Bài tập phân phối xác suất và chọn mẫu

Bài tập phân phối xác suất và chọn mẫu

Bài tập PHÂN PHỐI XÁC SUẤT và CHỌN MẪU

Bài 1

Dây chuyền sản xuất của một nhà máy chuyên sản xuất một loại linh kiện dùng cho máy tính cá nhân hoạt động theo tiêu chuẩn kỹ thuật với quy định đường kính của các linh kiện được sản xuất có phân phối bình thường với trung bình bằng 1,5 inches và

độ lệch tiêu chuẩn là 0,05 inches

Trước khi xuất xưởng một lô linh kiện vừa được sản xuất ngay sau khi tiến hành sửa chữa một số lỗi kỹ thuật của dây chuyền, bộ phận kiểm sóat chất lượng của nhà máy

đã chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 8 linh kiện và đo đường kính của chúng Dữ liệu như sau : 1,57 ; 1,59 ; 1,48 ; 1,60 ; 1,59 ; 1,62 ; 1,55 ; 1,52

Bạn hãy thay bộ phận kiểm soát chất lượng của nhà máy sử dụng kết quả đo lường này để phân tích xem dây chuyền sản xuất có vấn đề gì bất thường không?

Bài 2

H là một công ty chuyên sản xuất các món đồ trang trí giáng sinh, sản phẩm của họ được cung cấp cho các nhà bán lẻ trên toàn quốc Qua quan sát, ban giám đốc của H

đã tổng kết được là khoảng 15% các sản phẩm (ngay cả khi được đóng gói rất kỹ) bị hỏng trong quá trình chuyên chở trước khi đến được tay người bán lẻ; và không có một dạng cụ thể nào của các kiểu hư hỏng, mỗi món đồ hư hỏng theo một kiểu hoàn toàn độc lập với nhau

Có một nhà bán lẻ phản ánh với công ty rằng trong số 500 món đồ trang trí người đó đặt mua trong chuyến hàng vừa rồi có đến 90 món bị hư hỏng Giả sử rằng tỷ lệ hư hỏng của tổng thể các món đồ được vận chuyển được xác định chung là 15%, vậy ban giám đốc làm sao để xác định được khả năng một mẫu gồm 500 đơn vị có bị hỏng trên 18% số đơn vị?

ĐS 0,0301

Bài 3

Giả sử biến X tuân theo luật phân phối chuẩn có giá trị trung bình là 5 và độ lệch chuẩn là 2, tìm giá trị k trong các phát biểu sau

a P(X ≤ k) = 0,6443

b P(X ≤ -k và X ≥ k) = 0,61

c P(k ≤ X ≤ 6,5) = 0,6524

d P(-2,11 ≤ X ≤ k) = 0,1526

a k = 5.074

b k = 1,02

c k = 2,66

d k = 2,95

Bài 4

Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối tam giác cân như sau (giả sử AB = BC)

a Xác định giá trị của h và giá trị của điểm M

b Tìm P(38 ≤ X ≤ 62)

c Tìm P(26 < X < 58)

d Tìm a để P(X ≥ a) = 0,85

a h = 0,4167

M = 50

b = 0,75

c = 0,7778

d = 39,14534

Bài 5

Giả sử tuổi của học viên lớp Fulbright năm nay tuân theo luật phân phối chuẩn với độ tuổi trung bình là 29 tuổi và độ lệch chuẩn là 2,5 tuổi

a Chọn ngẫu nhiên một người từ lớp học và hỏi tuổi Tìm xác suất để người được chọn

có số tuổi lớn hơn 32

b Chọn ngẫu nhiên 16 người để hỏi tuổi Tìm xác suất để trung bình độ tuổi của mẫu này đạt trên 28 tuổi

c Với cỡ mẫu bằng bao nhiêu thì xác suất để cho giá trị trung bình của mẫu chọn được

có giá trị lớn hơn 30 là 2,5%

d Với cỡ mẫu là 4, tìm giá trị k để P(26 < X < X +2k) = 25%

Bài 6

Sở Du lịch Thành phố muốn đánh giá mức chi tiêu bình quân trong ngày của khách du lịch khi đến tham quan Thành phố Một nhóm khách du lịch gồm 20 người được chọn ngẫu nhiên để theo dõi và thống kê lại số tiền mà họ chi tiêu trong ngày (đơn vị: ngàn đồng) Kết quả được cho như sau:

a Tính toán mức chi tiêu trung bình trong ngày của khách du lịch khi đến thăm

thành phố

b Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mức chi tiêu của khách du lịch

