Khung của các tịnh tiến

Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến Khung của các tịnh tiến

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGễ TH HON KHUNG CA CC TNH TIN LUN VN THC S TON HC H NI, 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGễ TH HON KHUNG CA CC TNH TIN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc TS. Nguyn Qunh Nga H NI, 2014 Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn ca TS. Nguyn Qunh Nga. Tụi xin by t s kớnh trng v lũng bit n sõu sc i vi cụ, ngi ó giao ti v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny. ng thi tụi xin gi li cm n ti Ban giỏm hiu, phũng Sau i hc, cựng ton th i ng ging viờn khoa Toỏn trng i hc S phm H Ni 2, Vin Toỏn hc H Ni, ó trang b kin thc v phng phỏp nghiờn cu tụi hon thnh khúa hc. Tụi xin cm n Ban giỏm hiu trng i hc Sao , ton th cỏn b ging viờn khoa Khoa hc c bn trng i hc Sao ó to iu kin giỳp tụi hon thnh chng trỡnh cao hc. V cui cựng, tụi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, th lp Toỏn gii tớch K16 (t 1) - trng i hc S phm H Ni ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Ngụ Th Hoón Li cam oan Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga. Lun khụng h trựng lp vi nhng ti khỏc. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Ngụ Th Hoón Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Mt s khỏi nim v kt qu chun b . . . . . . . . 1.1. Cỏc dóy Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Phộp bin i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Phộp bin i Fourier khụng gian L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Phộp bin i Fourier khụng gian L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Khung khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. C s Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chng 2. Khung ca cỏc tnh tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1. Khung ca cỏc tnh tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Khung ca cỏc tnh tin nguyờn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Khung ca cỏc tnh tin khụng u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Khung ca cỏc hm m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 M u 1. Lý chn ti C s úng vai trũ thit yu nghiờn cu cỏc khụng gian vộc t, c trng hp hu hn chiu cng nh vụ hn chiu. í tng l ging c hai trng hp, c th l mt h cỏc phn t cho mi vộc t khụng gian c xột cú th biu din mt cỏch nht nh mt t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t ny. Tuy nhiờn, c s cú mt s hn ch, ú hn ch chớnh l thiu i tớnh linh hot. Trong mt s trng hp cỏc iu kin tr thnh c s quỏ mnh n mc dng nh ta khụng th xõy dng c cỏc c s vi nhng tớnh cht c bit v mt s thay i nh trờn c s cng lm cho nú khụng cũn l c s na. Mt hn ch khỏc ca c s l thiu i tớnh n nh i vi cỏc tỏc ng ca toỏn t. Nhng hn ch va a l mt s lý khin chỳng ta nghiờn cu khung m nhiu trng hp ú c s tn ti nhng khung c s dng hu hiu hn. Mt khung khụng