Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI ---------------**********--------------- TẠ QUANG DẦN BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TRONG VẬT LÍ LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Lƣu Thị Kim Thanh HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới: PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh, tận tuỵ hết lòng hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm bồi dưỡng cô giúp tự tin vượt qua khó khăn bỡ ngỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Vật lí lí thuyếtKhoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn. Cuối xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Quản lý khoa học Đào tạo Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện giúp hoàn thành khoá học này. Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo bạn học viên! Hà Nội, ngày 10tháng 7năm 2014 Học viên Tạ Quang Dần LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, ngày 10tháng 7năm 2014 Học viên Tạ Quang Dần MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn . Lời cam đoan . Mục lục MỞ ĐẦU . NỘI DUNG Chương 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ . 1.1. Dao động tử điều hoà học cổ điển 1.2. Dao động tử điều hoà học lượng tử . 1.2.3. Dao động tử điều hoà lý thuyết trường lượng tử . 15 Chương 2. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BIẾN DẠNG 25 2.1. Cơ sở toán học lý thuyết biến dạng . 25 2.2. Dao động tử Boson biến dạng . 27 2.2.1. Dao động tử Boson biến dạng q 27 2.2.2. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát . 30 2.2.3. Dao động tử Boson biến dạng R . 34 2.3. Dao động tử Fermion biến dạng 37 2.3.1. Dao động tử Fermion biến dạng q . 37 2.3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát . 38 Chương 3. MỘT SỐ BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TRONG VẬT LÍ LƯỢNG TỬ . 40 3.1. Biểu diễn dao động số đại lượng nhiệt động 40 3.1.1. Biểu diễn dao động toán tử toạ độ xung lượng . 40 3.1.2. Biểu diễn dao động toán tử lượng 41 3.1.3. Biểu diễn dao động véc tơ trạng thái . 42 3.2. Biểu diễn dao động trạng thái kết hợp 48 3.2.1. Định nghĩa trạng thái kết hợp 48 3.2.2. Trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q 49 3.2.3. Trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát 50 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Dao động tử lượng tử mô hình áp dụng rộng rãi vật lí đại coi mô hình gần phân tử thực, nguyên tử thực hạt thực khác. Các mô hình áp dụng cho hạt tự cho hạt cấu thành hệ vật lí. Bài toán dao động tử điều hòa số toán giải xác học lượng tử. Vì thế, mô hình dao động tử điều hòa áp dụng nhiều chuyên ngành vật lí, vật lí chất rắn với vấn đề dao động mạng tinh thể hình thức luận phonon, vật lí hạt với vấn đề dao động boson dao động fermion, vật lí hạt nhân nguyên tử với vấn đề dao động hạt nhân nguyên tử, quang học lượng tử với vấn đề dao động sóng, …Tuy nhiên, dao động tử điều hòa mô hình lí tưởng, hệ vật lí thực thường tồn dao động tử phi điều hòa, áp dụng lý thuyết vào hệ vật lí thực có sai khác kết tính toán lý thuyết với kết đo thực nghiệm. Khi người ta thường dùng phương pháp gần để giải [1], [3], [6]. Ngày nay, lý thuyết trường lượng tử đạt nhiều thành tựu nghiên cứu hạt bản, vật lí lượng cao, vật lí hạt nhân nguyên tử khoa học vũ trụ, …. Lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lí xảy giới hạt vi mô trình hình thành nên vũ trụ mà sống. Lý thuyết trường lượng tử thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Quốc tế nước. Lý thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực vật lí đại. Các phương pháp gần thường sử dụng lý thuyết lượng tử phương pháp trường trung bình, phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp thống kê momen, …. Nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số lượng tử, phương pháp gần lý thuyết trường lượng tử. Nhóm lượng tử nghiên cứu thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng [8],[11]. Sau trình học tập lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lý thuyết K16 Trường ĐHSP Hà nội 2, thấy vai trò quan trọng mô hình dao động tử điều hòa vật lí. Với mong muốn tiếp cận với vật lí học đại, em chọn đề tài “Biểu diễn dao động vật lí lƣợng tử” để làm luận văn thạc sĩ hướng dẫn khoa học cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu biểu diễn dao động vật lí lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa. - Xây dựng hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng. - Nghiên cứu biểu diễn dao động vật lí lượng tử. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ dao động tử điều hòa phi điều hòa. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết: phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử phương pháp giải tích khác. 6. Dự kiến đóng góp - Biểu diễn dao động số đại lượng nhiệt động. - Biểu diễn dao động trạng thái kết hợp. NỘI DUNG Chƣơng 1.HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1. Dao động tử điều hòa học cổ điển Dao động tử điều hòa tuyến tính chất điểm có khối lượng m, chuyển động chiều theo trục Ox, tác dụng lực chuẩn đàn hồi, F  kx, k hệ số chuẩn đàn hồi [1]. Phương trình chuyển động dao động tử điều hòa tuyến tính F  ma  kx  m x ''  d 2x , dt k x  0, m x ''   x  , với   k m , (1.1)  tần số góc. Nghiệm phương trình (1.1) có dạng: x  Acos(t  )  pha dao động, A biên độ dao động. Động dao động tử điều hòa tuyến tính T  1 2 mv  mx 2 T  mA2 sin (t   ) (1.2) Thế dao động tử điều hòa tuyến tính V    Fdx  V  kx mA2 2cos (t   ) Năng lượng (cơ năng) dao động tử điều hòa tuyến tính E  T V  mA2 2 (1.3) Vậy theo quan điểm cổ điển lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có đặc điểm sau: Ứng với giá trị xác định tần số , lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A. Năng lượng dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị nhỏ không. Vận tốc hạt v dx   A sin(t   ) dt v  A  x2 A2 Chu kỳ dao động hệ T  2  Xác suất dw(cd) (x) mà hạt vĩ mô nằm khoảng từ x đến x + dx với dx = vdt dt  dx  T 2 v dx dw(cd ) ( x)  2 A x2 1 A dw(cd ) ( x)dx  1.2.Dao động tử điều hòa học lƣợng tử Hamiltonian dao động tử điều hòa tuyến tính [1] Pˆ 2 Hˆ  Tˆ  Uˆ   kxˆ 2m 2 d 2 ˆ H   kxˆ 2m dx 2 Trạng thái lượng tử hạt với lượng E diễn tả hàm sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger Hˆ ( x)  E ( x)  2 d 2   kx  ( x)  E ( x).  2 m dx   (1.4) Đặt 4  mk    2    m 2E ;    m 2E  k  dùng biến không thứ nguyên  = x, ta viết lại phương trình (1.4) dạng  d m2 2  2mE x  ( x )    ( x)  2  2 2  dx  (1.5) 41 d d  px  x p  ( px  x p)  i(  x )  (ix )  i , dx dx Do đó:  p, x   px  x p  i . Các toán tử x p biểu diễn theo toán tử sinh hủy dao động sau: x     (a  a ) , 2m (3.5) p  i m ( a  a  ) . (3.6) Công thức (3.5) biểu diễn dao động toán tử tọa độ. Công thức (3.6) biểu diễn dao động toán tử xung lượng. 