ) c−1 µ Q(λ, µ) = q n(n−1) δλ,(1n ) µ∈Pn 2.3 Các giá trị đặc trưng GL(n, Fq ) phần tử lũy đơn Trong mục ta tính giá trị đặc trưng tất phần tử bất khả quy nhóm Gn phần tử lũy đơn Rõ ràng, vấn đề tương đương với vấn đề tính toán tường minh đồng cấu p : R(q) −→ H (xem 2.2.1) Nhắc lại R(q) = ⊗ρ∈C R(ρ), R(ρ) đồng với R thông qua đẳng cấu Υρ Mặt khác, H đồng với RC thông qua đẳng cấu pι (xem 2.2.3) p đồng cấu vành (xem 2.2.1(a)) nên để tính p cách tỉ mỉ ta cần tính toán ρ ∈ C hợp thành Υρ p−1 ι p R −→ R(ρ) → − H −−→ RC Kí hiệu hợp thành pρ : R −→ RC Rõ ràng, pρ đồng cấu đại số Hopf, không bảo toàn phân bậc, deg ρ = k, tức ρ ∈ Ω(Gk ), Υ( ρ) ánh xạ Rn vào R(ρ)n p ánh xạ R(ρ)n vào Hkn Do pρ ánh xạ Rn tới (RC )kn Định nghĩa ta Υρ dựa vào đồng δρ = Bây ta chứng minh đồng Vì H đồng với RC , dạng δx , (δy ) từ 1.2.3 cảm sinh dạng C−tuyến tính nhân tính H −→ C, a⊗α −→ α.δx (a), mà kí hiệu δx , (δy ) Bổ đề 2.3.1 ([7], Bổ đề 11.2) Dạng δ R(q) hợp thành δy p R(q) → − H− → C Chứng minh Từ định nghĩa Υι , ta có δ = δy ◦ Υι−1 Đẳng cấu Υι cảm sinh đẳng cấu RC −→ R(ι)C , x ⊗ α −→ Υι (x) ⊗ α Ta kí hiệu Υι đồng RC với R(ι)C = H thông qua đẳng cấu Khi hạn chế δ xuống H hợp thành δy id H− →H− → C 67 Vì R(q)C = H ⊕ H⊥ từ định nghĩa p ta suy δy ◦ p = δy ◦ Υι−1 = δ H Do để chứng minh bổ đề ta cần chứng δ = δy ◦ p H⊥ Điều tương đương với việc chứng minh δ triệt tiêu phần bù trực giao H⊥ H R(q)C , tức không gian hàm phần tử lũy đơn Thực tế suy từ định nghĩa δ 0.4.3 Thật vậy, với χ ∈ H⊥ , ta có δ(χ)(e) = rU,ψ (e) = ψ(u)−1 χ(u) = |U | u∈U Kí hiệu δ : R(q) −→ C hợp thành p δ x → C R(q) → − H− Nhận xét 2.3.2 Bởi 2.2.4, π ∈ A(Gn ) giá trị δ (π) giá trị đặc trưng π lớp K(n) Bổ đề 2.3.3 ([7], Bổ đề 11.3) (a) Tồn phép đối hợp ω −→ ω t tập hợp Ω(Gn ) cho ρt = ρ biểu diễn dạng cusp ρ, δ(ω) = ±δ (ω t ) ω ∈ Ω(Gn ) (b) Đối với n ≥ 1, ta có δ(ω)2 = q n−1 (q − 1) ω∈Ω(Gn ) Chứng minh (a) Đối với ρ ∈ C xét tự đẳng cấu không tầm thường t PSH-đại số R(ρ) (xem 1.2.1) Ta mở rộng tự đẳng cấu tới tự đẳng cấu ω −→ ω t := t(ω) PSH-đại số R(q) = ⊗ρ∈C R(ρ) Khi rõ ràng, ρt = t(ρ) = ρ ρ ∈ C Theo định nghĩa t (xem 1.2.7), với ω ∈ Ω(Gn ) ta có ω t = t(ω) = ±T (ω), T : R(q) −→ R(q) phép liên hợp R(q) Mặt khác, yn∗ (a) = (t(xn ))∗ (a) = t ◦ x∗n ◦ t−1 (a) = x∗n ◦ t(a) nên π ∈ Hn ta có δy (π) = ±δx ◦ TH (π), TH : H −→ H phép liên hợp H Theo định nghĩa T , ta có TH ◦ p = p ◦ T : R(q) −→ H Thành thử δ (ω t ) = ±δx ◦ p ◦ T (ω) = ±δx ◦ TH ◦ p(ω) = ±δy ◦ p(ω) = ±δ(ω), 68 với ω ∈ Ω(Gn ) (b) Theo (a), cần kiểm tra δ (ω)2 = q n−1 (q − 1) (∗) ω∈Ω(Gn ) Đặt ζn = |Z(K(n) )|.χ(n) ∈ Hn ( xem 2.2.1) Theo nhận xét δ (ω) = ζn , ω q Do đó, vế trái (∗) ζn , ω q = |Z(K(n) )|2 χ(n) , χ(n) = q n−1 (q − 1) ω∈Ω(Gn ) 2.3.1 Chứng minh Định lí S.I Bây ta chứng minh δ(ρ) = với ρ ∈ C Theo Bổ đề 2.3.3(a) cần chứng minh δ (ρ) = 0, tức δx (p(ρ)) = Giả sử deg ρ = k Vì p : R(q) −→ H đồng cấu đại số Hopf, phần tử p(ρ) ∈ Hk nguyên thủy Do p(ρ) tỉ lệ với zk Nhưng δx (zk ) = (xem 1.2.8), δx (p(ρ)) p(ρ) = Đẳng thức p(ρ) = nghĩa đặc trưng ρ lấy giá trị tất phần tử lũy đơn Gk ; nói riêng, dim ρ = Điều mâu thuẫn chứng tỏ δ (ρ) = Để chứng minh Định lí Gelfand-Graev, tức δ(ω) ≤ ω ∈ Ω(Gn ), ta cần mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.4 ([7], Mệnh đề 11.5) Đối với n ≥ số biểu diễn dạng cusp Gn số đa thức bất khả quy P ∈ Fq [T ] có bậc n với hệ số đầu hạng tử khác không Chứng minh Trước hết ta tính số lớp liên hợp Gn Các lớp tương ứng một với lớp đẳng cấu Fq [T ]−môđun V cho dimFq V = n toán tử T : V −→ V khả nghịch Thật vậy, ta kí hiệu ma trận biểu diễn T sở tắc V AT Rõ ràng, AT ∈ Gn , thuộc vào lớp liên hợp c Gn Mỗi toán tử khả nghịch T : V −→ V mà ma trận sở tắc V liên hợp với AT , tức có ma trận B ∈ c cho AT = BAT B −1 , ánh xạ f : V −→ V, T −→ T đẳng cấu Fq [T ]−môđun Theo định lý cấu trúc môđun vành ideal suy môđun V phân tích thành tổng trực tiếp môđun cyclic nguyên sơ, lớp đẳng cấu V xác định phân tích Mỗi môđun cyclic nguyên sơ Fq [T ] có dạng Fq [T ]/(P l ), 69 P đa thức bất khả quy Fq (ta giả thiết hệ số đầu 1) l ≥ Tóm lại, ta nhận mô tả sau lớp liên hợp Gn Kí hiệu C tập phân bậc đa thức bất khả quy P ∈ Fq [T ] với hệ số đầu hạng tử khác Các lớp liên hợp Gn tham số hóa tập Sn (C ; P); với hàm ϕ : P −→ (l1 (P ), l2 (P ), ) tương ứng với lớp đẳng cấu Fq [T ]−môđun ⊕P ∈C ⊕k≥1 Fq [T ]/(P lk (P ) ) Ví dụ, lớp lũy đơn Kλ tương ứng với hàm ϕ cho ϕ(T − 1) = λ, ϕ(P ) = ∅ với P = T − Vì số biểu diễn bất khả quy Gn số lớp liên hợp, suy |Sn (C; P)| = |Sn (C ; P)| với n ≥ Từ điều ta dễ dàng tiếp cận quy nạp theo n với n ≥ tập hợp C C có số phần tử bậc n Ví dụ 2.3.5 Xét nhóm GL(2, F3 ) Để tìm số lớp liên hợp nhóm trước hết ta tìm biểu diễn dạng cusp Số biểu diễn dạng cusp bậc số đa thức bất khả quy bậc với hệ số đầu hạng tử khác F3 [x] Dễ thấy số − = 2, kí hiệu ρ1,1 , ρ1,2 Theo Mệnh đề số biểu diễn dạng cusp bậc số đa thức bất khả quy x2 + ax + b ∈ F3 [x], b = Đặt a = 2c đa thức x2 + ax + b = (x + c)2 + b − c2 khả quy b − c2 = −d2 Từ ta tìm đa thức bậc hai bất khả quy có dạng x2 + ax + b ∈ F3 [x], b = 0, hay có biểu diễn dạng cusp bậc 2, kí hiệu ρ2,1 , ρ2,2 , ρ2,3 Bây ϕ ∈ S2 (C; P), deg ρ.|ϕ(ρ)| = ρ∈C Đối với ρ2,1 , ρ2,2 , ρ2,3 có hàm tương ứng ϕ2,1 , ϕ2,2 , ϕ2,3 thỏa mãn,  (1, 0, , 0) ρ = ρ2,j ϕ2,j (ρ) = (j = 1, 2, 3) (0, 0, , 0) ρ = ρ2,j , Đối với ρ1,1 , ρ1,2 có hàm ϕi thỏa mãn Đó ϕ1 (ρ1,1 ) = (2, 0, , 0), ϕ1 (ρ) = (0, 0, , 0) với ρ = ρ1,1 ; ϕ2 (ρ1,1 ) = (1, 1, , 0), ϕ2 (ρ) = (0, 0, , 0) với ρ = ρ1,1 ; ϕ3 (ρ1,2 ) = (2, 0, , 0), ϕ3 (ρ) = (0, 0, , 0) với ρ = ρ1,2 ; ϕ4 (ρ1,2 ) = (1, 1, , 0), ϕ4 (ρ) = (0, 0, , 0) với ρ = ρ1,2 ; ϕ5 (ρ1,1 ) = ϕ5 (ρ1,2 ) = (1, 0, , 0), ϕ5 (ρ) = (0, 0, , 0) với ρ = ρ1,1 , ρ1,2 Như |S2 (C; P)| = Vậy số lớp liên hợp GL(2, F3 ) = 32 − 70 2.3.2 Chứng minh Định lí Gelfand-Graev Ý tưởng ta đưa chặn cho tổng δ(ω)2 ; S= ω∈Ω(Gn ) ta chứng tỏ δ(ω) > với ω ∈ Ω(Gn ) đó, S > q n−1 (q − 1) Điều mâu thuẫn với 2.3.3(b) ta đạt điều cần chứng minh Theo 1.1.4(a), ta có Ω(Gn ) = Sn (C; Z+ ) = ϕ∈Sn (C;Z+ ) Ω(ϕ), ϕ ∈ S(C; Z+ ) | deg ϕ = ϕ(ρ) deg ρ = n ; ρ∈C Ta chứng minh Sn (C; Z+ ) = q n(n−1) (q − 1) Thật vậy, 2.3.4 ta thay tập C C Gán ϕ ∈ S(C ; Z+ ) với đa thức P ϕ(P ) , P ∈C ta nhận song ánh Sn (C ; Z+ ) với tập đa thức F ∈ Fq [T ] bậc n với hệ số đầu hạng tử khác Số đa thức q n(n−1) (q−1) Với ϕ ∈ S(C; Z+ ) đặt δ(ω)2 S(ϕ) = ω∈Ω(ϕ) Bởi định nghĩa, phần tử Ω(ϕ) thành phần bất khả quy ρϕ(ρ) πϕ = ρ∈C Ta chứng minh δ(ρ) > với ρ ∈ C (xem 2.3.1.) Do δ nhân tính nên