Tìm hiểu về quá trình điểm poisson và áp dụng
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng Đề 10: Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp dụng Hà Nội tháng 11 năm 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG PGS.TS. Nguyễn Thị Hoàng Lan Nguyễn Anh Tuấn 20092993 Trịnh Duy Khuê 20091492 Nguyễn Hữu Anh 20090109 Lê Vinh Hiển 20091059 Nguyễn Lê Khôi 20091485 Vũ Minh Thảo 20092488 ӿ ng dng 2 Mục lục M u 3 Ni dung 4 1 Gii thiu chung 4 1.1 m 4 1.2 m poisson 5 1.3 c chn ci poisson 5 2 t c 6 2.1 t 2.1 (Construction) 7 2.2 t 2.2 (Restriction) 8 2.3 n t 8 3 n c 9 3.1 Hi t tuyi 9 3.2 K v 9 3.3 10 4 belled Poisson Point Process) 11 4.1 11 4.2 t 12 5 p 13 6 ng bng MATLAB 14 6.1 Gii thiu v phn mm MATLAB 14 6.2 i poisson 15 6.2.1 POISSPDF 15 6.2.2 POISSCDF 15 6.2.3 POISSRND 15 6.2.4 POISSINV 15 6.3 Mt s minh ha 15 Kt lun 18 u tham kho 19 ng dng 3 Mở đầu Trong nhc ng dng rt nhi , tin hc, vic bi u khin t c bit ci thc. m la chn thc hin : Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp dụngm mu nhng v c bit ng l Matlab, m khng dng trong vii s p ln v : Quá trình điểm Poisson khng v n sau: i thiu chung p ng Matlab p li li c ti PGS.TS.Nguyễn Thị Hoàng Lan Gi ng dn, tu kin thun li, gngu gic mc c. Chúng em xin chân thành cảm ơn ! ng dng 4 Nội dung 1 Giới thiệu chung c s d hic mt chun c xut hin theo thi gian. t sut hin c thi gian chim dng thit ca mi cuc gn t m s ln xut hin bin c n thi gian t quan tr kh c ng dng nhi phc vn m 1.1 Quá trình đếm Định nghĩa quá trình đếm: Gi s n c ln bin c A xut hin trong khong thi gian t c gm. Tính chất: N(0) = 0; N(t) ch nh t N(s) < N(s,t) = N(t) ln bin c A xy ra trong khong thi gian ( s , t ]; Ta gm vi {X(t) VD: n c c gn mt t cuc gn tn thm t. c g gia số độc lập nn c xy ra trong ng thi gian ng VD : in c xy ra trong thi gian tc lp v bin c xy ra trong khong thi gian t n 15 [hay N(15) N(10)]. c ggia số dừng nu s n c xy ng thi gian ng ch ph thung thi gian xy ra bin c gia số dừng nu s n c xy ra trong khong (s +t 1 , s + t 2 ) t + t 2 ) N(s +t 1 )} ch ph thu n c trong khong (t 1 , t 2 ) hay {N(t 2 ) N(t 1 )} vi mi t 1 < t 2 ng dng 5 1.2 Quá trình điểm poisson Đinh nghĩa quá trình điểm poison s xut hin c trong khoc thi gian. Mđiểm poisson với tỉ lệ λ nu : N(0) =0, N(t) ch nh t ; i s c lp. S n c xy ra trong hai khong con c lp t ca s bin c trong mt khong [t,t c cho b thc + = = () ! = 0, 1, rate parameter N(t N(t) [t,t Poisson gia số dừng E[N(t)] = t. m t tp ng c ca 1 c b ra lut s m cp kim th i (B i t -p thu kic) trong S). S ca nh duy nht b hu hn chi- a (N(B 1 ), ,N(B n )), vi p B i 1.3 Tính chắc chắn của phân phối poisson Định nghĩa 3.1u hn ( non-atomic ian (S,B). Tp con ng c gi t l u: n ng 1 ), ,N (B n c lp vp con ngc lp vi nhau B 1 n B ii) Vi mi B i B bin ng i i Poisson v i ) Nhc li rc g (non-atomic) ni mi x ch cho vio m r phm. ng dng 6 -hu hn nu tn ti 1 2 1 = ( ) < ∞ vi mi i. Tính chắc chắn của phân phối poisson c chn nu thi Gi s ta chn mn dy (hu hn) : i. = 1 = = ii. m): = 0 = 1 = exp = exp = exp = = 1 ! 