3.1.2. Biểu diễn dao động toán tử lƣợng Từ (3.5) (3.6) ta có: x     (a  a ) , 2m p  m (a  a  )2 . Tiếp theo ta tính giao hoán tử toán tử sinh toán tử hủy dao động. Rõ ràng chúng giao hoán với mình.    a , a    a , a   .     (3.7)     a  a Để tìm giao hoán tử a với a trước tiên ta tính aa   a a  (m x )  im  p, x   p  .   2m     aa (m x )2  im  p, x   p .   2m  (3.8) (3.9) ta có giao hoán tử  p, x   px  x p  i . Dễ thấy:  a , a      (3.10) 42 Xét Hamintonian (3.1), kết hợp sử dụng biểu thức (3.8) (3.9) ta viết lại sau:    p  (m x )2    (aa     a  a ) . H  2m  (3.11) Sử dụng giao hoán tử (3.10) ta có:  a , a    aa     a  a  ,        a  a .  aa (3.12) Bây ta biểu diễn toán tử Hamintonian H theo toán tử sinh toán tử hủy dao động:    (a  a  ) . H (3.13) Công thức (3.13) biểu diễn dao động toán tử lượng. 3.1.3. Biểu diễn dao động véc tơ trạng thái Thế hạt là: V  x   kx , (3.14) trạng thái lượng tử hạt với lượng E diễn tả hàm sóng 𝜓 𝑥 thỏa mãn phương trình Schodinger:  2 d 2    2m dx  kx   x   E  x    d 2  x  2m      E  kx   x   0. dx    (3.15) Để tìm hàm sóng dao động tử điều hòa ta vào giải phương trình Schodinger (3.15). Từ Vật lí cổ điển ta có:   k m nên k  m 43 ⇒ Phương trình (3.15): d 2  x  2m     E  m x   x   dx    (3.16) Đặt: 1/4  mk        m 2E m 2E ,   ,   k  (3.17) dùng biến không thứ nguyên:   x  x Từ (3.17), (3.18)  E  m ,  (3.18)    ,x   . m Thay vào (3.16):  ''           0. (3.19) Hàm sóng   x  phải hữu hạn   hữu hạn lân cận điểm  . Bây ta tìm dạng nghiệm   x  lân cận điểm  . Khi  đủ lớn bỏ qua số hạng    vế trái (3.22) ta thu được:  ''     2    (3.20) Nghiệm (3.23) :   ~ exp   / 2 . Những nghiệm chấp nhận mặt Vật lí hàm sóng    phải hữu hạn điểm    . Do ta phải tìm nghiệm xác phương trình dạng:     v   exp   / 2 , với v   hàm cần xác định. (3.21) 44 Thay biểu thức (3.21) vào phương trình (3.20), phương trình cho hàm 𝑣 𝜉 có dạng: v''    2 v'     1 v    0. (3.22) Tìm hàm nghiệm (3.22) dạng chuỗi:  v     ak  k , a0  . (3.23.1) k 0   k 0 k 0 v '     kak  k 1    k  1 ak 1 k .   k 0 k 0 v ''       k  1 kak 1 k 1    k   k  1 ak  2 k . (3.23.1) (3.23.3) Thay biểu thức (3.23.1), (3.23.2) (3.23.3) vào (3.22)    k   k  1 a k 0 k 2   k     ak   . (3.24) Từ (3.24) ta suy hệ thức truy toán sau: ak   2k    a  k   k  1 k (3.25) Theo tính chất nghiệm phương trình Schodinger toán m x  2 chiều V  hàm chẵn tọa độ, hàm    2 phương trình (3.21) phải hàm chẵn (hoặc lẻ)  . Phù hợp với điều chuỗi lũy thừa (3.23) phải chuỗi lũy thừa bậc chẵn (hoặc lẻ)  ,   hàm exp  hàm chẵn  . Do đó, từ (3.25) ⇒ a0  a1  a1  a0  . Lúc lân cận điểm    hàm sóng   x  cho (3.21) có dạng:      exp   2      v   exp   ~   exp     a0    a1     (3.26) 45 Để hàm sóng    xác định theo công thức (3.21) hữu hạn    bắt buộc chuỗi lũy thừa v   phải trở thành đa thức, nghĩa chuỗi (3.24) phải bị ngắt bậc kmax  n đó. Nghĩa a (hoặc a1 ),…, ak ,…, akmax  an  , an , an ,  . Từ (3.25)  an     2n  . Khi thay  1  2n vào (3.22) (3.22) trở thành: v''    2 v'    2nv    0. (3.27) Mặt khác, từ toán học ta lại biết đa thức Hecmite H n   thỏa mãn phương trình : Hn''    2 Hn'    2nHn    0. (3.28) So sánh phương trình (3.27) (3.28) ta rút ra: v       Nn Hn   , (3.29) với N n hệ số chuẩn hóa. Nghiệm phương trình (3.19) có kể đến (3.21) (3.28) là:   x   n  x   N n H n   x  e   2 x /2 (3.30) . Hệ số chuẩn hóa N n tìm từ điều kiện chuẩn hóa hàm 𝜓𝑛 𝑥 :    n  x  dx   Nn     H n   e d  1, (3.31)  Đa thức Hecmite có dạng tường minh : H n     1 e n H n     2   n n 2   d  n! k n2k e    1  2  n d k ! n  2k ! k 0 n  n  1 n  n  1 n   n  3 n2 n4  2    2   1! 