gian Hilbert cng cho phộp mi phn t khụng gian c vit nh mt t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t khung nhng tớnh c lp tuyn tớnh gia cỏc phn t khung l khụng cn thit. Khỏi nim khung c a nm 1952 bi Duffin v Schaeffer [5] h nghiờn cu chui Fourier khụng iu ho, tc l chui thit lp t eik x kZ ú k R hoc k C vi mi k Z. Tuy nhiờn phi n nm 1986, sau bi bỏo [4] ca Daubechies, Grossmann v Meyer thỡ khung mi c quan tõm rng rói. Khung c s dng nhiu x lý tớn hiu, lý thuyt mt mó, lý thuyt lng t,. . . ng dng cỏc khung x lý tớn hiu, chỳng ta cn xõy dng cỏc khung khụng gian Hilbert L2 (R). n gin vic tớnh toỏn v lu tr cỏc thụng tin v khung thỡ thit yu l mi phn t khung nhn c t tỏc ng ca cỏc toỏn t (thuc vo mt lp c bit) lờn mt phn t nht ca khụng gian. Mt trng hp c bit l cỏc toỏn t tỏc ng qua cỏc phộp tnh tin, ngha l ta xột cỏc h cú dng { (ã k )}kZ ú {k }kZ l mt dóy R v L2 (R). Khung c hỡnh thnh t h trờn c gi l khung ca cỏc tnh tin. Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v khung ca cỏc tnh tin, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca Cụ giỏo, TS Nguyn Qunh Nga, tụi ó chn nghiờn cu ti: Khung ca cỏc tnh tin thc hin lun tt nghip. 2. Mc ớch nghiờn cu ti ny nhm nghiờn cu, trỡnh by v khung ca cỏc tnh tin, tnh tin nguyờn, tnh tin khụng u v khung ca cỏc hm s m. 3. Nhim v nghiờn cu - Tỡm hiu v khung ca cỏc tnh tin. - Nghiờn cu cỏc tớnh cht v mt s ng dng ca khung. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c s cn thit: Phộp bin i Fourier, mt s khỏi nim v kt qu v khung khụng gian Hilbert, c s Riesz. Cỏc khỏi nim v tớnh cht v khung ca cỏc tnh tin, khung ca cỏc tnh tin nguyờn, khung ca cỏc tnh tin khụng u v khung ca cỏc hm s m. Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n khung, khung ca cỏc tnh tin. 5. Phng phỏp nghiờn cu - S dng cỏc kin thc ca gii tớch hm, gii tớch Fourier nghiờn cu . - Thu thp ti liu v cỏc bi bỏo v khung, khung ca cỏc tnh tin. - Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht. 6. úng gúp mi ca lun Trỡnh by mt cỏch tng quan v khung khụng gian Hilbert v khung ca cỏc tnh tin. Chng Mt s khỏi nim v kt qu chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim v kt qu ban u phc v cho chng sau ca lun vn. Ni dung ny c tham kho cỏc ti liu [2], [4], [5], [7]. 1.1. Cỏc dóy Rd nh ngha 1.1.1. Cho I l ch s m c v {k }kI l mt dóy Rd . Ta núi rng: i) Mt im Rd l mt im t ca {k }kI nu mi hỡnh cu m Rd cú tõm ti cha vụ hn cỏc k ; ii) {k }kI l tỏch c nu inf j=k |j k | > 0; mt hng s > cho |j k | vi mi j = k c gi l mt hng s tỏch; iii) {k }kI l tỏch c tng i nu nú l hp hu hn ca nhng dóy tỏch c. Mt dóy tỏch c tng i cú th lp li cựng mt im N ln vi mt N N nhng nú khụng th cú im t. Vớ d 1. i) Dóy ii) k kZ\{0} k, k + |k|+1 cú im khụng l im t. khụng cú im t v khụng tỏch c. Tuy nhiờn, kZ nú l tỏch c tng i. c trng quan trng nht ca dóy tỏch c tng i c th hin qua mt Beurling trờn. Ta kớ hiu dóy = {k }kZ . Vi x Rd v h > ta kớ hiu Qh(x) l hỡnh lp