Phương pháp hartre fock cho hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử

3 LỜI NÓI ĐẦU Hiện nay cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học công nghệ, lĩnh vực vật lí nói chung và vật lí hệ thấp chiều nói riêng đã có những bước tiến vượt bậc. Đầu tiên phải kể đến sự ra đời của Quantum Wells (giếng lượng tử) với việc giam giữ các electron trong hàng rào thế giữa các lớp bán dẫn mỏng. Tiếp theo là việc sử dụng kỹ thuật khắc chính xác kết hợp với nuôi cấy tinh thể trong bán dẫn nên người ta đã giam giữ được các electron trong cấu trúc giả một chiều và Quantum Wires (sợi lượng tử) ra đời. Tiếp tục lượng tử hóa chuyển động của các electron tự do bằng cách bẫy nó trong hệ giả không chiều người ta chế tạo ra được Quantum Dots (chấm lượng tử) [1]. Các nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm trước đây cũng chỉ ra rằng việc bị giam hãm trong các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi tính chất chuyển động của các điện tử và kéo theo một loạt các hiệu ứng mới như hiệu ứng Hall lượng tử, hiệu ứng khóa Coulomb, các hiệu ứng liên quan với giao thoa của các sóng electron vv…Với những tính chất khác biệt mới như vậy người ta kì vọng trong tương lai các vật liệu mới dựa trên các cấu trúc đó sẽ giúp chúng ta tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử có kích thước nhỏ, tốc độ tính toán rất nhanh, bộ nhớ rất lớn. Tính thực thi của các vật liệu bán dẫn mới đòi hỏi việc mô phỏng, tính toán chính xác các ảnh hưởng điện tích của hệ điện tử nhằm tăng thêm sự hiểu biết của chúng ta về tính chất vật lí của nó. Nhiệm vụ quan trọng đầu tiên là tính toán một cách chính xác cấu trúc năng lượng bên trong các vật liệu bán dẫn, trong đó các hiệu ứng lượng tử trở nên quan trọng. Một số kĩ thuật tính toán đã được xây dựng bằng việc sử dụng hoặc mô hình liên kết chặt, hoặc gần đúng khối lượng hiệu dụng. Việc tính toán phương trình Poisson- Schrodinger tự hợp dựa trên gần đúng 4 Hartree và lí thuyết hàm mật độ rất thuận lợi cho việc xác định trạng thái cơ bản của hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. Các nhà vật lí lí thuyết trong và ngoài nước cũng đang nỗ lực nghiên cứu tính toán để xây dựng các cơ sở lí thuyết cho các vật liệu mới này. Phương pháp Hartree-Fock đã được áp dụng thành công để tính toán cấu trúc điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa giả hai chiều với thế giam cầm parabol (ví dụ xem [2]) và nghiên cứu các tính chất quang của exciton tích điện (charged excitons) trong loại chấm lượng tử đó dưới tác dụng của từ trường ngoài [3-7]. Đối với chấm lượng tử dạng cầu gần đây một số tác giả đã tính cấu trúc năng lượng của hệ điện tử bằng các phương pháp Hartree và lý thuyết phiếm hàm mật độ trong gần đúng khối lượng hiệu dụng [8], và bằng phương pháp Hartree-Fock với việc sử dụng hệ hàm cơ sở là các hàm Gauss [9-10]. Việc chọn hệ hàm cơ sở trong phương pháp Hartree-Fock là hàm Bessel (hàm riêng của bài toán đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng cầu [11]) là tự nhiên nhất. Tuy nhiên do tính phức tạp của việc tính tương tác Coulomb điện tử-điện tử dựa trên hệ hàm cơ sở này nên chưa có tác giả nào nghiên cứu hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử dạng cầu bằng phương pháp Hartree-Fock với việc sử dụng hệ hàm cơ sở Bessel, ngoại trừ một số tác giả nghiên cứu cho hệ 2 điện tử [12,13] bằng phương pháp tương tác cấu hình (CI) với việc sử dụng hệ hàm Bessel. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc năng lượng và hàm sóng của hệ đơn và nhiều điện tử trong chấm lượng tử dạng cầu bằng phương pháp Hartree- Fock với việc sử dụng hình thức luận Roothaan và hệ hàm cơ sở Bessel . Cấu trúc luận văn được trình bày theo ba chương với những nội dung chính của từng chương như sau: Chương I: Phương pháp Hartre- Fock cho hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. 