2! n n ký hiệu   phần nguyên không vượt . 2 (3.32) 46  H  H   e n    d   H n   H n   e  d  (3.33)  d n   H   1  H n   n e d . d  n Đặt:  I  H n    d n  e d . d n (3.34) Để tích phân I, ta sử dụng hệ thức đa thức Hecmite: dH n    2nH n1   d (3.35) Tính tích phân phần n lần ta  I   1 n!  e d . n n (3.36)  Sử dụng tích phân Poisson: I 2n  a     ax 2n  e x dx   2n  1!!  a 2n1 2n  , (3.37) với n  0, a  1, 1!!  1. Ta có:    e d   . (3.38)  Khi đó: H   1 I   1  1 2n n!   2n n!  . n n n Ta tính được:   m  Nn    2 n !      2n n ! . (3.39) Vậy hàm sóng dao động tử điều hòa:  m   n  x        m   m  exp  x  Hn  x .    2   2n n ! (3.40) 47 Một số đa thức Hecmite: H0  x   1, H1  x   x, H  x    x2  1 , Các hàm sóng chuẩn hóa tương ứng là:   e    x  x /2 (3.41.1) , 1  x  2   x   2 x  1 e     xe  2 x /2 (3.41.2) , 2 x /2 , (3.41.3)    (a  a ) 2m Theo (3.5) ta có: x  Suy ra: x  2    (a  a ) 2m Khi (3.40) trở thành:  n ( x)  (   m 1/4 1 ) exp{ (a  a )2}H n{ (a  a )}  2n n ! (3.42) (3.41) trở thành:  ( x)    exp{- (a  a )2 }  (3.43.1)  ( x)  i      (a  a ) exp{- (a  a ) } m  (3.43.2)  ( x)      {(a  a )2  1}exp{- (a  a ) 2}  (3.43.3) Trong không gian Fock, véc tơ trạng thái dao động tử điều hoà chưa biến dạng là: n   n (a ) . n! (3.44) 48 Khi xẩy biến dạng véc tơ trạng thái dao động tử điều hoà biến dạng là: *. Với biến dạng q n   (a )n . [nq ]! (3.45) *. Với biến dạng q tổng quát n  c q  (a ) n . (3.46) [n ]! *. Với biến dạng R n   n (a ) . nR ! (3.47) 3.2. Biểu diễn dao động trạng thái kết hợp 3.2.1. Định nghĩa trạng thái kết hợp Trạng thái kết hợp trạng thái có pha dao động biến thiên nhỏ số hạt hoàn toàn tuỳ ý khác với trạng thái Fock trạng thái có số hạt xác định pha dao động lại biến thiên tuỳ ý. Vì mặt toán học trạng thái kết hợp xem trạng thái riêng toán tử huỷ dao động tử thoả mãn phương trình hàm riêng, trị riêng sau: a z z z (3.48) (trong đó: z gọi trạng thái kết hợp) nghiệm phương trình (3.51) là: Z  C  z  ez a từ điều kiện chuẩn hoá: Z Z 1 Ta suy ra: C  z  e  z 2 (3.49) (3.50) 49 3.2.2. Trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q Trạng thái kết hợp q xác định hàm riêng toán tử a a z z z (3.51) Trong Fock biểu diễn, trạng thái dao động tử biến dạng q là: n   nq ! (a  ) n thoả mãn N n  n n , a  n   n  1 n  1 , an   n n 1 Ở |0 trạng thái chân không, ví dụ a|0 = 0. Ta thấy z   e z   zn n  nq ! z  (eq|z| ) eqz (a  )n .  Khi eqx   n 0 (3.52) n x hàm mũ. Nó có trạng thái khác với hàm mũ thông n! thường. Một mặt, trạng thái kết hợp q không đầy đủ  d  z  z với d   z   z 1 (3.53) z2 z2 eq eq d z d . 