1 ( 2 ) 1 { 1,, } 1 ,, = () ! exp , quay li chng minh s tn ti cu kin (ii) n vi s c lp cu kin (i) ng: Vi 2 bin ng c lp B 1 2 : 1 2 = 1 + ( 2 ) = (B 1 ) + (B 2 ) Hệ quả: Tng cn ngc lp i Poisson ph phi Poisson. Kt qu i dung ca b 2 Các tính chất của quá trình poisson chng minh cho mt s t s n thit: Bổ đề 1: Gi X i vn ngi Poisson v i =1 phi poisson v . =1 Chứng minh: chng minh b i Poissons moment ci X: = = ( ) =1 . ng dng 7 = ! =1 = ( ) ! =1 = e t = (e t 1) Gn nga x: =1 = ( ) =1 = i (e t 1) =1 = i (e t 1) =1 =1 = i (e t 1) =1 . Ta th =1 i poisson. 2.1 Tính chất 2.1 (Construction) Tính chất 2.1 : i tham s . Gi N i kin loi i xy ra th i i tham s : () = () 0 Ví dụ: i nhn khu vn thi poisson vt tun. Bit s i nh 1/12. Gi N 1 2 (t) lm s i nhc Anh phi g n th 1 2 i tham s 1 = 1 12 4 10 = 10 3 1 = 11 12 4 10 = 110 3 . Chứng minh: ng thi P(N i (t) = n i i n i ln xy ra s kin i, tng s ki =1 . L i : 1 = 1 , , = = 1 = 1 , , = | = = M d thy: 1 = 1 , , = | = = ! 1 ! ! 1 1 , vi P i t xy ra s kin loi i. = = () ! = ( ) ! =1 (do =1 = 1). 1 = 1 , , = = ! 1 !. . . ! 1 1 () ! = ( ) ! =1 Vy: { } = ( ) ! , suy ra N i (t) i tham s ng dng 8 2.2 Tính chất 2.2 (Restriction) Tính chất 2.2 : N i c lp v i . Gi = =1 = () =1 i tham s . Chứng minh: Do N i i = () =1 : 0 = (0) =1 = 0. (1) L i c lc lp. (2) N i (t) i (t+)-N i (i poisson vi tham s i t , t : + = = ( ) ! . D thy + = = ( ) ! =1 = () ! . TN(t+)-N() i poisson. (3) T (1)(2)(3) i tham s . 2.3 Định lý tồn tại và ánh xạ Định lý tồn tại: n ti: Gi tn ti m i tham s . Chứng minh: Gi 1 2 < . Gi = \ 1 =1 , 1 D thy =1 = =1 vi mi j 1. t 2.1 ta ng () mi tham s ( ) () = () =1 i tham s: = ( ) =1 = ( ) =1 = Định lý ánh xạ: ng dng 9 G. Gi f: S - t i f = f( m . 3 Các đặc trưng cơ bản của quá trình Poisson ng () v : n: hi t tuy n = =1 vi tc 1 ng nht chu m rng kt qu v chung. sut xy ra s kin loi B i . f: SR c: 3.1 Hội tụ tuyệt đối Nu f () = 1 (dz) < = 1 min 1, dz < 0 3.2 Kỳ vọng và phương sai Nc () < k v: () = () Chứng minh: = =1 vi 0 = : ng dng 10 ( ) = () =1 = () =1 = ( ) =1 () = ( ) =1 = ( ) =1 = =1 = () . Nu () < sai : () = 2 () Chứng minh: () = =1 () = = 2 =1 =1 = 2 () 3.3 Hàm Laplace quá trình Poisson gia số dừng vng: [()] = . n (t) = P {N(t) = n}, n = 0,1,2… : + = {( + ) = } = = 0, + = + = 1, + = 1 + = , + = 2 = 0 + 1 1 + () 2 : 0 = 1 1 = Suy ra : + = 1 + 1 + = + + 1 + lim h0 + = ′ = + 1 = { } [...]