phng na m Rd cú tõm ti x v chiu di cnh l h, ngha l d Qh (x) = j=1 h h xj , x j + , 2 ú x = (x1 , ., xd ). Chỳ ý rng {Qh (hn)}nZ d l mt ph ri ca Rd vi bt kỡ h > 0. Kớ hiu + (h) v (h) l nhng s ln nht v nh nht ca nhng im ca m nm hỡnh lp phng Qh(x) , ngha l, + (h) = sup # ( Qh (x)) , (h) = inf # ( Qh (x)) . xRd xRd Mt Beurling trờn v di ca c xỏc nh bi: + (h) D () = lim sup h hd + (1.1) tng t, (h) D () = lim inf . h hd Trong trng hp D+ () = D (), ta núi rng cú mt Beurling u: D () = D+ () = D () . B 1.1.2. Cho = {k }kZ l mt dóy R. Khi ú cỏc mnh sau tng ng: i) D+ () < ; ii) l tỏch c tng i; 45 chng minh (ii) ta gi s rng D+ () < . Do ú, ta phi chng minh rng {Tk }kZ khụng tha vi iu kin khung di vi bt k A > no. Theo B 1.1.3 {k }kZ l hp hu hn ca cỏc tỏch c, tc l, ta cú th vit s {k }kZ = {k }kIj ; j=1 ú mi {k }kI l tỏch c. Chn mt hng s > l mt hng s tỏch cho mi dóy {k }kIj , j = 1, ., s v xột h 0, . Vi I = [h, h], s | I , Tk | = | I , I Tk | j=1 kI s kZ I I Tk . (2.25) j=1 kI Theo cỏch chn ca I, khong {I k }kI l ri nhau, t nh ngha: (I k ) j := kIj ta cú | I , Tk |2 = kIj | (x k )|2 dx = kIj I | (x)|2 dx. j Do ú, qua (2.25) ta cú s | I , Tk | I | (x)|2 dx. j=1 kZ j S dng nh lớ hi t tri Lebesgue cho ta vi mi j = 1, ., s c nh; | (x)|2 dx khih 0. j Do ú, {Tk }kZ khụng cú cn khung di L2 (R). 46 Mnh 2.3.2. Gi s rng {k }kZ l mt dóy vi k = j vi k = j. Nu L2 (R) \ {0} thỡ cỏc hm {Tk }kZ l c lp tuyn tớnh. Chng minh. Gi s M Z l mt hu hn v gi s rng vi b h s {ck }kM ck Tk = 0. kM Qua bin i Fourier ck Ek = 0. (2.26) kM Chn mt khong I b chn khỏc rng m trờn ú khụng ng nht bng 0. Gi s rng khụng phi tt c cỏc h s {ck }kM bng 0; thỡ hm v kM kM ck Ek () ch bng ti hu hn cỏc im I ck Ek khụng phi l hm khụng. iu ny mõu thun vi (2.26) ta kt lun rng ck = vi mi k M v cỏc hm {Tk }kZ l c lp tuyn tớnh. 2.4. Khung ca cỏc hm m Nhc li rng cỏc hm m phc eikx trc chun ca L2 (, ). Do ú, eikx kZ to thnh mt c s kZ l mt khung ca L2 (, ) vi cỏc cn A = B = 2. Tng quỏt hn, cho trc mt khong I R v mt dóy s thc {k }kZ , mt khung L2 (I) cú dng eik x kZ c gi l khung ca cỏc hm m, hoc khung Fourier. Chỳ ý rng cỏc hm m l khụng bỡnh phng kh tớch trờn mt khong khụng b chn, nờn ta cn phi cú |I| < . Mt khai trin f (x) = ck eik x L2 (I) c gi l chui Fourier khụng iu hũa. õy l khung c nh ngha t ban u c Duffin v Schaeffer nghiờn cu. 47 Cho trc dóy = {k }kZ , bỏn kớnh khung c xỏc nh bi R () = sup R : eik x Nu eik x kZ kZ l khung L2 (R, R) . l mt khung L2 (R, R) vi R > 0, nú luụn l mt khung L2 (R , R ) vi mi R (0, R]. Ta vit: R+ = (0, R ()) {R ()} (R () , ) . Do ú, ta cú eik x kZ l mt khung L2 (R, R) vi bt c R (0, R ()) ; eik x kZ khụng l khung L2 (R, R) nu R (R () , ) . Trng hp R = R () bn thõn nú l im ti hn: cú trng hp ú eik x kZ l khung L2 (R () , R ()) v cú trng hp thỡ khụng. Mt dóy tỏch c {k }kZ c núi l cú mt u d > nu tn ti mt s L > cho k k L, k Z. d (2.27) nh lớ 2.4.1. [5]. Gi s rng {k }kZ l mt dóy tỏch c vi mt u d > 0. Khi