2 Mặc khác, trạng thái kết hợp q không trực giao.  z z'  e e z q z' q  1 eqzz ' . (3.54) Đối với dao động điều hòa thông thường, trạng thái kết hợp trạng thái bất định tối thiểu dao động tử biến dạng q. Ta có: 50 P  i   m a  a ,    a  a , 2m X  X , P  iaa   a  a. (3.55) (3.56) Suy ra:   z  z  , 2m z X z  z P z  i (3.57)  m  z  z  , (3.58)   z (X ) z    z  q  1 z  eq 2m  z (P) z   m  z  q  1 z  eq    1 2q 1 2q 1 z eq 1 z eq  ,  (3.59)  ,  (3.60) z a a z  z , (3.61)   z aa  z  q z  eq z 1 z 2q eq 1 , (3.62) Kết có z (X )2 z z (P)2 z  z  X , P z . (3.63) Do trạng thái kết hợp q trạng thái có hệ thức bất định Heisenberg, biểu diễn trạng thái kết hợp q dịch chuyển chân không. Hơn nữa, z  X , P z hàm z, nên trạng thái nén dao động tử biến dạng q dược xác định cách sử dụng công thức (3.63). 3.2.3. Trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát Trạng thái kết hợp xác định sau: z   e  e  (a  ) n z z =   e z  n 0 zn  n c q n ! (3.64) 51 đó:  e  hàm mũ biến dạng q tổng quát định nghĩa qua công x thức sau:  xn n 0  n  !  e   x (3.65) c q    z Q Độ biến thiên toàn phương toạ độ xung lượng z , z  P  z là: z  Q    1  z = z  a  a   z  z 2   z aa + z  z = Theo (2.15) ta có: Do đó: aa+  qcN  qa+a z aa + z  z  z qa  a z  z q cN z  z =  q  1 z   e   F1   q  1 z  e z z  n   =  q  1 z  e z Đặt  1 1 z 2n  n c  e  e q z qc z  Q  z  F1 Tương tự ta có: z  P  z  Suy ra: z  Q  z = z  P  z = q cN ! z qc Khi ta được: (3.66) F1 F1 (3.67) 52 Trong trường hợp riêng C = 0, ta có hệ thức: z  Q  z = z  P  z =    q  1 z  Khi C = 0, q = thì: z  Q  z = z  P  z =  1 z  kết giống thống kê vô hạn. Trong trạng thái n tính toán với độ lệch toàn phương ta thu kết quả:  2 c c n  Q  n = n  P  n =  n q   n  1q  2 c c n  Q  n n  P  n =  nq    n  1q  16   (3.68) (3.69) Số hạt trung bình trạng thái kết hợp là: zN z   e = = = với:  e 1 z z   z  m  n c  n 0 z c ! q n ! 2n c n n  q ! 2n d  z z  c d z n0  n q ! z    e 2n Nz n q  e m m , n 0  e z   m  z d  z   c = d z n0  n q ! 1 z   n 0  e  z  n  1 z  n  1  ! c q (3.70) 2n (3.71) 53 Xác suất để trạng thái kết hợp trạng thái có n hạt là: Wn  n z nz  zm   e z    Wn   e z  nm  m q ! c n 0 1 = zn  e z  n  ! c q z 2n  n  ! c q Vậy:   z N z   e   Wn   e z 1 z 1 z  e  z (3.72) z 2n  n  ! c q Kết luận chƣơng Trong chương trình bày nội dung sau: Tìm biểu diễn dao động số đại lượng nhiệt động : + Biểu diễn dao động toán tử tọa độ xung lượng. + Biểu diễn dao động toán tử lượng. + Biểu diễn dao động véc tơ trạng thái. Tìm biểu diễn dao động trạng thái kết hợp, cụ thể sau: + Xác định trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q  z  (eq|z| ) eqz (a  )n + Tính hệ thức bất định trạng thái kết hợp đạt giá trị cực tiểu dao động tử biến dạng q z (X )2 z z (P)2 z  z  X , P z 54 + Tính hệ thức bất định trạng thái kết hợp đạt giá trị cực tiểu dao động tử biến dạng q tổng quát  2 c c n  Q  n n  P  n =  nq    n  1q  16  + Tìm số hạt trung bình trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát   z N z   e z 1 z e 1 z + Tính xác suất để trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát trạng thái có n hạt là:   Wn   e z 1 z 2n  n  ! c q 55 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu biểu diễn dao động vật lí lượng tử. Các kết luận văn tóm tắt sau: - Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa. - Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng: Dao động tử Boson biến dạng dao động tử Fermion biến dạng. - Biểu diễn dao động số đại lượng nhiệt động : Biểu diễn dao động toán tử tọa độ xung lượng ; biểu diễn dao động toán tử lượng biểu diễn dao động véc tơ trạng