5 Chúng tôi đưa ra khái niệm chung về QDs, trình bày phương pháp nghiên cứu hệ nhiều điện tử trong QDs: lí thuyết trường tự hợp Hartree- Fock và hình thức luận Hatree- Fock- Roothaan áp dụng cho hệ nhiều điện tử trong QDs và sơ đồ thuật toán chương trình máy tính để tính toán cấu trúc năng lượng của hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. Chương II: Tính toán cho hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử có dạng đối xứng cầu. Chúng tôi đưa ra mô hình S- QDs, xây dựng hệ hàm cơ sở Bessel và biểu thức tính toán cấu trúc năng lượng của hệ electron trong S- QDs theo phương pháp Hartree- Fock và hình thức luận Hatree- Fock- Roothaan. Chương III: Kết quả tính toán và nhận xét. Trên cơ sở những lí thuyết đã trình bày ở trên, chúng tôi đưa ra các kết quả tính toán năng lượng của điện tử và nghiên cứu sự phụ thuộc của năng lượng vào các thông số đặc trưng của chấm lượng tử, như bán kính, thế giam cầm cho trường hợp đơn điện tử và đa điện tử với hai vật liệu là GaAs/Al 1-x Ga x As và Si/SiO 2 với số điện tử từ 1 đến 16. Chúng tôi cũng khảo sát thế năng tương tác Coulomb điện tử- điện tử vào bán kính và thế giam cầm của chấm lượng tử, và năng lượng thêm (addition energy) của chấm lượng tử phụ thuộc vào số điện tử trong chấm lượng tử. Trong phần kết luận chúng tôi tổng kết lại toàn bộ những đóng góp khoa học của bản luận văn; trong phần phụ lục1 chúng tôi trình bày tóm lược về hàm Harmonic cầu bởi lẽ nó là một trong những cơ sở quan trọng trong những tính toán của bản luận văn. Phần phụ lục 2 chúng tôi đưa ra chương trình tính số trong Mathematica nhằm sáng tỏ những vấn đề cần nghiên cứu. 6 CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP HARTREE – FOCK CHO HỆ NHIỀU ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 1.Chấm lượng tử và bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. Chấm lượng tử nói chung [1] và tinh thể bán dẫn QDs (còn gọi là các nano tinh thể bán dẫn) thông thường có kích thước vào khoảng từ vài nanomét đến vài 7 chục nanomét, có các hình dạng khác nhau tùy theo phương pháp nuôi cấy và chế tạo. Một số dạng thường gặp như dạng hình cầu, nửa hình cầu, dạng đĩa, dạng hình pyramid, chop cụt, v.v… Bên cạnh những tính chất của vật liệu khối, các chấm lượng tử còn thể hiện những đặc tính rất mới và ưu việt mà bán dẫn khối không có do hiệu ứng giam cầm lượng tử mạnh gây ra, mà biểu hiện rõ nhất của hiệu ứng này là các vùng năng lượng liên tục sẽ trở thành các mức gián đoạn. Khi kích thước của chấm lượng tử thay đổi sẽ kéo theo cấu trúc năng lượng thay đổi và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng thay đổi theo. Mặc dù cấu trúc tinh thể và thành phần cấu tạo nên chúng vẫn được giữ nguyên, nhưng mật độ trạng thái điện tử và các mức năng lượng là gián đoạn, giống như nguyên tử nên người ta coi chấm lượng tử như là nguyên tử nhân tạo hay nguyên tử siêu hình, và bằng cách điều khiển hình dạng, số chiều, số điện tử bị giam cầm ta sẽ điều khiển được tính chất vật lí theo yêu cầu. Nội dung cơ bản của bài toán hệ nhiều điện tử trong QDs là nghiên cứu cấu trúc năng lượng điện tử của hệ. Cấu trúc năng lượng của hệ điện tử trong QDs phụ thuộc rất nhiều vào dạng thế giam cầm và dạng của QDs. Khi người ta giả định thế giam cầm có dạng xác định nào đó thì ta sẽ dự đoán được cấu trúc vùng năng lượng và những đặc trưng tương ứng của hệ. Muốn xét cấu trúc năng lượng của hệ nhiều electron thì ta cần biết trước dạng thế giam cầm. Có nhiều cách tiếp cận vấn đề nhưng một cách đơn giản và thường được áp dụng đó là xét cấu trúc năng lượng của hệ dựa trên phương pháp gần đúng một hạt. Trong phương pháp này