... hiện chương trình 17 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng Kết luận Trên đây là toàn bộ những vấn đề chúng em đã tìm hiểu được về Quá trình điểm poisson Qua việc thực hiện bài tập lớn lần này chúng em đã tìm hiểu được những nội dung cơ bản về l{ thuyết của quá trình poisson đó là:khái niệm quá trình đếm, khái niệm quá trình poisson, các tính chất và định l{, các đặc trưng cơ bản của quá trình poisson (kz... vòng, phương sai …) và quá trình poisson có nhãn Ngoài tìm hiểu l{ thuyết chúng em tìm, giải quyết một số bài tập liên quan đến quá trình poisson, đồng thời là thử nghiệm các công cụ của matlab có hỗ trợ quá trình poisson Tuy nhiên, trong quá trình tìm hiểu, chúng em vẫn còn một số điểm chưa làm rõ được, các ứng dụng tìm hiểu được còn ít, sơ sài… 18 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng Tài liệu tham khảo... ≥ 1 𝑗 là các quá trình điểm Poisson độc lập với độ đo trung bình 𝜆𝑃(∙ × 𝐵𝑗′ ) Chứng minh: 4.2.1: Sử dụng định lí ánh xạ với hàm 𝑓 biến 𝑋 𝑖 thành 𝐿 𝑖 Khi đó 𝛷′ = {𝐿 𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} là 1 quá trình điểm Poisson trên S’ với độ đo trung bình 𝜆 𝑓 Sử dụng định lí 4.1 ta có độ đo trung bình 𝜆 𝑓 = 𝜆𝑃(𝑆 × ∙) 4.2.2: Sử dụng định lí 4.1 ta có các điểm có nhãn tạo thành 1 quá trình điểm Poisson Áp dụng định lí.. .Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng ⟹ 𝐿 𝑝′ 𝑛 𝑡 ⟹ 𝑃𝑛 𝑠 = = 𝑠𝑃𝑛 𝑠 = −𝜆𝑃𝑛 𝑠 + 𝜆𝑃 𝑛−1 𝑠 ⟹ 𝑃𝑛 𝑠 = 𝜆 𝜆+ 𝑠 ⟹ 𝑃𝑛 𝑡 = 𝐿−1 𝑛 𝑃0 𝑠 = 𝜆 𝑃 𝑠 𝜆 + 𝑠 𝑛 −1 𝜆𝑛 (𝜆 + 𝑠) 𝑛+1 𝜆𝑛 𝜆 𝑛 𝑛 −𝜆𝑡 = 𝑡 𝑒 (𝜆 + 𝑠) 𝑛 +1 𝑛! Vậy N(t) có phân phối Poisson P(𝜆𝑡) hay E[N(t)] = λt (đpcm) 4 Quá trình điểm Poisson có nhãn (Labelled Poisson Point Process) 4.1 Định nghĩa Cho 𝛷 = {𝑋 𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼} là quá trình điểm Poisson Gắn mỗi điểm 𝑋 𝑖... các quá trình điểm Poisson độc lập trên S với cường độ đo 𝜆 𝑗 = 𝑝 𝑗 𝜆 với pj là xác suất điểm đó được tô màu j Ta có thể thấy định lí tô màu là trường hợp của quá trình điểm Poisson có nhãn khi có 1 tập điểm được gắn cùng 1 nhãn (tô cùng 1 màu) 12 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng 5 Bài tập Bài tập 1 (ví dụ 6.2/trang 183 sách toán chuyên đề của đại học bưu chính viễn thông): Cho 2 quá trình poisson độc... 1 quá trình điểm Poisson với độ đo trung bình 𝜆 𝐵 ′ = 𝜆 𝐵𝑗′ ∩ ∙ = 𝜆𝑃(∙ × 𝐵𝑗′ ) 𝑗 Một trong những trường hợp cụ thể của những tính chất này được nhắc đến trong định lí tô màu: Cho 𝛷 là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình 𝜆 Tô màu các điểm của 𝛷 độc lập (với nhau và với vị trí của chúng) với k màu khác nhau Với mỗi j cho 𝛷 𝑗 là tập các điểm màu j Khi đó 𝛷 𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 là các quá trình. .. 