ú, {k }kZ cú bỏn kớnh khung ớt nht l d. nh lớ 2.4.1 cú th xem nh mt kt qu nhiu. Tht vy, nu ta xột mt d > c nh thỡ eikx/d kZ l mt khung L2 (R, R) vi bt k R (0, d]; nh lớ 2.4.1 ch rng nu {k }kZ l tỏch c v (2.27) c tha thỡ eik x kZ l khung L2 (R, R) vi bt kỡ R (0, d). Rừ rng l ta khụng th kỡ vng eik x kZ l mt khung L2 (R, R) vi R > d; nú cng cú th khụng ỳng R = d. 48 Mc ớch ca chỳng ta l tỡm cỏc iu kin trờn dóy {k }kZ v mt khong I cho eik x kZ l mt khung L2 (I). Chỳng ta bt u vi iu kin Bessel. B sau khng nh rng iu kin Bessel l c lp vi khong hu hn c xột. B 2.4.2. Cho I v J l hai khong b chn bt kỡ R v {k }kZ l mt dóy s thc. Khi ú, eik x kZ l mt dóy Bessel L2 (I) v ch nú l dóy Bessel L2 (J) Chng minh. Gi s eik x kZ l dóy Bessel L2 (I). Ta s chng minh theo ba bc: (i) eik x kZ l dóy Bessel L2 (a + I) vi bt k a no R; (ii) eik x (iii) eik x kZ l dóy Bessel L2 (I1 ) vi bt k khong I1 I; kZ l dóy Bessel L2 (I (a + I)) vi bt k a no R. (i) Gi s g L2 (a + I). Kớ hiu B l cn Bessel cu dóy eik x kZ L2 (I). Theo nh ngha ca dóy Bessel ta cú vi mi f L2 (I) f (x) , eik x L2 (I) B f L2 (I) . (2.28) kZ tc l |f (x)|2 dx. f (x) eik x dx B kZ I I (2.29) 49 t ga (y) := g (a + y) , y I. Khi ú, ga L2 (I) |ga (y)|2 dy = I |g (a + y)|2 dy = I |g (x)|2 dx = a+I Vỡ vy ga L2 (I) v ga L2 (I) = g L2 (a+I) . = g L2 (a+I) . Ta cú g (x) , eik x L2 (a+I) g (x) eik x dx = kZ a+I kZ g (a + y) eik (a+y) dy = kZ I ga (y) eik y dy = kZ I ga (y) , eik y = L2 (a+I) kZ B ga T ú eik x kZ L2 (I) =B g L2 (a+I) . l dóy Bessel L2 (a + I) . (ii) Kớ hiu I1 l mt khong bt k I v f L2 (I1 ). Kớ hiu hm f : I C xỏc nh bi f (x) = f (x) nu x I1 , nu x I\I1 . 50 Khi ú ta cú th kim tra |f (x)|2 dx = f f (x) dx = L2 (I) . I1 I Vỡ vy f L2 (I) v f L2 (I) = f L2 (I1 ) . f (x) , eik x L2 (I1 ) f (x) eik x dx = kZ I kZ f (x) eik x dx = kZ I f (x) , eik x = kZ B f Theo nh ngha eik x kZ L2 (I) =B f L2 (I) L2 (I1 ) . l dóy Bessel L2 (I1 ). (iii) Trc tiờn ta gi s rng I (a + I) = . Gi s f L2 (I (a + I)). nh ngha hm g : I C bi g (x) = f (x) vi x I v hm h : a+I C bi h (x) = f (x) vi x (a + I) . Khi ú |g (x)|2 dx = I |f (x)|2 dx I |f (x)|2 dx < . I(a+I) Vỡ vy g L2 (I) . Tng t h L2 (a + I) f (x) , eik x L2 (I(a+I)) f (x) eik x dx = k k I(a+I) f (x) eik x dx + = k I a+I f (x) eik x dx 51 g (x) eik x dx + = k I h (x) eik x dx a+I k k I g (x) , eik x =2 eik x h (x) , eik x +2 L2 (a+I) . k kZ kZ a+I L2 (I) k Do eik x h (x) eik x dx g (x) eik x dx + l dóy Bessel trờn I vi cn Bessel B nờn theo phn i) l dóy Bessel trờn a + I vi cn Bessel B. Do ú g (x) , eik x B g L2 (I) B h L2 (a+I) . L2 (I) k v h (x) , eik x L2 (a+I) k Vỡ vy f (x) , eik x k L2 (I(a+I)) 2B g L2 (I) + 2B h |g (x)|2 dx + 2B = 2B I |h (x)|2 dx a+I |f (x)|2 dx + 2B = 2B L2 (a+I) I |f (x)|2 dx a+I |f (x)| dx = 2B f = 2B L2 (I(a+I)) I(a+I) T ú eik x kZ l dóy Bessel cho L2 (I (a + I)) . Trong trng hp I (a + I) bng mt on thỡ ta cú th vit li I (a + I) = I1 (a + I) ú I1 l mt on ca I v I1 (a + I) = . Ta cng lp lun gn ging vi trng hp trc. Gi s f L2 (I (a + I)) = L2 (I1 (a + I)) . nh ngha hm g : I1 C bi g (x) = f (x) vi x I1 v hm h : a + I C bi 52 h (x) = f (x) vi x a + I. Khi ú g L2 (I1 ) v h L2 (a + I). Ta lm tng t trng hp trc, ch thay th cỏc tớch phõn ca g trờn I bng cỏc tớch phõn ca g trờn I1 ta s c iu phi chng minh. Chỳng ta ph J bng mt s hu hn cỏc tnh tin ca I. T ú ta cú th kt lun rng eik x kZ l dóy Bessel L2 (J). B 2.4.3. Cho {k }kZ l mt dóy thc. Khi ú, cỏc iu sau l tng ng: (i) {k }kZ l tỏch c tng i; (ii) {k }kZ l mt dóy Bessel L2 (, ); (iii) {k }kZ l mt dóy Bessel L2 (I) vi bt kỡ khong b chn I R. Chng minh. Theo B 2.4.2 ta suy (ii) (iii). Chng minh (ii) (i) lý lun tng t nh chng minh ca nh lớ 2.3.1. Chng minh (i) (iii) c suy t nh lớ 2.4.1. Tht vy, ta ch cn chng minh rng eik x kZ l mt dóy Bessel nu {k }kZ l tỏch c. Gi s rng {k }kZ l tỏch c. Ta sp {k }kZ tng dn; ta kớ hiu dóy c sp xp li bi {k }kK . Ph thuc vo dóy cho trc {k }kZ , ch s K cú th l Z, N hoc N = {1, 2, .}. Bõy gi, |k+1 k | > 0. vi mt no ú, ú k+1 k 1. 53 Bng cỏch m rng {k }kK nu cn thit, ta cú th thu c mt dóy tỏch c {àk }kZ m t cỏch chn th t v ỏnh s thớch hp tha món: k T nh lớ 2.4.1 dóy eiàk x/ Do ú, eiàk x kZ àk 1, k Z. kZ l mt khung ca L2 (I) I nh. l mt khung ca L2 (I) I nh. Do {k }kK l mt dóy ca {àk }kZ ta suy rng eik x kZ l mt dóy Bessel L2 (I). nh lớ 2.4.4. Cho {k }kZ l mt dóy thc. Khi ú cỏc iu sau l tng ng: (i) Tn ti mt khong I cho eik x kZ l mt khung ca L2 (I); (ii) {k }kZ l hp ri ca dóy {k }kI1 vi mt u d1 > v dóy tỏch c tng i {k }kZ\I1 . Nu (ii) ỳng thỡ eik x kZ l mt khung ca L2 (I) vi bt kỡ khong I tha |I| < 2d1 . Chng minh. Gi s rng eik x kZ l mt khung ca L2 (I) vi mt khong no ú I. Khi ú, {k }kZ l tỏch c tng i theo B 2.4.3; T B 1.1.3 suy rng vi mi s nguyờn N N ta cú th tỡm c mt s hu hn CN cho mi khong cú dng [kN, (k + 1) N ) , k Z cha nhiu nht CN phn t ca {k }kZ . Bng cỏch chn h s N ln, ta cú th chc chn rng mi khong [kN, (k + 1) N ) , k Z cha ớt nht mt phn t ca {k }kZ . 54 Tht vy, gi s ngc li, tc l, vi mi N N ta cú th tỡm mt khong [ N, ( + 1) N ) , Z m khụng cha bt kỡ phn t no ca {k }kZ . Kớ hiu fN (x) := ei( +1/2)Nx . Ta cú: ik x fN , e i(( +1/2)N k )x e = dx I k ( + 1/2) N = sin |I| k ( + 1/2) N . |k ( + 1/2) N |2 Bõy gi xột mt khong [n, n + 1) , n Z. Nu k [n, n + 1) vi k Z thỡ bt kỡ ng thc tam giỏc ngc ch rng |k ( + 1/2) N | = |(n ( + 1/2) N ) (n k )| |(n ( + 1/2) N ) 1| . S dng kớ hiu trờn, nhiu nht C1 phn t ca {k }kZ thuc vo khong [n, n + 1). Hn na, nu N > v |n ( + 1/2) N | < N 4, khong [n, n + 1) c cha [ N, ( + 1) N ) v ú [n, n + 1) theo gi thit khụng cha phn t no t {k }kZ trng hp ny. T ú ta thu c vi N > fN , eik x fN , eik x = nZ {k: k [n,n+1)} kZ {n: |n( +1/2)N | N4 } {k: k [n,n+1)} {n: |n( +1/2)N | N4 } |k ( +1/2)N | 4C1 2. (|n( +1/2)N |1) 55 Nh vy vi N > 8, fN , eik x 4C1 {n: |n| N4 } kZ (|n| 2)2 N . T fN = |I| vi mi N N, ta suy rng iu kin khung di b vi phm. Tuy