ta có δ(πϕ ) > Vì δ dạng dương R(q) với giá trị nguyên, suy ϕ tồn ω ∈ Ω(ϕ) cho δ(ω) ≥ Do đó, S(ϕ) ≥ 1; ∀ϕ ∈ S(C; Z+ ), suy = q n−1 (q − 1); S(ϕ) ≥ S= deg ρ=n deg ρ=n nữa, δ(ρ) > với ω ∈ Ω(Gn ) bất đẳng thức trở nên ngặt Áp dụng 2.3.3(b) ta điều cần chứng minh Bây ta tính đồng cấu pρ : R −→ RC 71 Định lí 2.3.6 ([7], Định lí 11.7) Giả sử ρ ∈ C deg ρ = k Với n ≥ 1, ta có pρ (zn ) = (−1)n(k−1) zkn Chứng minh Vì zn nguyên thủy pρ đồng cấu đại số Hopf, suy pρ (zn ) phần tử nguyên thuỷ (RC )kn , tỉ lệ với zkn Để tìm hệ số tỉ lệ ta sử dụng Bổ đề 2.3.1 Ta có δy (pρ (zn )) = δ(Υρ (zn )) = δy (zn ) = (−1)n−1 , δy (zkn ) = (−1)kn−1 Do hệ số (−1)kn−n = (−1)n(k−1) Định lí 2.3.6 suy công thức J.Green giá trị đặc trưng biểu diễn bất khả quy Gn phần tử lũy đơn Đối với µ = (m1 , , mr ) ∈ P k ∈ N kí hiệu k.µ phân hoạch (km1 , , kmr ) ∈ P; họ hữu hạn (µα | α ∈ A) phân hoạch kí hiệu α∈A µα hợp phân hoạch Ví dụ 2.3.7 Với phân hoạch (4, 2, 1) (32 , 2, 1) (4, 2, 1) (32 , 2, 1) = (4, 32 , 22 , 12 ) Công thức J.Green bảo giá trị đặc trưng biểu diễn bất khả quy {ϕ} Gn (ở ϕ ∈ Sn (C; P)) lớp Kλ (−1)n− ρ |ϕ(ρ)| [Q(λ, deg ρ.ψ(ρ)) ρ∈C ψ∈S(C;P) ρ∈C {ϕ(ρ)} , zψ(ρ) ], cψ(ρ) Q(λ, µ) đa thức J.Green; tích vô hướng {ν} , zµ tính 1.3.13, số cµ nêu 1.2.11(c) Chứng minh Ta có p({ϕ}) = p( Υρ ({ϕ(ρ)}) = ρ∈C = pρ ( ρ∈C pρ ({ϕ(ρ)}) ρ∈C ν∈P = ρ∈C ν∈P znu , {ϕ(ρ)} zν ) cν zν , {ϕ(ρ)} pρ (zν ) cν Giả sử ν = (l1 , l2 , , lr ) Thế pρ (zν ) = pρ (zl1 zl2 zlr ) = pρ (zl1 ).pρ (zl2 ) pρ (zlr ) = (−1)(l1 +l2 +···+lr )(deg ρ−1) zl1 deg ρ zl2 deg ρ zlr deg ρ = (−1)|ν|(deg ρ−1) zν deg ρ = (−1)|ν|(deg ρ−1) Q(λ , ν deg ρ)χλ λ ∈P 72 Với ν ∈ P tồn ψ ∈ S(C; P) cho ν = ψ(ρ) Do p({ϕ}) ρ∈C ψ∈S(C; P) = (−1)n− zψ(ρ) , {ϕ(ρ)} (−1)|ψ(ρ)|(deg ρ−1) cψ(ρ) ρ Q(λ , ψ(ρ) deg ρ)χλ ) λ ∈P |ϕ(ρ)| [Q(λ , ψ∈S(C; P) λ ∈P deg ρ.ψ(ρ)) ρ∈C ρ∈C {ϕ(ρ)} , zψ(ρ) ]χλ cψ(ρ) Vì thế, giá trị đặc trưng biểu diễn {ϕ} lớp Kλ p({ϕ})(Kλ ) (−1)n− ρ |ϕ(ρ)| [Q(λ , ψ∈S(C; P) λ ∈P = (−1)n− ρ |ϕ(ρ)| deg ρ.ψ(ρ)) ρ∈C [Q(λ, ρ∈C deg ρ.