c Giả sử mức chi tiêu của du khách trong ngày tuân theo luật phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn giống như kết quả ở câu a và b, tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên được một du khách có mức chi tiêu dưới 300 ngàn đồng

a 332 ngàn đồng

b Var(X) = S2 = 3132,632

S = 55,970 ≈ 56 ngàn đồng

c 0,2843

Bài 7

Trong 1000 quả banh tennis được sản xuất ra ở nhà máy Tuấn Sport thường có khoảng 80 quả không đạt chất lượng Để kiểm định chất lượng lô banh tennis vừa mới được sản xuất ra, phòng quản lý chất lượng của ông ty tiến hành chọn ngẫu nhiên 25 quả banh để kiểm tra

a Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của số banh không đạt chất lượng có thể thu được

từ mẫu lựa chọn

b Tính xác suất để mẫu lựa chọn có được 23 sản phẩm có chất lượng tốt

c Tính xác suất để trong mẫu lựa chọn chỉ có từ 3 đến 8 sản phẩm không đạt chất lượng

a Kỳ vọng = 2

Độ lệch chuẩn = 1,3565

b = 0,282

c = 0,323

Bài 8

Công ty Đay Ấn chuyên sản xuất bao tải đay các loại thường gộp chung 100 sản phẩm và

đóng thành từng cây bao đay để giao cho khách hàng Trong mỗi cây bao đay loại tốt thường có lẫn từ 5 đến 10 sản phẩm loại 2 Số liệu thống kê trong quá khứ cho thấy phân

phối xác suất của những sản phẩm loại 2 này trong các cây bao đay được trình bày trong

bảng sau:

a Tìm giá trị của t

b Tìm kỳ vọng và phương sai của số bao loại 2

c Tìm P(5 ≤ x < 10)

d Tìm P(6 < x ≤ 9)

a t =2,5

b Kỳ vọng = 7; phương sai = 2,08

c c = 0,95

d d = 0,54

Bài 9

Giả sử biến X tuân theo luật phân phối chuẩn N(0, 1) Tìm giá trị b trong các phát biểu

sau

a P(X ≤ b) = 0,4013

b P(X ≥ b) = 0,1977

c P(b ≤ X ≤ 1,5) = 0,6140

d P(X ≤ -b và X ≥ b) = 0,1902

e P(1,32 ≤ X ≤ b) = 0,0627

a b = -0,25

b b = 0,85

c b = -0,47

d b = 1,31

e b = 1,87

Bài 10

KCS của công ty sản xuất mì ăn liền Hương Vị theo dõi trọng lượng các gói mì thành phẩm tại quy trình sản xuất của nhà máy Biết rằng trọng lượng của những gói mì tuân theo quy luật phân phối chuẩn với mức trung bình là 85g và độ lệch chuẩn là 2

a Nếu lần lượt chọn những mẫu kiểm tra bằng cách mỗi lần chọn ngẫu nhiên 25 gói

mì ăn liền thành phẩm để cân trọng trọng lượng thì giá trị kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu là bao nhiêu?

b Chọn ngẫu nhiên 36 gói mì để kiểm tra Tìm xác suất để trung bình mẫu này đạt dưới 84g

c Với cỡ mẫu là 25 thì giá trị của a là bao nhiêu để xác suất cho giá trị trung bình của mẫu rơi vào khoảng cộng trừ a là 95%

d Với cỡ mẫu là bao nhiêu để xác suất cho giá trị trung bình của mẫu nằm trong khoảng [84, 86] là 95%

a Kỳ vọng = 85

PHƯƠNG SAI = 0,16

b 0,00135

c a = 0,784

d cỡ mẫu là 16

Bài 11

Tìm hiểu kết quả trồng lúa của các hộ nông dân ở Đồng bằng Sông Cửu Long cho vụ lúa hè thu năm 2006 cho thấy năng suất lúa của các hộ tuân theo luật phân phối tam giác cân đỉnh A như hình bên dưới Hộ có năng suất thấp nhất đạt giá trị B = 3,6 tấn/ha, hộ có năng suất cao nhất đạt giá trị C = 5,4 tấn/ha Hỏi:

a Giá trị của h là bao nhiêu?

b Năng suất lúa bình quân của vụ lúa hè thu là bao nhiêu?