người ta đưa bài toán hệ nhiều hạt trở về bài toán một hạt với sự thay thế tất cả các tác động của các hạt còn lại bằng trường tự hợp nào đó. Nghĩa là trường tương tác của một hạt với tất cả các hạt còn lại trong hệ đã được trung bình hóa theo chuyển động. Bài toán hệ nhiều electron được quy về bài toán một electron với việc tìm hàm sóng tự hợp mô tả trạng thái của electron trong trường hiệu dụng gây ra bởi tất cả các electron còn lại trong hệ. Sử dụng phương pháp Hartree- Fock 8 với hình thức luận Hatree- Fock- Roothaan và hệ hàm cơ sở Bessel chúng tôi thay thế việc giải phương trình Schrodinger nhiều điện tử bằng việc giải hệ các phương trình Hartree-Fock đơn điện tử, trong đó các thế tự hợp được tính thông qua các yếu tố ma trận của tương tác Coulomb điện tử-điện tử dựa trên hệ hàm cơ sở Bessel. 2. Mô hình Xét hệ lượng tử gồm N điện tử trong chấm lượng tử với thế giam cầm ( )  V r . Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào tọa độ của N hạt mà mỗi hạt có ba thành phần theo ba phương khác nhau nên Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào 3N tọa độ và có thể viết dưới dạng: 1 ˆ ˆ ( , , ). N H H r r    Trong gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian của hệ có dạng: 2 1 1 ij 1 ˆ ˆ 2 N N i i i j e H H r         (1.1) Trong đó: ˆ i H = 2 2 ( ) 2 * i i V r m      là Hamiltonian đơn điện tử trong hố thế V( r  ). Số hạng thứ hai của Hamiltonian (1.1) mô tả tương tác Coulomb giữa tất cả các điện tử,  là hằng số điện môi, ij i j r r r    là khoảng cách giữa 2 điện tử i và j, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử. Phương trình Schrodinger của hệ N điện tử ở trạng thái dừng có dạng: 1 1 ˆ ( , , ) ( , , )      N N H r r E r r   (1.2) Để đưa phương trình Schrodinger của hệ N điện tử về phương trình của một điện tử ta đưa vào khái niệm trường trung bình và xét một điện tử thứ i nào đó ở trong trường của tất cả các điện tử còn lại. Giả sử tại mỗi điểm i r  có điện tử thứ i nằm trong một trường giống như trường của các điện tử còn lại tạo thành. Kí hiệu 9 trường của các điện tử còn lại là eff ( )  i U r và eff ( )  i U r sẽ phải mô tả gần đúng nhất tác dụng trung bình tất cả các điện tử lên một điện tử thứ i nào đó. Giả sử ta đã biết được trường thế của điện tử thứ i là eff ( )  i U r . Toán tử Hamiltonian của hệ N điện tử được viết dưới dạng: 1 ˆ ˆ ' N i i H H    (1.3) Với   eff ˆ ˆ ' i i i H H U r    là toán tử Hamiltonian của điện tử thứ i. 3. Phương pháp gần đúng Hartree – Fock Các điện tử có spin bán nguyên s = 1/ 2 nên nó tuân theo thống kê Fermi – Dirac và nó thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli. Trạng thái của điện tử thứ i được đặc trưng bởi 3 tọa độ , , i i i x y z và thành phần nữa là hình chiếu của spin i  lên phương OZ. Đối với điện tử z  có trị riêng là s m  với m s =  1/2. Hàm sóng của điện tử i là hàm của các biến số tọa độ , , i i i x y z và i  . Kí hiệu các biến số này là ( 1,2, , ) i i N   . Để mô tả trạng thái của điện tử có tính đến spin ta đưa vào hàm  như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                Và giá trị hàm Spin được xác định : 1 2 1 2 ( ) 0 2 ( ) 1 2 h h      1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 0 2 h h      Khi đó ta có: *( ) ( )            10 Nếu bỏ qua tương tác giữa momen từ của điện tử với từ trường do điện tử chuyển động theo quỹ đạo gây nên thì ta có thể biểu diễn hàm sóng của điện tử i dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k i nk i i k r r r                           (1.4) chỉ số k ở hàm ( ) k i   kí hiệu trạng thái lượng tử (n k ,  ). Điều kiện trực giao và chuẩn hóa của hàm ( ) k i   * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       i k i k i i nk i nl i i i d r r               n   kl k nl      (1.5) Phương trình Schrodinger của toàn bộ hệ có dạng: 1 1 ˆ ( , , ) ( , , ) N N H E        (1.6) Để phù hợp với nguyên lí loại trừ Pauli, hàm 1 ( , , ) N    phải là hàm phản đối xứng và nó có dạng là định thức Slater. 