ψ(ρ)) ρ∈C ψ∈S(C;P) ρ∈C {ϕ(ρ)} , zψ(ρ) ]χλ (Kλ ) cψ(ρ) {ϕ(ρ)} , zψ(ρ) ] cψ(ρ) Công thức J Green chứng minh hoàn tất Ví dụ 2.3.8 Ta áp dụng công thức J Green vào tính giá trị đặc trưng ϕ2,1 nhóm GL(2, Fq ) lớp K(2,0) Ta có  (1) ρ = ρ 2,1 ϕ2,1 (ρ) = (0) ρ = ρ2,1 Do {ϕ2,1 (ρ)} , zψ(ρ) khác ρ = ρ2,1 trường hợp phải có ψ(ρ2,1 ) = (1) Khi {ϕ2,1 (ρ2,1 )} , zψ(ρ2,1 ) = y1 , z1 = 1, Q((2, 0), deg ρ2,1 ψ(ρ2,1 ))) = Q((2.0), (2, 0)) = − = −2, c(2,0) = Theo công thức J Green, ta có p({ϕ2,1 })(K(2,0) ) = (−1)2−1 (−2) = So sánh kết ta thấy trùng với λi (u1 ) Chương Hoàn toàn tương tự ta tính giá trị đặc trưng khác nhóm GL(2, F3 ) K(2,0) Hệ 2.3.9 Giả sử ρ ∈ C λ ∈ P cho deg ρ = |λ| = n Khi giá trị đặc trưng ρ lớp Kλ (−1)n−r(λ) Υq (r(λ) − 1); nói riêng, giá trị không phụ thuộc vào ρ Chứng minh Vì ρ ∈ C từ định nghĩa Υρ ta suy Υρ (ρ) = ρ Vì p(ρ) = pρ (ρ) Lặp lại chứng minh 2.3.6 ta p(ρ) = (−1)n−1 zn Mặt khác zn = pι (zn ) = (1 − q).(1 − q ) (1 − q r(λ )−1 )χλ λ ∈Pn 73 Do (1 − q).(1 − q ) (1 − q r(λ )−1 )χλ (Kλ ) p(ρ)(Kλ ) = (−1)n−1 λ ∈Pn n−1 = (−1) (1 − q).(1 − q ) (1 − q r(λ)−1 ) = (−1)n−r(λ) Υq (r(λ) − 1) Bây ta áp dụng 2.3.6 để tính giá trị đặc trưng biểu diễn bất khả quy Gn lớp K(1n ) K(n) (giá trị đặc trưng π K(1n ) hiển nhiên chiều π) Mệnh đề 2.3.10 ([7], Mệnh đề 11.10) Cho ϕ ∈ Sn (C; P) {ϕ} biểu diễn bất khả quy tương ứng Gn (a) dim {ϕ} = Υq (n) ρ∈C dqdeg ρ ({ϕ(ρ)}) (b) Giá trị đặc trưng {ϕ} K(n) trừ biểu đồ ϕ(ρ) với ρ ∈ C có hàng; trường hợp giá trị (−1)n− ρ∈C |ϕ(ρ)| Chứng minh (a) Định nghĩa dạng d : R(q) −→ C hợp thành dq p R(q) → − H− → C Với π ∈ A(Gn ), ta có d(π) = dq (p(π)) = p(π), yn q =q n(n−1) p(π), χ(1n ) q Mặt khác p(π), χ(1n ) q = |K(1n ) | dim π p(π)(g)χ(1n )(g) = dim π = |Gn | g∈G |Gn | |Gn | n Do d(π) = dim π Hơn nữa, pι đẳng cấu đại số Hopf nên Υq (n) d ◦ Υρ (zn ) = dq ◦ p ◦ Υρ (zn ) = dq ◦ pρ (zn ) = (−1)n−1 n deg ρ = dqdeg ρ (zn ) q −1 Theo 2.2.1(a) 2.2.8(a), d nhân tính với kiện (zλ | λ ∈ P) Q−cơ sở RQ , ta suy d ◦ Υρ = dqdeg ρ : RQ −→ Q 74 Do (a) chứng minh (b) Theo nhận xét 2.3.2(a) giá trị đặc trưng {ϕ} K(n) δ ({ϕ}) Ta có δ ◦ Υρ (zn ) = δx ◦ p ◦ Υρ (zn ) = δx ◦ pρ (zn ) = (−1)n(deg ρ−1) δx (zn deg ρ ) = (−1)n(deg ρ−1) = (−1)n(deg ρ−1) δx (zn ) Vì δ ◦ Υρ = (−1)n(deg ρ−1) δx Rn Từ suy δ ◦ Υρ ({ϕ(ρ)}) = (−1)n− δ ({ϕ}) = ρ∈C δx ({ϕ(ρ)}) ρ∈C ρ∈C Vì δx ({ϕ(ρ)}) = {ϕ(ρ)} = (n), trường Do mệnh đề chứng minh xong Ví dụ 2.3.11 Xét lại nhóm GL(2, F3 ) Theo Ví dụ 2.3.5, ta tìm biểu diễn bất khả quy nhóm Ta tính bậc chúng Theo Mệnh đề trên, ta có 16 dim {ϕ2,1 } = 16.d32 ({(1, , 0)}) = 16 y1 , y1 32 = = −1 Tính toán tương tự ta dim {ϕ2,2 } = dim {ϕ2,3 } = Đối với dim {ϕ1 } dựa vào Mệnh đề 2.3.11 ta tính sau: dim {ϕ1 } = 16.d3 ({(2, , 0)}) = 16 h(a) − 1) a∈(2,0, ,0) (3 Viết (2, , 0) dạng bảng Young có dạng {(1, 1), (1, 2)} Từ a = (1, 1), h(a) = 2, a = (1, 2), h(a) = Thay vào công thức trên, ta dim {ϕ1 } = 16 = (32 − 1)(3 − 1) Hoàn toàn tương tự ta tính dim {ϕ3 } = 1, dim {ϕ2 } = dim {ϕ4 } = 3, dim {ϕ5 } = Như GL(2, F3 ) có hai biểu diễn bậc 1, ba biểu diễn bậc 2, hai biểu diễn bậc biểu diễn bậc Ta kết thúc mục với chứng minh đơn giản đoán Macdonald: Mệnh đề 2.3.12 ([7], Mệnh đề 11.11) Với ω ∈ Ω(Gn ) tổng giá trị đặc trưng ω tất phần tử lũy đơn Gn ±pm dim ω với m ∈ Z 75 Chứng minh Ta kí hiệu tổng mệnh đề Tω , p(ω)(g).χλ (g) = |Gn | p(ω), xn q p(ω)(g) = Tω = g∈G λ∈Pn g∈Kλ λ∈Pn Mặt khác, ta có |Gn | p(ω), xn q = |Gn | t(p(ω)), yn q = ±|Gn | p(ω t ), yn q = ±q n(n−1) dim ω t , (xem 2.2.5(a), chứng minh 2.3.3(a) 2.2.3(b)) Phần lại chứng minh dim ω t / dim ω lũy thừa q Rõ ràng, ω = {ϕ} ; ϕ ∈ Sn (C; P), ω t = {ϕt } , ϕt (ρ) = (ϕ(ρ))t với ρ ∈ C Nhưng điều suy từ 2.3.10(a) 2.2.8, với ý tập độ dài móc (xem 2.2.8) bảng Young trùng với tập độ dài móc bảng chuyển vị 2.4 Các môđun Gelfand-Graev suy biến Ta hiểu môđun Gelfand-Graev suy biến biểu diễn Gn cảm sinh biểu diễn chiều khác nhóm U = Un ma trận tam giác lũy đơn I.M Gelfand M I Graev chứng minh biểu diễn bất khả quy tùy ý Gn nhúng vào môđun Đối với phân hoạch (k1 , , kr ) n, ta định nghĩa đặc trưng ψk1 , ,kr U ψk1 , ,kr ((uij )) = ψ ui,i+1 , tổng lấy tất i ngoại trừ n − k1 , n − k1 − k2 , , n − k1 − · · · − kr−1 Ví dụ, ψn = ψ (xem 2.1), ψ1,1, ,1 = Đặt Uk∗ = u = (uij ) ∈ U | uij khác không i = j j=k Rõ ∗ U1∗ Điều dẫn tới ràng, Uk∗ nhóm U U = Un∗ Un−1 χ(u) = χ(u∗n ).