c Tìm xác suất để chọn được một hộ có năng suất lúa nằm trong khoảng 4,2 đến 4,8 tấn/ha

d Nếu chọn ngẫu nhiên 120 hộ để điều tra thì khả năng có bao nhiêu hộ có năng suất dưới 4,2 tấn/ha

a h = 1,111

b = 4,5 tấn/ha

c = 0,556

d 27

Bài 12

Thống kê số người đến đăng ký tìm việc làm tại một trung tâm giới thiệu việc làm nhận thấy số người đến đăng ký tìm việc tuân theo luật phân phối xác suất sau:

a Hãy tìm giá trị a trong bảng trên

b Xác định giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn về số người đến đăng ký tìm việc tại trung tâm

c Tìm xác suất để có ít hơn 12 người đến tìm việc tại trung tâm

d Tìm xác suất để có từ 7 đến 13 người đến đăng ký tìm việc trong ngày

a a = 0,2

b kỳ vọng = 11 phương sai = 5,6; độ lệch chuẩn = 2,366

c 0,4

d 0,8

Bài 13

Phân xưởng chế biến hạt điều của công ty NIDOFOOD thường phân loại sản phẩm bằng

cách đếm số lượng hạt điều có trong bao 1 kg hạt điều thành phẩm Kinh nghiệm cho thấy số lượng hạt điều có trong các bao hạt điều thành phẩm loại A tuân theo luật phân phối chuẩn với mức trung bình là 340 hạt và độ lệch chuẩn là 20 hạt Chọn ngẫu nhiên một bao hạt điều loại A và đếm số lượng

a Tìm xác suất để số hạt có trong bao thấp hơn 310 hạt ?

b Tìm xác suất để bao hạt điều được chọn có số hạt nằm trong khoảng từ 345 đến 365

?

c Xác suất để bao hạt điều được chọn có số hạt lớn hơn a là 10% Tìm giá trị a

a = 0,0668

b = 0,2957

c a = 1,282

Bài 14

Tuổi thọ của một loại bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Normal với thổi thọ trung bình 1500 giờ, độ lệch tiêu chuẩn 150 giờ Nếu thời gian sử dụng không quá 1251 giờ thì phải bảo hành miễn phí

a) tìm tỉ lệ bóng phải bảo hành

b) phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng phải bảo hành chỉ còn 1%

Bài 15

Nhà máy S chuyên sx dây đai an toàn cho xe hơi, nhân viên thống kê cho biết loại linh kiện đàn hồi để làm dây đai an toàn chỉ còn đủ sx trong vòng 2 giờ Nhân viên vật tư ước lượng linh kiện sẽ được cung cấp trong vòng từ 1-4 giờ kể từ khi đặt hàng Vì không có thêm thông tin gì khác về tiến trình hàng đang được cung cấp nên thời gian cần thiết để cung cấp thêm linh kiện được cho rằng có phân phối đều trong khoảng từ 1-4 giờ, cho biết khả năng nhà máy bị hết linh kiện để sx

Bài 16

Biến X có phân phối đều giữa hai giá trị từ -0,4 đến 1,7

a) mô tả phân phối này bằng hình ảnh

b) tìm xác suất để giá trị X nhận lớn hơn 0

c) tìm xác suất để một giá trị được chọn ngẫu nhiên sẽ nằm giữa 1 và 1,7

d) tìm P(X1,7)

Bài 17

Một cuộc khảo sát về đời sống dân cư cho thấy số giờ xem tivi trung bình hàng ngày của hộ gia đình là 6 giờ Một hãng sx tivi muốn tăng khả năng cạnh tranh với các công ty khác đã đưa ra chế độ bảo hành cho bóng đèn hình là 2 năm thay vì 18 tháng như trước đây Hãy xác định khả năng sản phẩm bị hỏng bóng đèn hình trong thời gian bảo hành? Biết rằng tuổi thọ của bóng đèn có phân phối chuẩn với trung bình là

12000 giờ và độ lệch chuẩn bằng 1000 giờ

Bài 18

Biết biến số ngẫu nhiên liên tục X có phân phối mũ với λ= 3, hãy tìm những xác suất sau

a) P (X≥2)

b) P(X4)

c) P(1X3)

d) P(X=2)

Bài 19

Tuổi thọ của một transitor có phân phối mũ với trị trung bình (1/ λ) là 1000 giờ Tìm xác suất để

a) một transitor sẽ tồn tại được 1000g đến 1500 giờ

b) một transitor có tuổi thọ không quá 900 giờ

c) một transitor sẽ tồn tại được hơn 1600 giờ

Bài 20

Có 4 người với 4 độ tuổi làm thành một tập dữ liệu tổng thể về đặc điểm Tuổi có quy

mô tổng thể N = 4 như sau{18, 20, 22, 24 }

a chứng tỏ là phân phối của các trị trung bình mẫu có kỳ vọng bằng trung bình tổng thể và phương sai nhỏ hơn phương sai tổng thể n lần