nhiờn, iu ny mõu thun vi gi thuyt bt u rng eik x kZ l mt khung ca L2 (I). iu ny chng minh khng nh rng vi N c chn ln, mi khong [kN, (k + 1) N ) , k Z cha ớt nht mt phn t t {k }kZ . Da trờn iu ny, bõy gi chỳng ta cú th chn mt dóy {k }kZ cú mt u. Tht vy, chn N ln, vi mi khong cú dng [2kN, (k + 1) N ) , k Z ta cú th chn mt phn t t {k }kZ thuc vo khong ny, theo cỏch ny ta thu c dóy {àk }kZ = {k }kI1 ú cỏc phn t c tỏch bi N v |àk 2kN | N, k Z. Cui cựng ta phi chng minh rng dóy cũn li {k }kZ \{àk }kZ l tỏch c tng i. Mt cỏch ta thu c mt dóy tỏch c t {k }kZ \{àk }kZ vi k Z, l, chn mt phn t t dóy thuc vo mi khong [2kN, (k + 1) N ) (nu cú phn t nh th); mt dóy tỏch c khỏc thu c bi vic chn mt phn t t mi khong [2 (k + 1) N, (2k + 2) N ) , k Z. Sau ú lp li hai cỏch trờn nhiu nht CN ln, khụng cũn phn t t {k }kZ \{àk }kZ l cũn li. iu ny chng minh rng {k }kZ \{àk }kZ l tỏch c tng i. 56 chng minh (ii) (i) ta gi s rng cú mt phõn hoch: Z = I1 I2 cho {k }kI1 cú mt u d1 > v {k }kI2 l tỏch c tng i. T nh lớ 2.4.1 dóy eik x kI1 (0, d1 ] v t B 2.4.3 eik x l mt khung cho L2 (R, R) nu R kI2 l mt dóy Bessel. Do ú, eik x l mt khung cho L2 (R, R) R (0, d1 ). T ú, eik x kZ kZ l mt khung L2 (I) vi bt kỡ khong I cho |I| < 2d1 . nh lớ 2.4.5. eik x kZ l mt khung ca L2 (, ) iu kin cn l {k }kZ l tỏch c tng i v D {k }kZ v iu kin l {k }kZ l tỏch c tng i v D {k }kZ > 1. Seip cng chng minh rng nu {k }kZ l tỏch c v D {k }kZ > thỡ eik x kZ cha mt c s Riesz. nh lớ 2.4.5 l ti u theo ngha l D {k }kZ = thỡ ta khụng th kt lun. Vớ d, Seip [6] chng minh dóy {k } = k |k|1/2 ik x cú mt v e |k|>1 l mt khung L (, ). Mt mt khỏc, mt vớ d ni ting ca Kadec, c th l dóy {k }kZ cho trc bi: k 1/4 nu k > (2.30) k := k + 1/4 nu k < nu k = cng cú mt 1, nhiờn, khụng sinh mt khung L2 (, ). i vi dóy {k }kZ bao gm cỏc im riờng bit, s tn ti ca cn di Riesz ca eik x kZ L2 (, ) suy rng eik x kZ l dóy Bessel. iu ny cú ngha l, iu kin di m bo rng eik x kZ l mt c s Riesz cho bao tuyn tớnh úng ca nú. 57 nh lớ 2.4.6. Gi s dóy {k }kZ bao gm cỏc im phõn bit v tn ti mt hng s A > cho: |ck |2 A ck eik x (2.31) L2 (,) vi mi dóy vụ hng hu hn {ck }kZ . Khi ú eik x kZ l c s Riesz cho bao tuyn tớnh úng ca nú L2 (, ). Chng minh. Xột k , j , ú k = j. T gi thit ta cú: ij x eik x e 2A = A |1| + |1| ei(k j )x dx. = (2.32) Dựng phộp khai trin ta c: iy e = k=0 (iy)k =1+ k! k=1 (iy)k ,y R k! ta suy rng vi mi x (, ): 1e i(k j )x = k=1 k=1 [i (k j ) x]k k! |(k j ) |k = e|(k j )| 1. k! Do ú, t (2.32) suy 2A e|k j | ; iu ny suy ra: |k j | ln Do ú {k }kZ l tỏch c, v eik x A +1 . kZ l mt dóy Bessel L2 (, ) B 2.4.3. nh lớ Kadec c in chng minh rng nu {k }kZ l mt dóy s thc m sup |k k| < kZ thỡ eik x kZ l mt c s Riesz ca L2 (, ) . Ta cng cú th m rng kt qu ny cho khung. 