χ(u∗n−1 ) χ(u∗1 ), χ đặc trưng bậc U u ∈ U, u∗k ∈ Uk∗ cho u = u∗n u∗n−1 u∗1 Với k, ta đặt ψk (uk−1,k ) = ResUUk∗ (χ)(u), u = (uij ) ∈ Uk∗ , rõ ràng, ψk đặc trưng cộng tính Fq Chú ý với đặc trưng cộng tính ψ Fq tồn a ∈ Fq cho ψ (x) = ψ(ax), với x ∈ Fq Do tồn a1 , a2 , , an−1 ∈ Fq cho ui,i+1 ; ∀u = (uij ) ∈ U χ(u) = ψ 1≤i[...]... 1 Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số Chương này trình bày lí thuyết cấu trúc các PSH-đại số Một đại số Hopf H đẳng cấu tự nhiên với đại số đối xứng của không gian các phần tử nguyên thủy của nó, hay nói khác đi: (1) Đại số Hopf H phân tích thành tích tenxơ H = ⊗α∈A Hα , ở đó mỗi đại số Hopf Hα chỉ có đúng một phần tử nguyên thủy (2) Đại số Hopf H chỉ có một phần tử nguyên thủy đẳng cấu với đại số. .. học, một phép đánh số ϕ : æ −→ N được xem như một bảng các số nguyên nhận được bằng cách thay thế mỗi điểm x của æ bởi số ϕ(x) Một bảng như vậy biểu diễn một phép đánh số nếu và chỉ nếu các số của nó là không giảm hướng theo các hàng và dọc theo các cột của æ; nó có kiểu (n1 , n2 , ) nếu mỗi số bất kì k ∈ N xảy ra nk lần Ta nói rằng một phép đánh số là hàng-ngặt (cột-ngặt) nếu các số là tăng hướng... | α ∈ A) là một họ các PSH-đại số Định nghĩa tích tenxơ R = ⊗α∈A Rα là giới hạn xạ ảnh của các tích tenxơ hữu hạn ⊗α∈S Rα (S chạy trên các tập con hữu hạn của A) Rõ ràng, R là PSH-đại số có tập các phần tử bất khả quy Ω(R) = Ω(Rα ) , S α∈S mỗi Rα được nhúng tự nhiên vào R Kết quả chính đầu tiên của ta trên PSH-đại số là như sau: Định lí 1.1.1 ([7], Định lí phân tích) Mỗi PSH-đại số R bất kì đều phân... bất khả quy duy nhất trong R(ρ) 1.2 PSH-đại số phổ dụng: Định lí duy nhất và cấu trúc đại số Hopf Trong phần này ta chứng minh điều tương tự phát biểu (2) từ 1.1 cho các PSHđại số, tức là chứng tỏ rằng một PSH-đại số mà chỉ có một phần tử nguyên thủy bất khả quy là duy nhất và nghiên cứu chi tiết cấu trúc đại số Hopf của nó Cố định tới cuối chương 1 một PSH-đại số R có duy nhất một phần tử nguyên thủy... ta thấy số phần tử của bốn họ lớp liên hợp nêu ở trên là q − 1 + (q − 1)(q 2 − 1) + (q − 1)(q − 2) q2 − q 2 q(q + 1) + (q − 1) 2 2 = (q 2 − 1)(q 2 − q) = |G| Thành thử, G chỉ có các lớp liên hợp nêu ở Mệnh đề 0.5.2 0.5.2 Các đặc trưng bất khả quy của GL(2, Fq ) Bây giờ ta đi tìm tất cả