b vẽ đồ thị mô tả phân phối của các trị trung bình mẫu

Bài 21

Ví dụ cho một phân phối bình thường với trung bình  = 50 và phương sai 2 = 100

a Hãy tìm xác suất để trị trung bình X của một mẫu có cỡ n = 25 được lấy từ tổng thể sẽ khác biệt trung bình của tổng thể ít hơn 4 đơn vị

b Tìm 2 giá trị cách đều số trung bình sao cho 90% các giá trị trung bình của các mẫu

cỡ n = 100 lọt vào trong phạm vi hai trị số trên

a = 0,9545

b 48,36 và 51,64

Bài 22

Tại một của hàng, các hóa đơn được lưu trữ cho thấy rằng dữ liệu về doanh số của của hàng có dạng phân phối lệch phải với trung bình tổng thể bằng 12,5 triệu đồng/khách hàng và độ lệch chuẩn bằng 5,5 triệu đồng/khách hàng Người quản lý của cửa hàng

đã chọn một mẫu ngẫu nhiên 100 hóa đơn bán hàng, người này muốn biết xác suất để trung bình của mẫu lấy được sẽ nằm trong phạm vi từ 12,25 đến 13 triệu đồng là bao nhiêu

ĐS : 0,4922

Bài 23

Doanh số (triệu đồng) của một cửa hàng thương mại trong 5 tháng được ghi nhận như sau: 300; 350; 250; 300; 400 giả sửa doanh số trong 5 tháng trên đây được xem như một tổng thể

1 với n = 2 hãy tính giá trị trung bình của các trung bình mẫu va sai số chuẩn trình bày phân phối của trung bình mẫu bằng bảng và bằng đồ thị

2 với n =3 sai số chuẩn sẽ thay đổi như thế nào, giải thích ý nghĩa sự khác biệt

3 tổng quát khi kích cỡ mẫu tăng lên thì sai số chuẩn của trung bình mẫu sẽ thay đổi như thế nào

1 320; 36,06

2 29,44

3 giảm đi

Bài 24

Số ngày nghỉ trong năm của 5 nhân viên trong một doanh nghiệp nhỏ như sau: 5; 4; 6; 3; 2 giả sử 5 nhân viên trên đây được xem như một tổng thể Yêu cầu:

1 Tính trung bình tổng thể

2 chọn mẫu theo cách thức không hoàn lại với kích thước mẫu = 2

a hãy liệt kê tất cả các mẫu được chọn và tính các giá trị trung bình mẫu

b tính trung bình của tất cả các trị trung bình mẫu

3 chọn mẫu theo cách có hoàn lại với kích thước mẫu = 2

a liệt kê tất cả các mẫu được chọn và tính các giá trị trung bình mẫu

b tính trung bình của các trung bình mẫu

4 từ kết quả tính toán 2 câu trên cho nhận xét

Bài 25

Một tổng thể cớ phân phối chuẩn với trung bình là 60gram và độ lệch tiêu chuẩn bằng

12 gram Chọn ngẫu nhiên 9 phần tử từ tổng thể đó Tính xác suất để trung bình mẫu

1 lớn hơn 63

2 nhỏ hơn 56

3 trong khoảng từ 56 đến 63

1 22,67% 2 15,86% 3 61,47%

Bai 26

Ở một công ty số lượng sản phẩm xuất xưởng đạt yêu cầu kỹ thuật tính trung bình một ngày là 48 với độ lệch tiêu chuẩn 10,3 Lượng sản phẩm xuất xưởng đạt yêu cầu trong 100 ngày được ghi nhận và giám đốc công ty hứa sẽ thưởng cho toàn bộ nhân viên công ty trong dịp lễ 1/5 sắp tới nếu lượng sản phẩm đạt yêu cầu tính trung bình của mẫu 100 ngày này vượt quá 50 hãy tính khả năng các nhân viên công ty được thưởng

ĐS 2,61%

Bài 27

Một mẫu có kích cỡ 100 được lấy từ tổng thể theo phân phối chuẩn với = 500 và=100 hãy tính

a P( x 520 ) b P( x 470 ) c P( x 600 )

Bài 28

Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên kích cỡ 100 từ tổng thể với  = 20 Hãy tính độ lệch chuẩn của giá trị trung bình trong các trường hợp sau

a kích cỡ tổng thể là vô hạn

b kích cỡ tổng thể = 100000

c kích cỡ tổng thể = 10000

d kích cỡ tổng thể = 1000

Nguồn Tài liệu tham khảo :

BT Xác suất thống kê của chương trình giảng dạy kinh tế Fulbright

BT Thống kê của hai tác giả Trần Bá Nhẫn-Đinh Thái Hoàng