58 nh lớ 2.4.7. Cho {k }kZ , {àk }kZ l hai dóy s thc. Gi s rng eiàk x kZ l mt khung ca L2 (, ) vi cỏc cn A, B. Nu tn ti hng s L < 1/4 cho |àk k | L, k Z v cos (L) + sin (L) < thỡ eik x A kZ A B l mt khung ca L2 (, ) vi cỏc cn B (1 cos (L) + sin (L)) A , B(2 cos (L) + sin (L))2 . Kt lun Lun ó trỡnh by tng quan cỏc kt qu v khỏi nim khung tng quỏt khụng gian Hilbert. c bit lun i sõu vo nghiờn cu mt lp khung cú cu trỳc c bit l khung ca cỏc tnh tin bao gm khung ca cỏc tnh tin nguyờn, khung ca cỏc tnh tin khụng u, khung ca cỏc hm m. 59 Ti liu tham kho [1] J. Benedetto and S. Li (1998), The theory of multiresolution analysis frames and applications to filter banks, Appl. Comp. Harm. Anal., Vol. 5, 389 427. [2] O. Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston. [3] O. Christensen, B. Deng and C. Heil (1999), Density of Gabor frames, Appl. Comp. Harm. Anal., Vol. 7, 292 304. [4] I. Daubechies, A. Grossmann and Y. Meyer (1986), Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys., Vol. 27, 1271 1283. [5] R. J. Duffin and A. C. Schaeffer (1952), A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 72, 341 366. [6] K. Seip (1995), On the connection between exponential bases and certain related sequences in L2 (, ), J. Funct. Anal., Vol. 130, 131 160. [7] R. Young (1980), An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press, New York. 60 [...]... }∞ của các phần tử trong H là một k=1 khung của H nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho ∞ A f 2 | f, fk |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H ≤ (1.11) k=1 Các số A, B được gọi là các cận khung Chúng là không duy nhất Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của khung, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận dưới của khung Chú ý rằng các cận tối ưu thực sự là các cận của. .. N nên theo Mệnh đề 1.3.16 {fk }∞ là một cơ sở trực k=1 chuẩn của H Chương 2 Khung của các tịnh tiến 2.1 Khung của các tịnh tiến Để có thể sử dụng các khung trong xử lý tín hiệu thì ta cần các khung đặc biệt trong các không gian Hilbert gồm các hàm Khi các khung đều có chung một cấu trúc, tức là mỗi phần tử trong khung có được nhờ tác động của một toán tử (thuộc vào một lớp đặc biệt) lên một phần tử... trong H là khung của H khi và chỉ khi k=1 ∞ T : {ck }∞ k=1 → ck fk k=1 là ánh xạ hoàn toàn xác định từ l2 (N) lên H Mệnh đề 1.3.11 Giả sử {fk }∞ là một khung với toán tử khung S và k=1 các cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương; 16 ∞ k=1 (ii) S −1 fk là một khung với các cận khung là B −1 , A−1 Nếu A, B là các cận khung tối ưu của {fk... vậy, ∞ S −1 fk k=1 là một khung với các cận khung B −1 , A−1 Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các cận tối ưu của {fk }∞ ), giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk }∞ k=1 k=1 và cận trên tối ưu của khung S −1 fk ∞ k=1 1 là C < A Bằng việc áp dụng những điều đã chứng minh cho khung S −1 fk ta thu được {fk }∞ = k=1 S −1 S −1 fk ∞ k=1 ∞ k=1 có toán tử khung S −1 , có cận dưới... hiện các thao tác trên khung và sẽ dễ dàng lưu trữ thông tin về khung Trong chương này ta sẽ nghiên cứu