các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy của G = GL(2, Fq ) Ý tưởng của ta là tìm các đặc trưng của của các biểu... m∗+ (x) = 0 Kí hiệu P là nhóm con gồm các phần tử nguyên thủy của R Tập I 2 = m(I ⊗ I), hay I 2 là nhóm con sinh bởi các tích xy; x ∈ Rk , y ∈ Rl ; k, l > 0 Mệnh đề 0.6.3 ([7], Mệnh đề 1.6) Một tựa đại số Hopf tự liên hợp dương trên Z là một PSH-đại số, tức là tính kết hợp của phép nhân và đối nhân suy ra từ các tiên đề khác của PSH-đại số Hơn nữa, mỗi PSH-đại số bất kì đều là giao hoán và đối giao... trưng của tập con {ρ} ⊂ C, tức là  1 nếu ω = ρ χρ (ω) = 0 nếu ω = ρ 26 Theo 1.1.4(b), R(ρ) là PSH-đại số con của R Rõ ràng, mỗi ϕ ∈ S(C; Z+ ) đều có dạng ϕ= nρ χρ ; nρ ∈ Z+ ρ∈C Áp dụng vài lần Mệnh đề 1.1.5, ta thấy phép nhân thiết lập một đẳng cấu của các T −nhóm m : ⊗ρ∈C R(nρ χρ ) −→ R( ϕ) Vì R = ⊗R(ϕ), ϕ ∈ S(C; Z+ ), suy ra m thiết lập một đẳng cấu của các PSH-đại số ⊗ρ∈C R(ρ) −→ R Đẳng cấu này... móc-lệch Phân hoạch Kí hiệu P là tập các họ (l1 , l2 , , lr ), ở đó li là các số nguyên không âm; hai họ khác nhau bởi thứ tự hoặc số các phần tử 0 được đồng nhất với nhau, tức là xác định cùng một phần tử của P Các phần tử của P được gọi là các phân hoạch Chúng sẽ được kí hiệu bởi các chữ cái Hi Lạp, chẳng hạn λ, µ, ν, còn các thành phần của chúng được kí hiệu bởi các chữ cái Latinh, ví dụ λ = (l1... , x2 , ] các đa thức với các biến (xn | n ≥ 1); tương tự, R = Z[y1 , y2 , ] Các phần tử (xn ) và (yn ) thỏa mãn quan hệ n (−1)k xk yn−k = 0, (n ≥ 1) k=0 (f) Đại số R có duy nhất một tự đẳng cấu PSH-đại số không tầm thường t Ta có t(xn ) = yn và t(yn ) = xn với n ≥ 1 (g) Mỗi PSH-đại số R có duy nhất một phần tử nguyên thủy bất khả quy ρ với bậc 1, đều đẳng cấu với R như một PSH-đại số; thông qua... là chứng tỏ một phần tử bất kì của Ω(ϕ + ϕ ) đều có dạng ω.ω , ở đó ω ∈ Ω(ϕ), ω ∈ Ω(ϕ ) Giả sử πϕ = ωi , πϕ = ωj , là các phân tích của πϕ và πϕ thành tổng của các phần tử bất khả quy Khi đó πϕ+ϕ = ωi ωj là một phân tích hợp lí của πϕ+ϕ , vì vậy các phần tử ωi ωj vét sạch tất cả các thành phần bất khả quy của πϕ+ϕ Ta quay trở lại chứng minh Định lí 1.1.1 Với các kí hiệu của 1.1.4, không gian con R(ρ)