thái. - Tìm biểu diễn dao động trạng thái kết hợp, cụ thể sau : + Xác định trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q. + Tính hệ thức bất định trạng thái kết hợp đạt giá trị cực tiểu dao động tử biến dạng q. + Tính hệ thức bất định trạng thái kết hợp đạt giá trị cực tiểu dao động tử biến dạng q tổng quát. + Tìm số hạt trung bình trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát. + Tính xác suất để trạng thái kết hợp dao động tử biến dạng q tổng quát trạng thái có n hạt. Trong thời gian giới hạn, cố gắng trình bày hoàn chỉnh luận văn cách tốt theo hiểu biết mình. Nhưng mong nhận đóng góp quý báu quý Thầy, Cô, Bạn bè Đồng nghiệp để hoàn thiện nghiên cứu sâu sắc điều kiện cho phép. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, Nxb. Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [2] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nxb. ĐHQG Hà Nội. [3] Lưu Thị Kim Thanh (2007), “Dao động tử fermion biến dạng tham số p,q”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (1), 127-130. [4] Nguyễn Phù Thùy (1996), Từ học và siêu dẫn, NXB ĐHQG Hà Nội. [5] Bùi Văn Thiện, Nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein, Hội nghị khoa học khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội 2, tháng 6-2009. Tiếng Anh [6] A. Lavagno, A.M. Scarfone and P.Narayana Swamy (2005), “QDeformed Structures and Generalized Thermodynamics”, ArXiv 0504748v. [7] A.J. Macfarlane (1989), On q – analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupeSU q(2), J. Phys. Agen. 22, 4581. [8] D.V.Duc (1994),“Greneralized q – deformed oscillator and their statistics”, Preprint ENSLAPP- A- 494/94, Annecy France. [9] E.H. Kinami(2000), Inter. Joun. Of Theory Phys. 539- 1475. [10] Griths (2005), D. Introduction to Quantum Mechanics: International edition. Pearson: Prenctice Hall. [11] M.Chachian, R.Gonzalez Felipe and C.Montonen (1994), “Statistics of q – Oscillators, quons and relations to factional Statistics”,J.Phys.Lett, B5, 187. [...]... Các toán tử tọa độ q và toán tử xung p đ-ợc biểu diễn theo các toán tử sinh hạt, hủy hạt khi có biến dạng q nh- sau: q aq aq 2m p m aq aq 2 Hệ thức giao hoán giữa p và q là: p, q i N N 1 q q (2.12) 29 Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q: p 2 m 2 2 H q aq a q a qaq 2m 2 2 N N 1 q 2 q (2.13) Ta thu đ-ợc phổ năng l-ợng của dao động tử điều... 2.2 Dao ng t boson bin dng 2.2.1 Dao ng t Boson bin dng q Dao động tử boson biến dạng q đ-ợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt aq , toán tử hủy hạt a q và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng : aq aq qaq aq q N (2.8) Khi q=1 thì (2.16) trở về hệ thức giao hoán thông th-ờng: aa a a 1 Liên hệ giữa các toán tử sinh hạt aq , toán tử hủy... a n n n 1 (1.32) a n n 1 n 1 n 1 an 0 n! Kt lun chng 1 Trong chng 1chỳng tụi ó trỡnh by mt cỏch lụgic, y d v hỡnh thc lun dao ng t iu hũa: + Dao ng t iu hũa trong c hc c in + Dao ng t iu hũa trong c hc lng t + Dao ng t iu hũa trong lý thuyt trng lng t Nhng kt qu trờn s l c s nghiờn cu cỏc chng tip theo 25 Chng 2 HèNH THC LUN DAO NG T IU HềA BIN DNG 2.1 C s toỏn hc ca lý thuyt bin dng * q... g=1 Trong tr-ờng hợp q=1 chúng ta có biểu thức thông th-ờng: 1 En n 2 30 2.2.2 Dao ng t Boson bin dng q tng quỏt H cỏc dao ng t Boson bin dng q tng quỏt