1 , , 1 1 1 1 ( , , ) ( 1) [ ( ) ( )] ! N N v k k N v k k N v P N           = 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) k k N kN kN N N         (1.7) Trong đó kí hiệu 1 1 [ ( ) ( )] N v k k N P     là hàm nhận được từ hàm 1 1 ( ) ( ) N k k N     bằng cách hoán vị v cặp biến số 1 k    hay một cặp trạng thái 1 j k k bất kì cho nhau. Khi hoán vị bất kì một cặp chỉ số 1 k    hay một cặp trạng thái 1 j k k cho nhau thì định thức đổi dấu. Khi 1 k    hay 1 j k k thì định thức bằng 0 ( Không tồn tại hàm sóng ) điều này thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli 11 ( không tồn tại hơn một hạt trên một trạng thái lượng tử). Nói ngắn gọn, hàm sóng của electron trong hệ phải là hàm phản đối xứng: 1 2 1 2 , 1 , 1 ( , , ) ( , , ) i j N j i N k k k k k N k k k k k N         1 1 1 1 ( , ) ( , ) N N k k i k N k k k i N             Thực tế thì thế eff ( )  i U r trong ' ˆ i H còn chưa biết nên hàm ( ) i n i   là hàm riêng của ' ˆ i H vẫn còn chưa xác định. Bây giờ ta dùng nguyên lí biến phân để xác định eff ( )  i U r . Gọi   0 r   và 0 E là hàm sóng và năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản. Toán tử Hamiltonian ˆ H và   0 r   ; 0 E thỏa mãn phương trình Schrodinger:     0 0 0 ˆ    H r E r   . (1.8) Năng lượng trung bình của hệ lượng tử ở trạng thái  là:   ˆ *( ) .E r H r dr        Và   r   là hàm sóng không phải ở trạng thái cơ bản (ở trạng thái kích thích). Vì 0 E là năng lượng ở trạng thái cơ bản ( là nhỏ nhất) nên 0 E E . Nghĩa là:   0      ˆ * ( r )H r dr E .   Ta thấy các hàm   r   càng gần với hàm riêng   0 r   bao nhiêu thì E càng gần 0 E bấy nhiêu. Ta chọn trước một lớp hàm   r   nào đó có dạng thích hợp rồi trong lớp hàm này chọn một hàm   r   sao cho giá trị E là nhỏ nhất (gần 0 E nhất), nghĩa là lời giải gần đúng nhất của bài toán. Vì E ứng với hàm   r   đã cho là nhỏ nhất nên 0 0 E E E     . Vậy nghiệm gần đúng   0 r   nhất phải thỏa mãn điều kiện: 12   ˆ *( ) 0. E r H r dr           Đó là nội dung của nguyên lí biến phân. Dùng nguyên lí biến phân ta tính được năng lượng trung bình của hệ N điện tử: 1 1 ˆ *( , , ) ( , , ) . N N E H d          Với 1 2 . N d d d d      Thay hàm sóng trong (1.2.7) vào biểu thức trên ta có năng lượng trung bình của của hệ N điện tử: 0 1 , 1 , 1 ˆ *( ) ( ) ( ) 1 *( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 *( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) 2             N k i i k i i k N k i l j i j k i l j i j k l N k i l j i j k j l i i j k l E H d U d d U d d                               Thay ( ) ( ) ( ) k i nk i i r         và chú ý ( ) ( ) i i i            ta có : 0 1 , 1 , 1 ˆ *( ) ( ) ( ) 1 *( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 *( ) *( ) ( , ) ( ) ( ) 2                                  N nk i i nk i i k N nk i nl j i j nk i nl j i j k l N nk i nl j i j nk j nl i i j k l E r H r r dr r r U r r r r drdr r r U r r r r drdr           Trong đó số hạng cuối chỉ lấy tổng ứng với các cặp điện tử có Spin định hướng song song cùng chiều ( ,  ). Ta sẽ tính E  rồi cho 0 E   : [...]