𝑖 với 1 nhãn 𝐿 𝑖 mà phân phối có thể phụ thuộc vào 𝑋 𝑖 , nhưng độc lập với 𝑋𝑗 , 𝐿 𝑗 , 𝑗 ≠ 𝑖 Khi đó 𝛹 ≔ 𝑋 𝑖 , 𝐿 𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼 cũng là 1 quá trình điểm Poisson Định lí 4.1 : Cho 𝛷 là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình 𝜆 Cho 𝛷 = {𝑥 𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} với 𝐿 𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 là độc lập với phân phối 𝑃(𝑥 𝑖 , ∙) Khi đó 𝛹≔ 𝑋𝑖 , 𝐿 𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼 là 1 quá trình điểm Poisson trên 𝑆 × 𝑆′ với độ đo trung bình 𝜆𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑙... người tới mua và không mua tại cửa hàng đó Theo giả thiết có: X (t) có phân phối Poisson với = 10 X1 (t) có phân phối Poisson với 13 1 = 0,3 λ = 3 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng X2 (t) có phân phối Poisson với 2 = 0,7 λ = 7 Xác suất cần tìm là : 𝑃 X1 t ; X2 t = 𝑃 X1 1 𝑃 X2 1 Theo tích chất : Với quá trình đếm Poisson X (t) có phân loại X1 (t), X2 (t), …, Xn (t) có tần số n 1, 2, , tương ứng... Ta sử dụng xây dựng của 𝛷 trong định lí 3.3 𝛷 = {𝑋 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} với N là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson( 𝜆) và 𝑋 𝑖 là độc lập và phân phối đồng nhất với phân phối 𝜆/𝜆(𝑆) độc lập với N Ta có nếu X có phân phối 𝜆/𝜆(𝑆) và phân phối có điều kiện L với {𝑋 = 𝑥} là 𝑃(𝑥, ∙) thì cặp (X,L) có phân phối 𝜆𝑃/𝜆(𝑆) Vì vậy 𝛹 = { 𝑋 𝑖 , 𝐿 𝑖 ∶ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} 11 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng với N là phân phối Poisson. .. 15 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng plot(x,z); xlabel('x'); ylabel('pdf'); title('Probability Density Function'); hold off Kết quả thực hiện chương trình Ví dụ: Xét các phân phối poisson với các tham số lambda sau: lambda1=5; lambda2=10 Các câu lệnh thực hiện: lambda1=5; lambda2=10; x=0:20; y=poisscdf(x,lambda1); z=poisscdf(x,lambda2); hold on plot(x,y); plot(x,z); 16 Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng . TẬP LỚN Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng Đề 10: Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp dụng Hà Nội tháng 11 năm 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN. ci thc. m la chn thc hin : Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp dụng m mu nhng v c. t 1 < t 2 ng dng 5 1.2 Quá trình điểm poisson Đinh nghĩa quá trình điểm poison s