c trng bi cỏc toỏn t sinh dao ng t a v hu dao ng t a tho món h thc giao hoỏn: aa+ qa a qcN (2.15) trong ú: q, c l cỏc tham s vi c = -1 Ta thu c h thc: aa+ qa a q N ng vi bin dng q thụng thng vi c = 0; q 0 Ta thu c h thc: a a 1 ng vi dao. .. dao ng t lng t vi nng lng En cú th c tỡm thy trong khong t x n x + dx bng 2 LT dwn ( x )dx n ( x ) dx T cỏc h thc (1.11) v (1.12), chỳng ta thy nng lng v hm súng din t trng thỏi ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh cựng ph thuc vo s lng t chớnh n, - Cỏc mc nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh khụng suy bin, hay bc suy bin ca cỏc mc nng lng g=1 1.3 Dao ng t iu hũa trong lý thuyt trng lng t Ph nng lng ca dao. .. tử hủy hạt a q và toán tử số hạt N đ-ợc diễn tả bởi hệ thức q a aq N ; aq a q N 1 q q (2.9) Cơ sở của không gian Fock đ-ợc xác định bởi sự tác động liên tiếp của q toán tử sinh a lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi a q , ta có 28 aq 0 0 aq n n q q a n n 1q a n q n 1 n 1 (2.10) n 0 n q ! Từ đó, chúng ta tìm đ-ợc biểu diễn ma trận của các toán tử aq , a q nh- sau: 0... ng t cú thng kờ vụ hn Nh vy, dao ng t bin dng q (2.8) v dao ng t cú thng kờ vụ hn c Greenberg a ra: l biu din qua nhng s hng ca toỏn t sinh dao ng t a v hu dao ng t a tho món h thc: aa 1 l nhng trng hp c bit ca dao ng t bin dng q tng quỏt T (2.15) ta suy ra: a a q n a a n q a q cN n vi: n q c n c n 1 (2.16) q n q cq q qc Toỏn t s dao ng t N c thc hin trong khụng gian Fock vi c s... hoỏn gia toỏn t to Q v xung lng P trong trng hp ny c tớnh theo cụng thc: Q, P i a, a 34 Q, P = i N N 1 c c q q (2.20) S dng cỏc ng nht thc sau thun li trong tớnh toỏn: x y q x q y c y q c cx q c q x q x c c 1 q c q 1 2.2.3 Dao ng t Boson bin dng R Dao ng t boson bin dng R c xut trong [9] vi h thc giao hoỏn: a, a 1 R (2.21) trong ú: l thụng s bin dng R l toỏn... lng khụng Mc khụng ca nng lng E0 0 Nng lng khụng tng ng vi dao ng khụng m ta khụng 2 th tr b c bng cỏch h nhit chng hn Núi khỏc i, do cú xut hin nng lng khụng nờn dao ng t lng t khụng th trong trng thỏi ngh, nhit khụng tuyt i phn ln cỏc h nm mc nng lng thp nht(mc c bn), nhng khi ú cỏc nguyờn t vn thc hin dao ng Nnglng khụng ca dao ng ó quan sỏt c khi cho ỏnh sỏng tỏn x trờn tinh th nm nhit... (2.14) cho chỳng ta bit ph nng lng ca q- dao ng vi q l s thc q e ( l thc) cú cỏc c im l: + Ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q ch cú th nhn cỏc giỏ tr giỏn on + Cỏc mc nng lng khụng cỏch u nhau m c gión rng hn khi s lng t chớnh n tng lờn + Nng lng thp nht ca dao ng t iu hũa bin dng q ng vi n=0, c gi l nng lng khụng Mc khụng ca nng lng E0 0 2 + Cỏc mc nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q khụng suy . SỐ BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TRONG VẬT LÍ LƯỢNG TỬ 40 3.1. Biểu diễn dao động của một số đại lượng nhiệt động 40 3.1.1. Biểu diễn dao động của toán tử toạ độ và xung lượng 40 3.1.2. Biểu diễn. LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ 7 1.1. Dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển 7 1.2. Dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử 9 1.2.3. Dao động tử điều hoà trong lý thuyết trường lượng tử. biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa. - Xây dựng hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng. - Nghiên cứu biểu