... lượng của hệ và các đại lượng liên quan 9- Kiểm tra kết quả bằng các công thức (1-29), (1-30), (1-31) 22 CHƯƠNG II TÍNH TOÁN CHO HỆ NHIỀU ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ CÓ DẠNG CẦU 1 Trạng thái điện tử trong chấm lượng tử dạng cầu Chúng ta quan tâm đến một kiểu chấm lượng tử dạng cầu chế tạo từ vật liệu A được bao bọc bởi lớp ngoài từ vật liệu B Bên trong chấm lượng tử, khối lượng hiệu dụng của điện tử. .. QuasiMonteCarlo] (2.28) 4- Năng lượng thêm vào Do tương tác đẩy Coulomb, năng lượng của hệ với (N + 1) điện tử trong chấm lượng tử là lớn hơn năng lượng của một chấm lượng tử với N điện tử Do vậy, việc thêm một điện tử đòi hỏi phải cung cấp thêm năng lượng Thế hóa được định nghĩa như là hiệu năng lượng trạng thái cơ bản của hệ với N điện tử và năng lượng cơ bản của hệ (N-1) điện tử Năng lượng thêm (addition energy)... yếu tố ma trận Như đã trình bày trong phần mở đầu, trong luận văn này chúng tôi chọn các hàm riêng của Hamiltonian của hệ đơn điện tử trong các chấm lượng tử với thế cầu hữu hạn như là các hàm cơ sở cho việc nghiên cứu hình thức luận Hartree- Fock- Roothan của hệ nhiều điện tử trong các chấm lượng tử với thế cầu hữu hạn: Như vậy hàm sóng đơn điện tử trong các chấm lượng tử có thể viết:   J 1  r ... (1.28) là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản của hệ với số điện tử tùy ý Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm, bán kính của chấm lượng tử, các tham số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của điện tử, hằng số điện môi, ,được biểu diễn gián tiếp, không tường minh thông qua các yếu tố ma trận Bài toán xác định năng lượng của hệ nhiều điện tử T   được quy về bài toán... vào phương trình (1.9) rồi giải Cứ thế tiếp tục cho đến khi ta tìm được nghiệm gần đúng tốt nhất (tức là giá trị của hai nghiệm liên tiếp liền nhau không khác nhau là bao nhiêu) Trường U eff được tính như trên được gọi là trường tự hợp và phương pháp nêu trên được gọi là phương pháp gần đúng Hartree- Fock 4 Áp dụng gần đúng cho hệ nhiều điện tử Khi áp dụng cho hệ nhiều electron thì biểu thức năng lượng. .. 1) Trong phần tính toán, sử sụng phương pháp Hartree- Fock chúng tôi sẽ tính năng lượng thêm vào và đánh giá sự phù hợp của kết quả với lí thuyết về trật tự lấp đầy của các điện tử trong chấm lượng tử 33 CHƯƠNG III KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả tính toán và xây dựng sơ đồ các mức năng lượng trong tinh thể nano dạng cầu Si được bao quanh bởi SiO2 và trong. .. mout r  R (2.2) Mặc dù trường tinh thể trong chấm lượng tử không có tính chất tuần hoàn tuyệt đối như trong tinh thể khối, nhưng phương pháp khối lượng hiệu dụng vẫn có thể áp dụng được với độ chính xác chấp nhận được ngay cả khi bán kính chấm lượng tử vào khoảng cỡ 1-2 nm [8] Chúng ta sẽ sử dụng đơn vị nguyên tử hiệu dụng: đơn vị năng lượng là một nửa năng lượng Hartree hiệu dụng ( hay là hai lần Rydberg... ngoài chấm lượng tử được bao bởi vật liệu B với khối lượng hiệu dụng của điện tử là mout Bán kính của chấm lượng tử A là R, electron nằm trong dots với tọa độ r Mô hình của chấm lượng tử được chỉ ra như hình dưới đây: V(r) r m1 Vo m2 R 0 A R B r Theo mô hình trên, khi electron dịch chuyển từ vùng A sang vùng B, nó sẽ  phải vượt qua một thế nào đó, ta gọi là thế giam cầm V  r  Thế giam cầm trong. .. Sơ đồ cấu trúc năng lượng của GaAs với V0 = 2.5eV; R = 60A0 Hình 1a: Sơ đồ cấu trúc năng lượng của Si/SiO2 với V0 = 3.1eV; R = 30A0 Từ sơ đồ mức năng lượng của điện tử trong Dots ta có thể thấy E1s < E2p < E3d < E2s < E4f . CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP HARTREE – FOCK CHO HỆ NHIỀU ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 1 .Chấm lượng tử và bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. Chấm lượng tử nói chung [1] và tinh. dụng cho hệ nhiều điện tử trong QDs và sơ đồ thuật toán chương trình máy tính để tính toán cấu trúc năng lượng của hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử. Chương II: Tính toán cho hệ nhiều điện. cứu hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử dạng cầu bằng phương pháp Hartree -Fock với việc sử dụng hệ hàm cơ sở Bessel, ngoại trừ một số tác giả nghiên cứu cho hệ 2 điện tử [12,13] bằng phương pháp