trường hợp khi các toán tử tác động là các phép tịnh tiến nghĩa là ta sẽ xét các họ có dạng {φ ( − λk )}k∈Z trong đó {λk }k∈Z là một dãy trong R và φ ∈ L2 (R) Nội dung chương này được tham khảo trong các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] Ta sử dụng các toán tử sau: Với a, b, c ∈ R, c = 0 Phép tịnh tiến. .. ưu Khung S −1 fk ∞ k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞ bởi vì k=1 nó đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở Thường thường ta sẽ bỏ qua từ "chính tắc" và chỉ nói đến khung đối ngẫu Khai triển khung dưới đây là kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng {fk } là một khung của H thì mọi phần tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các. .. về mật độ của {λk }k∈Z là cần thiết để {Tλk φ}k∈Z là một khung (Định lí 2.3.1) nhưng nếu chúng được thỏa mãn thì câu trả lời cuối cùng vẫn phụ thuộc nhiều vào việc chọn hàm φ Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt trong đó λk = kb với b > 0 Bởi vì các điểm {kb}k∈Z là sắp xếp cách đều, khung {Tλk φ}k∈Z đôi khi được gọi là khung đều của các tịnh tiến 26 Cho φ ∈ L2 (R) Mục đích đầu tiên của chúng ta... điều kiện nào của dãy thực {λk }k∈Z và hàm φ ∈ L2 (R) sẽ kéo theo {Tλk φ}k∈Z là một khung? Định lí 2.3.1 chỉ ra rằng {Tλk φ}k∈Z không thể là khung cho toàn bộ L2 (R) Tuy nhiên dãy khung dạng {Tλk φ}k∈Z tồn tại Hơi lạm dụng về ngôn ngữ, ta sẽ bỏ qua từ "dãy" và gọi {Tλk φ}k∈Z là khung của các tịnh tiến Với một dãy cho trước {λk }k∈Z và hàm φ ta thường khó xác định {Tλk φ}k∈Z có là một khung hay không... Plancherel) Cho f, g ∈ L2 (R) Khi đó f, g = f , g (1.9) Đặc biệt: f 2 = f (1.10) 2 1.3 Khung trong không gian Hilbert Khung là sự tổng quát hóa của cơ sở, đã được đưa ra năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] khi họ nghiên cứu chuỗi không điều hòa Gần đây, 10 lý thuyết của các khung được phát triển, một phần là do các tiện ích của khung trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử Từ nay về sau,... đủ lớn của h (như một hệ quả, nó đúng với mọi h > 0) iii)⇒ii) Cho h > 0 được chọn sao cho (iii) thoả mãn Ta sẽ chỉ ra cụ thể cách Λ có thể chia thành một số các dãy h- tách được như thế nào Kí hiệu e1 , , e2d là các đỉnh của hình lập phương đơn vị [0, 1]d , và xét các tập Zj = (2Z)d + ej , j = 1, , 2d Chú ý rằng Zd là hợp rời nhau của các tập Z1 , , Z2d Do {Qh (hn)}n∈Zd là một phủ rời nhau của Rd . khung của các tịnh tiến nguyên, khung của các tịnh tiến không đều và khung của các hàm số mũ. 3 Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến khung, khung của các. Khung của các tịnh tiến để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về khung của các tịnh tiến, tịnh tiến nguyên, tịnh tiến không đều và khung. Khung của các tịnh tiến . . . . . . . . 24 2.2. Khung của các tịnh tiến nguyên 33 2.3. Khung của các tịnh tiến không đều . . . 43 2.4. Khung của các hàm mũ. . . . . . . . . 46 Kết luận . . . .